Практичне застосування методів фінансової математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Практичне застосування методів фінансової математики

1. Теоретичні основи методів фінансової математики для аналізу операцій на фінансових ринках України

1.1 Фінансова математика на кредитно-депозитному банківському ринку

Фінансова математика вивчає методи розв'язування задач, що виникають при плануванні і здійсненні фінансових операцій. До таких задач належать: нарахування відсотків, оцінка кінцевих фінансових результатів операції для її учасників, розробка планів ведення операцій, беззбиткова зміна умов угод, аналіз інвестицій, аналіз кредитних операцій і інші [28].

Теоретичною основою фінансової математики є методи нарахування простих і складних відсотків, схема фінансової ренти або ануїтету, принципи часової вартості грошей і принципи фінансової еквівалентності.

Згідно з принципом часової вартості грошей сучасні гроші мають більшу ціну, ніж гроші майбутні, тобто одна грошова одиниця сьогодні має більшу вартість, ніж одна грошова одиниця завтра.

Основними причинами знецінення грошей є: інфляція, ризик, схильність до неліквідності [7].

Фактор часу у фінансових розрахунках вираховується за допомогою відсоткових (або процентних) ставок, які дозволяють для кожної теперішньої грошової суми знайти їй еквівалентну величину у майбутньому.

Основні поняття [8]:

1. Відсоткові гроші (відсотки) - це абсолютна величина прибутку (доходу) від позичання грошей. При цьому форми позичання можуть бути різними: купівля облігацій, продаж у кредит, видача позики. Відсотки вимірюються у грошових одиницях.

2. Відсоткова ставка (відсотки) це відношення відсоткових грошей, отриманих за певний проміжок часу, до суми боргу. Відсоткова ставка вимірюється у коефіцієнтному вигляді або у відсотках (1%=0,01). У фінансових розрахунках відсоткові ставки подаються у коефіцієнтному вигляді.

3. Інтервали часу, з якими пов'язують відсоткові ставки, називають періодами нарахування. Періодами нарахування можуть бути: рік, півріччя, квартал, місяць, день. У цьому випадку говорять про дискретні відсотки.

Якщо нарахування відсотків здійснюється за дуже малі проміжки часу, то говорять про неперервні відсотки. На практиці вдалим наближенням до неперервних відсотків є відсотки з щоденним нарахуванням.

4. Відсоткові гроші можуть сплачуватися кредитору при їх нарахуванні в кожному періоді, або приєднуватися до основної суми боргу при закінченні угоди. В останньому випадку говорять про нарощену суму, яка дорівнює початковій сумі боргу з відсотками, що на неї нараховані. Процес збільшення суми боргу з приєднанням до неї відсотків називається капіталізацією суми боргу.

5. Враховуючи часову вартість грошей, нарощена сума еквівалентна (при даній відсотковій ставці) початковій сумі боргу. В залежності від того, яку суму боргу беруть за висхідну при нарахуванні відсотків (за базу нарахування), розрізняють декурсивні і антисипативні відсотки.

Декурсивні відсотки нараховуються на початкову суму боргу (за базу нарахування береться початковий борг). При нарахуванні антисипативних відсотків за базу нарахування враховують суму боргу у майбутньому.

Антисипативні відсотки використовують у банківському обліку (обліку векселів).

6. Розрізняють також прості та складні відсотки.

Якщо сума, до якої застосовується відсоткова ставка одна і та ж (стала база нарахувань), то нарахування здійснюється за простими відсотками і відсоткова ставка називається простою. Якщо відсотки за попередній період приєднуються до суми боргу і на отриману суму знову нараховуються відсотки, то говорять про складні відсотки. Відсоткова ставка в цьому випадку називається складною.

Основні алгоритми нарощення за простими відсотковими ставками [32]:

P - сума грошей (капітал), що даються в борг;

Власник капіталу (кредитор) отримує відсоткові гроші І як доход;

і - відсоткова ставка віднесена до якогось періоду (рік, півріччя, квартал, місяць, день);

n - термін угоди, виражений у періодах, зазвичай за період - це рік. В подальшому вважаємо, що і - річна відсоткова ставка, n - термін угоди в роках;

Відсоткові гроші за n років на постійну суму Р за простою відсотковою ставкою розраховуються за формулою:

І = n* Р* і (1.1)

Тому нарощена сума S за простими відсотками (сума боргу на момент закінчення угоди через n років) дорівнює

S = P + n P i = P (1 + n* i) (1.2)

Множник (1+n*i) називають множником нарощення за простою відсотковою ставкою. Він показує у скільки разів нарощена сума більше початкової суми боргу.

У формулі (1.2) за базу нарахування береться початкова сума боргу Р, а відсотки, що нараховані за ставкою і згідно (1.2), називаються декурсивними.

Якщо термін угоди n менше чи більше цілого числа років, то його представляють у вигляді дробового числа як:

(1.3)

де t - кількість днів позики;

К - взята для розрахунку кількість днів у році (360/365/366);

К - називається часовою базою року.

Тобі формула (1.2) при заданій річній ставці простих відсотків i набуває вигляду

(1.4)

У фінансових угодах відсоткові ставки можуть встановлюватись окремими для різних часових періодів нарахування m.

Тоді нарощену суму S при простих відсотках знаходимо за формулою

(1.6)

де - індивідуальна проста відсоткова ставка для окремого часового періоду (.

Нарахування складних річних відсотків використовуються тоді, коли відсотки одразу після нарахування не сплачуються, а приєднуються до суми боргу. База для нарахування складних відсотків збільшується з кожним кроком у часі. Нарощення за складними відсотками є послідовне реінвестування коштів, які вкладені на один період під простий відсоток.

Капіталізація відсотків - це приєднання відсотків до суми, яка є базою для нарахування в наступному періоді. При застосуванні складних відсотків відбувається їх капіталізація [33].

В практичних питаннях застосовують дискретні складні відсотки. У теоретичних питаннях фінансового аналізу мають місце і неперервні відсотки. Формула нарощення за складними відсотками має вигляд:

 (1.7)

де - тривалість періодів нарощення реінвестованої суми депозиту;

- відсоткові ставки в кожному з періодів нарощення.

Якщо періоди та ставки однакові, то формула (1.7) перетворюється до наступного вигляду - формули нарощення за складними відсотками:

(1.8)

Вираз зветься множником нарощення за складними відсотками.

Якщо використовуються змінні з часом ставки, то нарощення за складними відсотками відбувається за формулою:

(1.9)

При нарахуванні складних відсотків кілька раз на рік, формула нарощення перетворюється в:

(1.10)

де n - тривалість угоди в роках;

N=m*n - загальна кількість періодів нарахування та капіталізації складних відсотків.

Річний множник нарощення за номінальною річною ставкою j дорівнює:

 (1.11)

При збільшенні m темп нарахувань зростає, тому що капіталізація відбувається частіше. У зв'язку з цим вводять поняття ефективної відсоткової ставки при складному нарахуванні відсотків , яка обраховується за еквівалентним рівнянням - проста еквівалентна річна ставка дорівнює складній ставці відсотків, нараховуємій кілька раз на рік:

(1.12)

(1.13)

Процедура з простими та складними відсотками, обратна нарощенню, називається дисконтуванням [47]. Оскільки гроші втрачають вартість з часом, то дисконт D завжди додатний. Крім того, оскільки час у фінансових угодах враховується відсотками, то дисконт дорівнює відсоткам, нарахованим на суму Р:

(1.14)

Застосовують два види дисконтування: математичне дисконтування та дисконтування в банківському обліку.

Математичне дисконтування розраховується при операції відшукання теперішньої суми боргу Р за відомою кінцевою сумою S момент часу кінця позики n. Тоді при застосуванні простої відсоткової ставки i:

та, відповідно, дисконт (1.15)

Множник зветься дисконтним множником простих відсотків при математичному дисконтуванні.

При операціях банківського обліку (облік векселів) передбачає відшукання теперішньої суми вартості фінансового інструмента Р (боргу за векселем), якщо відома вартість векселя по номіналу S, яка буде сплачена у майбутньому.

Тоді проста облікова ставка d дисконтування майбутньої суми векселя S до теперішньої вартості векселя Р розраховується як:

(1.16)

яка відрізняється від простої ставки нарощення базою знаменника, відповідно дисконтні відсотки є дисипативними.

Іноді треба вирішувати обернені задачі знаходженні i, n, d за відомими S та P при нарощенні та дисконтуванні за простою відсотковою ставкою.

а) про пошуку терміну угоди в цілих роках:

при нарощенні при дисконтуванні (1.17)

б) про пошуку терміну угоди в днях:

при нарощенні при дисконтуванні (1.18) (де К=360, 365, 366 днів)

Математичне дисконтування за складною відсотковою ставкою відбувається рішенням оберненої задачі процесу нарощення за формулами (1.8) - (1.10) [47]:

 (1.19)

(1.20)

називається дисконтним множником складних відсотків.

Якщо відсотки нараховуються m разів на рік за номінальною ставкою j, то:

(1.21)

Банківський облік фінансових інструментів з дисконтом (векселі, застави) за складною обліковою ставкою d_c проводять за формулою:

(1.22)

При цьому дисконт, який отримує банк, дорівнює:

(1.23)

Якщо дисконтування відбувається m разів на рік при номінальній обліковій ставці f, то:

(1.24)

Ефективна облікова ставка дисконтування d_e - це така річна ставка, застосування якої застосуванні номінальної f при кількаразовому дисконтуванні на протязі року:

(1.25)

Еквівалентність відсоткових ставок застосовується при розрахунках змін умов контрактів. У фінансових розрахунках використовуються різні відсоткові ставки. Якщо ці ставки у конкретних умовах угоди призводять до одного і того ж фінансового результату, то вони називаються еквівалентними [33].

Для учасників операції не має значення які ставки будуть використані в угоді, якщо ці ставки еквівалентні. Виведемо кілька співвідношень еквівалентності простих, простих і складних, складних ставок.

Еквівалентність простих ставок відсотків і облікової. З рівності множників нарощення та дисконтування при [33]:

- рівних сумах майбутньої S та теперішньої Р вартості фінансового інструмента;

- рівного строку n нарощення чи дисконтування, випливають наступні співвідношення еквівалентності ставок в прямій (нарощення) та оберненій (дисконтування) задачах розрахунків:

1. Еквівалентність простої ставки відсотків нарощення та облікової ставки відсотків дисконтування

(1.26)

(1.27)

2. Еквівалентність простої i_п та складної i_с ставок нарощення:

(1.28)

(1.29)

3. Еквівалентність складної відсоткової ставки при нарощенні ic та складної облікової при дисконтуванні d_c

(1.29)

(1.30)

В депозитно-кредитній діяльності банків важливе місце займають операції прямої (депозитної) та оберненої (кредитної) фінансової ренти, або ануїтету [47].

При прямій фінансовій ренті, клієнт - власник коштів вносить їх рівними частинами на депозит в банк через рівні проміжки часу з нарахуванням відсотків за схемою складних відсотків, тобто нараховані банком за проміжок часу між черговим внесенням клієнтом додаткової частини депозиту відсотки автоматично добавляються до суми депозиту і у наступний період на них також нараховуються відсотки. В кінці строку фінансової накопичувальної ренти банк повертає клієнту накопичену суму депозитних внесків та нарахованих відсотків по складній процентній ставці.

Розглянемо моделі потоків щорічних постійних платежів з нарахуванням відсотків на платежі в кінці кожного року (постнумерандо) за складною відсотковою ставкою і_с. [47].

Сума першого платежу (члену ренти) S₁ з нарощеними на нього за весь строк ренти n відсотками розраховується за формулою:

 (1.31)

де n - кількість платежів постійною величиною R

Для другого платежу, для якого відсотки нараховуються на 1 рік менше, відповідно отримуємо:

(1.32)

На останній платіж, виконаний в кінці останнього n-го року, відсотки не нараховуються:

(1.33)

Тоді для всієї нарощеної суми ренти отримаємо:

(1.34)

Коефіцієнт нарощення такого виду ренти сумою членів геометричної прогресії та дорівнює:

(1.35)

Відповідно [47], нарощена майбутня сума ренти розраховується як:

(1.36)

А теперішня вартість нарощеної майбутньої сума ренти розраховується як:

(1.37)

Майбутня вартість S р-термінової ренти (де р - кількість внесків членів ренти на протязі року постнумерандо) з m - разовим нарахуванням відсотків на рік по номінальній ставці i_c розраховується по формулі:

(1.38)

(1.39)

Теперішня вартість А р-термінової ренти (де р - кількість внесків членів ренти на протязі року постнумерандо) з m - разовим нарахуванням відсотків на рік по номінальній ставці i_c розраховується по формулі:

(1.40)

Або, враховуючи, що коефіцієнт дисконтування ренти постнумерандо розраховується як:

(1.41)

а коефіцієнт нарощення ренти постнумерандо розраховується як:

(1.42)

Маємо другу формулу розрахунку через ставку дисконтування (відносно нарощеної суми S) для ренти постнумерандо:

(1.43)

Для рент «пренумерандо», коли внески R-членів ренти виконуються на початок року (перший член ренти - в «нульовий момент») формули нарощеної та дисконтованої до теперішнього часу вартості рент будуть:

(1.44)

 (1.45)

(1.46)

При оберненій фінансовій ренті клієнт та банк міняються місцями. Банк в початковий момент видає клієнту суму кредиту («тіло кредиту») та обумовлює технологію її повернення [47]:

- або однією сумою у розмірі 100% виданого «тіла кредиту» в кінці строку кредитного договору з одиночним нарахуванням простої відсоткової кредитної ставки сплати клієнтом коштів нарахованих відсотків за користування кредитом. В такій схемі банк працює тільки з одним клієнтом і весь доход від надання кредиту надходить тільки від клієнта;

- або однією сумою у розмірі 100% виданого «тіла кредиту» в кінці строку кредитного договору з періодичним нарахуванням та сплатою клієнтом простої відсоткової кредитної ставки сплати клієнтом коштів нарахованих відсотків за користування кредитом. В такій схемі банк, вкладуючи нараховані та сплачені відсотки в новий кредит, працює з декільками клієнтами, отримуючи відсотковий дохід по кредиту по складній відсотковій ставці;

- або поверненням рівними частками «основного тіла» кредиту клієнтом в банк з нарахуванням банком простих відсотків на суму залишку непогашеної суми кредиту попереднього проміжку, тобто в банк рівними частками поступає грошовий потік «тіла кредиту», а відсотки нараховуються на неповернутий залишок «тіла кредиту», який весь час зменшується. В такій схемі банк, вкладуючи частково отримані суми «тіла кредиту» та нараховані і сплачені відсотки в нові кредити іншим клієнтам, отримує сукупний дохід від експлуатації повного «тіла кредиту» від декількох клієнтів (кожний сплачує відсотки за свою частину «тіла кредиту»), при цьому кожний із клієнтів працює з банком по своїй схемі повернення боргу по простій ставці нарахування відсотків, яка для банку перетворюється в складну ставку за рахунок додаткового вкладення відсотків в нові кредити.

При плануванні погашення боргу визначають періодичні виплати, які називають терміновими виплатами. Термінова виплата складається з суми погашення основного боргу і відсоткових платежів.

Умови кредитування містять: термін позики, тривалість льотного періоду, рівень відсоткової ставки, метод погашення відсотків і основної суми.

За методами погашення боргу всі позики ділять на види [47]:

- Позика без обов'язкового погашення. Боржник сплачує лише відсотки, не повертаючи позиченої суми.

Прикладами такої позики є випуск акцій, облігацій.

Розрахунок проводиться за формулами вічної ренти.

- Позика з обов'язковим погашенням в один строк. Боржник повертає позичену суму у домовлений строк і сплачує відсотки.

- Позика з обов'язковим погашенням у декілька строків. Боржник повертає позичену суму частинами і сплачує відсотки.

Для боржника і кредитора на кожний момент виплат по боргу важливо знати залишок по сплаті основного боргу і відсотків по ньому. Для цього треба складати план погашення боргу.

Розглянемо планування погашення боргу при погашенні у декілька термінів. При цьому існує три способи погашення: рівними сумами основного боргу, рівними терміновими сплатами, змінними терміновими сплатами.

Розглянемо планування погашення боргу при погашенні у декілька термінів. При цьому існує три способи погашення: рівними сумами основного боргу, рівними терміновими сплатами, змінними терміновими сплатами [39].

1. Погашення боргу рівними терміновими сплатами.

Нехай D - сума боргу, g - ставка складних відсотків по боргу, Y - термінова сплата, n - термін боргу (у роках). Сплачується стала термінова сплата Y. Частина йде у погашення боргу, частина - у погашення відсотків.

(1.47)

- залишок боргу на початок періоду t,

R- сплата основного боргу в періоді t.

Нехай заданий термін позики n.

Тоді і - по формулі ренти (1.37) - прирівнюємо суму боргу теперішній величині сплат по ньому. Отримуємо

(1.48)

і послідовно знаходимо з врахуванням (1.48)

 (1.49)

Традиційна іпотечний кредит погашується рівними щомісячними терміновими сплатами.

Для розрахунку величини щомісячної сплати використаємо формулу (80), перетворивши її відповідним чином:

(1.50)

де D - сума боргу,

Y - термінова сплата,

p=m - кількість періодів нарахування відсотків у році і кількість сплат

у році,

n - кількість років кредиту.

Розрахунок суми основного боргу, що залишився у t-ому періоді проводять по формулі:

(1.51)

1.2 Фінансова математика на страховому ринку

Основні елементи фінансової математики, застосовувані при страхуванні життя [42]:

- Теперішня і майбутня вартість грошей у часі та фактори, що впливають на зміну вартості грошей у часі;

- Способи визначення теперішньої і майбутньої вартості грошей;

- Простий і складний процент, простий і складний дисконт;

- Поняття про ануїтет (ренту) і його вартість.

З економічної теорії відомо, що гроші є загальноприйнятим еквівалентом вартості усіх товарів, специфічним товаром, який має здатність обмінюватися на інші товари (послуги). Як різновид товару, гроші піддаються тим же впливам, що і товари з натуральною формою. Основними факторами зменшення вартості грошей є: 1) інфляція; 2) ризиковість операцій (невпевненість у майбутньому); 3) зниження здатності до ліквідності.

Для визначення майбутньої вартості грошей застосовується показник норми доходності у вигляді процента. Знаючи вкладену (інвестовану) суму грошей і норму доходності, можна визначити майбутню вартість грошей. Такий процес називається опроцентуванням, а різновидів процента є два: простий і складний.

Майбутня вартістю грошей у вигляді банківського депозиту (вкладу) за простим процентом і визначається за формулою [47]:

(1.60)

де: PV - початкова сума вкладу;

і - норма доходності у відсотках;

n - період вкладення, роки.

Якщо ж вкладник (інвестор) не вилучатиме щорічний відсотковий доход, а буде його приєднувати на тих же умовах до початкової суми вкладу, то завдяки цьому відбуватиметься щорічне зростання (капіталізація) вкладеної суми.

Таке збільшення називається складним процентом або майбутньою вартістю за складним процентом () і визначається за формулою [47]

(1.61)

де: PV - початкова сума вкладу; і - норма доходності у відсотках;

n - період вкладення, роки.

Величина називається множником складної акумуляції (капіталізації) і означає вартість 1 гривні наприкінці n-ного періоду інвестування.

Отже, за допомогою опроцентування (у першу чергу складного) можна визначити майбутню вартість грошей, тобто збільшення капіталу внаслідок приєднання до нього додаткового (інвестиційного) доходу. Тепер розглянемо обернену задачу, тобто визначимо початкову вартість капіталу, знаючи його кінцеву (майбутню) вартість. Такий процес називається дисконтуванням, а різниця між кінцевою (FV) і початковою (PV) вартістю називається дисконтом (D). Таким чином, D=FV - PV i PV можна вважати теперішньою, або здисконтованою вартістю майбутнього капіталу FV.

Виходячи з того, що дисконтування є оберненою операцією до опроцентування, формули простого і складного процента застосовуються для визначення простого і складного дисконта.

З формули простого процента (1.60) виводиться формула простого дисконта PV₁ [47]:

,

а якщо FV₁ винести за дужки, отримаємо

. (1.62)

Вираз називається простим дисконтним множником і переважно позначається буквою v_n або v.

Подібно виводиться формула складного дисконта PV₂. Із формули (1.61) складного процента маємо , а винісши за дужки, отримаємо [47]:

. (1.63)

Вираз або, що те ж саме, , називається складним дисконтним множником і переважно позначається буквою .

Таким чином, дисконтний множник дозволяє визначити суму грошей, яку необхідно внести сьогодні, щоб через певний період часу мати грошовий фонд згаданих (потрібних) розмірів. Тим самим з його допомогою визначається теперішня вартість цього фонду. Цей множник (практики-актуарії часто називають його «дисконт» або «дисконтний множник») завжди менший від одиниці, але більший від нуля внаслідок того, що в його чисельнику завжди одиниця, а знаменник більший за одиницю. По суті справи, дисконтний множник є знижувальним коефіцієнтом, який зменшує теперішню вартість грошей, знижує страховий платіж і вказує, яку його частину повинна приєднати страхова компанія за рахунок інвестиційного доходу.

Виведемо ще одну формулу для визначення теперішньої вартості грошей на підставі процентної величини дисконта d. Цей показник визначається аналогічно величині процента за формулою [47]:

 (1.64)

При простому проценті визначається за формулою (1.62) . Дисконтована вартість на підставі d буде визначатись за формулою

. (1.65)

Дисконтний показник d та процентний показник і будуть відповідними, якщо обидва дадуть ту ж саму дисконтовану вартість PV вкладу (суми) FV. Тому прирівнявши формули (1.62) і (1.65) отримаємо

,

а звівши їх до спільного знаменника і прийнявши, що n=1, маємо

. (1.66)

Підставивши значення у формулу (1.63), отримаємо

. (1.67)

При нарощенні (капіталізації) за складними відсотками зміна початкової суми P відбувається періодично, через певні проміжки часу. Такий процес у математиці називається дискретним (переривчастим). Нарощення страхової суми внаслідок сплати страхових внесків відбувається за арифметичною прогресією, а нарощення інвестиційного доходу за складними відсотками - згідно з геометричною прогресією. Остання за значної кількості періодів нарахування (випадків або років) дає відчутний результат.

У страхуванні нарахування складних відсотків здійснюється щомісяця або щоквартально на підставі річної ставки інвестиційного доходу [43]. Річна ставка, що застосовується для цього, називається ефективною. Якщо ж відсотки нараховуються кілька разів на рік, то річна ставка буде називатися номінальною, а ставка за період нарахування (квартал, місяць) дорівнюватиме відношенню номінальної ставки до кількості випадків нарахувань за рік. Тоді кількість періодів нарахувань (випадків) становитиме , де m - кількість нарахувань відсотків за рік, а Т - період дії договору в роках. Нарощена за допомогою відсотків сума буде визначатися за формулою (2.2) складного дисконту , яку видозмінимо, підставивши замість і, а - замість n. Тоді формула (1.61) набере вигляду [43]:

. (1.68)

За однієї тієї ж номінальної процентної ставки, але за різної частоти нарахування процентів результати будуть відрізнятися: зі збільшенням кількості випадків нарахувань абсолютний річний дохід зростає. Номінальна процентна ставка не може служити вимірювачем ефективності фінансових операцій. Тому для оцінки фінансових проектів із нарахуванням складних процентів кілька разів на рік застосовують ефективну процентну ставку, яка дозволяє побачити, яка річна ставка простих процентів дозволить досягнути такого ж фінансового результату, як і m - кратне нарощення за ставкою .

Більшість із наведених формул широко застосовується в банківській і страховій справі. У банках ці формули застосовуються для визначення сум процентів за кредит і для встановлення початкових або кінцевих (нагромаджених) грошових сум. У страхуванні формули дисконтного множника застосовуються при визначенні тарифних ставок зі страхування життя.

Ануїтет (фінансова рента) і його вартість [42].

Під час страхових операцій, зокрема операцій зі страхування життя, здійснюється багаторазова сплата страхових внесків, а потім багаторазова виплата страхових сум. Цей процес у фінансовій математиці має назву ануїтет (фінансова рента).

Сукупність ряду розподілених у часі платежів називають потоком платежів, або грошовим потоком (найбільш поширені назви англійською мовою сash flow або flow of payments). Найпростіший приклад такого потоку, у якому часові інтервали між двома послідовними платежами є однаковими (постійними), називають ануїтетом, або фінансовою рентою. Ануїтети можуть мати як надходження (платежі), так і витрати (виплати) коштів, тобто в них існують вхідні (зі знаком «плюс») і вихідні (зі знаком «мінус») грошові потоки [45].

У пенсійному страхуванні життя має місце також розділене використання ануїтетів: спочатку іде нагромадження страхової суми, потім - її використання.

Регулярні платежі або виплати називаються членами ренти і якщо вони однакові за розмірами, то такий ануїтет називають постійним, а якщо члени різні за величиною, то ануїтет називають змінним.

За ймовірністю виплати окремого платежу ануїтети поділяються на безумовні (гарантовані) та умовні, виплата яких відбувається після виконання певної умови, у пенсійному страхуванні - досягнення певного віку тощо. Останні ануїтети найчастіше називають «страховими рентами».

Залежно від часу сплати (внесення) платежів (у страхуванні життя - сплати внесків) ануїтети діляться на ануїтети п р е н у м е р а н д о (звичайні) і ануїтети п о с т н у м е р а н д о (приведені) [45]. Перші - це послідовність страхових платежів або виплат, які здійснюються на початку обумовленого періоду - місяця, кварталу, року; другі - це послідовність страхових платежів або виплат, які здійснюються наприкінці кожного обумовленого періоду часу - місяця, кварталу, року. Річні ануїтети - це послідовність страхових платежів або виплат, що здійснюються один раз на рік. Ренти також діляться на негайні, якщо їх виплата здійснюється безпосередньо після укладення договору, і відтерміновані (відкладені, відстрочені), якщо їх виплата розпочинається через обумовлений період після укладення договору. За тривалістю виплати розрізняють термінові (певні або конкретні), що виплачуються певну кількість часу (рік, п'ять чи десять років) і безтермінові або вічні ренти, термін виплати яких необмежений. У страхуванні життя останні отримали назву «пожиттєвих рент», які виплачуються до смерті застрахованої особи.

За математичною природою більшість страхових ануїтетів є арифметичною прогресією з обмеженою кількістю членів. Частина страхових ануїтетів є арифметичною прогресією з невизначеною кількістю членів («вічні ренти»).

Теперішня вартість страхових ануїтетів визначається в розрахунку на одну грошову одиницю ануїтетів постнумерандо. Інші можливі варіанти платежів - піврічні, щоквартальні і щомісячні як постнумерандо, так і пренумерандо визначаються через річні ануїтети постнумерандо.

Дійсна вартість страхових ануїтетів постнумерандо на час укладення договору страхування життя (тобто теперішня вартість) для застрахованої особи певного віку розраховується за допомогою комутаційних чисел.

Для розрахунку фінансових рент (аннуїтетів) вводять такі параметри [45]:

(R) - член ренти - величина окремого платежу;

період ренти - інтервал часу між платежами;

(і) - відсоткова ставка - ставка, що використовується при нарощенні, або дисконтуванні;

(n) - термін ренти - час від початку ренти до кінця її періоду;

(р) - кількість платежів на рік;

(m) - кількість нарахувань відсотків на рік.

Ренти класифікують за тривалістю періоду на річні, коли сплата здійснюється один раз на рік, та р-термінові, коли сплата р разів на рік рівними частинами. Відсотки по ренті теж можуть нараховуватись один раз і m разів на рік.

Якщо члени однакові, то рента зветься сталою. Якщо - різні, то рента змінна. Рента зі скінченою кількістю членів зветься скінченою. Рента з нескінченною кількістю членів - нескінченою.

Коли сплата відбувається в кінці періодів, то це - рента постнумерандо. Коли на початку періодів, то - рента пренумерандо.

Рента називається терміновою, якщо сплати по ній починаються з початком ренти. Рента - відкладена, коли сплата починається пізніше.

Узагальненими характеристиками ренти є нарощена сума і теперішня величина. Нарощена сума S - сума усіх членів ренти з нарахованими на них відсотками на кінець терміну ренти. Теперішня величина A - сума усіх членів ренти дисконтованих на початок ренти.

Загальною рентою називається рента, у якій член ренти сплачується р разів на рік рівними частинами, а нарахування відсотків відбувається m разів на рік. Як показано у пункті 1.1, нарощена сума S ренти і теперішня величина А знаходяться за формулами [45]:

(1.69)

 (1.70)

При вирішенні практичних задач пенсійного страхування використовуються наступні формули [44]:

а) Якщо S, A, R, i відомі (задані), то термін накопичувального етапу ренти n в роках:

, або (1.71)

б) При визначенні доходності операцій з періодичними сплатами виникає задача знаходження ставки i ренти.

Щоб знайти ставки i ренти треба розв'язати рівняння при відомих S, R, n, A відносно i:

, або (1.72)

Для знаходження наближеного розв'язку цих рівнянь ітераційними методами Ньютона, подамо їх у вигляді [46]:

Приймаюче перше наближення i₀ з практичних міркувань, знаходимо значення i з заданою точністю ітераційним рішенням рівнянь Ньютона [46]:

(1.73)

(1.74)

У теорії і практиці пенсійного страхування виділяють дві групи (класи) договорів страхування пенсії, які можуть існувати як окремо, так і в тій чи іншій комбінації: 1) страхування на дожиття (endowment); 2) довічне страхування (whole life insurance); 3) страхування життя з виплатою аннуітетів.

Пенсійне страхування на дожиття передбачає виплату вигодонабувачеві встановленої за договором страхування страхової суми, якщо застрахована особа доживе до пенсійного віку, встановленого за договором [45].

Накопичувальна складова за цим договором формується не лише за рахунок інвестування страховиком акумульованих коштів, але й за рахунок перерозподілу коштів застрахованими за цим видом страхування, тобто всі особи, які не дожили до закінчення чинності договору, частково покривають своїми накопиченими коштами суму виплачуваних забезпечень для тих, хто дожив до цієї дати. Власне тариф із пенсійного страхування на дожиття для конкретної особи формується трьома основними чинниками: віком застрахованого, прогнозом динаміки смертності для всього кола застрахованих у даній компанії та інвестиційними можливостями в ринковій ситуації, яка склалася. Найбільш проста форма пенсійного договору на дожиття - це бездохідний договір на дожиття, за якого ставки страхових премій і страхові виплати фіксовані. Варіанти виплат досить різноманітні: це може бути і одноразова сума, і фіксована рента, і комбінований варіант виплат.

Довічне пенсійне страхування передбачає виплату вигодонабувачеві страхової суми, встановленої за договором страхування, у випадку смерті застрахованої особи, безвідносно того, коли смерть настала. Довічне пенсійне страхування відносить до окремої групи (класу) договорів страхування життя у вигляді страхування з виплатою аннуітетів. Аннуітети являють собою, як правило, щомісячні виплати особі, встановленій за договором страхування як отримувач цих виплат (вигодонабувач, annuitant). Аннуітети в практиці страхування життя являють собою накопичувальний інструмент, що реалізується спочатку через акумуляцію аннуітетного фонду з умовою його наступного регулярного використання протягом певної кількості років [44].

За типовим договором довічного страхування протягом встановленого договором періоду страхувальник платить однакові страхові внески [45]:

а) Довічне страхування з обмеженим періодом сплати внесків (limited-payment whole life). Страхувальник самостійно визначає період сплати внесків: заплатити всю суму внеску одноразово чи платити протягом всього життя. Період сплати виражається в майбутній кількості повних років життя страхувальника (5, 10, 20), необхідних до досягнення пенсійного віку.

б) Інвестиційне довічне страхування (interest-sensitive whole life). Виплата бонусів не передбачається, а весь інвестиційний дохід автоматично спрямовується на приріст лицьової вартості. Механізм такий: страхувальник сплачує внесок, з якого вираховуються витрати з управління договором, залишок додається до накопичувального фонду на кінець попереднього року, і на всю суму нараховується дохід із норми доходності для даного виду страхування у даній компанії, потім вираховуються витрати зі сплати внеску на страхування на випадок смерті. Залишок і є лицьовою вартістю полісу. В цьому випадку завжди існує різниця між лицьовою вартістю полісу і його викупною сумою на користь лицьової вартості. Виділяють інвестиційне довічне страхування з низьким і високим щорічним доходом. Договір страхування з низьким щорічним внеском передбачає право страхувальника переглянути страховий тариф по закінченні гарантійного періоду. Для тих, хто уклав договір з підвищеним внеском, всі коливання тарифу відображаються на лицьовій вартості полісу без участі страхувальника.

в) Перемінне довічне страхування (variable whole life insurance). Договір перемінного довічного страхування за своїм економічним змістом і за схемою обігу капіталу відрізняється від усіх інших. Із суми внеску вираховуються витрати страховика на ведення справ, внесок на випадок смерті, а залишок інвестується на індивідуальний накопичувальний рахунок страхувальника. Страховик пропонує певний набір інвестиційних засобів, а від успішності інвестування залежить приріст лицьової вартості полісу і страхової суми на випадок смерті. При цьому всі інвестиційні ризики несе страхувальник, а страховик гарантує мінімальний розмір страхової суми на випадок смерті. Така мінімальна сума збільшується, якщо активи на накопичувальному рахунку зростають з певною нормою доходності. Страховик не гарантує відносної величини лицьової вартості полісу, а весь інвестиційний доход додається до неї, минаючи механізм бонусів.

г) Універсальне довічне страхування (universal whole life insurance). Це вид довічного страхування передбачає можливість вибору різних схем розрахунку страхової суми, гнучку систему сплати страхових внесків, широкі інвестиційні можливості, за винятком участі страхувальника в прийнятті інвестиційних рішень. Розрізняють дві методики перерахунку страхової суми на випадок смерті. За першою з них сума не змінюється протягом всього строку чинності договору, але якщо лицьова вартість полісу наближується до страхової суми, то діє положення договору, яке передбачає покупку додаткових одиниць страхування. Це зроблено для того щоб не дати договору довічного страхування перетворитися в договір страхування на дожиття. За другою методикою страхова сума постійно зростає на величину приросту лицьової вартості, тобто постійно набуваються нові одиниці страхування на суму приросту лицьової вартості. Договір містить умову про «періодичний страховий внесок, що планується», яка дозволяє договору залишатися в силі навіть при негативній лицьовій вартості. Страховик зобов'язується не розривати договір страхування, якщо страхувальник виплачує мінімально обумовлені суми. Період дії такого положення обмежений і потім потрібно збільшувати внески. Приріст страхової вартості здійснюється за звичайною схемою: страховик гарантує мінімальну норму доходності, а реальна сума оголошується за результатами року або залежить від доходності обраного фінансового інструменту. Поліс може включати цілий ряд додаткових умов: індексацію страхової суми на випадок смерті; виплату страхової суми у випадку смерті члена сім» і застрахованого; прискорений приріст страхової суми на випадок смерті; можливість тимчасово перейти на сплату внеску лише за строковим страхуванням життя.

д) Страхування життя з виплатою аннуітетів. У розвинених країнах також застосовують ще один вид страхування, який винятково належить до накопичувальних видів пенсійного страхування. Цей вид страхування називають страхуванням ренти або пенсійним страхуванням. Договір покликаний забезпечити в старості або за інших обставин збереження того рівня доходу, який можливий під час активної трудової діяльності. При дожитті страхувальника до певного строку, встановленого в договорі, страховик зобов'язується виплачувати страхувальнику страхове забезпечення в певній сумі з певною періодичністю протягом певного часу.

Зобов'язання страховика з виплати страхової суми настають, тільки коли страхові внески сплачені страховиком повністю. Виділяють два періоди чинності договору: період сплати страхових внесків і період сплати страхових аннуітетів. Іноді між ними може бути вичікувальний період (період відстрочки).

Виділяють три основні види пенсійних аннуітетів: а) негайний довічний аннуітет; б) відстрочений довічний аннуітет; в) перемінний аннуітет (негайний або відстрочений) [45]:

а) Негайний довічний аннуітет. Страхова премія сплачується страхувальником одноразовим платежем, і зобов'язання страховика зі страхової виплати здійснюється негайно із встановленою періодичністю. Варіантом негайного аннуітету є гарантований аннуітет, в якому обумовлюється мінімальний період виплат. Він виплачуватиметься протягом гарантованого строку або всього життя залежно від того, що триватиме довше. Якщо застрахована особа помирає протягом гарантованого періоду, то залишок гарантованої суми буде виплачено спадкоємцям.

б) Відстрочений довічний аннуітет. Страхувальник може сплачувати страхові внески протягом певного періоду або одноразово. Такий варіант передбачає наявність вичікувального періоду між закінченням періоду сплати внесків і початком виплати аннуітетів. Можна встановити право спадкоємця на викупну суму у випадку смерті страхувальника в очікувальний період.

в) Перемінний аннуітет (негайний або відстрочений). Страховик виплачує аннуітети лише протягом певного періоду часу. В договорі обумовлюється строк закінчення виплат. Договір страхування може бути укладено на умовах спільного страхування життя та аннуітет для останнього, хто пережив. Такий поліс зручний для подружніх пар, коли після смерті одного з подружжя виплати зберігаються повністю або незначно зменшуються. Страховики також пропонують аннуітети із зростаючою сумою, аби знизити вплив інфляції. Цей вид страхування користується значною популярністю в розвинених країнах, позаяк є найбільш доступним із найбільш надійних способів забезпеченої пенсії, бонуси за цим видом страхування часто не обкладаються податками, а доходність майже на 2% вища, ніж за іншими вкладеннями

Математичні співвідношення для визначення розмірів пенсійних внесків і виплат математично описують потоки платежів і балансові співвідношення для змішаних довічних і накопичувальних термінових пенсійних схем [45].

Сучасна вартість суми пенсійних виплат на початок періоду пенсійних внесків (накопичувального періоду) визначається як сума дисконтованих майбутніх пенсійних виплат. Процес виведення формули (вираження) для розрахунку сучасної вартості суми пенсійних виплат ілюструється діаграмою, представленої на рис. 1.1 [45].

У перший рік виплат додаткової пенсії по старості учасникові, що вступив у Фонд у віці t₀ років і вийшов на пенсію у віці t₁ років, Фонд повинний виплатити пенсію в розмірі:

(1.75)

де - i₁ - норма індексації розміру пенсійних виплат у перший рік періоду пенсійних виплат.

Сучасна вартість цього платежу (приведена за методом пренумерандо до моменту t₀) дорівнює [45]:

(1.76)

де: V - сума пенсійних виплат за рік

d_q - середня величина доходності операцій по розміщенню активів

НПФ у q - му по порядку році від початку року накоплення t₀;

n = t_i-t₀ - натуральне число;

t_i - поточний рік

t₀ - рік вступу учасника в пенсійний фонд (початок сплати періодичних внесків S до моменту виходу на пенсію t1);

У j-й рік періоду пенсійних виплат (j = t_w - t₁, де w - граничний вік дожиття, що відповідає максимальному вікові, приведеному в таблиці смертності, - для довічних схем, або вік, що відповідає закінченню періоду пенсійних виплат, - для термінових пенсійних схем) Фонд повинний виплатити учасникові пенсію в розмірі V*i_j, i_j - норма індексації розміру пенсійних виплат у j-й рік періоду пенсійних виплат.

Позначивши різницю (t₁-t₀) через n, запишемо вираження для сучасної вартості цього платежу [45]:

(1.77)

Вираження для розрахунку сучасної вартості пенсійних виплат може бути записане як:

(1.78)

де m = (t_w - t₁) - тривалість періоду пенсійних виплат.



Рис. 1.1. Діаграма схем процесу приведення вартості пенсійних виплат до моменту початку періоду пенсійного накопичення [45]

Однак отримане вираження для сучасної вартості суми пенсійних виплат не враховує імовірності платежів, зв'язані з імовірністю дожиття.

Імовірність пенсійних виплат дорівнює:

у перший рік періоду пенсійних виплат

(1.79)

де Р(t₁) - імовірність дожиття учасника до віку t₁ років, що став учасником Фонду в t₀ років (t₀< t₁); l(t₁) - середнє число людей, з вибірки в 100000 чоловік, що доживають до t₁ (дані з табл. дожиття або смертності); l(t₀) - середнє число людей, з вибірки в 100000 чоловік, що доживають до віку t₀(дані з табл. дожиття або смертності);

у j - й рік періоду пенсійних виплат

(1.80)

Таким чином, вираження для розрахунку сучасної актуарной вартості пенсійних виплат за період (t_w - t₁₎ з урахуванням їх імовірності може бути записане як [45]:

(1.81)

Не важко догадатися, що імовірності виплат у (1.81) визначені для страхових пенсійних схем, не передбачають спадкування пенсійних нагромаджень у накопичувальний період (до початку періоду виплат).

Сучасна вартість суми пенсійних внесків на початок накопичувального періоду визначається як сума дисконтованих усіх майбутніх пенсійних внесків на початок накопичувального періоду. Процес виведення формули (вираження) для розрахунку розглянутої сучасної вартості суми пенсійних внесків ілюструється діаграмою, представленої на рис. 1.2 [45].

Для особи, що стали учасником Фонду у віці t₀ років, сучасна вартість внесків за перший рік періоду пенсійних нагромаджень складе величину, рівну:

(1.82)

де S - сума пенсійних внесків за рік.

Сучасна вартість пенсійних внесків за другий рік періоду пенсійних нагромаджень з урахуванням інвестиційного доходу складе:

(1.83)

Сучасна вартість пенсійних внесків за j- й (j >2) рік періоду пенсійних нагромаджень обліком інвестиційного доходу складе:

(1.84)

Сучасна вартість пенсійних внесків за весь період пенсійних нагромаджень з урахуванням інвестиційного доходу складе:

(1.85)

Розміри пенсійних внесків і виплат визначаються шляхом рішення рівнянь, отриманих на основі виражень (1.78), (1.84) виходячи з принципу еквівалентності зобов'язань.

Зазначені рівняння мають вигляд відносно S] 45]:

 (1.86)

Рис. 1.2 Діаграма схем процесу приведення вартості пенсійних внесків до моменту початку періоду пенсійного накопичення [45]

(1.86)

З рішення рівняння відносно V одержуємо:

(1.87)

(1.88)

Для визначення розмірів пенсійних внесків і виплат з урахуванням заданої періодичності платежів необхідно величини S і V поділити на величину k, що є зворотною стосовно частоти розглянутого виду платежу (k=1 при частоті платежів - раз у рік, k=2 при частоті платежів - раз у півріччя, k=4 при частоті платежів - раз у квартал, k=12 при частоті платежів - раз на місяць).

Однак слід зазначити, що такий підхід до визначення розмірів внесків і виплат при k>1 допустимий тільки в тому випадку, коли інвестиційний доход нараховується раз у рік. У противному випадку необхідно враховувати задану періодичність нарахування інвестиційного доходу. Крім того, при розрахунку розмірів довічних виплат, здійснюваних частіше одного разу в рік, виникає проблема визначення імовірності дожиття для дробових віків.

2. Аналіз практичного застосування методів фінансової математики на фінансових ринках України

2.1 Приклади застосування методів фінансової математики в банківській діяльності

В якості прикладів застосування методів фінансової математики в банківській діяльності проведемо порівняльний аналіз ефективності для банку для ефективності для клієнта банку депозитних стратегій банку для наступних комерційних банків:

1. ПАТ ДКБ «Сбербанк Росії» (м. Київ) [50];

2. ПАТ АКБ «Приватбанк» (м. Дніпропетровськ) [49];

3. ПАТ АКБ «Кредит-Дніпро» (м. Дніпропетровськ) [48];

4. ПАТ АКБ «Ідея-Банк» (м. Львів) [51];

5. ПАТ КБ «Євробанк» (м. Київ) [53].

Проведений попередній аналіз пропозицій вищеозначених комерційних банків по депозитним програмам для фізичних осіб (в національній валюті) показав, що основними параметрами депозитів, якими управляє банк є наступні:

- строк депозиту;

- мінімальна сума депозиту;

- відсоткова ставка та порядок її застосування (нарахування відсотків щомісяця, нарахування відсотків по строку закінчення депозитної угоди);

- порядок виплати нарахованих відсотків (щомісячна виплата на окремий відсотковий чи безвідсотковий рахунок відсотків на протязі депозитної угоди, виплата відсотків по строку закінчення депозитної угоди, автоматичне перерахування за згодою клієнта нарахованих щомісячно відсотків на рахунок депозиту - схема нарахування складних відсотків);

- наявність в депозитній угоді умов дозволу довкладення додаткових коштів депозитів чи режим депозиту без довкладання;

- обумовленість режиму довкладання коштів до депозиту (мінімальна сума довкладання, обмеження на сумарний обсяг довкладання коштів до депозиту на протязі кожного місяця депозитної угоди, обмеження на довкладання коштів на протязі тільки першої обумовленої частини строку депозитної угоди).

Врахування вищенаведених регулюючих параметрів до депозитних угод суттєво змінює порядок визначення нарощеної суми депозиту для схем простих та складних відсотків, наведених в формулах (1.1) - (1.13), а також робить доцільним проведення методами фінансової математики ефективності пропонуємих банками депозитних програм для клієнта та для банка.

Мета депозитної програми для банка:

- залучення депозитних коштів за мінімальну ціну (мінімізація відсотків);

- конкурентоспроможність депозитної програми банку на банківському ринку України (відносно конкурентних пропозицій інших банків);

- створення штучних умов привабливості найбільш необхідних для банку по строкам депозитів.

Мета депозитної програми для клієнта банка:

- отримання максимального обсягу нарощеної суми депозиту;

- гарантія повернення депозиту та нарахованих відсотків;

- можливість вільного довкладення коштів до депозиту на протязі строку угоди;

- наявність додаткових банківських послуг до депозитної угоди (автоматичне перерахування відсотків на безплатну пластикову картку з можливістю отримання коштів в банкоматах, автоматичне перерахування нарахованих відсотків на рахунок депозиту по схемі складних відсотків, автоматичне перерахування нарахованих відсотків на окремий картковий поточний рахунок з нарахуванням відсотків по окремій шкалі).

В дипломному дослідженні з точки зору ефективності депозитних програм для банків та для клієнтів проведений аналіз з позицій клієнтів банку. При проведенні аналізу особлива увага зверталась на відповідність нарощених сум депозиту при схемах простих та складних відсотків.

Нарахування складних річних відсотків використовуються тоді, коли відсотки одразу після нарахування не сплачуються, а приєднуються до суми боргу. База для нарахування складних відсотків збільшується з кожним кроком у часі. Нарощення за складними відсотками (схема капіталізації відсотків) є послідовне реінвестування коштів, які вкладені на один період під простий відсоток.

Відповідно алгоритму, викладеному в формулах (1.1) - (1.13), нарощені суми депозитів S₁(T) - схема нарахування та виплати відсотків в кінці строку депозитної угоди та S₂(T) - схема щомісячного нарахування та автоматичного додавання нарахованих відсотків до суми депозиту з виплатою відсотків в кінці строку депозитної угоди для однакової суми початкового депозиту P₀ розраховуються як:

а) Для схеми простих відсотків, нараховуємих у кінці строку:

(2.1)

де Т - строк депозиту в місяцях;

i₁(T) - річна відсоткова ставка простих відсотків (в%) для строку Т депозита в місяцях.

б) Для схеми складних відсотків, нараховуємих щомісячно з автомати-ним довкладанням (на вимогу клієнта) нарахованих відсотків до суми початкового депозиту:

(2.2)

де Т - строк депозиту в місяцях;

i₂(T) - річна відсоткова ставка складних відсотків (в%) для строку Т депозиту в місяцях.

Враховуючи, що клієнт банку при щомісячному режимі нарахування відсотків має право вибрати або автоматичний режим до вкладення відсотків, або популярний режим щомісячної виплати банком нарахованих відсотків, банк в депозитній стратегії повинен запропонувати такі шкали ставок i₁(T) та i₂(T) для мінімізації своїх витрат, щоб:

(2.3)

звідки співвідношення шкал ставок i₁(T) та i₂(T) для всіх строків Т повинно задовольняти рівнянню:

(2.4)

При штучному порушенні банком умови (2.4) виникає або програш, або виграш клієнта при застосуванні режиму щомісячного нарахування відсотків по депозиту та автоматичному до вкладенні нарахованих відсотків на рахунок депозиту (по схемі складних відсотків).

1. ПАТ ДКБ «Сбербанк Росії» (м. Київ) [50].

В табл. 2.1 наведені умови вкладів з щомісячним нарахуванням відсотків та нарахуванням відсотків в кінці строку.