Геометрия Лобачевского

10

Тема: «Геометрия Лобачевского»

Выполнила: Зайнулина Г.

Г.Бишкек 2010

Н.И. Лобачевский и его геометрия

До начала XIX столетия ни одна из попыток доказательства V постулата не увенчалась успехом. Таким образом, проблема V постулата оставалась неразрешимой. И только в начале XIX в. были получены результаты, которые привели к решению этой проблемы. Основная заслуга в этом принадлежит знаменитому русскому ученому Н.И. Лобачевскому. Николай Иванович Лобачевский родился 2 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде (ныне г. Горький). Он окончил гимназию при Казанском университете, а затем и Казанский университет, после чего был оставлен там преподавателем. С 1816 г. Н.И. Лобачевский -- профессор того же университета, с 1827 по 1846 г. -- ректор университета. С 1846 по 1855 г.-- помощник попечителя Казанского учебного округа. Н.И. Лобачевский скончался 24 февраля 1856 г. В течение первых лет преподавательской деятельности в Казанском университете Н.И. Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат. Неудачи этих попыток и попыток его предшественников привели его к выводу, что V постулат не может быть выведен из остальных постулатов геометрии. Чтобы это доказать, Н.И. Лобачевский построил логическую систему, в которой, сохраняя основные посылки Евклида, он отвергает V постулат и заменяет его противоположным допущением. Он пришел к выводу, что эта логическая схема представляет собой новую геометрию, которая может быть развита так же успешно, как и геометрия Евклида. 7 февраля (по старому стилю) 1826 г. Н. И. Лобачевский представил физико-математическому факультету Казанского университета доклад по теории параллельных под названием «Рассуждения о принципах геометрии». В 1829 г. в «Ученых записках Казанского университета» он поместил статью «О началах геометрии». Это была первая опубликованная работа по новой геометрии. В последующие годы Лобачевский издал еще ряд сочинений по геометрии. В этих сочинениях он первым отчетливо сформулировал и обосновал утверждение о том, что V постулат Евклида нельзя вывести из остальных аксиом геометрии. Лобачевский развивает свою геометрию на плоскости и в пространстве до тех же пределов, до каких была развита Евклидова геометрия, включая и формулы тригонометрии. Эту новую геометрию он назвал «воображаемой» (впоследствии ее стали называть геометрией Лобачевского или гиперболической геометрией). Открывая все новые и новые факты, Лобачевский не встретил в своей геометрии каких-либо логических противоречий. Исследования, проделанные им, привели к убеждению, что его логическая схема свободна от логических противоречий. Желая показать, что его геометрия никогда не приведет к противоречию, Лобачевский дает ее аналитическое исследование и решает проблему непротиворечивости своей геометрии вполне удовлетворительно для того времени. Лобачевский показал, что его геометрия может быть с пользой приложена в математическом анализе: он вычислил много интегралов, которые до него не поддавались вычислению. Примерно в одно время с Н.И. Лобачевским теорией параллельных прямых занимались великий немецкий математик Гаусс (1777--1855) и выдающийся венгерский математик Я. Бояи (1802-- 1860). Но Гаусс не опубликовал ничего по теории параллельных, боясь, что его не поймут. После смерти Гаусса в его бумагах были найдены наброски отдельных наиболее простых теорем гиперболической геометрии. Я. Бояи опубликовал в 1832 г. (через три года после публикации Лобачевского и, не зная о последней) на латинском языке произведение «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности XI аксиомы Евклида...». В этой работе, составившей приложение к математическому трактату его отца Фаркаша Бояи, Янош Бояи изложил ту же теорию, что и Лобачевский, но в значительно менее развитой форме. Результаты Лобачевского оказались настолько необычными для математиков, воспитанных на идеях геометрии Евклида, что не были поняты большинством из его современников (и даже академиком М.В. Остроградским -- одним из крупнейших математиков XIX в.). Лишь после смерти Гаусса, когда была опубликована переписка Гаусса с некоторыми его друзьями-математиками, в которой содержались восторженные отзывы об исследованиях Лобачевского и Бояи, внимание математиков всего мира было привлечено к геометрии Лобачевского; появились многочисленные исследования, связанные с ней. Особое впечатление произвела работа Бельтрами «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии», опубликованная в 1868 г. В ней были указаны поверхности, на которых в малом осуществляется двумерная геометрия Лобачевского. Наконец, в 1871 г. знаменитый немецкий математик Ф. Клейн (1849--1925) в работе «О так называемой неевклидовой геометрии» доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем устранил последние сомнения в ее правомерности. Исследования Лобачевского получили широкое признание после его смерти. Оказалось, что работы Лобачевского по геометрии представляют собой новый этап в развитии естествознания (недаром английский математик XIX в. Клиффорд называл Лобачевского Коперником геометрии). До Лобачевского евклидову геометрию считали единственно возможным учением о пространстве. Работы Лобачевского опровергли такой взгляд, привели к широким обобщениям в геометрии и их важнейшим приложениям в различных разделах математики, механики, физики и астрономии. Выше было отмечено, что с научной точки зрения систему аксиом и постулатов Евклида нельзя признать вполне удовлетворительной, так как у Евклида при изложении геометрии приходится в ряде случаев использовать утверждения, которые явно не высказаны и не доказаны. В конце 60-х годов прошлого столетия перед математиками возникла задача построить такую систему аксиом элементарной геометрии, на базе которой, опираясь лишь на законы логики, без ссылок на наглядность и очевидность можно было бы изложить всю геометрию. Эта задача стала особенно актуальной после того, как идеи Лобачевского получили всеобщее признание и появились работы Б. Римана по эллиптической геометрии. В конце XIX и в начале XX в. появились многочисленные работы по обоснованию геометрии ряда таких крупнейших математиков, как Паш, Пеано, Пиери, Гильберт, Вейль и др. Наиболее исчерпывающими явились работы Гильберта и Вейля. Эти исследования оказали большое влияние на формирование аксиоматического метода, который применяется во всех разделах современной математики. Книга Гильберта «Основания геометрии», вышедшая в 1899 г., сыграла существенную роль в этой серии исследований. Она в 1903 г. была удостоена Международной премии имени Н.И. Лобачевского. В ней впервые дан список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой геометрии. Можно сказать, что с «Оснований геометрии» Гильберта начинается современный аксиоматический метод в математике. В следующих двух параграфах рассмотрим краткий обзор системы аксиом Гильберта.

Система аксиом Гильберта (обзор)

По Гильберту, предполагается, что даны три различных множества. Элементы первого множества называются точками, элементы второго множества -- прямыми, а элементы третьего множества -- плоскостями (основные объекты). Точки, прямые и плоскости обозначаются соответственно буквами А, В, С, ...; а, b, с, ...; б, в, г, …. Элементы этих множеств находятся в определенных отношениях, которые называются: «принадлежность», «лежать между» и «конгруэнтность» (основные отношения). Природа основных понятий, т. е. основных объектов и основных отношений, может быть какой угодно, но они должны удовлетворять определенным аксиомам, которые перечислены ниже.

Список Гильберта содержит 20 аксиом, которые разделяются на пять групп.

Группа I. Аксиомы принадлежности.

Аксиомы этой группы определяют свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, выражаемые словом «принадлежит» (или «лежит на», «проходит через»). Группа I содержит следующие восемь аксиом.

I₁. Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через эти точки.

I₂. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

I₃. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

I₄. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость б, проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

I₅. Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

I₆. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости б, то каждая точка прямой а лежит в плоскости б.

В этом случае говорят, что прямая а лежит в плоскости б или плоскость б проходит через прямую а.

I₇. Если две плоскости б и в имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.

I₈. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Исходя из этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большинство из которых в школьном курсе геометрии не доказываются, так как они наглядно очевидны. Перечислим некоторые из этих теорем.

1. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.

3. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4. На каждой плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Группа II. Аксиомы порядка.

Предполагается, что точка на прямой может находиться в известном отношении к двум другим точкам той же прямой; это отношение выражается словами «лежать между». Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то мы запишем так: А -- В -- С. При этом должны быть удовлетворены следующие четыре аксиомы.

II₁. Если А -- В -- С, то А, В, С -- различные точки одной прямой и С -- В -- А.

II_2.Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что А -- В -- С.

IIз. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

По Гильберту, отрезком АВ (или ВА) называется пара точек A и B. Точки А и В называются концами отрезка, а любая точка, лежащая между ними,-- внутренней точкой отрезка или просто точкой отрезка.

II₄ (аксиома Паша). Пусть А, В, С -- три точки, не лежащие на одной прямой, а а -- прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или ВС.

Можно доказать, что утверждение, сформулированное в аксиоме Паша, верно и в том случае, когда точки А, В и С лежат на одной прямой. Нетрудно также доказать, что если прямая а пересекает какие-либо два из трех отрезков АВ, ВС и АС, то она не пересекает третий из этих отрезков.

С помощью аксиом групп I и II доказываются многие факты геометрии и вводится ряд основных определений. Прежде всего можно доказать, что между любыми точками существует по крайней мере одна точка, а отсюда легко прийти к выводу, что любой отрезок (а следовательно, и любая прямая) содержит бесконечное множество точек. Заметим, однако, что с помощью аксиом I и II групп нельзя доказать, что это множество несчетное. В дополнение к аксиоме IIз можно доказать, что из трех точек прямой всегда одна точка лежит между двумя другими.

Аксиомы групп I и II позволяют ввести такие важные понятия геометрии, как понятия полуплоскости, луча и полупространства. В качестве примера введем понятие полуплоскости. Предварительно докажем следующую теорему о полуплоскости.

Теорема. Прямая а, лежащая в плоскости б, разделяет множество точек, этой плоскости, не лежащих на прямой а, на два непустых подмножества так, что если точки А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а; если же эти точки принадлежат разным подмножествам, то отрезок АВ имеет общую точку с прямой а.

доказательство

Каждое из подмножеств точек, определяемых предыдущей теоремой, называется полуплоскостью плоскости б с границей а.

Группа III. Аксиомы конгруэнтности.

Предполагается, что отрезок (угол) находится в известном отношении к какому-то отрезку (углу). Это отношение выражается словом «конгруэнтен» и обозначается символом «». Должны быть удовлетворены следующие пять аксиом.

III₁. Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из точки А', то существует точка В', принадлежащая данному лучу, такая, что АВ А'В'.

Можно доказать, что точка В' на данном луче единственная.

III₂. Если А'В' АВ и А"В" АВ, то А'В' А"В".

IIIз. Пусть А - В - С, А' - В' - С', АВ А'В' и ВС В'С'. Тогда АС А'С'.

III₄. Пусть даны hk и флаг (О', h', л'). Тогда в полуплоскости л' существует один и только один луч k', исходящий из точки О', такой, что hk h'k'.

Каждый угол конгруэнтен самому себе.

III₅. Пусть А, В, С -- три точки, не лежащие на одной прямой, и А', В', С' -- тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом

АВ А'В', АС А'С'. BAC В'А'С', то АВС А'В'С'.

Укажем некоторые теоремы, которые следуют из аксиом конгруэнтности.

1. Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

По Гильберту, треугольник ABC называется конгруэнтным треугольнику

А'В'С' (?АВС ?А'В'С'), если АВ А'В', ВС В'С', СА С'А', АА АА', АВ АВ', АС АС'.

3. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников.

4. Отношение конгруэнтности углов является отношением эквивалентности на множестве углов.

5. Внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, несмежного с ним.

6. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона."

7. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.

8. Любой угол имеет одну и только одну биссектрису.

Группа IV. Аксиомы непрерывности.

IV₁ (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD -- какие-нибудь отрезки. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А₁, А₂, ..., А_n, таких, что выполняются условия: а) А -- А₁ -- A₂,, A₁ -- А₂ -- Аз, ..., A_{n - 2} -- A_{n - 1} -- A_n; б) АА₁ A₁A₂ ... А_{n - 1}A_n CD; в) А -- В -- A_n.

IV₂ (аксиома Кантора). Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков А₁В₁, A₂B₂, …, из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка CD найдется натуральное число п, такое, что А_nВ_n < CD. Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

Группа V. Аксиома параллельности.

Пусть а -- произвольная прямая, а А -- точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей а.

В §3 мы доказали, что эта аксиома эквивалентна V постулату Евклида.

Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому

Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп I--IV абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского.

V*. Пусть а -- произвольная прямая, а А -- точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.

Ясно, что все определения и теоремы абсолютной геометрии имеют место и в геометрии Лобачевского. Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а. В самом деле, по аксиоме V* существуют две прямые, которые обозначим через b и с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 2-1). Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке 2-1 обозначены цифрами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямые b и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, любая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри вертикальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые l и d на рис. 2-1).

В отличие от определения параллельных прямых по Евклиду в геометрии Лобачевского параллельными к данной прямой называются (только некоторые прямые из тех, которые не пересекают данную прямую. Чтобы ввести это понятие, условимся считать, что все прямые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, считая, что точка U предшествует точке V. Предполагается также, что точки U и V выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками U и V.

Введем следующее определение. Прямая АВ называется параллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD (рис. 2-2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB||CD.

Имеет место следующий признак параллельности прямых.

Теорема 1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что Р є АВ и Q є CD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.

доказательство

Из предыдущего изложения еще не следует, что существуют параллельные прямые по Лобачевскому. Докажем теорему о существовании параллельных прямых.

Теорема 2. Пусть АВ -- произвольная направленная прямая, а М -- точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ существует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ, т. е. CD || AB.

доказательство

Пусть М -- точка, не лежащая на прямой a, a MN -- перпендикуляр, проведенный из точки М на прямую а. Выберем на прямой a две точки A и В так, чтобы А -- N -- В. Из теоремы 2 следует, что через точку М проходит единственная прямая CD, параллельная направленной прямой АВ, и единственная прямая EF, параллельная направленной прямой ВА (рис. 2-7).

В ходе доказательства теоремы 2 мы установили, что углы DMN и FMN острые, поэтому CD и EF--различные прямые. Докажем, что DMN = FMN. Пусть, напротив, DMN ? FMN, например DMN > FMN. Рассмотрим луч MF', симметричный лучу MF относительно прямой MN (луч MF' не изображен на рис. 2-7). Этот луч является внутренним лучом угла DMN. Так как MF не пересекает прямую АВ, то и MF' не пересекает эту прямую. Но это противоречит определению параллельности прямых CD и АВ.

Таким образом, через каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а, в двух разных направлениях. Эти прямые образуют равные острые углы с перпендикуляром MN, проведенным из точки М к прямой а. Каждый из этих углов называется углом параллельности в точке М относительно прямой а.

Докажем, что величина угла параллельности вполне определяется расстоянием от точки М до прямой а. На этом рисунке 2-8 NMD -- угол параллельности в точке М относительно прямой a, a N'M'D' -- угол параллельности в точке М' относительно прямой а', б = NMD, x = MN, б' = N'M'D' , x' = M'N'. Докажем, что если х = х', то б = б' . Пусть, напротив, б' ? б, например б' > б. Тогда существует внутренний луч h' угла N'M'D', такой, что угол между лучами M'N' и h' равен б . Луч h' пересекает прямую а' в некоторой точке F'. На прямой а от точки N отложим отрезок NF = N'F' так, чтобы точки F и D лежали в одной полуплоскости с границей MN. Получим треугольник MNF, равный треугольнику МN'F' (треугольник MNF на рис. 2-8 не изображен). Так как NMF = б, то лучи MD и MF совпадают. Мы пришли к выводу, что прямые MD и а пересекаются. Это противоречит определению параллельных прямых. Таким образом, б. = б'.

Итак, б -- функция от х: б = П(х). Она называется функцией Лобачевского и играет существенную роль в гиперболической геометрии. Из предыдущего изложения ясно, что функция П(х) определена для каждого положительного х и что 0 < П(х) < .

Н.И. Лобачевский получил аналитическое выражение этой функции:

,

где k -- некоторое положительное число.

Из этой формулы следует, что П(х)-- монотонно убывающая непрерывная функция. Из этой формулы следует также, что П(х) принимает все значения, лежащие между О и . Другими словами, любой острый угол является углом параллельности в некоторой точке относительно данной прямой.

Таким образом, в геометрии Лобачевского существует зависимость между угловыми и линейными величинами; в этом существенное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия фигур; в частности, треугольники с соответственно равными углами равны. Еще одна особенность геометрии Лобачевского связана с единицей измерения длин. В геометрии Евклида существуют абсолютные константы угловых величин, например прямой угол или радиан, в то время как линейных абсолютных констант не существует. Для того чтобы длины отрезков выразить числами, необходимо выбрать единицу измерения длин. В качестве такой единицы может быть выбран произвольный отрезок. В противоположность этому в геометрии Лобачевского нет в этом необходимости, так как, имея естественную единицу измерения углов, можно условиться о выборе естественной единицы длин. Например, за единицу длины можно выбрать отрезок, которому соответствует угол параллельности, равный .

Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского

Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем, известных читателю из курса средней школы, относится именно к этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пересечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении медиан треугольника в одной точке -- вот далеко неполный перечень теорем, которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского.

Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d.

доказательство

Следствие. Сумма углов трегольни- ка непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников.

доказательство

Теорема 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 2d.

доказательство

Теорема 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

доказательство

Выпуклый четырехугольник называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD -- двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС -- боковыми сторонами. Двупрямоугольник с равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников.

1°. Если ABCD -- четырехугольник Саккери с основанием АВ, то С = D и каждый из углов С и D острый.

Рассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра d к отрезку АВ (рис. 2-12). При этом, очевидно, точка А перейдет в точку В, а луч АD -- в луч ВС (так как A = B = d).B силу равенства AD = ВС точка D перейдет в точку С и, следовательно, угол ADC -- в угол BCD. Таким образом, C = D.

По теореме 2 А + В + С + D < 4d, поэтому С + D < 2d. Но так как С = D, то каждый из этих углов острый.

2°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ AD < ВС, то С < D.

Рассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра d к отрезку АВ. При этом, очевидно, точка А перейдет в точку В, а точка D -- в точку D' луча ВС (рис. 2-13). Так как АD < ВС и AD = BD', то BD' < ВС, поэтому D' -- точка отрезка ВС. Четырехугольник ADD'В является четырехугольником Саккери, поэтому по свойству 1° 1 = 2. Но 1 < ADC, a 2> DCB (2 -- внешний угол треугольника CDD'). Таким образом, DCB < АDC.

3°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ С < D, то AD < ВС.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского

Лемма 1. Если АВ || CD, то существует ось симметрии прямых АВ и CD.

доказательство

Пользуясь этой леммой, легко доказать, что отношение параллельности направленных прямых удовлетворяет условию симметричности, т. е. справедлива теорема.

Теорема 1. Если АВ || CD, то CD || АВ.

доказательство

Теорема 2. Если АВ \\ EF, EF \\ CD и прямые АВ и CD не совпадают, то АВ || CD.

Две (ненаправленные) прямые а и b параллельными, если на этих прямых можно выбрать направления так, чтобы они были параллельны.

Две прямые на плоскости Лобачевского называются расходящимися (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны. Легко видеть, что через каждую точку М, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, каждая из которых расходится с прямой а. В самом деле, пусть прямые CD и EF параллельны прямой а в разных направлениях (см. рис. 2-7). Тогда любая прямая, проходящая через точку М внутри вертикальных углов CMF и EMD, расходится с прямой а.

Таким образом, на плоскости Лобачевского в отличие от плоскости Евклида имеются три случая взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются, параллельны или расходятся.

Теорема 3. Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.

доказательство

Следствие. На плоскости Лобачевского не существует общего перпендикуляра двух параллельных прямых.

Заметим, что две прямые не могут иметь более чем один общий перпендикуляр. Действительно, если, например, прямые а и b имеют два общих перпендикуляра АВ и А'В' (рис. 2-16), то выпуклый четырехугольник ABB'А' имеет четыре прямых угла. Но это противоречит теореме 2 § 2 Гл. 2. Таким образом, если две прямые имеют общий перпендикуляр, то он единственный и по теореме 3 эти прямые расходятся. В заключение докажем, что на плоскости Лобачевского расстояние от переменной точки одной из двух параллельных или расходящихся прямых до другой прямой есть переменная величина. Для этого предварительно докажем следующую лемму.

Лемма 2. Пусть лучи РР' и QQ' лежат в одной полуплоскости с границей PQ, PQQ' прямой, a QPP' прямой или тупой (рис. 2-18, а). Тогда если М -- переменная точка луча РР', а Н -- проекция этой точки на прямую QQ', то функция МН = f (MP) является монотонной, неограниченно возрастающей функцией.

доказательство

Пусть АВ и CD -- расходящиеся прямые, a PQ -- общий перпендикуляр этих прямых (рис. 2-19). Фигуры BPQD и APQC удовлетворяют условиям леммы2, поэтому согласно этой лемме расстояние от переменной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р как в одном, так и в другом направлении. Образно говоря, расходящиеся прямые неограниченно «расходятся» друг от друга по мере удаления от общего перпендикуляра.

Пусть теперь АВ || CD, a PQ -- перпендикуляр, проведенный из точки Р прямой АВ на прямую CD (рис. 2-20). Так как QPB острый, то смежный с ним QPA тупой. Фигура APQC удовлетворяет условиям леммы2, поэтому согласно этой лемме расстояние от перемен- ной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р в сторону, противоположную направлению параллельности. Можно доказать, что если точка М удаляется от точки Р в сторону параллельности, то это расстояние стремится к нулю. Образно говоря, параллельные прямые, неограниченно удаляясь друг от друга в одном направлении, асимптотически приближаются в другом.

Окружность, эквидистанта и орицикл

На плоскости Лобачевского существуют три различных типа пучков, а именно: а) пучок пересекающихся прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, проходящих через одну точку - центр пучка (рис. 2-21, а); б) пучок расходящихся прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, перпендикулярных к данной прямой (рис. 2-21, б); в) пучок параллельных прямых - множество прямых, состоящее из некоторой направленной прямой и всех направленных прямых, параллельных ей (рис. 2-21, в).

Ясно, что если задан пучок, то через любую точку плоскости (отличную от центра пучка пересекающихся прямых) проходит одна и только одна прямая пучка.



С каждым пучком прямых связаны определенные линии.

Окружность. Как известно из школьного курса геометрии, окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности). Это определение относится к абсолютной геометрии, поэтому окружность линия как евклидовой плоскости, так и плоскости Лобачевского. Многие теоремы об окружности, известные учащемуся из курса геометрии средней школы, доказываются без помощи аксиомы параллельных, поэтому они справедливы и на плоскости Лобачевского. Прежде всего, отметим теорему о том, что любая прямая, лежащая в плоскости окружности, пересекается с ней не более чем в двух точках. Перечислим другие свойства окружности, которые относятся к абсолютной геометрии. При этом рассмотрим только те свойства, которые относятся к расположению точек окружности по отношению к пучку пересекающихся прямых с центром в центре окружности. Прямые этого пучка называются осями окружности.

1. Окружность симметрична относительно любой своей оси.

2. В каждой точке окружности существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точку касания.

Учитывая это свойство, мы можем говорить, что окружность пересекает свои оси под прямым углом или что окружность есть ортогональная траектория пучка прямых с центром в центре окружности (рис. 2-22, а).

Прямая АВ, где А а и В Ь, называется секущей равного наклона к прямым а и b, если отрезок АВ составляет с этими прямыми равные внутренние односторонние углы.

3. Прямая, содержащая хорду окружности, отличную от диаметра, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды.

4. Серединный перпендикуляр к любой хорде окружности является ее осью.

Не все свойства окружности, известные нам из школьного курса геометрии, имеют место на плоскости Лобачевского. Например, теорема о том, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым углом, неверна на плоскости Лобачевского. В самом деле, пусть угол АСВ, вписанный в окружность с центром О, опирается на диаметр АВ (рис. 2-23). Проведем радиус ОС и рассмотрим два равнобедренных треугольника ОАС и ОВС. Так как A = АСО и B = BCO, то A + В = АСО + ВСО =АСВ. Следовательно, у_ABC = A + В + АВС = 2АСВ. Значит, АСВ = у_ABC . Так как у_ABC < 2d, то АСВ < d, т. е. АСВ -- острый угол.

Эквидистанта. Эквидистантой называется фигура, которая состоит из всех точек полуплоскости с границей и, равноудаленных от этой прямой. Прямая и называется базой эквидистанты, а перпендикуляр, проведенный из любой точки эквидистанты на базу,-- высотой. Высотой называется также длина h этого перпендикуляра.

С эквидистантой связан пучок расходящихся прямых -- множество всех прямых, перпендикулярных к базе эквидистанты. Прямые этого пучка называются осями эквидистанты. Многие свойства эквидистанты аналогичны свойствам окружности.

Убедимся в том, что эквидистанта -- кривая линия.

Теорема 1. Любая прямая, лежащая в плоскости эквидистанты, пересекается с эквидистантой не более, чем в двух точках.

доказательство

Рассмотрим другие свойства эквидистанты.

1. Эквидистанта симметрична относительно любой своей оси.

доказательство

2. В каждой точке эквидистанты существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проведенной через точку касания.

доказательство

Учитывая это свойство, мы можем говорить, что эквидистанта является ортогональной траекторией пучка расходящихся прямых, перпендикулярных к базе эквидистанты (см. рис. 2-22, б).

Хордой эквидистанты назовем любой отрезок, соединяющий две точки эквидистанты.

3°. Любая прямая, содержащая хорду эквидистанты, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды.

доказательство

4°. Серединный перпендикуляр к любой хорде эквидистанты является ее осью.

Орицикл. Прежде чем ввести понятие орицикла, докажем следующую лемму.

Лемма. Через каждую точку одной из двух параллельных прямых проходит одна и только одна секущая равного наклона к этим прямым.

доказательство

Пусть на плоскости задан пучок параллельных прямых. На множестве Щ всех точек плоскости введем бинарное отношение ? следующим образом. Будем говорить, что точки A и В находятся в отношении ?, если они совпадают или прямая АВ является секущей равного наклона к прямым данного пучка, проходящим соответственно через точки А и В. Из этого определения непосредственно следует, что отношение ? удовлетворяет условиям рефлексивности и симметричности. Можно также доказать, что оно удовлетворяет условию транзитивности. Каждый элемент фактор-множества Щ/? называется орициклом (или предельной линией). Прямые данного пучка называются осями орицикла. Если задан пучок параллельных прямых, то через каждую точку А плоскости проходит один и только один орицикл, который представляет собой класс эквивалентности К_А по отношению ?. Это множество состоит из точки А и всех таких точек X плоскости, что АХ -секущая равного наклона к прямым данного пучка, проходящим через точки А и X.

Если даны направленная прямая UV и на ней некоторая точка А, то тем самым однозначно определяется орицикл, проходящий через точку А с осью UV.

Свойства орицикла аналогичны свойствам окружности и эквидистанты.

Теорема 2. Любая прямая, лежащая в плоскости орицикла, пересекается с орициклом не более чем в двух точках.

доказательство

Орицикл симметричен относительно любой своей оси и является ортогональной траекторией пучка его параллельных осей (см. рис 2-22, в).

Любые два орицикла на плоскости Лобачевского равны.

Гиперболическое пространство

Пусть V -- векторное пространство размерности п над полем R (в дальнейшем будем рассматривать значения п = 2,3). Зададим билинейную форму g: V V > R, такую, чтобы квадратичная форма ц () = g (,) была бы невырожденной квадратичной формой индекса k > 0. Число g (,)R назовем скалярным произведением векторов , и обозначим через ·или , а число длиной (нормой) вектора . Таким образом, если , то , а если , то , где b > 0 и i² = -1.

Векторное пространство V, в котором скалярное произведение определено при помощи указанной выше билинейной формы g, называется псевдоевклидовым векторным пространством индекса k.

В псевдоевклидовом пространстве скалярный квадрат вектора ? 0 может быть положительным, отрицательным или нулем. Например, если в базисе В = () квадратичная форма ц () имеет нормальный вид:

ц() = (x¹)²+ …+ (x^n-k)² - (x^n-k+1)² - … - (xⁿ)² , (1)

то, очевидно, для векторов базиса имеем:

, ,…, ,, …,.

Поэтому длина каждого из векторов равна единице; это единичные векторы. Каждый из векторов имеет мнимую длину i; назовем эти векторы мнимоединичными.

Вектор ? , для которого = 0, называется изотропным. Длины этих векторов равны нулю. Каждый из векторов , где и -- векторы базиса В при р п -- k, q > n -- k, является изотропным, так как по формуле (1)

ц() = 1 - 1=0.

По-прежнему два вектора , будем называть ортогональными, если = 0. Векторы базиса В, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид (1), попарно ортогональны, так как эти векторы попарно сопряжены относительно билинейной формы g(,).

Таким образом, базис В состоит из единичных и мнимоединичных попарно ортогональных векторов. Такой базис назовем ортонормированным. Так как индекс квадратичной формы ц () не зависит от способа приведения этой формы к нормальному виду, то все ортонормированные базисы псевдоевклидова векторного пространства V содержат одинаковое число мнимоединичных векторов; это число равно индексу пространства.

Пусть В -- ортонормированный базис, а векторы и в этом базисе имеют координаты (xⁱ) и (уⁱ). Тогда = хⁱи у = yⁱ, поэтому

=x¹y¹ + x²y² + …+ x^n-ky^n-k - x^n-k+1y^n-k+1 - …- xⁿyⁿ . (2)

Докажем следующую теорему.

Теорема. В псевдоевклидовом векторном пространстве V индекса 1 для любых двух векторов мнимой длины справедливо неравенство

()²

причем знак равенства в этой формуле имеет место тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

доказательство

Следствие. В псевдоевклидовом векторном пространстве индекса 1 для любых двух векторов , мнимой длины справедливо неравенство

(3)

Пусть V -- псевдоевклидово векторное пространство индекса размерности п + 1 над полем R (n = 2,3) и g (,) -- билинейная форма, с помощью которой в пространстве V определено скалярное произведение. Мы будем рассматривать только автоморфизмы пространства V, т. е. такие линейные преобразования этого пространства, которые сохраняют скалярное произведение векторов (и значит, сохраняют длины векторов). Обозначим через Щ* множество всех векторов мнимой длины пространства V. Очевидно, что если ц -- автоморфизм пространства V, то ц (Щ*) = Щ*.

Множество Е ? 0 называется п-мерным гиперболическим пространством Лобачевского (и обозначается через ), если задано отображение

р : Щ^*>E,

удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) р-- сюръекция;

2) р() = р() тогда и только тогда, когда и коллинеарны.

Систему аксиом 1--2 пространства Лобачевского обозначим через .

Элементы множества Е называются точками. Так же как и в случае проективного пространства, если X = р (), то будем говорить, что точка X порождена вектором .

Расстояние между точками X, Y , определяется следующим образом. Зададим положительное число r (одно и то же для данного пространства ). Если точки X, Y порождаются векторами , Щ*, то назовем расстоянием между этими точками неотрицательное число д(X, Y), удовлетворяющее равенству

(4)

где ch t = - гиперболический косинус вещественной переменной t. Мы замечаем, что функция cht четная, определена на всей числовой оси и ее значения заполняют промежуток [1, + ?]. Поэтому согласно формуле (3) расстояние между любыми двумя точками всегда существует и является положительным числом.

Число r > 0 называется радиусом кривизны пространства .

Правая часть формулы (4) показывает, что расстояние д(X, Y) не зависит от выбора векторов, порождающих точки X и Y.

Всякий автоморфизм ц псевдоевклидова векторного пространства индуцирует некоторое преобразование f пространства по закону:

если

ц () = , то f(X) = X'.

Из формулы (4) следует, что преобразование f сохраняет расстояние между любыми двумя точками пространства . Такое преобразование f называется движением пространства .

Из определения пространства можно заключить, что гиперболические пространства Лобачевского и ' одной и той же размерности изоморфны. Следовательно, система аксиом категорична, теория T () однозначна и ее можно изучать, пользуясь любой интерпретацией.

Докажем, что система аксиом непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел. Для этого построим интерпретацию этой системы, используя множество R вещественных чисел. Для простоты изложения ограничимся случаем, когда п = 2, т. е. когда Е -- плоскость Лобачевского.

Вектором псевдоевклидова векторного пространства V индекса 1 размерности 3 назовем любой столбец вида , где а₁, a₂, a₃ -- произвольные вещественные числа. Сумма векторов и умножение вектора на число вводятся обычным образом, т. е. как сумма столбцов и умножение столбца на число.

Скалярным произведением векторов и назовем число a₁b₁ + а₂b₂ - а₃b₃. Мы получили модель псевдоевклидова векторного пространства индекса 1 размерности 3. Очевидно, множество Щ* всех векторов мнимой длины состоит из тех и только тех векторов , для которых .

Введем следующее обозначение. Множество всех троек чисел вида km₁, km₂, km₃, где k -- любое действительное число, отличное от нуля, а m₁, т₂, m₃ - фиксированные числа, не равные одновременно нулю, обозначим через < m₁, т₂, m₃>. ¦

Точкой (т. е. элементом множества Е) назовем любое множество < m₁, т₂, m₃> при условии, что . Отображение р : Щ^*>E определим так: вектору поставим в соответствие точку < m₁, т₂, m₃> , такую, что (а₁, а₂, а₃) < m₁, т₂, m₃ >

В построенной интерпретации, очевидно, выполняются обе аксиомы системы .

Рассмотренное выше утверждение позволяет дать еще один способ доказательства независимости аксиомы параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии .

Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии состоит из аксиом I, II, III, IV, V групп, где V -- аксиома параллельных, эквивалентная (при сохранении аксиом I -- IV) V постулату Евклида. Выше было доказано, что система аксиом непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел. В последующем мы ограничимся геометрией на плоскости, поэтому все системы аксиом будем рассматривать лишь для плоскости.

Рассмотрим систему аксиом ?* = (\V) U V*. где V* -- аксиома Лобачевского. Обозначим через систему аксиом 1--2 плоскости Лобачевского . Выше мы доказали, что эта система непротиворечива. При этом система аксиом категорична (все ее интерпретации изоморфны). Можно доказать (с помощью достаточно длинных рассуждений), что системы аксиом ?* и эквивалентны.

Следовательно, для системы ?* нашлась интерпретация -- это та же интерпретация, что и интерпретация системы . Поэтому система аксиом ?* (содержательно) непротиворечива. Но в таком случае из самого способа составления этой системы аксиом следует, что аксиома параллельных V не зависит от остальных аксиом (\ V) евклидовой геометрии.

Замечание. Так как аксиома параллельных V эквивалентна V постулату Евклида, то полученный результат можно еще сформулировать так: V постулат Евклида не зависит от остальных аксиом системы .

Модель Кэли -- Клейна плоскости Лобачевского

Эта модель называется также моделью Кэли -- Клейна. Ее построил английский математик Кэли, но он не понял, что введенная им геометрия в круге и есть геометрия Лобачевского; это сообразил позже, в 1870 г., немецкий математик Клейн.

1. Плоскость Лобачевского Л₂ порождена множеством Q* векторов мнимой длины трехмерного псевдоевклидова пространства V (индекса 1). Скалярное произведение векторов пространства V определяется при помощи заданной билинейной формы g(х, у), такой, что g(x, х) -- невырожденная квадратичная форма индекса 1.

Рассмотрим проективную модель плоскости Л₂. На проективной плоскости Р₂, порожденной векторным пространством V, квадратичная форма g(х, х) определяет линию второго порядка Q : Ф (X) = 0, где Ф (X) = g(х, х), и вектор порождает точку XP₂. При этом на плоскости Р₂ рассматриваются не любые проективные преобразования, а только те, которые порождены автоморфизмами псевдоевклидова векторного пространства V. Такие проективные преобразования образуют стационарную подгруппу Н_Q кривой второго порядка Q.

Пусть -- ортонормированный базис пространства V, причем -- мнимоединичный вектор. Если в этом базисе вектор имеет координаты, то, очевидно . Базис В порождает проективный репер R = (А₁, А₂, A₃, E) плоскости Р₂. В этом репере в силу предыдущего равенства линия Q определяется уравнением

.

Следовательно, Q -- овальная линия второго порядка.

Напомним, что точкаявляется внутренней точкой относительно линии Q тогда и только тогда, когда . Это означает, что точка М порождена вектором мнимой длины, т. е. .

Таким образом, при отображении определяющем проективную плоскость Р₂, множество (*)=Л₂ есть множество точек, внутренних относительно овальной линии Q.

Так как при отображении аксиомы У_Л выполняются, то множество (*)=Л₂ точек, внутренних относительно кривой Q, является моделью плоскости Лобачевского. Линия второго порядка Q называется абсолютом плоскости Лобачевского Л₂.

2. Выясним, как изображаются прямые, отрезки, лучи, полуплоскости и углы на модели Кэли -- Клейна.

Пусть W -- двумерное подпространство пространства V и ' =W?*?. Тогда фигура (*) называется прямой плоскости Лобачевского Л₂. Так как есть прямая на проективной плоскости Р₂, то прямая плоскости Лобачевского является пересечением прямой а с внутренней областью абсолюта . На рисунке 3-1, а проективные прямые а и b определяют прямые а_Л и b_Л плоскости Лобачевского, которые представляют собой хорды (без концов) абсолюта и выделены жирной линией. На том же рисунке проективные прямые с и d не определяют прямых на плоскости Л₂, так как на них нет точек, внутренних относительно абсолюта. Таким образом, проективная прямая и определяет прямую и_Л на плоскости Л₂ тогда и только тогда, когда

на ней лежит хотя бы одна внутренняя точка относительно абсолюта . Другими словами, проективная прямая и определяет прямую u_Л на плоскости Л₂ тогда и только тогда, когда она пересекает абсолют в двух вещественных точках U и V. Прямую и_Л будем обозначать через UV или VU (рис. 3-1, б).

Мы видим, что прямыми плоскости Лобачевского являются хорды (без концов) абсолюта. Любые две точки А и В плоскости А₂, лежащие на прямой UV, не разделяют пару точек U, V (рис. 3-1, б), т. е. (UV, АВ)> 0.

Введем понятие «лежать между» для трех точек прямой на модели Кэли -- Клейна. Предварительно докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть А, В и М -- три точки на прямой UV плоскости А₂. Если (АВ,MU) <0, то и (АВ, MV) <0.

доказательство

Пусть А и В -- две точки плоскости Л₂, лежащие на прямой UV. Будем говорить, что точка М прямой UV лежит между точками А и В (и писать: А --М -- В), если пара точек А, В разделяет пару точек М, U (или пару точек М, V), т. e.(AB,MU) < 0 (или (АВ, MV) < 0).

Легко видеть, что это определение не зависит от порядка, в котором берутся точки А и В. В самом деле, так как (АВ, MU) = (BA,MU)^-1, то если А -- М -- В, то В -- М -- А. Нетрудно убедиться в том, что на модели Кэли -- Клейна выполняются и все другие аксиомы группы II Гильберта.

Далее, обычным путем определяются понятия отрезка, многоугольника, луча, угла и полуплоскости. На рисунке 3-2 изображены отрезок АВ и угол О, внутренняя область угла О заштрихована. На этом же рисунке одна из полуплоскостей с границей UV заштрихована.

3. Выясним теперь, как интерпретируется на модели Кэли -- Клейна расстояние между двумя точками. Для этого воспользуемся общей формулой расстояния между двумя точками.

Пусть X, Y -- две точки плоскости ₂.

Найдем векторы, порождающие точки пересечения прямой XY с абсолютом Q. Для этого записываем уравнение проективной прямой XY в параметрическом виде и находим отношение (или ) из уравнения точек пересечения линии с прямой . Если точки X, Y порождены векторами и , то уравнение принимает вид:

(2)

Учитывая, что векторы, мнимой длины, мы можем их нормировать так, чтобы , где r > 0 -- тоже число, что и в формуле (4) §1 Гл.3. Из этой формулы находим

.

Уравнение (2) принимает вид:

, (3)

где берется знак «плюс» в случае < 0 и знак «минус» в случае >0.

Рассмотрим случай >0. Учитывая, что , из уравнения (3) находим:

и .

Следовательно, если U и V -- точки пересечения прямой XY с линией Q, то векторы и , порождающие эти точки, имеют вид:

.

Отсюда находим (XY, UV) = е^2t, поэтому . Правая часть этого равенства меняет знак при перемене мест точек U и V. Но так как t> 0, то надо считать, что

.

Таким образом,

(4)

Так как (ХV, UV) = (XY, VU)^-1, то расстояние между точками X, Y, вычисленное по этой формуле, не зависит от порядка, в котором берутся точки U и V в формуле (4). Таким образом, формулу (4) можно записать также следующим образом:

(4')

В случае < 0 мы получаем те же формулы (4) или (4').

4. Трехвершинник A₁A₂A₃ называется автополярным трехвершинником второго рода для овальной линии второго порядка Q, если точки A₁, A₂ лежат на этой линии, а прямые A₁A₃ и А₂Аз являются касательными к ней в точках А₁ и А₂ соответственно. Следовательно, каждая из сторон такого трехвершинника является полярой одной из его вершин, а именно: А₁А₃ -- поляра точки А₁, А₂А₃ -- поляра точки А₂ и А₁А₂ -- поляра точки А₃ (отсюда и термин «автополярный») .