Численное решение уравнений математической физики методом установления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Одним из наиболее важных условий прогресса в области решения различных исследовательских, инженерных и проектных задач является освоение и внедрение в практику прикладных разделов современной математики. К этим разделам, прежде всего, относятся приближенные, численные и машинные методы решения интегральных уравнений, применение которых позволяет получить эффективные математические описания многих задач, как традиционных, так и новых. Аппарат интегральных уравнений прочно вошел в физику (теория волн на поверхности жидкостей, задачи спектроскопии, кристаллографии, акустики, анализа и диагностики плазмы и т.д.), геофизику (задачи гравиметрии, кинематические задачи сейсмики), механику (колебания конструкций), материаловедение (исследование вязкоупругости, ползучести и т.д.), астрономию (распределение масс и светимости в звездных системах, интерпретация кривых блеска затменных звезд и т.д.), теорию управления (определение импульсной функции линейной системы, задача оптимальной линейной фильтрации и т.д.), теорию надежности и массового обслуживания (задала восстановления и др.). Развиваются новые научные направления, связанные с применение я интегральных уравнений, в том числе некоторые разделы биологии (редукция наблюдений микрообъектов за аппаратную функцию системы, задача о распространении эпидемий, задача кинетики печени, моделирование внутри- и межклеточных взаимодействий и т.д.), иконика (восстановление искаженного изображения), томография (формирование объемных изображений объектов по наблюдаемым сечениям), экономика производства (динамические макроэкономические модели, задачи оптимизации распределения рабочих мест между отраслями производства).

Неуклонное расширение области приложения интегральных уравнений стимулировало интенсивную разработку их теории и особенно приближенных методов решения. Рассмотрим в этой работе метод квадратур решения интегральных уравнений Фредгольма II рода.

1. Уравнения Фредгольма и их свойства

Классическим примером интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования являются хорошо изученные линейные уравнения типа Фредгольма. Однако в современной практике исследований и проектных разработок все чаще необходимо изучать и решать линейные уравнения других типов, а также нелинейные интегральные уравнения. Важное достоинство многих численных методов, алгоритмов и программ состоит в их высокой универсальности или, иначе говоря, определенной независимости от различий в теории типов решаемых уравнений. Это свойство выгодно отличает численные методы от аналитических, так как позволяет рассматривать на единой основе приближенные и численные методы решения различных типов уравнений, отмечая в каждом конкретном случае их особенности.

1.1 Неоднородное уравнение Фредгольма II рода

Линейное интегральное неоднородное уравнение Фредгольма II рода имеет вид

(1)

где независимые переменные изменяются в интервале , а ядро определено в квадрате на плоскости . Кроме того, полагается, что ядро, являясь фредгольмовским, непрерывно в V или имеет разрывы при условии, что двойной интеграл

(2)

т.е. ограничен конечным значением .

Параметр уравнения (числовой множитель) имеет существенное значение при качественных исследованиях и решении интегральных уравнений Фредгольма II рода. Пределы интегрирования в (1) могут быть конечными или бесконечными. Линейная замена переменной интегрирования

позволяет перейти к новой переменной х₁, изменяющейся в так называемом стандартном интервале (-1, 1).

Важным для приложений является уравнение типа свертки

содержащее разностное ядро и требующее применения специальных приемов при численном решении ввиду бесконечных пределов интегрирования.

Линейное двухмерное уравнение имеет вид

(3)

и представляет собой естественное обобщение уравнения (1) на двухмерную область.

1.2 Уравнение третьего рода

Одномерное линейное уравнение Фредгольма III рода есть уравнение вида

 (4)

Его особенностью является наличие известной функции , обращающейся в нуль при некоторых (не всех) значениях х из области .

Если , то (4) есть уравнение Фредгольма I рода, а если не обращается в нуль ни при каких значениях х из области, то, поделив на обе части (4), получим уравнение Фредгольма II рода.

Несмотря на недостаточную изученность уравнений Фредгольма III рода, можно указать на возможность приложения к ним некоторых методов решения, относящихся к уравнениям второго рода.

Можно предположить, что если функция обращается в нуль лишь при небольшом количестве фиксированных значений аргумента, а при остальных х заметно отлична от нуля, то целесообразно воспользоваться некоторыми из методов решения уравнений второго рода, например методом квадратурных формул, внеся в них определенные изменения. Если же область, в которой равна нулю или близка к нулю, составляет значительную часть от [а, b], то в этом случае нужно воспользоваться методами регуляризации и др.

1.3 Однородное уравнение Фредгольма

Уравнение (1) при переходит в линейное интегральное однородное уравнение Фредгольма II рода

(5)

всегда имеющее тривиальное (нулевое) решение у(х) = 0. Те значения параметра , при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения , называются характеристическими числами этого уравнения или его ядра (обратные им значения называются собственными значениями). Ненулевые решения называются собственными функциями. Задача решения (5) заключается в нахождении собственных значений и функций.

Если ядро непрерывно в квадрате V или удовлетворяет условию (2) (т.е. квадратично суммируемо) при конечных а и b, то каждому собственному значению соответствует конечное число линейно независимых собственных функций (это число называется рангом или кратностью собственного значения; ранги могут быть различны для разных собственных значений).

При в уравнении (5) , т.е. это значение параметра не является характеристическим числом.

Если представляет собой собственную функцию, то и , где С - произвольная постоянная, также является собственной функцией, соответствующей одному и тому же собственному значению. Отсюда следует, что собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя.

Возможны случаи, когда однородное уравнение (5) не имеет собственных значений и собственных функций или же не имеет действительных собственных значений и функций.

Однородное уравнение с симметричным ядром , обладает следующими свойствами:

1) уравнение (5) имеет по крайней мере одно собственное значение;

2) каждому собственному значению соответствует конечное число q (ранг собственного значения) линейно независимых собственных функций уравнения (5), причем имеет место оценка , где ;

3) каждая пара собственных функций , соответствующих собственным значениям , ортогональна, т.е. ;

4) в каждом конечном интервале оси находится конечное количество характеристических чисел, причем верхняя грань для количества характеристических чисел, лежащих в интервале , определяется неравенством .

В практике часто встречается уравнение вида

с разностными симметричными ядрами , причем - периодическая функция с периодом . Собственными функциями таких уравнений являются

которым соответствуют характеристические числа

где, т.е. а_n - коэффициенты Фурье функции К(х).

1.4 Теоремы Фредгольма

Уравнению (1) соответствует союзное (сопряженное) уравнение

(6)

которое используется в теоремах Фредгольма для уравнений (1) и (5).

Первая теорема. Если не является характеристическим числом ядра, то неоднородное уравнение (1) однозначно разрешимо при любой правой части f(x).

Вторая теорема. Если является характеристическим числом однородного уравнения (ему соответствуют собственные функции ), то оно будет также характеристическим числом и для союзного уравнения

Числа собственных функций уравнения (5) и союзного с ним уравнения, отвечающих одному и тому же собственному значению, одинаковы.

Третья теорема. Если однородное уравнение имеет ненулевое решение, то неоднородное уравнение, вообще говоря, неразрешимо. Оно разрешимо тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности

(7)

где , - собственные функции союзного ядра , принадлежащие данному собственному значению.

Четвертая теорема. Множество характеристических чисел уравнения (1) не имеет предельных точек на конечном расстоянии. Если множество характеристических чисел бесконечно, то его предельная точка находится на бесконечности.

Первая и третья теоремы составляют альтернативу Фредгольма, имеющую важное значение при доказательстве существования решения интегральных уравнений. При выполнении условия (7) уравнение (1) имеет бесконечное множество решений.

2. Некоторые приложения интегральных уравнений

Одномерные интегральные уравнения с постоянными пределами интегрирования применяются для описания различного рода краевых задач и в этом смысле эквивалентны обыкновенным дифференциальным уравнениям с краевыми условиями. Однако интегральные уравнения являются более универсальными математическими моделями, к которым сводятся краевые задачи для дифференциальных уравнений. Обратный переход посредством эквивалентных преобразований не всегда возможен, что, прежде всего, относится к случаю ядра произвольного вида, полученного, например, в результате натурных экспериментов.

Одним из характерных приложений интегральных уравнений является описание преобразующих свойств линейных систем. Результат воздействия, описываемого функцией , на линейную систему в достаточно общем случае может быть представлен в виде функции

(8)

где - функция влияния, определяемая свойствами системы. Примером воздействия может служить плотность нагрузки, распределенной вдоль балки, а в качестве в этом случае выступает прогиб.

Если по условиям задачи задана реакция (отклик) системы (например, получена в эксперименте) и требуется определить (восстановить) воздействие при известной функции , то в (8) функция будет искомой, т.е. задача сводится к решению интегрального уравнения, в данном случае уравнения Фредгольма I рода, которое имеет вид



В подобных задачах известной часто оказывается некоторая линейная комбинация функций, описывающих внешнее воздействие и реакцию системы, например

где - постоянные. В этом случае для определения внешнего воздействия необходимо решить уравнение

,

т.е. интегральное уравнение Фредгольма II рода.

Использование интегральных уравнений Фредгольма при решении краевых задач имеет естественное обоснование, так как эти уравнения связывают между собой заданные и искомые функции на конечном интервале, тогда как дифференциальные уравнения определяют связь на бесконечно малом интервале и для описания краевых задач требуют подчинения дополнительным (краевым) условиям.

3. Общая схема метода квадратур для линейных уравнений

уравнение интегральный приложение фредгольм

Сведение задачи решения интегральных уравнений к решению аппроксимирующих систем алгебраических уравнений, получаемых заменой интегралов конечными суммами, является одним из самых действенных методов. Метод квадратур относится к аппроксимационным методам; он широко распространен в практике, поскольку достаточно универсален в отношении принципа построения алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных уравнений.

В основе метода лежит некоторая квадратурная формула

(9)

где , - абсциссы, принадлежащие отрезку [а, b]; А_j - коэффициенты, не зависящие от функции (х); R() - ошибка замены интеграла суммой (остаточный член квадратурной формулы).

Если в линейном неоднородном интегральном уравнении (1) принять , то получим исходное для данного метода соотношение

(10)

из которого после замены интеграла конечной суммой получается система

(11)

где



После отбрасывания в ней малой величины для отыскания приближенных значений решения у(х) в узлах х₁, х₂,…, х_n, получается линейная система алгебраических уравнений

(12)

где введены обозначения

Решение системы (12) дает значения у₁, у₂,…, у_n, по которым путем интерполяции находится приближенное решение интегрального уравнения (1) на всем отрезке [а, b]. При этом в качестве приближенного решения можно принять функцию, полученную из таблицы линейной интерполяцией, т.е. совпадающую с у_i в точках х, и линейную в каждом из промежутков [х_i, х_i+1]. Кроме того, в качестве аналитического выражения приближенного решения уравнения принимается функция

(13)

также имеющая в узлах х₁, х₂,…, х_n значения у₁, у₂,…, у_n.

Данный метод применяется также для решения однородных уравнений Фредгольма II рода. В этом случае система (12) становится однородной и имеет нетривиальное решение лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю. Алгебраическое уравнение степени n относительно позволяет найти корни , представляющие собой приближенные значения первых n характеристических чисел ядра . Подстановка любого из неравных между собой значений , в (12) (при ) приводит к системе

ненулевые, линейно независимые решения которой , соответствуют линейно независимым собственным функциям ядра . Последние приближенно определяются формулами

.

Если не равно ни одному из корней , то система (12) имеет единственное решение; а будучи однородной, она имеет только тривиальное решение.

4. Особенности применения квадратурных формул

Значения компонентов некоторых квадратурных формул приведены в табл. (см. приложение 1). Есть несколько особенностей их применения, требующих внимания при использовании метода.

Точность получаемых решений существенно зависит от гладкости ядра и свободного члена. При выборе квадратурной формулы необходимо учитывать, что чем более точную формулу предполагается применить, тем большие требования должны быть предъявлены к гладкости ядра, решения и правой части.

Если правая часть или ядро имеют особенности, то целесообразно предварительно преобразовать исходное уравнение с целью получения более точного приближенного решения. При этом применяются следующие приемы.

Если особенности имеет правая часть f(х), а ядро гладкое, то можно вместо у(х) ввести новую неизвестную функцию z(х) = у(х) - f(х), использование которой в исходном уравнении позволяет получить уравнение

уравнение интегральный приложение фредгольм

в котором правая часть сглажена, а следовательно, и решение z(х) будет

более гладким. По найденной функции z(х) легко найти искомое решение у(х).

В тех случаях, когда ядро или его производные по s имеют разрывы на диагонали x=s, решаемое уравнение целесообразно записать в эквивалентном виде:

где подынтегральная функция во втором интеграле правильная, поскольку на диагонали х=s разность обращается в нуль, а вычисление интеграла выполняется без искомых функций и возможно в явном виде.

При замене интеграла в исходном уравнении (1) конечной суммой важную роль играет форма задания правой части. Наиболее распространенными являются случаи табличного и аналитического задания.

4.1 Табличное задание правой части

Если функция задана таблично (что может быть, например, результатом эксперимента) в некоторых узлах х_i, разделенных в частном случае постоянным шагом, то это предопределяет выбор квадратурной формулы, поскольку нет возможности перейти к иным узлам. Если при этом шаг непостоянен, то остается воспользоваться формулой трапеций или менее точной формулой прямоугольников (возможен, правда, искусственный случай , когда можно применить формулу Симпсона).

Рассмотрим уравнение Фредгольма III рода

(14)

где g(х) = 0 для некоторых, но не для всех х[а, b]. Если же , то получим уравнение Фредгольма II рода

. (15)

Пусть f(x) задана таблично в узлах

(16)

причем сетка узлов (16), вообще говоря, неравномерна. Заменим интеграл в (14) конечной суммой, используя формулу трапеций, причем сетку узлов по s сделаем совпадающей с сеткой (16), т.е. , где n - число узлов. В результате получим следующую СЛАУ;

(17)

где

(18)

Запись (17) можно представить в ином виде:

(19)

где

(20)

(21)

При постоянном шаге система (19) принимает вид

 (22)

где

(23)

Для оценки погрешности решения уравнения (14) методом квадратур путем решения СЛАУ (17) можно воспользоваться соотношениями:

где - определитель, - алгебраические дополнения СЛАУ (17), - квадратурные остатки,

Однако применение этих соотношении приводит, как правило, к значительным (иногда на несколько порядков) завышениям значений . Поэтому можно воспользоваться следующим способом приближенного представления погрешностей . Сначала решаем СЛАУ (17), затем таким же методом СЛАУ

(17)

где квадратурные остатки оцениваем по формулам

(23)

В результате оценка погрешностей решения такова:

(23)

где у_i - решение СЛАУ (17), а y_i - решение СЛАУ (17'). Такая оценка, как показало решение ряда примеров, часто дает довольно точное значение .

4.2 Аналитическое задание правой части

При аналитическом задании f(х) можно применить любые квадратурные формулы, в том числе формулу Гаусса, дающую наивысшую точность, и формулу Чебышева с одинаковыми коэффициентами.

Для применения формулы Гаусса интервал [а, b] разбивается на произвольное число m подынтервалов (не обязательно равных) , т.е. интеграл по основному промежутку [а, b] представляется как

(24)

Затем на каждом подынтервале применяется формула Гаусса для узлов (наиболее часто n=6), и в итоге получается система линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомой функции в узлах.

Часто коэффициенты и абсциссы узлов для формулы Гаусса записываются применительно к стандартному интервалу [-1, 1]. В таком случае применение формулы с переходом к интервалу [а, b] соответствует следующим соотношениям:

При n = 6 коэффициенты А_k и координаты узлов х_k имеют следующие значения:

С учетом разбиения (24) можно записать

(25)

Если в каждом i-м подынтервале обозначить ,

 , , , , то результат применения формулы Гаусса к уравнению (1) (при ) можно представить в виде системы

(26)

Заключение

Интенсивное развитие приближенных методов решения математических задач предполагает использование огромных возможностей ЭВМ. Однако применению ЭВМ предшествует большая работа по математическому описанию решаемой задачи, поиску удачной математической модели, отражающей реальное явление и вместе с тем доступной для исследования и получения количественных результатов. Именно на этом этапе решается вопрос об использовании тех или иных видов уравнений или других математических зависимостей. Сложившаяся методология математического моделирования может дать определенные рекомендации по применению конечных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных, ставших уже традиционными математическими моделями для многих физических и ряда других явлений. Так, при описании процессов и состояний в объектах с распределенными в пространстве параметрами использовались дифференциальные уравнения в частных производных, для описания процессов в объектах с сосредоточенными параметрами - обыкновенные дифференциальные уравнения и т.д. Значительно меньше общих рекомендаций для применения интегральных уравнений, хотя количество их приложений непрерывно возрастает. Есть задачи, для описания которых принципиально невозможно применить какие-либо другие виды уравнений. Интегральные уравнения позволяют понижать размерность некоторых задач исследования сплошных сред, более компактно, чем дифференциальные уравнения, формулировать краевые задачи, приводят к устойчивым вычислительным процедурам. Использование интегральных уравнений в качестве аппарата исследования постепенно приводит к формированию самостоятельного метода математического моделирования как совокупности способов определения соотношений между известными исходными данными и определяемыми характеристиками изучаемого явления, а также приемов эквивалентных преобразований полученных интегральных уравнений и точного или приближенного их решения.

Следует учитывать, что численные алгоритмы решения интегральных уравнений своеобразны и чаще всего не имеют аналогов среди алгоритмов решения других, эквивалентных по своей математической постановке, видов уравнений.

Список использованной литературы

1) Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений / Т.2.-М.: Наука, 1966. - 632 с.

2) Васильева А.Н. Интегральные уравнения, М.: Наука, 1993. - 454 с.

3) Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения), М.: Высшая школа, 2001. - 382 с.

4) Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы, Киев: Наукова думка, 1986. - 544 с.

Размещено на Allbest.ru