Иногда требуется найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на заданном отрезке [a, b] среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1. Эта задача сводится к предыдущей с помощью замены

переводящий отрезок в отрезок . При такой замене многочлен Чебышева

преобразуется к виду

причем коэффициент при оказывается равным . Следовательно, многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на [a, b], среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 является многочлен

Корни этого многочлена расположены в точках

а его максимальное отклонение от нуля равно

5. Дифференциальное уравнение многочленов Чебышева

Многочлены Чебышева возникают как решения некоторых типов дифференциальных уравнений и при разложении функций в ряды.

Многочлен является решением дифференциального уравнения

.

Уравнение называется уравнением Чебышева. Заменив аргумент по формуле , получим уравнение

6. Программная реализация

Для N значений независимой переменной, равномерно распределенных на отрезке [a. b], построить таблицу значений многочлена Чебышева первого рода целого порядка, используя его представление в виде рекуррентного соотношения.

Значения N, a, b ввести с клавиатуры.

На экран вывести таблицу следующей структуры: "аргумент функции - значение функции".

Математическая постановка задачи.

В рамках данной работы поставлена задача вычисления значений многочлена Чебышева первого рода. Нахождение значений будем производить с помощью рекуррентного соотношения

Данная формула определяет при последовательность функций , начинающуюся с , , рекуррентно; при этом нужно иметь в виду, что .

Подставляя в заданные начальные члены последовательности , найдем несколько ее последующих членов:

;

;

;

и т.д.

Описание структуры и работа программы.

При решении задачи была создана подпрограмма:

Function shag (a,b: real; c: integer): real - подпрограмма, вычисляющая расстояние между двумя делениями (разбиениями), то есть высчитывающая шаг для последующей операции. Эта подпрограмма, с другой стороны, находит значения x, которые потом используются при вычислении значений многочлена.

Для изучаемых многочленов п должно быть больше нуля, тогда реализуется условие, в котором в циклах и вычисляется значение многочлена Чебышева с помощью рекуррентного соотношения . С помощью команд readln (…) левая и правая границы, кол-во разбиений задаются с клавиатуры в ручную.

Текст программы.

program Project2;

{$APPTYPE CONSOLE}

Uses SysUtils;

Var

n, i, j, c: integer;

a, b, l, m: real;

T: array [0.100] of real;

Arr_X: array [1.100] of real;

Function shag (a,b: real; c: integer): real;

begin

shag: = (b-a) /c;

end;

BEGIN

write ('vvedite levuu granicu: ');

readln (a);

write ('vvedite pravuu granicu: ');

readln (b);

write ('chislo razbienii: ');

readln (c);

m: =a;

for i: =1 to c+1 do

begin

Arr_X [i]: =m;

m: =m+shag (a,b,c);

end;

for i: =1 to c+1 do

write (Arr_X [i]: 8: 2,' ');

writeln;

write ('vvedite n: ');

readln (n);

if n>1 then

begin

for i: =1 to c+1 do

begin

for j: =2 to n do

begin

T [0]: =1;

T [1]: =Arr_X [i];

T [j]: =2*Arr_X [i] *T [j-1] - T [j-2];

end;

write ('x=',Arr_X [i]: 8: 2,' ');

writeln ('T [',n,'] =',T [n]: 8: 2);

end;

end;

if n=0 then

for i: =1 to c+1 do

begin

write ('x=',Arr_X [i]: 8: 2,' ');

writeln ('T [',n,'] =',1);

end;

if n=1 then

for i: =1 to c+1 do

begin

write ('x=',Arr_X [i]: 8: 2,' ');

writeln ('T [',n,'] =',Arr_X [i]: 8: 2);

end;

readln;

end.

9. Заключение

Рис. - График многочлена Чебышева 1-ого рода

Размещено на Allbest.ru