Використання властивості неперервності функції при розв'язуванні різних задач математичного аналізу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Використання властивості неперервності функції при розв'язуванні різних задач математичного аналізу

Вступ

Математичний аналіз - сукупність розділів математики, що спираються на поняття функції і на ідеї числення нескінченно малих. Важко логічно провести межу між математичним аналізом та іншими розділами математики: за історичною традицією під назвою «математичний аналіз» об'єднуються диференційне та інтегральне числення, основи теорії функцій і диференціальних рівнянь і ряд інших розділів математики, що виникли в систематичній формі в результаті праць математиків 17-18 століття. Природним продовженням класичного математичного аналізу є функціональний аналіз, в який входять як спеціальні розділи: варіаційне числення і теорія інтегральних рівнянь, що виникли раніше загального функціонального аналізу. Як розділ математики, математичний аналіз оформився наприкінці 17 століття, але його апарат постійно вдосконалюється і розвивається. Основою математичного аналізу є взаємозв'язки змінних величин, які математики називають функціональними залежностями чи функціями. До речі, сам термін «функція» виник саме в XVІІ ст., а в наш час він придбав не тільки загальноматематичне, а й загальнонаукове значення.

У курсі математичного аналізу вивчення функції розпочинається зі знайомства з основними її властивостями, такими як обмеженість, монотонність, періодичність, неперервність.

Неперервна функція - одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовані, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції потребує високого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція дійсної змінної неперервна, якщо приростам Дx аргументу x відповідають прирости значення функції, що означає: графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі елементарні функції - неперервні на своїй області визначення.

Метою написання цієї курсової роботи є не тільки дослідження неперервних функцій, а й використання їх властивостей для розв'язування різних типів задач математичного аналізу. Наявність інформації про неперервність функції значно полегшує розв'язування найрізноманітніших задач математичного аналізу. Така інформація або здобувається (досліджується функція на неперервність), коли задається конкретна елементарна функція, або ж постулюється, коли функція задана своїми характеристичними властивостями.

1. Загальні відомості про неперервні функції

1. Неперервність функцій в точці, області, на відрізку.

Візьмемо деякі дві непорожні множини X, Y, елементи яких можуть мати різну природу.

Правило або закон згідно з яким кожному ставиться у відповідність деякий елемент називається функцією, визначеною на множині X.

Нехай деяка функція визначена на інтервалі (a; b) і нехай

Функція називається неперервною у точці , якщо її границя у точці дорівнює її значенню у цій точці, тобто . Очевидно, що скориставшись еквівалентними означеннями границі функції у точці, можна говорити, що функція неперервна у точці x₀, якщо для будь-якого числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють нерівність виконується , або якщо для будь-якої послідовності такої, що для кожного і , послідовність відповідних значень функції () збігається до , або якщо функцію можна подати у вигляді , де - нескінченно мала функція при . Нарешті, якщо різницю позначити через і назвати приростом аргументу при зміщенні з точки у точку , а різницю позначити через і назвати приростом функції, що відповідає приросту аргументу , то очевидно, що функція неперервна у точці , якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

як тільки .

Природно вважати, що функція неперервна на множині X, якщо вона неперервна у кожній точці цієї множини, і досліджувати властивості функції, які характеризують її поведінку на всій множині X.

Нехай функція визначена на відрізку . Будемо вважати її неперервною на цьому відрізку, якщо вона неперервна у кожній точці з інтервалу , а у точках і вона неперервна відповідно справа і зліва, тобто для кожного , а у точках і , .

2. Властивості неперервних функцій

Нехай функція неперервна в точці х_0. Це означає, що : . Або . Звідси випливають такі властивості:

1) якщо неперервна в точці х_0, то вона обмежена в деякому околі цієї точки.

2) використовуючи властивості границь функції не важко зрозуміти, що коли функції , неперервні в точці х_0, то їх сума, різниця і добуток також неперервна функція. При умові і частка.

Розглянемо основні властивості неперервних на відрізку функцій.

Теорема 1 (перша теорема Больцано-Коші про існування «нуля»)

Якщо неперервна на сегменті і на кінцях сегмента приймає значення різних знаків , то .

Теорема 2 (друга теорема Больцано-Коші про проміжні значення неперервної функції)

Нехай функція неперервна на сегменті . при чому . Тоді яке б не було число , що лежить між і , .

Теорема 3 (перша теорема Вейєрштрасса про обмеженість неперервної функції)

Якщо чергується на сегменті , , то вона обмежена на цьому сегменті. Тобто виконується .

Теорема 4 (друга теорема Вейєрштрасса про існування найбільшого і найменшого значень неперервної функції)

Якщо є неперервною на сегменті , то на цьому сегменті вона приймає найбільше і найменше значення. Тобто .

Теорема 5 (про неперервність складної функції)

Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна у відповідній точці , то складна функція неперервна в точці .

Теорема 6 (про неперервність оберненої функції)

Якщо є неперервною на проміжку , то на цьому проміжку існує обернена функція , яка також буде неперервною.

3. Точки розриву, їх класифікація

Точки, в яких не є неперервною називаються точками розриву.

Нехай - точка розриву. Тобто в цій точці не виконується . Це можливо в таких трьох випадках:

1) невизначена в точці ;

2) ;

3) не існує границі .

В залежності від цього маємо:

а) якщо , то точку називають точкою розриву, а саме, основною точкою розриву. Наприклад розглянемо функцію . Якщо , то. Якщо покласти , то стає неперервною;

б) в точці не існує границі, але існують односторонні границі . В такому випадку точка розриву називається точкою стрибка.

Наприклад . В даному прикладі .

Різницю називають стрибком функції в точці .

Точки стрибка називають точками розриву першого роду.

Якщо не існує хоча б однієї з односторонніх границь, то точку називають точкою розриву другого роду.

Приклад. Для даної функції знайти всі точки розриву..

Кожна з функцій є неперервною, тому дана функція може мати розрив лише в одній точці . Досліджуємо дану функцію на неперервність. , , . Отже, точка є точкою розриву першого роду (точкою стрибка).

2. Знаходження множини значень функції

Нехай функція визначена і неперервна на відрізку . Тоді за другою теоремою Вейєрштрасса вона приймає на цьому відрізку свої найменше і найбільше значення, тобто на знайдуться такі точки і , що , а за другою теоремою Больцано-Коші вона приймає всі значення відрізка , тобто на знайдеться така точка , що . Звідси робимо висновок, що множиною значень функції , визначеної і неперервної на відрізку , є або одноелементна множина, коли функція стала, або відрізок , тобто знаходження її зводиться до знаходження найменшого і найбільшого значень функції.

Приклад 1. Знайти множину значень функції , визначеної на відрізку .

Оскільки дана функціє є результатом операцій додавання і множення над функціями і , то вона неперервна на , а отже, неперервна на відрізку . Залишається знайти її найменше і найбільше значення. З цією метою функцію подамо у вигляді .

Тепер очевидно, що має найменше значення у тій точці відрізка , в якій функція має найбільше значення, тобто у точках , а найбільше значення у тій точці, в якій функція має найменше значення, тобто у точках . Знайшовши , дістанемо, множиною значень заданої функції є відрізок .

Множиною значень функції може бути відрізок також для функції, визначеної і неперервної не обов'язково на відрізку. Коли функція визначена і неперервна на проміжку (скінченному чи нескінченному) і можна вказати такий відрізок , на якому функція досягає свого найменшого і найбільшого значень, тобто на існують точки і такі, що , то відрізок є множиною значень цієї функції.

Приклад 2. Знайти множину значень функції .

Очевидно, що задана функція визначена і неперервна на . З того, що , маємо або , причому знак рівності досягається у точці . А з того, що , маємо або , причому знак рівності досягається у точці . Звідси дістанемо, що функція досягає свого найменшого значення у точці , а найбільшого у точці . Врахувавши, що функція монотонно зростаюча, робимо висновок, що задана функція досягає свого найменшого значення у точці , а найбільшого у точці . Знайшовши і , дістанемо, що множиною значень заданої функції є відрізок .

3. Знаходження нулів функції. Розв'язування рівнянь

Нехай маємо функцію , визначену і неперервну на деякому проміжку , і нехай відрізок . Якщо виявиться, що , то за першою теоремою Больцано-Коші на інтервалі є хоч один нуль функції, або, що те саме, рівняння на інтервалі має хоч один корінь.

Приклад 1. Довести, що рівняння має хоча би один корінь.

Очевидно, що функція неперервна на . Візьмемо відрізок . Маємо .

Отже, на інтервалі існує така точка , в якій . У даному випадку цю точку неважко знайти. Дійсно, розв'язавши квадратне рівняння відносно , з найпростішого тригонометричного рівняння маємо .

Відрізку належить один корінь .

Приклад 2. Довести, що рівняння має більше одного кореня.

Очевидно, що функція неперервна на . Маємо . Отже, на інтервалах (-2; - 1) і (0; 1) є принаймні по одному кореню рівняння.

Перша теорема Больцано-Коші, точніше її доведення, покладено в основу наближеного методу (чисельного методу) обчислення коренів рівнянь, який називають методом половинного ділення (методом «вилки»). Опишемо алгоритм. Нехай у лівій частині рівняння функція неперервна на відрізку , причому для означеності і . Відрізок ділимо пополам і знаходимо . При цьому можливі два випадки: 1) =0 (корінь знайдено); 2) . Тоді позначимо через ту половину відрізка , на кінцях якого функція приймає значення протилежних знаків. Відрізок ділимо пополам. Міркуючи аналогічно, можливі такі результати цієї процедури:

1) процедура скінчиться, бо значення функції у середині деякого відрізка дорівнюватиме нулю (у цьому випадку корінь знайдено);

2) процедура продовжується нескінченно. За наближене значення можна взяти середину відрізка , і оскільки довжина такого відрізка дорівнює , то число відрізняється від шуканого кореня не більше, ніж на /.

Приклад 3. Переконатись, що рівняння на відрізку має корінь, і знайти його з точністю до .

Очевидно, що функція неперервна на відрізку і . Отже на інтервалі рівняння має хоч один корінь. Серединою відрізка є точка і . Серединою відрізка є точка і . Серединою відрізка є точка і . Далі, і , і , і . Отже, за наближене значення кореня даного рівняння можна взяти число . Похибка такого наближення не перевищує .

При розв'язуванні рівнянь виду питання існування розв'язку і навіть його відшукання вдається з'ясувати інколи, визначивши множину значень функцій і . Дійсно, якщо ці функції неперервні на деяких проміжках і - їх множини значень, то очевидно, що коли , то рівняння коренів не має. Якщо ж і , то - корінь рівняння.

Приклад 4. Розв'язати рівняння .

Очевидно, що функції і неперервні на , причому , . Оскільки , то врахувавши, що , якщо , а дорівнює 3 при парному і -3 при непарному, робимо висновок, що рівняння коренів не має.

4. Дослідження функції на знак. Розв'язування нерівностей

неперервність функція рівняння нерівність

Задача дослідження функції на знак полягає в знаходженні таких інтервалів (точніше проміжків), на яких функція зберігає знак. Для неперервних функцій розв'язування цієї задачі зводиться до знаходження нулів функції. Дійсно, якщо функція неперервна на відрізку , і , то на інтервалі функція приймає або тільки додатні, або тільки від'ємні значення (чому?). Більше того, якщо або одна з точок є точкою розриву, а друга нулем функції, або обидві точки є точками розриву, на інтервалі функція неперервна і , то на інтервалі ця функція приймає або тільки додатні, або тільки від'ємні значення.

Отже, щоб знайти інтервали знакосталості функції, досить знайти всі нулі (ізольовані) функції, всі точки розриву (ізольовані) і в кожному з інтервалів, на яких функція визначена і неперервна, взяти по одній точці і визначити знак функції в цих точках. Знак функції в точці буде знаком функції на відповідному інтервалі.

Приклад 1. Дослідити на знак функцію .

Очевидно, що задана функція неперервна на . Прирівнявши до нуля, дістанемо рівняння , коренями якого є . Інших коренів рівняння не має. Отже, на інтервалах функція зберігає знак. І оскільки , то на інтервалах , а на інтервалах .

5. Обчислення границь

Якщо функція неперервна в точці і - довільна послідовність значень аргументу, яка збігається до , то за означенням неперервності функції послідовність відповідних значень функції також збіжна, причому .

Тепер нехай маємо послідовність , кожний член якої можна розглядати як значення деякої функції у точках , причому існує і функція у точці неперервна, тоді .

Приклад. Знайти

Якщо n-й член послідовності подати у вигляді , то очевидно, що послідовність можна розглядати як послідовність значень функції , що відповідає послідовності значень аргументу , де . Оскільки , а в точці функція неперервна, причому , то .

Якщо існує і послідовність така, що і визначено, то .

Нехай знову маємо послідовність , кожний член якої можна розглядати як значення деякої функції в точках , причому , і функція має границю на , то .

6. Дослідження властивостей функцій, заданої певними характеристичними властивостями. Функціональні рівняння

До цього часу, як правило, у задачах йшлося про функції, для яких відповідність задавалася явно. Разом з тим, неодноразово ставились також задачі, в яких вимагалось побудувати функцію з певними властивостями.

Приклад 1. Побудувати функцію, визначену на інтервалі (0; 1), розривну в кожній точці цього інтервалу, квадрат якої є неперервною функцією.

Задамо функцію в такий спосіб:

Очевидно, що вона визначена в кожній точці інтервалу (0; 1). Доведемо її розривність у кожній точці цього інтервалу. Нехай - раціональна точка з (0; 1). Візьмемо послідовність , кожний член якої є ірраціональним числом, належить інтервалу (0; 1) і . Тоді, з одного боку, , а з другого - .

Отже, у кожній раціональній точці інтервалу (0; 1) функція розривна. Нехай - ірраціональна точка з (0; 1). Тоді взявши будь-яку послідовність раціональних наближень числа таку, що, і , маємо з одного боку, , а з другого - .

Отже, і в кожній ірраціональній інтервалу (0; 1) функція розривна.

Квадратом заданої функції є функція , неперервність якої очевидна.

Сформульовані в прикладі характеристичні властивості функції (точніше класу функцій) дали змогу побудувати таку функцію. Однак можна задати і такі властивості, для яких проблема існування функції з заданими властивостями розв'язується позитивно, проте побудувати таку функцію не вдається або в принципі неможливо. У такому випадку маємо функцію, задану певними характеристичними властивостями, подальше дослідження якої треба вести, не знаючи самої функції.

Ситуацію такого типу маємо, наприклад, коли функція задається через інші функції, зокрема, коли мова йде про обернені функції і функції, задані параметрично.

Обернена функція. Нехай маємо функцію і нехай і . Для функції будемо припускати, що відповідність різним значенням аргументу відносить різні значення функції, тобто для з того, що , випливає, що . Нагадаємо, що відповідність, яка кожному числу відносить число таке, що , і називається функцією, оберненою до функції . Для позначення використовується символ , тобто записують . Однак і для оберненої функції незалежну змінну позначають через , а залежну - через і записують . Отже, якщо для функції і , то для оберненої до неї функції і . Очевидно також, що коли - функція, обернена до , то є функцією, оберненою до , тобто . Крім того, зазначимо, що , .

Якщо функція визначена на проміжку , то достатньою умовою існування функції, оберненої до заданої, є її строга монотонність, тобто функція має обернену, якщо вона зростаюча (спадна), причому обернена функція буде зростаючою (спадною). Якщо ж функція ще й неперервна на проміжку , то функція буде також неперервною на відповідному проміжку.

Приклад 2.

Функції, задані параметрично. Залежність між двома змінними і може задаватись не безпосередньо, а через якусь третю змінну , яку називають параметром. Точніше, будемо говорити, що функція задана параметрично, якщо задано функції і , визначені в деякому околі точки , причому одна з цих функцій неперервна і строго монотонна в цьому околі, тоді існує функція , визначена в деякому околі точки. Якщо і функція неперервна, то функція, задана параметрично, також неперервна.

Висновки

В даній курсовій роботі подано основні відомості про неперервні функції та методи розв'язування різних задач за допомогою їх властивостей. Деякі твердження супроводжуються ілюстративними прикладами. Кожен параграф закінчується набором ретельно підібраних та самостійно розв'язаних задач. Значна їх частина розширює введені поняття, дозволяє поглибити розуміння обґрунтувань, або надати уявлення про практичне застосування матеріалу.

У першому параграфі дано означення основних понять теорії неперервних функцій, проілюстровано їх на прикладах. В наступних параграфах наведено приклади типових задач на застосування властивостей неперервних функцій та їх розв'язання.

Список літератури

1. Шунда Н.М., Томусяк А.А. Практикум з математичного аналізу: Вступ до аналізу. Диференціальне числення: Навч. посібник.-К.:Вища шк., 1993.-375 с.

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу, ч. 1. - К.: Вища школа, 1976. - 368 с.

3. Шкіль М.І. Математичний аналіз, ч. 1. - К.: Вища школа, 1978. - 383 с.

Размещено на Allbest.ru