Основные понятия и свойства проективной геометрии, теоремы Дезарга и Паскаля

Основные законы проективной геометрии. Понятие двойного отношения, параллельности и бесконечности. Теорема Дезарга и теорема Паскаля. Пространственная интерпретация теоремы Дезарга. Стереометрия помогает планиметрии. Окружность переходит в окружность.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 05.12.2013
Размер файла 866,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Содержание

Введение

Глава 1. Основные понятия

1.1 Немного истории. Проективные свойства

1.2 Двойное отношение

1.3 Параллельность и бесконечность

Глава 2. Основные теоремы

2.1 Теорема Дезарга

2.2 Теорема Паскаля

Глава 3. Приложения проективной геометрии

3.1 Пространственная интерпретация теоремы Дезарга

3.2 Стереометрия помогает планиметрии

3.3 Окружность переходит в окружность

3.4 Неравенство Птолемея

Заключение

Список литературы

Введение

Цель моей работы: изучить основные законы проективной геометрии и научиться применять их в решении задач.

В связи с поставленной целью нужно решить следующие задачи:

1) Изучить основные понятия и теоремы проективной геометрии;

2) Подобрать задачи, имеющие проективный характер.

Проекция (лат. projectio - выбрасывание вперёд) - изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости.

Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Соединив эти точки прямыми линиями в том же порядке, как они соединены в предмете, получим на плоскости перспективное изображение предмета, или центральную проекцию.

Центральное проектирование искажает форму фигур, но некоторые их свойства всё-таки не меняются. Именно эти свойства и изучает проективная геометрия.

Актуальность темы работы обусловлена широким применением проективной геометрии. Без проекций никак не обойтись в инженерной графике, архитектуре, живописи и картографии. Архитекторы, делающие чертёж здания на ватмане, тем самым проектируют пространственную конфигурацию здания на плоскость. При этом они должны знать и учитывать все законы проектирования, то есть применять проективную геометрию. Другой пример: художник, создавая картину, проектирует на плоскости трёхмерное изображение, пользуясь при этом законами проективной геометрии.

В первой главе работы описаны основные понятия и свойства проективной геометрии, во второй приведены теоремы Дезарга и Паскаля, третья глава - это практическая часть работы.

Основной теоретический материал для работы взят из литературных источников [1] - [3], который представлен на странице 24.

Глава 1. Основные понятия

1.1 Немного истории. Проективные свойства

Хотя некоторые результаты, которые теперь причислены к проективной геометрии, восходят к работе такого древнегреческого геометра, как Папп Александрийский, проективная геометрия как таковая родилась в XVII веке из прямой перспективы в живописи и архитектурном черчении. Теорией перспективы занимались крупнейшие художники Возрождения Леонардо да Винчи (1452-1519) и Альбрехт Дюрер (1471-1521); ими были написаны книги о перспективе. Идея бесконечно далёких точек, в которых пересекаются параллельные прямые, появилась независимо у французского архитектора Жерара Дезарга и у немецкого астронома Иоганна Кеплера. Дезарг даже предложил, что может существовать прямая, состоящая исключительно из бесконечно удалённых точек.

Вначале проективная геометрия имела довольно ограниченный диапазон приложений. Но по мере роста она всё более и более проникала в различные геометрические области, а в конце XIX столетия исследования по проективной геометрии и по основаниям элементарной геометрии теснейшим образом объединились. Замечательным результатом этого объединения было построение в рамках проективной геометрии глубокой теории, которая включила в единую схему геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.

Проективная геометрия была развита и оформилась как особая область геометрии в работе французского инженера и геометра Жана Виктора Понселе (1788-1867) «Трактат о проективных свойствах фигур», вышедшей в 1822 г. Понселе был офицером наполеоновской армии, попал в плен и написал свой трактат в 1813-1814 гг., находясь в плену в Саратове. В этой работе он выделил как объект исследования некоторые особые свойства геометрических фигур, названные проективными.

Достойно внимания, что эта область геометрии не только возникла из потребностей практики, но и была обязана своим развитием художникам, архитекторам и инженерам. Только позже ей было дано самостоятельное аксиоматическое обоснование.

Многие свойства фигур не переносятся на её проекцию. Так, свойства правильного треугольника могут не сохраниться при проектировании, в результате которого, вообще говоря, не будет получаться снова правильный треугольник. Основное свойство окружности, выражаемое обычно определением, также может быть нарушено при проектировании. Проектируя окружность, можно получить эллипс или параболу и даже гиперболу; проектируя правильный треугольник, можно получить треугольник произвольной формы, и т. д.

Точно так же многие величины, связанные с фигурой, будут при проектировании, вообще говоря, меняться. Так, проектируя отрезок данной длины a, можно получить отрезок, длина которого как угодно велика или как угодно мала; проектируя треугольник данной площади S, можно получить треугольник, площадь которого будет больше или меньше величины S.

С другой стороны, фигуры обладают свойствами, которые сохраняются при любом проектировании, и с фигурами могут быть сопоставлены величины, также сохраняющиеся при любом проектировании. Такие свойства и величины называют инвариантами проектирования.

Именно эти свойства фигур, инвариантные по отношению к любому проектированию, Понселе назвал проективными свойствами, рассматривая их как объекты исследования в проективной геометрии. Кроме того, объектами проективной геометрии являются инвариантные относительно проектирований величины.

Учение о проективных свойствах и составляет предмет проективной геометрии.

1.2 Двойное отношение

Если длина отрезка прямой представляет собой своего рода ключ к метрической геометрии, то существует и в проективной геометрии одно основное понятие, с помощью которого могут быть выражены все отличительные проективные свойства фигур.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Предположим, что три точки A, B и C расположены на одной прямой. Проектирование, вообще говоря, изменяет не только расстояние AB и BC, но и их отношение . В самом деле, любые три точки A, B и C на прямой l могут быть переведены в любые три точки A?, B?, C? на прямой l? посредством двух последовательно производимых проектирований. Чтобы в этом убедиться, станем вращать прямую l? около точки C?, пока она не примет положения l??, параллельного l (рисунок 1). Затем, проектируя l на l ?? параллельно прямой CC?, получим три точки A??, B?? и C?? (?C?). Прямые A?A?? и B?B?? пересекутся в точке O, которую мы изберём в качестве центра второй проекции. Последовательно выполненные две проекции дают требуемый результат.

Из доказанного вытекает, что никакая величина, определяемая только тремя точками на прямой, не может быть инвариантной при проектировании. Но - в этом заключается решающее открытие в проективной геометрии - если на прямой дано четыре точки A, B, C, D, которые при проектировании переходят в точки A?, B?, C?, D? другой прямой, то некоторая величина, называемая двойным отношение этих четырёх точек, при проектировании не изменяет числового значения. В этом заключено математическое свойство системы четырёх точек на прямой, которое носит инвариантный характер и которое можно обнаружить во всякой проекции рассматриваемой прямой. Двойное отношение не есть ни расстояние, ни отношение расстояний, а отношение двух таких отношений: если мы составим отношения и , то их отношение по определению есть двойное отношение четырёх точек A, B, C, D, взятых в указанном выше порядке.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Убедимся теперь, что двойное отношение четырёх точек инвариантно при проектировании, т . е. что если A, B, C, D и A?, B?, C?, D? - две четвёрки точек на двух прямых и между ними установлено проективное соответствие, то тогда справедливо равенство . Доказательство вполне элементарное. Вспомним, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту и, с другой стороны, равна половине произведения двух сторон на синус заключённого между ними угла. Тогда получим (рисунок 2):

площадь

площадь

площадь

площадь

Отсюда следует:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом, двойное отношение точек A, B, C, D зависит только от углов, образованных в точке O отрезками OA, OB, OC, OD. Так как эти углы - одни и те же, каковы бы ни были четыре точки A?, B?, C?, D?, в которые при проектировании переходят A, B, C, D, то ясно, что двойное отношение не изменяется при проектировании.

Что двойное отношение не изменяется при параллельном проектировании, следует из элементарных свойств подобных треугольников (рисунок 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

До сих пор, говоря о двойном отношении четырёх точек A, B, C, D, расположенных на прямой l, мы предполагали, что это отношение составлено из положительных отрезков. Целесообразно видоизменить это определение следующим образом. Примем одно из двух направлений прямой l за положительное и условимся, что все отрезки, отсчитываемые в этом направлении, будут считаться положительными, а отрезки, отсчитываемые в противоположном направлении, - отрицательными. Теперь определим двойное отношение точек A, B, C, D (взятых в указанном порядке) согласно формуле причём знаки чисел CA, CB, DA, DB берутся в соответствии с указанным выше условием. Так как при изменении направления на прямой l, принятого за положительное, меняются только знаки всех четырёх отрезков, то значение (ABCD) не зависит от выбора направления. Легко понять, что (ABCD) имеет отрицательный или положительный знак, смотря по тому, разделена ли пара точек A, B парой точек C, D или не разделена. Так как свойство «разделяться» инвариантно относительно проектирования, то понимаемое в новом смысле (как величина, способная иметь тот или иной знак) двойное отношение (ABCD) также инвариантно. Выберем начальную точку O на прямой l и сопоставим каждой точке на прямой l в качестве координаты x её расстояние от O, взятое с надлежащим знаком; тогда, обозначая координаты A, B, C, D соответственно через x1, x2, x3, x4, получим формулу

Если (ABCD) = - 1, так что , то точки C и D делят отрезок AB внутренне и внешне в одном и том же отношении. В этом случае принято говорить, что C и D делят отрезок AB гармонически, и каждая из точек C и D считается гармонически сопряжённой с другой точкой относительно пары точек A, B. Если (ABCD) = 1, то точки C и D (или A и B) совпадают.

Необходимо не упустить из виду, что при определении двойного отношения (ABCD) существенную роль играет порядок, в котором берутся точки A, B, C, D. Например, если (ABCD) = л, то двойное отношение (BACD) = , а (DACB) = 1 - л. Четыре точки A, B, C, D могут быть переставлены между собой 4 · 3 · 2 · 1 = 24 различными способами, и каждой перестановке соответствует некоторое значение двойного отношения. Некоторым перестановкам соответствует то же числовое значение двойного отношения, что и начальной перестановке A, B, C, D; например, (ABCD) = (BADC). При 24 возможных перестановках четырёх точек получается всего лишь шесть различных значений двойного отношения, а именно

л, 1 - л, , , , .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эти шесть величин, вообще говоря, различны, но при некоторых значениях л могут и совпадать по две, например, при значении л = - 1 в случае гармонического деления.

Мы можем также определить двойные отношения четырёх компланарных (т. е. лежащих в одной плоскости) и конкурентных прямых 1, 2, 3, 4, как двойное отношение четырёх точек пересечения этих прямых с некоторой прямой, лежащей в той же плоскости. Положение этой пятой прямой несущественно вследствие инвариантности двойного отношения при проектировании. Эквивалентным этому определению является следующее:

где нужно взять знак плюс, если пара 1,2 не разделяется парой 3,4, и знак минус, если разделяется. (В этой формуле (1,3), например, обозначает угол между прямыми 1 и 3.) Наконец, можно определить двойное отношение четырёх коаксиальных плоскостей (четырёх плоскостей, пересекающихся по одной прямой, или «оси»). Если некоторая прямая пересекает плоскости в четырёх точках, то двойное отношение этих точек всегда будет иметь одно и то же значение, независимо от выбора прямой. Таким образом, полученное значение можно назвать двойным отношением рассматриваемых четырёх плоскостей. Иначе, можно назвать двойным отношением четырёх коаксиальных плоскостей двойное отношение четырёх прямых, по которым они пересекаются произвольной пятой плоскостью (рисунок 6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Понятие двойного отношения четырёх плоскостей побуждает поставить вопрос о том, нельзя ли дать определение проективного преобразования трёхмерного пространства самого на себя. Определение с помощью центральной проекции, очевидно, не обобщается непосредственно от случая двух измерений на случай трёх измерений. Но можно доказать, что каждое непрерывное преобразование плоскости самой на себя, взаимно однозначно переводящее точки в точки и прямые в прямые, есть проективное. Это обстоятельство наводит на мысль ввести следующее определение для случая трёх измерений: проективным преобразованием пространства называется непрерывное взаимно однозначное преобразование, переводящее прямые в прямые линии. Можно сказать, что такие преобразования оставляют значения двойных отношений неизменными.

Добавим к предыдущему ещё кое-какие замечания. Пусть на прямой даны три различные точки A, B, C с координатами x1, x2, x3. Требуется найти четвёртую точку D таким образом, чтобы удовлетворялось равенство (ABCD) = л, где л задано. (Частный случай, когда л = - 1 и задача заключается в построении четвёртой гармонической точки, будет подробно рассмотрен ниже.) Вообще говоря, задача имеет одно и только одно решение. Действительно, если x - координата искомой точки D, то уравнение

имеет ровно одно решение. Считая x1, x2 и x3 заданными и полагая ради кратности мы придадим решению вид

Например, если точки A, B, C, D находятся на равных расстояниях друг от друга и имеют соответственно координаты x1 = 0, x2 = d, x3 = 2d, то тогда и

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если прямая l спроектирована из двух различных центров O? и O?? на две различные прямые l? и l??, то получается соответствие P-P? между точками прямых l и l? и соответствие P-P?? между точками прямых l и l??. Этим устанавливается соответствие P?-P?? между точками прямых l? и l??, и притом такое, что каждые четыре точки A?, B?, C?, D? на прямой l? имеют то же самое двойное отношение, что и соответствующие точки A??, B??, C??, D?? на l??. Всякое взаимно однозначное соответствие между точками двух прямых, обладающее этим свойством, называется проективным соответствием, независимо от того, каким способом это соответствие установлено.

В качестве интересного применения инвариантности двойного отношения мы докажем одну простую, но важную теорему проективной геометрии. Речь идёт о полном четырёхстороннике - фигуре, образованной произвольными четырьмя прямыми, из которых никакие три не являются конкурентными, и шестью точками их пересечения. На рисунке 8 названные четыре прямые суть AE, BE, BI, AF. Прямые AB, EG и IF являются диагоналями четырёхсторонника. Рассмотрим одну из диагоналей, например AB, и отметим на ней точки C и D, где она пересекается с двумя другими диагоналями. Тогда теорема утверждает существование равенства (ABCD) = - 1; словами это выражается так: точки пересечения одной диагонали с двумя другими делят отрезок между вершинами четырёхсторонника гармонически. Для доказательства достаточно обратить внимание на то, что x = (ABCD) = (IFHD) (проектируем из E), (IFHD) = (BACD) (проектируем из G).

Как нам известно, таким образом, Но так как C, D разделяют A, B, то двойное отношение x отрицательно и потому оно должно быть равно именно -1, что мы и хотели доказать.

Полученное замечательное свойство полного четырёхсторонника даёт нам возможность с помощью одной лишь линейки построить точку, гармонически сопряжённую с точкой C относительно пары A, B (если A, B, C коллинеарны). Нужно только, выбрав произвольную точку E вне данной прямой, провести прямые EA, AB, EC; затем, взяв произвольную точку G на EC, провести прямые AG и BG, пересекающие EB и EA, скажем, в точках F и I; провести, наконец, прямую IF, которая пересечёт исходную прямую в искомой точке D.

1.3 Параллельность и бесконечность

Внимательное рассмотрение изложенного в предыдущем параграфе обнаруживает, что во многих случаях приведённая аргументация теряет силу - именно, тогда, когда прямые, точка пересечения которых нужна для построения, оказываются параллельными. Например, построение четвёртой гармонической точки D становится невыполнимым, если прямая IF параллельна AB. Геометрические рассуждения на каждом шагу затруднены тем обстоятельством, что параллельные прямые не имеют общей точки, и потому всякий раз, когда речь идёт о пересечении прямых, приходится отдельно рассматривать и особо оговаривать случай параллелизма. С другой стороны, если производится проектирование, мы вынуждены различать и трактовать независимо рядом с центральной также и параллельную проекцию. Если бы из такого положения не было выхода, то проективная геометрия, будучи вынуждена вникать в детальное исследование каждого встречающегося исключения и особого случая, неизбежно была бы чрезвычайно усложнена. Всё это побуждает искать выход в ином направлении, именно, на пути такого обобщения основных понятий, которое устраняло бы возможные исключения.

Тут нам поможет геометрическая интерпретация; мы видим, что если прямая, пересекающая другую прямую, медленно вращается, приближаясь к положению параллельности, то точка пересечения двух прямых неограниченно удаляется. Это даёт повод к наивному утверждению: две прямые пересекаются «в бесконечно удалённой точке». Подобного рода формулировке существенно придать точный смысл с таким расчётом, чтобы с «бесконечно удалёнными», или, как иногда говорят, с «идеальными» точками можно было проводить точные и надёжные рассуждения, как с обыкновенными точками на плоскости или в пространстве. Иными словами, мы желали бы, чтобы все правила поведения точек, прямых, плоскостей оставались в силе и для «идеальных» геометрических элементов.

В математическом смысле существование «бесконечно удалённых точек» обеспечено, если отчётливо и без взаимных противоречий установлены математические свойства этих вновь вводимых элементов, т. е. их взаимоотношения с «обыкновенными» точками и между собой. Обыкновенно система геометрических аксиом (например, в евклидовой геометрии) вытекает путём абстракции из наблюдений над физическими объектами: таковы следы прикосновения карандаша к бумаге или мела к доске, натянутые нити, световые лучи, твёрдые стержни и т. п. Свойства, приписываемые аксиомами математическим точкам и прямым, представляют собой в высшей степени упрощённые и идеализированные описания поведения соответствующих им физических «двойников». Через любые два карандашных пятнышка можно провести не одну, а много карандашных «прямых». Если пятнышки становятся всё меньше по диаметру, то все такие «прямые» станут трудно отличимыми одна от другой. Вот что имеется в виду, когда в качестве геометрической аксиомы говорится, что «через любые две точки можно провести одну и только одну прямую»: мы при этом говорим об «абстрактных», чисто умозрительных, геометрических точках и прямых. Геометрические точки и прямые обладают гораздо более простыми свойствами, чем какие бы то ни было физические объекты. Упрощение является существенным условием, позволяющим строить геометрию как дедуктивную дисциплину.

Как уже было отмечено, обыкновенная геометрия точек и прямых весьма осложнена тем обстоятельством, что две параллельные прямые не имеют точки пересечения. Это побуждает нас сделать дальнейшее упрощение в структуре геометрии, расширяя понятие геометрической точки таким образом, чтобы устранить указанное исключение.

Итак, мы уславливаемся в том, что к обыкновенным точкам всякой прямой добавляем ещё одну, «идеальную», точку и будем считать эту точку принадлежащей одновременно всем прямым, параллельным данной, и никаким другим. Следствием такого условия является то, что всякая пара прямых на плоскости теперь уже пересекается в единственной точке: если прямые не параллельны, то в «обыкновенной» точке; если параллельны, то им обеим принадлежащей «идеальной» точке. По причинам интуитивного порядка эта идеальная точка на прямой называется бесконечно удалённой точкой на этой прямой.

Интуитивное представление о точке, удаляющейся в бесконечность по прямой линии, могло бы навести на мысль, что следует добавить две идеальные точки на каждой прямой - по одной для каждого направления. Если мы добавляем только одну, то лишь потому, что мы заинтересованы в сохранении закона: через каждые две точки проходит одна и только одна прямая. Если бы прямая содержала две бесконечно удалённые точки вместе со всеми, ей параллельными, то вышло бы, что через две такие «точки» проходит бесконечное множество прямых.

Мы уславливаемся также в том, что к обыкновенным прямым на плоскости добавляем ещё одну «идеальную», так называемую «бесконечно удалённую» прямую, содержащую все бесконечно удалённые точки плоскости и никаких других. Мы вынуждены принять именно такое условие, если хотим сохранить первоначальный закон - «через всякие две точки проходит одна прямая» и вновь утверждённый закон - «всякие две прямые пересекаются в одной точке». В самом деле, возьмём две какие-нибудь идеальные точки. Единственная прямая, которая должна проходить через эти точки, не может быть обыкновенной прямой, так как по принятому условию каждая обыкновенная прямая содержит только одну идеальную точку. С другой стороны, эта прямая не может содержать обыкновенных точек, так как через обыкновенную точку и одну из идеальных точек непременно прошла бы обыкновенная прямая. Наконец, рассматриваемая прямая непременно содержит все идеальные точки, так как мы хотим, чтобы она имела одну общую точку со всякой обыкновенной прямой. Итак, прямая, о которой идёт речь, неизбежно должна обладать как раз всеми теми свойствами, которыми мы наделили идеальную прямую в нашей плоскости.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Согласно принятым условиям, каждая бесконечно удалённая точка определяется или представляется семейством параллельных прямых, точно так же как иррациональное число определяется последовательностью «вложенных» рациональных отрезков. Такого рода условный способ описывать параллельность с помощью терминов, первоначально предназначенных для интуитивно отличных объектов, единственной своей целью имеет сделать излишним перечисление исключительных случаев. Эти последние теперь автоматически покрываются теми же терминами (и оборотами речи), которые первоначально употреблялись для «обыкновенных» случаев.

Из всего выше сказанного приходим к выводу, что проекция всякой прямой представляет собой прямую, поскольку к прямым присоединяется бесконечно удалённая прямая, образованная всеми бесконечно удалёнными точками плоскости.

Ещё одно замечание следует сделать по поводу двойных отношений с бесконечно удалёнными элементами. Будем обозначать символом ? бесконечно удалённую точку на прямой l. Посмотрим, как определяется символ (ABC?), если A, B, C - три обыкновенные точки на l. Пусть P - некоторая точка на l; тогда (ABC?) рассматривается как предел (ABCP), когда P удаляется в бесконечность по l. Но

и, когда P неограниченно удаляется, стремится к 1. Отсюда вытекает определение:

В частности, если (ABC?) = 1, то C есть середина отрезка AB: средняя точка отрезка и бесконечно удалённая точка, взятая в направлении отрезка, делят отрезок гармонически.

Глава 2. Основные теоремы

2.1 Теорема Дезарга

Дополнение обычной плоскости бесконечно удалённой прямой позволяет в целом ряде случаев не отличать параллельные прямые от пересекающихся и этим придаёт единообразие формулировкам и доказательствам теорем.

С другой стороны, поскольку проективная плоскость получается из обычной прибавлением прямой, то, приняв какую-либо прямую на проективной плоскости за бесконечно удалённую, получаем обычную аффинную плоскость. Тогда теорема проективной геометрии сводится к теореме аффинной геометрии, и её можно доказывать, пользуясь аффинной и даже евклидовой геометрией.

проективный геометрия окружность планиметрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример, демонстрирующий пользу обоих сделанных замечаний, представляет теорема Дезарга. Формулируем её для проективной плоскости (рисунок 10).

Теорема 1. Пусть у двух треугольников вершины и соответственно стороны приведены в соответствие. Тогда если при этом оказывается, что прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке, то точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, лежат на одной прямой.

И обратно: если точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке.

Обозначим соответствующие вершины треугольников A, B, C и A?, B?, C?. Точки пересечения прямых AB и A?B?, BC и B?C?, CA и C?A? обозначим D, E, F. Тогда теорема выглядит так: если прямые AA?, BB?, CC? пересекаются в одной точке, то точки D, E, F лежат на одной прямой, и обратно: если D, E, F лежат на одной прямой, то AA?, BB?, CC? пересекаются в одной точке.

Заметим, что в проективной геометрии прямая - замкнутая линия, поэтому отрезок не определяется своими концами: есть два отрезка с одними и теми же концами. Соответственно треугольник ABC не является определённым в обычном смысле. Поэтому, может быть, лучше говорить о двух тройках точек A, B, C и A?, B?, C?, не лежащих каждая на одной прямой.

Переведём теперь теорему Дезарга на язык евклидовой геометрии. Тогда для прямых, проходящих через соответственные вершины, надо различать два случая: 1) либо они пересекаются, 2) либо они параллельны. Для прямых проходящих вдоль соответственных сторон, придётся различать три случая: 1) они пересекаются в точках одной прямой, 2) они параллельны (три пары параллельных прямых), 3) прямые одной пары параллельны, прямые двух других пар пересекаются в точках, лежащих на прямой, параллельной прямым первой пары.

Итого, в теореме при её формулировке для обычной плоскости будет 2 Ч 3 = 6 случаев.

С другой стороны, можно превратить данную теорему в теорему на обычной плоскости, приняв прямую, на которой лежат точки пересечения прямых, идущих вдоль сторон, за бесконечно удалённую. Тогда теорема примет такой вид.

Теорема 2. Пусть вершины и соответственно стороны двух треугольников приведены в соответствие. Пусть при этом оказывается, что 1) прямые, соединяющие соответственные вершины, пересекаются в одной точке или параллельны, 2) соответственные стороны в двух парах параллельны, тогда и стороны третьей пары параллельны.

Обратно: если соответственные стороны параллельны (в каждой из трёх пар), то прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются либо параллельны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В этом виде обе части теоремы, прямая и обратная, вполне доступны доказательству на уровне школьного курса.

Сначала докажем вторую часть. Пусть AB??A?B?, BC??B?C?, CA??C?A?. Проведём прямые AA?, BB?. Допустим, они пересекаются в некоторой точке O.

Так как AB??A?B?, то

OA/OA? = OB/OB?. (1)

Тут возможны два случая: 1) точки A, A? как и B, B? лежат с одной стороны от O (рисунок 11), 2) они с разных сторон от O (рисунок 12). Произведём гомотетию с центром O, которая переведёт точку A? в A. Если эти точки с разных сторон от O, то коэффициент гомотетии отрицательный.

Ввиду пропорциональности отрезков (1) точка B? перейдёт в B. Прямые A?C? и B?C?, как параллельные прямым AC, BC, перейдут в эти прямые. Вместе с этим точка их пересечения C? переходит в C. Следовательно, точки C, C? лежат на одной прямой, проходящей через O.

Если AA???BB?, то тот же результат даёт параллельный перенос, совмещающий A с A?.

Итак, вторая часть теоремы доказана.

Аналогично доказывается прямая теорема. Используем рисунки 2 и 3. Прямые AA?, BB?, CC? пересекаются в одной точке, а AB и AC параллельны A?B? и A?C? соответственно. Так же, как и в доказанной обратной теореме, производим гомотетию с центром O. Таким образом, точка A? переходит в точку A, точка B? - в B (по пропорциональности отрезков OA/OA? = OB/OB?), а точка C? - в C (по пропорциональности отрезков OA/OA? = OC/OC?). Следовательно, AB переходит в A?B?, AC - в A?C? и BC - в B?C?, то есть BC?B?C?. Теорема доказана.

Перейти от доказываемой таким образом теоремы из элементарной геометрии к теореме Дезарга в её общем виде можно совсем просто и не ссылаясь на проективную геометрию.

Пусть на плоскости б даны треугольники ABC, A?B?C?. Воспользуемся введёнными выше обозначениями (рисунок 10). Пусть D, E - точки пересечения прямых AB, A?B? и BC, B?C?. (Если, скажем, BC??B?C?, то берём прямые CA, C?A?, если же CA??C?A? или AB??A?B?, то это случай, который уже рассмотрен в доказанной теореме.) Проводим прямую DE. Берём точку O - центр проекции вне плоскости б и проводим плоскость в через O и прямую DE. Проводим плоскость г??в и проектируем на неё плоскость б. Так как г??в, то прямая DE спроектируется в бесконечно удалённую прямую, т. е. прямые AB, A?B? и BC, B?C? спроектируются в параллельные. Мы получим, таким образом, конфигурацию, рассматриваемую в теореме 2. Эта теорема доказана, а значит, возвращаясь на плоскость б, доказана и теорема Дезарга.

2.2. Теорема Паскаля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эта теорема формулируется так: если вершины шестиугольника лежат поочерёдно на двух пересекающихся прямых, то точки P, Q, R пересечения противоположных сторон этого шестиугольника коллинеарны (рисунок 13). (Контур шестиугольника может быть самопересекающимся. Что такое «противоположные» стороны, можно легко понять из схемы на рисунке 14.)

Выполняя предварительное проектирование, можно допустить, что P и Q ушли в бесконечность. Остаётся показать, что R также уйдёт в бесконечность. Ситуация иллюстрируется рисунком 3, где 23?56 и 12?45. Нужно показать, что 16?34. Мы имеем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поэтому

Так что 16?34, что и требовалось доказать.

Глава 3. Приложения проективной геометрии

3.1 Пространственная интерпретация теоремы Дезарга

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приведём пространственную интерпретацию теоремы Дезарга. Пусть треугольник ABC будет основанием пирамиды с вершиной в точке O (рисунок 16), тогда треугольник A?B?C? - это сечение пирамиды, где AA?, BB?, CC? - рёбра.

Пусть прямые AB и A?B? пересекаются в точке E, прямые AC и A?C? - в точке F, прямые BC и B?C? - в точке D (если же какие-то из этих соответственных сторон основания и сечения параллельны, то их точка пересечения бесконечно удалена). Так как плоскость основания и сечения имеют общую точку (например, точку E, ведь она принадлежит и плоскости ABC, и плоскости A?B?C?), то по одной из основных аксиом стереометрии, эти плоскости имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки. Но ведь точки F и D тоже принадлежат обеим плоскостям (ABC и A?B?C?), следовательно, точки F и D тоже лежат на общей прямой плоскостей основания и сечения, то есть точки E, F и D лежат на одной прямой.

А теперь посмотрим на рисунок 16 как на рисунок в плоскости листа. При этом получаем, что у двух треугольников вершины и соответственно стороны приведены в соответствие, прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке, а доказали мы, что точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, лежат на одной прямой.

3.2 Стереометрия помогает планиметрии

Задачи планиметрии, носящие проективный характер, то есть те задачи, в условии которых используются только понятия «точка лежит на прямой» или «прямая проходит через точку», можно решить с помощью стереометрии: представить чертёж задачи как проективное изображение некоторых пространственных фигур.

В этом пункте представлены задачи, которые относятся к проективной геометрии, но решаются с помощью выхода в пространство.

Задача 1:

На плоскости даны три параллельные прямые и три точки, не лежащие на одной прямой и не принадлежащие ни одной из трёх данных прямых. Построить треугольник так, чтобы его вершины лежали на трёх данных прямых, а каждая сторона (или её продолжение) проходила через одну из заданных точек.

Решение:

Будем рассматривать три данные параллельные прямые как параллельную проекцию рёбер треугольной призматической поверхности. Тогда задача сводится к построению сечения треугольной призмы плоскостью, проходящей через три данные точки.

Пусть a, b, c - три прямые, а M, N, P - три точки, о которых говорится в условии (рисунок 17). Построим некоторый треугольник ABC с вершинами на трёх заданных прямых. Будем считать этот треугольник основанием треугольной призмы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проводим из точек M, N, P перпендикуляры на AC, AB, BC соответственно, получаем точки M?, N?, P?. Теперь проводим прямые MN и M?N? до пересечения (аналогично PN и P?N?). Получаем точки F и D. Это точки пересечения плоскости основания призмы с плоскостью искомого сечения, то есть на прямой DF лежат все общие точки этих плоскостей (по аксиоме стереометрии). Продолжаем прямую CB до пересечения с DF, получаем точку E.Теперь соединяем точку E с P до пересечения с прямой c. Таким образом, точка пересечения прямых b и EP есть точка B?, а точка пересечения прямых c и EP - C?. Соединяем точки B? и N до пересечения с прямой a - это точка A?. Осталось соединить A? и C?. Точка M будет лежать на A?C?, так как она лежит в плоскостях A?B?C? и A?C?C. Таким образом, вершины треугольника A?B?C? лежат на прямых a, b, c соответственно, а точки M, N, P принадлежат сторонам этого треугольника, следовательно, A?B?C? - искомый треугольник.

Заметим, что каждая из трёх заданных точек M, N, P может принадлежать любой из трёх плоскостей данной призматической поверхности. Поэтому в общем случае задача может иметь 6 различных решений.

Задача 2:

На плоскости даны три луча, имеющие общее начало, и три точки, не лежащие на одной прямой и не принадлежащие ни одному из трёх данных лучей. Построить треугольник так, чтобы его вершины лежали на трёх данных лучах, а каждая сторона (или её продолжение) проходила через одну из заданных точек.

Решение:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эта задача во многом аналогична предыдущей. Разница лишь в том, что нужно построить сечение треугольной пирамиды.

На рисунке 2 показано решение для одного из шести возможных случаев расположения точек M, N, P.

В итоге получаем, что треугольник A?B?C? - искомый, так как его стороны содержат точки M, N, P, а вершины лежат на данных лучах.

Таким образом, делаем вывод, что стереометрия может во много раз облегчить решения планиметрических задач и с её помощью некоторые вещи становятся очевиднее. Следовательно, и задачи проективной геометрии можно решать, выходя в пространство.

Задача 3:

Общие внешние касательные к трём окружностям пересекаются в точках A, B и C. Доказать, что эти точки коллинеарны.

Доказательство:

Решение состоит в выходе в пространство.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обозначим центры окружностей O1, O2 и O3 (рисунок 19). Восстановим из точек O1, O2 и O3 перпендикуляры O1O1?, O2O2? и O3O3? к плоскости, содержащей данные окружности, так, что O1O1?=R1, O2O2?=R2, O3O3?=R3. Теперь ясно, что прямая O1?O2? пересекает плоскость в точке A (подобие треугольников), прямая O1?O3? - в точке B, прямая O2?O3? - в точке C, таким образом, эти точки лежат на пересечении плоскости окружностей и плоскости O1?O2? O3?. Но пересечение двух плоскостей - прямая, таким образом, точки коллинеарны.

3.3 Окружность переходит в окружность

Задача 4:

Доказать, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности, переводит в центр образа.

Доказательство:

Рассмотрим на координатной плоскости Oxz точки O(0;0), N(0;1), E(1;0). Для произвольной точки M, лежащей на дуге NE единичной окружности (рисунок 20), обозначим через P середину отрезка EM, а через точки M? и P? - точки пересечения прямых NM и NP соответственно с прямой OE.

Докажем, что для любого числа k > 2 можно выбрать точку M таким образом, что M?E : P?E = k. Пусть A(a;b) - произвольная точка плоскости, A?(t;0) - точка пересечения прямых NA и OE, B(0;b) - проекция точки A на прямую ON. Тогда

Поэтому, если (x;z) - координаты точки M, то точки P, M?, P? имеют соответственно координаты

значит,

Ясно, что уравнение (2 - z)/(1 - z) = k имеет решение z = (k - 2)/(k - 1), причём k > 2, то 0 < z < 1, и, следовательно, точка требуемая.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Докажем теперь основное утверждение задачи. Обозначим данные окружность и точку внутри неё соответственно через S и C. Если точка С является центром окружности S, то требуемым проективным преобразованием является тождественное преобразование. Поэтому будем считать, что C не центр. Обозначим через AB диаметр, содержащий точку C. Пусть для определённости BC > CA. Положим k = BA:AC. Тогда k > 2, и, следовательно, как было доказано, на единичной окружности в плоскости Oxz можно расположить точку M так, что M?E:P?E = k = BA:CA. Поэтому преобразованием подобия окружность S можно перевести в окружность S1, построенную в плоскости Oxy на отрезке EM? как на диаметре, так, чтобы точки A, B, C перешли соответственно в точки E, M?, P?. При стереографической проекции окружность S1 проецируется в окружность S2 на единичной сфере, которая симметрична относительно плоскости Oxz, а значит, и относительно прямой EM. Поэтому EM - диаметр окружности S2, а его середина - точка P - её центр. Пусть б - плоскость, содержащая окружность S2. Ясно, что при центральном проектировании плоскости Oxy на плоскость б из северного полюса единичной сферы окружность S1 перейдёт в S2, а точка P? - в её центр P. [4]

Задача 5:

Доказать, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырёхугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Доказательство:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть дан четырёхугольник ABCD, в который можно вписать окружность. Точки M, P, N, R - это точки касания вписанной окружности со сторонами четырёхугольника AB, BC, CD, AD соответственно (рисунок 21). Точка O - точка пересечения MN и PR. Тогда нужно доказать, что O также лежит на пересечении диагоналей AC и BD.

Из предыдущей задачи следует, что окружность с произвольной точкой O внутри с помощью проективных преобразований можно перевести в окружность с центром в этой точке. Таким образом, получаем окружность с центром в точке O = O? (рисунок 22).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проектированием переводим AB, BC, CD, AD в A?B?, B?C?, C?D?, A?D? соответственно. По законам проективной геометрии точки M, P, N, R перейдут в точки M?, P?, N?, R? касания четырёхугольника A?B?C?D? с вписанной окружностью, и O? будет лежать на пересечении M?N? и P?R?. Так как O? центр окружности, следовательно, получившийся четырёхугольник симметричен относительно O?, то есть A?B?C?D? ромб.

Тогда диагонали ромба пересекаются в точке O?, то есть A?C? и B?D? содержат эту точку. Следовательно, по закону принадлежности точки прямой при проектировании точка O? (O) будет лежать на AC и BD данного четырёхугольника. А это именно то, что надо было доказать: прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырёхугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

3.4 Неравенство Птолемея

Задача 6:

Докажем для косого четырёхугольника ABCD

AC · BD < AB · CD + BC · AD, (3.4)

т. е. произведение длин его диагоналей меньше суммы произведений длин противоположных сторон.

Доказательство:

Воспользуемся известным фактом - следствием из соотношения Бретшнайдера:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для любых четырёх точек плоскости имеет место неравенство:

AC · BD ? AB · CD + BC · AD,

причём знак равенства имеет место лишь в случаях, когда эти точки лежат либо на окружности, либо на прямой и пара (A,C) разделяет пару (B,D).

Спроектируем ортогонально диагональ BD четырёхугольника на плоскость щ, параллельную BD и содержащую диагональ AC (рисунок 23). Для четырёх точек A, B1, C, D1, лежащих в плоскости щ, имеем:

AC · B1D1 ? AB1 · CD1 + B1C · AD1.

По свойству ортогонального проектирования получаем, что AB1 < AB, CD1 < CD, CB1 < CB, AD1 < AD и B1D < BD. Поэтому неравенство (3.4) следует из предыдущего при замене отрезков большими. Случаи равенства не имеют места.

Заключение

В работе решены те задачи, которые поставлены во введении.

Проективная геометрия - это широкая область для изучения геометрии как науки в целом. Проективную геометрию нельзя просто выучить, её нужно понять, а в дальнейшем уметь применять в жизни.

С помощью проективной геометрии можно решать довольно не простые задачи планиметрии выходом в пространство. Ведь тогда некоторые вещи становятся очевиднее, а ответ приходит сам собой. Именно такие красивые задачи представлены в моей работе.

Также с помощью проективных преобразований я доказала интересное свойство описанного четырёхугольника: прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырёхугольника, проходят через точку пересечения его диагоналей.

Список литературы

1. Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? - 3-е изд., испр. и доп. - М.: МЦНМО, 2001. - 568 с.

2. А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. Геометрия: Учебное пособие. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 672 с.: ил.

3. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия, 1932. Перевод с немецкого С.А. Каменецкого. - Объединённое научно-техническое издательство НКТП СССР. Главная редакция общетехнической литературы и номографии, Москва, 1936, Ленинград. - 304 с.

4. В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. - 640 с.: ил.

5. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Неожиданный шаг, или Сто тринадцать красивых задач: Методическое пособие. - К.: Агрофирма «Александрия», 1993. - 59 с.

6. Я.П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. - Т. 3: Треугольники и тетраэдры. - М.: МЦНМО, 2009. - 192 с.: ил.

7. А.П. Карп. Даю уроки математики…: Кн. для учителя: Из опыта работы. - М.: Просвещение, 1992. - 191 с.: ил.

8. Я.П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. - Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. - М.: МЦНМО, 2004. - 312 с.: ил.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Теоремы Паскаля, Брианшона для пятиугольника, четырехугольника, треугольника. Их использование для решения задач конструктивного типа проективной геометрии линий 2-го порядка на расширенной прямой, связанные с построением точек и касательных к ним.

    курсовая работа [967,1 K], добавлен 02.06.2013

  • Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.

    курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013

  • Понятие окружности и круга, основные теоремы и свойства. Касание прямой и окружности, случаи их взаимного расположения. Вписанные и описанные фигуры. Относительное положение двух окружностей. Свойства хорд и расстояние до них. Определение длин и площадей.

    презентация [536,1 K], добавлен 16.04.2012

  • Жерар Дезарг как известный французский математик, краткий очерк его жизни и деятельности. Сущность и содержание теоремы данного ученого, исторические основы ее создания и развития, особенности применения к решению задач, на евклидовой плоскости.

    курсовая работа [151,3 K], добавлен 28.04.2011

  • Основные открытия Пифагора в области геометрии, географии, астрономии, музыки и нумерологии. Изначальная и алгебраическая формулировки знаменитой теоремы. Один их многочисленных способов доказательства теоремы Пифагора, ее основные следствия и применение.

    презентация [257,4 K], добавлен 05.12.2010

  • Биографии и описание деятельности великих математиков: Паскаля, Бернулли, Дезарга, Ньютона, Ферма, Декарта, Эйлера, Монжа, Фурье, Лагранжа, Виета, Лейбница. Алгебраические методы в геометрии. Аналитическая геометрия Ферма. Аналитическая геометрия Декарта.

    реферат [1,7 M], добавлен 14.01.2011

  • Предмет и задачи планиметрии, как раздела геометрии, в котором изучаются такие фигуры на плоскости, как точка, прямая, параллелограмм, трапеция, окружность и треугольник. Аксиомы принадлежности, расположения, измерения, откладывания, параллельности.

    презентация [1,8 M], добавлен 22.10.2013

  • Вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язання задач за їх допомогою. Застосування Теореми Менелая при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших).

    дипломная работа [4,0 M], добавлен 12.08.2010

  • Жизненный путь Пифагора, его путешествия и загадочная смерть. Заслуги Пифагора в арифметике, геометрии, музыке и астрономии. Древняя и современная формулировки теоремы Пифагора. Тригонометрическое доказательство и некоторые применения этой теоремы.

    презентация [571,0 K], добавлен 13.12.2011

  • Возникновение геометрии как науки о формах, размерах и границах частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Появление геометрии в Греции к концу VII в. до н. э. Теорема Пифагора и развитие методов аналитической геометрии Гаусса.

    реферат [38,5 K], добавлен 16.01.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.