Векторы и операции над ними

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

1. Теоретический вопрос

2. Задача №1

3. Задача № 2

Использованные источники

1. Векторы и операции над ними

Вектор -- это элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нём, которые подчиняются восьми аксиомам). С точки зрения математики, после выбора базиса пространства, вектор представляет собой набор величин (координат вектора), которые меняются строго определённым образом при изменении базиса и системы координат, причём изменившиеся величины полагаются координатами того же самого вектора в новом базисе и новой системе координат. Благодаря этому свойству вектор представляет собой объект, не зависящий от выбора базиса и связанной с ним системы координат. Точнее, координаты вектора являются разновидностью тензора -- это тензор первого ранга типа(1,0).

Два вектора называются равными, если они:

1. коллинеарны

2. равны по длине

3. одинаково направлены

Или же -- если они имеют одинаковые координаты в некотором (и тогда любом) базисе.

Свободный и связанный векторы 

Различают понятие свободного и связанного вектора.

§ Связанный вектор -- представитель соответствующего класса.

§ Свободный вектор -- класс эквивалентности направленных отрезков.

Отношение эквивалентности, которое порождает данное фактормножество связанных векторов, является композицией отношений: параллельность, однонаправленность, равенство норм.это класс эквивалентности направленных отрезков.

В математике связанный вектор можно ввести аксиоматически как элемент линейного нормированного пространства. При таком подходе координаты вектора становятся вторичным понятием, определяемыми каккоэффициенты в разложении вектора по некоторому базису. Выбор базиса разложения, таким образом, соответствует выбору системы координат.

Операции над векторами 

Модуль (евклидовая норма) вектора 

Вектор в N-мерном евклидовом пространстве имеет координаты . Тогда нормавектора (или его длина) будет равна: 

Сложение векторов (правило параллелограмма) 

Пусть есть два вектора  и . Построим равные им векторы  и . Вектор  называют суммой векторов и обозначают. Для операции сложения векторов выполняется свойстводистрибутивности.

Умножение вектора на число

Пусть дан вектор  и действительное число б. Произведением  называют такой вектор , что

§ ;

§  и  коллинеарны;

§  и  сонаправлены, если б > 0 и противоположно направлены, если б < 0.

Скалярное произведение векторов 

Скалярным произведением  векторов  и  называют число , где  -- угол между векторами  и . Если известны координаты векторов в ортонормированной системе координат, то скалярное произведение выражается формулой .

Векторное произведение векторов

Векторным произведением  векторов  и  называют вектор, имеющий длину , где  --угол между векторами  и , перпендикулярный векторам  и  и образующий с ними правую тройку векторов.

2. Задача № 1

Дано: координаты вершин треугольника: A(-1, -1, 0); B(0, -4, -3); C(0, -2, -4).

Написать уравнения сторон треугольника и найти его площадь.

Решение:

Уравнение прямой (в нашем случае стороны треугольника) в пространстве имеет вид:

=

Тогда уравнения сторон:

Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах  и . Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , есть модуль векторного произведения , а потому площадь треугольника ABC есть:

Проекции векторов  и  на координатные оси найдем по формулам:

a_x = x₂ - x₁; a_y = y₂ - y₁; a_z = z₂ - z₁,

Тогда:

Выражение векторного произведения  через проекции векторов  и  на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой:

Найдем, что:

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле

Тогда модуль вектора :

 кв. единиц

3. Задача № 2

скалярный вектор евклидовая аксиома

Найти производную:

Решение:

Формулы, которые используются при нахождении данной производной:

- производная от произведения

- производная от частного

- производная от сложной функции

Найдем производную, применяя формулы, приведенные выше:

*В решении обозначено:

Использованные источники

1. http://www.pm298.ru

2. http://ru.math.wikia.com

Размещено на Allbest.ru