Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Основы теории дифференциальных уравнений в частных производных

1.1 Основные определения теории уравнений в частных производных

1.2 Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных

2. Использование вероятностных методов в решении уравнений в частных производных

2.1 Общее описание методов Монте-Карло

2.2 Решение уравнений в частных производных методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона

Заключение

Литература

Введение

Для сложных математических моделей аналитические решения удаётся получить сравнительно редко. Поэтому среди приближённых математических методов основными методами решения задач являются численные. Эти методы позволяют добиться хорошего качественного и количественного описания исследуемого процесса или явления.

Задача Дирихле может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области , гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения. В рамках данной работы проведено рассмотрение решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа и уравнения Пуассона методом Монте-Карло на основе метода сеток.

Применяя метод сеток для решения краевых задач, прежде всего, появляется задача замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями - заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением.

Идея метода сеток восходит еще к Эйлеру [17, c.83]. Однако практическое использование метода наталкивалось на серьезные трудности, так как получение достаточно точного решения краевой задачи приводило к системам алгебраических уравнений, на решение которых при ручном счете требовались затраты времени. Положение резко изменилось с появлением быстродействующих электронных вычислительных машин.

Методами Монте-Карло называются численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик. В данной работе приведено два метода решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с использованием методом Монте-Карло, и на основании одного из них приведена программа его реализующая.

Целью данной работы является исследование вероятностных методов решения уравнений в частных производных.

Задачи работы:

- изучение основных положений теории дифференциальных уравнений в частных производных;

- классификация уравнений в частных производных;

- изучение методов решения уравнений в частных производных;

- изучение методов Монте-Карло;

- применение метода Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.

Объект исследования: дифференциальные уравнения в частных производных.

Предмет исследования: вероятностные методы решения уравнений в частных производных.

Работа состоит из двух глав, введения, заключения и списка литературы. В главе 1 приведены основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных и показано их практическое применение. В главе 2 приведено описание методов Монте-Карло в контексте задач решения уравнений в частных производных.

1. Основы теории дифференциальных уравнений в частных производных

1.1 Основные определения теории уравнений в частных производных

Теория дифференциальных уравнений - раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко - в физике.

Неформально говоря, дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от неё. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и её производными. Такие связи обнаруживаются в самых разных областях знания: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП). Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы [18, c.28].

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Одно из простейших применений дифференциальных уравнений - решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид. Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки [16, c.45].

Пусть - некоторая неизвестная функция и т.д. ее частные производные различного порядка.

Рассмотрим уравнение

(1)

связывающие независимые переменные х, у, искомую функцию u(х, у) и ее частные производные различного порядка. Уравнение (1) называют дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок уравнения определяется наивысшим порядком частной производной, входящей в это уравнение.

Примеры.

1) - дифференциальное уравнение первого порядка.

2) - дифференциальное уравнение второго порядка и т.п.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция u(х, у), обращающая его в тождество. Задачи, связанные с решением дифференциального уравнения в частных производных, как правило, более сложные по сравнению с задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений [18, c.180].

Мы знаем, что общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка зависит от n произвольных постоянных С₁, С₂, …, С_n. Более сложная ситуация складывается при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Например, решением дифференциального уравнения является любая функция т.е. общее решение зависит от бесконечного числа функций, зависящих только от одной переменной

Или

Предмет теории уравнений в частных производных составляет изучение дифференциальных уравнений, описывающих то или иное явление природы, по преимуществу физической. Наш курс будет посвящен по преимуществу уравнениям в частных производных второго порядка.

В связи с этим рассмотрим некоторые физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений в частных производных [5, c.58].

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Первая особенность - это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др [5, c.60].

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяется спецификой уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции и (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например пространственной переменной х и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например u<x,t) в некоторой области определения аргументов 0< х < L и 0< t < T. Граничные условия определяются как заданные временные зависимости функции и, или производных этой функции на границах расчетной области 0 и L, а начальные - как заданная u(х, 0) [5, c.65].

Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа [5, c.68]:

- параболические (пример: ) -- содержащие первую производную по одной переменной и вторую -- по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;

- гиперболические (пример: ) -- содержащие первую производную по одной переменной и вторую -- по другой, входящие в уравнение с разными знаками;

- эллиптические (пример: 1. ,) -- содержащие только вторые производные, причем одного знака.

Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать под приведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.

Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение дифференциального уравнения n-го порядка

(1)

определяется неоднозначно. Общее решение зависит от n произвольных постоянных и для однозначной разрешимости необходимо задать так называемые начальные условия

(2)

Решение задачи для уравнения (1) с начальными условиями (2) называется задачей Коши и при определенных условиях решение этой задачи существует и единственно [5, c.78].

Более сложная ситуация складывается при рассмотрении дифференциальных уравнений в частных производных. В самом деле: общим решением простейшего уравнения является произвольная функция

Для того, чтобы сделать решение определенным, нужно задать дополнительные условия, например, потребовать чтобы неизвестная функция, а возможно и ее производные принимали заданные значения на некоторых многообразиях. Каждая задача математической физики ставится как задача об отыскании решения некоторого уравнения при определенных дополнительных условиях, которые в большинстве случаев диктуются ее физической постановкой [5, c.128].

1.2 Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных

Рассмотрим некоторые физические задачи, решения которых приводят к уравнениям в частных производных.

Задача 1 (о поперечных колебаниях струны).

Пусть струна длиной l натянута с силой Т₀ и находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени t=0 точкам струны сообщаются некоторые отклонения и скорости [12, c.145].

Поставим задачу об определении малых поперечных колебаний точек струны при t>0, если концы струны:

а) жестко закреплены,

б) свободны,

в) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.

Сопротивлением среды и силой тяжести пренебрегаем.

Решение. Пусть ось ох совпадает с первоначальным положением струны в положении равновесия



Выделим участок струны от А до В и спроектируем все действующие на этот участок силы на ось u. Согласно принципу Даламбера сумма проекций должна равняться нулю.

так как мы рассматриваем малые колебания и - малой величиной пренебрегаем.

Это значит, что удлинение участка струны не происходит и, следовательно, по закону Гука величина натяжения не зависит ни от времени, ни от х.

Проекция силы натяжения

Пусть - непрерывная линейная плотность внешних сил. Тогда на АВ действует вдоль оси u сила

Для нахождения силы инерции воспользуемся выражением где Тогда



Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны.

Если с=const и то

(2)

Кроме того, искомая функция u(х, у) должна удовлетворять начальным условиям:

- начальное положение струны

- начальный импульс.

Краевые условия:

а) струна закреплена на концах

,

б) в случае свободных концов должно быть

в) - законы движения концов струны.

Задача 2. Уравнение неразрывности. Задача обтекания.

Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости в которой отсутствуют силы вязкости [18, c.196].

Пусть - вектор скорости движения жидкости, -ее плотность, - интенсивность источников. Выделим в жидкости некоторый объем щ, ограниченный поверхностью S. Изменение массы жидкости внутри щ в единицу времени равно

с другой стороны это изменение должно равняться приращению количества Q₁ жидкости за счет источников

минус количество Q₂, вытекающей через S

- формула Остроградского-Гаусса,

где - внешняя нормаль к S, таким образом

В силу произвольности щ

(3)

Это и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости.

Рассмотрим теперь задачу обтекания твердого тела Щ с границей S потенциальным потоком несжимаемой однородной жидкости, имеющей заданную скорость на бесконечности при отсутствии источников. В этом случае и Поэтому: при условии

Пусть u -потенциал скоростей, т.е. тогда

и

,

поэтому

(4)

Задача 3. О распространении тепла

Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящего за время ?t через малую площадку ?S, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой

где - нормаль к ?S, направленная в сторону передачи тепла, k(x, u) - коэффициент внутренней теплопроводности, u(x, t) - температура тела в точке в момент времени t. Предполагается, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т.е. k(x, u) не зависит от направления площадки [18, c.165].

Выделим внутри тела объем щ, ограниченный S. Согласно закону Фурье, количество тепла, втекающее через S за промежуток [t₁, t₂], равно

Если - плотность тепловых источников, то количество тепла, образованного за их счет в щ за указанный промежуток времени, равно

Общее количество тепла притекающего в щ за время от t₁ до t₂ можно посчитать и за счет приращения температуры

где и - теплоемкость и плотность вещества. Тогда

В силу произвольности щ и промежутка времени t₁, t₂, следует равенство

,(5)

называемое уравнением теплопроводности. Если (не зависит от температуры), то уравнение (5) становится линейным. Если же тело однородно и уравнение (5) примет вид [18, c.196]:

(6)

Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса распространения тепла необходимо кроме уравнения, задать начальное распределение температуры

- начальное условие и температурный режим на границе

- граничное условие, (возможны и другие варианты задания граничных условий).

2. Использование вероятностных методов в решении уравнений в частных производных

2.1 Общее описание методов Монте-Карло

Далеко не всегда удается найти решение дифференциального уравнения в частных производных аналитическим путем. В случаях, не предполагающих нахождения решения уравнения аналитически, используются численные методы.

В рамках данной работы рассматривается группа численных методов, основанная на математическом аппарате теории вероятностей, называемая методами Монте-Карло.

Общепринятого определения методов Монте-Карло пока нет. Назовем методами Монте-Карло численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик. При таком определении приходится к методам Монте-Карло причислить некоторые другие методы, как, например, стохастические приближения или случайный поиск, которые по традиции рассматриваются отдельно. Однако специалисты, занимающиеся этими вопросами, нередко сами называют свои приемы методами Монте-Карло. В то же время в определении подчеркивается что [10, c.58]:

а) речь идет о численных методах (и конкурировать они могут с классическими численными методами, а не с аналитическими методами решения задач);

б) решать методами Монте-Карло можно любые математические задачи (а не только задачи вероятностного происхождения, связанные со случайными величинами).

Официальной датой рождения методов Монте-Карло считают 1949 год, когда появилась статья под заглавием «Метод Монте-Карло». Возникновение метода связывают обычно с именами Дж. Неймана, С. Улама, Н. Метрополиса, а также Г. Кана и Э. Ферми; все они в 40-х годах работали в Лос-Аламосе (США) [10, c.69].

Необходимо сразу же подчеркнуть, что теоретические основы методов Монте-Карло были известны значительно раньше. Более того, фактически такие методы не раз использовались для расчетов в математической статистике. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) методы Монте-Карло не могли стать универсальными численными методами, ибо моделирование случайных величин вручную - весьма трудоемкий процесс [10, c.89].

Развитию методов Монте-Карло способствовало бурное развитие ЭВМ. Алгоритмы Монте-Карло (как правило, обладающие небольшой связностью) сравнительно легко программируются и позволяют рассчитывать многие задачи, недоступные для классических численных методов. Так как совершенствование ЭВМ продолжается, есть все основания ожидать дальнейшего развития методов Монте-Карло и дальнейшего расширения области их применения.

Важнейший прием построения методов Монте-Карло - сведение задачи к расчету математических ожиданий. Более подробно: для того чтобы приближенно вычислить некоторую скалярную величину а, надо придумать такую случайную величину , что ; тогда, вычислив независимых значений величины , можно считать, что .

Пример. Требуется оценить объем некоторой ограниченной пространственной фигуры .

Выберем параллелепипед , содержащий , объем которого известен. Выберем случайных точек, равномерно распределенных в , и обозначим через количество точек, попавших в . Если велико, то, очевидно, : , откуда получаем оценку .

В этом примере случайная величина равна , если случайная точка попадает в , и равна нулю, если точка попадает в . Нетрудно проверить, что математическое ожидание , а среднее арифметическое

.

Легко видеть, что существует бесконечно много случайных величин таких, что . Поэтому теория методов Монте-Карло должна дать ответы на два вопроса [7, c.87]:

1) как выбрать удобную величину для расчета той или иной задачи;

2) как находить значения произвольной случайной величины ?

Изучение этих вопросов и должно составить основное содержание практического курса методов Монте-Карло.

Многие методы основаны на расчете математических ожиданий. Существуют методы случайного поиска (кроме простейшего) и стохастических приближений [10, c.105].

Среди методов Монте-Карло можно выделить методы, в которых полностью воспроизводится модель рассчитываемого процесса. Такие методы иногда называют «физическими», хотя автору представляется более удачным другое название этих методов -- имитационные. Имитация естественных процессов широко используется в самых различных областях науки, техники, экономики.

2.2 Решение уравнений в частных производных методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона

Определение. Функция , имеющая непрерывные частные второго порядка в области и удовлетворяющая внутри уравнению Лапласа, называется гармонической функцией [15, c.78]:

.

Простейшим примером гармонической функции двух переменных является функция вида , где (основное решение уравнения Лапласа).

Задача Дирихле в иных терминах может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области , гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения.

Если , то задача Дирихле удовлетворяет уравнению Пуассона Единственность решения задачи Дирихле и непрерывная запись ее от краевых условий (корректность краевой задачи) вытекают из следующих гармонических функций [14, c.40].

Свойство 1 (принцип максимума). Гармоническая в ограниченной области функция, непрерывная в замкнутой области , не может принимать внутри этой области значений больших, чем максимум ее значений на границе непрерывные заданные значения [14, c.45].

Доказательство. Пусть - максимум значений на границе . Допустим, что функция в некоторой точке внутри принимает значение , причем .

Составим вспомогательную функцию

,

где - диаметр области . Очевидно, имеем

,

причем при выполняется неравенство

.

Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения внутри области в некоторой точке , причем в этой точке будут выполнены необходимые условия для максимума функции [13, c.28]:

.

Из соотношения

вытекает, что по крайней мере одна из производных или положительна внутри . Поэтому функция ни в какой конкретной точке области не может иметь максимума, и, следовательно, приходим к противоречию. Таким образом, .

Аналогично доказывается, что , где - наименьшее значение функции на границе .

Следствие. Пусть функция - гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замкнутой области . В таком случае справедливо равенство , где на , на .

Замечание. Можно доказать более сильное утверждение, что гармоническая в ограниченной и замкнутой области функция, отличная от константы, не принимает внутри наибольшего и наименьшего значений.

Свойство II (единственность решения задачи Дирихле). Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области может иметь лишь единственное решение, т. е. не существует двух непрерывных гармонических функций в замкнутой ограниченной области , принимающих, на границе одни и те же значения [14, c.202].

Доказательство. Допустим, что две функции и гармонические в области , совпадают всюду на ее границе. Рассмотрим функцию

.

Очевидно, что на - гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе. По свойству I эта функция не может принимать внутри значений больше или меньше нуля, следовательно, внутри и .

Замечание. Из свойства II не следует, что задача Дирихле для ограниченной замкнутой области имеет решение; это свойство лишь утверждает, что если существует решение задачи Дирихле для области , то оно единственно [14, c.158].

Можно доказать, что если область выпуклая, т. е. вместе с двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок, и граница ее действительно имеет решение (теорем Неймана).

Свойство III (корректность задачи Дирихле). Решение задачи Дирихле для замкнутой и ограниченной области непрерывно зависит от граничных данных.

Доказательство. Допустим, что и - решения задачи Дирихле, соответственно принимающее на границе значение и .

Пусть всюду на выполнено неравенство

,

где - произвольное малое положительное число.

Рассмотрим гармоническую функцию

.

На границе эта функция принимает значение

.

Так как на , то по свойству I имеем при , т.е. или .

Таким образом, для задачи Дирихле требование корректности выполнено при .

Пусть на плоскости дана область с кусочно-гладкой границей . В области построим квадратную сетку с шагом :

, (1)

Мы предполагаем, что сетка состоит из внутренних узлов и граничных узлов первого рода. Граничные узлы сетки образуют ее границу. Грубо говоря, граница представляет собой линейный ряд точек , аппроксимирующий криво-криволинейную границу области с точностью до .

Представим себе частицу , которая совершает равномерное случайное блуждание по узлам сетки (1). А именно, находясь во внутреннем узле сетки , эта частица за один переход с одной и той же вероятностью, равной 1/4, может переместиться в один из четырех соседних узлов: или в (шаг влево), или в (шаг вправо), или в (шаг вниз), или в (шаг вверх), причем каждый такой единичный переход совершенно случаен и не зависит от положения частицы и ее прошлой истории. Будем считать, что блуждание частицы заканчивается, как только эта частица попадет на границу ; в этом смысле граница представляет собой «поглощающий экран». Можно доказать, что с вероятностью, равной 1, блуждание точки через конечное число шагов заканчивается на границе [14, c.198].

Если частица начала свое блуждание с фиксированной внутренней точки сетки , то конечная совокупность последовательных положений этой частицы: где и , называется траекторией частицы (с шагами) или историей блуждания.

Равномерное случайное блуждание частицы на плоскости можно организовать с помощью равномерно распределенной последовательности одноразрядных случайных чисел, принимающих значения. Для этого, например, достаточно производить розыгрыш, т.е. случайную выборку из чисел ; причем числа 8 и 9 переигрываются.

Случайные числа берутся из готовых таблиц или вырабатываются электронной машиной. Последний способ при работе на счетной машине предпочтительнее, так как он позволяет не загружать сильно память машины [1, c.28].

Пусть в точках границы Г области G определена некоторая функция . Перенесем эти значения на границу сетки . Например, для каждого граничного узла определим ближайшую по горизонтали (или вертикали) точку и положим .

Для краткости введем обозначение .

Пусть - вероятность того, что траектория частицы, вышедшей из узла сетки , закончится в граничном узле . Так как блуждание точки неизбежно заканчивается на границе в первой же точке выхода ее на границу, то

, (2)

где суммирование распространяется на все точки границы , причем

(3)

где - граничный узел.

Составим сумму

, (4)

где точка пробегает всю границу . Если функцию рассматривать как случайную величину, принимающую значения на границе , то сумма (4) представляет собой математическое ожидание (среднее значение) функции на границе для траекторий, начинающихся в точке («премия за выход на границу» из начальной точки ). Частица, начавшая свое случайное блуждание из внутреннего узла , после первого шага с вероятностью, равной 1/4, попадает в один из четырех соседних узлов. Поэтому случайные блуждания, начинающиеся в узле , в зависимости от вида траекторий распадаются на четыре категории новых случайных блужданий [8, c.98]:

По формуле полной вероятности имеем

(5)

Отсюда, умножая обе части равенства (5) на граничные значения и суммируя по всем возможным значениям и , на основании формулы (4) получим

. (6)

Кроме того, в силу формулы (3) имеем

, (7)

если точка .

Рассмотрим теперь задачу Дирихле об отыскании функции , гармонической области и принимающей на ее границе заданные непрерывные значения . Согласно методу сеток эта задача сводится к нахождению значений искомой функции во внутренних узлах некоторой сетки при условии, что значения в граничных узлах известны и равны . Неизвестные определяются из системы линейных уравнений

(8)

Сравнивая формулы (8) с формулами (6), (7), мы усматриваем, что они совпадают с точностью до обозначений. Следовательно, искомые неизвестные можно рассматривать как математические ожидания . Величины допускают экспериментальное определение. Рассмотрим достаточно большое число равномерных случайных блужданий частицы по узлам сетки , исходящих из фиксированного узла и заканчивающихся на границе . Пусть соответствующие точки выхода частицы на границу . Заменяя математическое ожидание эмпирическим математическим ожиданием, будем иметь

. (9)

Формула (9) дает статистическую оценку величины и может быть применена для приближенного решения задачи Дирихле. Метод решения задач, основанный на использовании случайных величин, получил общее название метода Монте-Карло [10, c.104].

Заметим, что с помощью формулы (9) можно непосредственно найти приближенное значение решения задачи Дирихле в единственной фиксированной точке сетки , не зная решения задачи для остальных точек сетки. Этим обстоятельством метод Монте-Карло для задачи Дирихле резко отличается от обычных стандартных способов решения этой задачи.

Интересно отметить, что вероятность , в силу формулы (4), представляет собой аналог функции Грина для задачи Дирихле в области. Эта величина может быть найдена экспериментально на основании формулы (9), если задать следующие граничные условия [14, c.55]:

.

Построив такую функцию Грина, мы получаем возможность, применяя формулу (9), просто

находить приближенное решение задачи Дирихле для области данной границей при любых граничных значениях .

Недостатком рассмотренного варианта метода Монте-Карло для задачи Дирихле является слабая сходимость по вероятности при эмпирического математического ожидания

к математическому ожиданию . Чтобы устранить это неблагоприятное обстоятельство, используют различные модификации случайных блужданий. Кроме того, при решении задачи полезно учитывать также, что блуждание частицы , начинающееся в точке автоматически является случайным блужданием частицы, начинающимся в любой промежуточной точке траектории этой частицы [4, c.129].

Укажем другой метод Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, не связанный с разностными уравнениями. Пусть задана ограниченная связная область и точка . Определим случайную траекторию следующим образом: положим ; далее, если точка известна, то построим окружность произвольного радиуса , расположенную внутри , и на этой окружности выберем случайную точку .

Таким образом, , где , и угол равномерно распределен в интервале .

Приведем теорему: если функция удовлетворяет в области уравнению Лапласа

, (1)

то при каждом и при любых математическое ожидание равно значению в начале траектории [12, c.204].

Доказательство. Придадим более точный смысл утверждению о произвольности радиуса . Будем считать, что задана некоторая плоскость , которая тождественно равна нулю при всех , превосходящих минимальное расстояние от до границы , а также при ; случай также допускается; и выбор осуществляется в соответствии с плотностью . Пусть - плотность распределения точки в . Тогда математическое ожидание величины равно

.

По теореме о среднем значении гармонической функции

.

Поэтому

.

При точка и . Применяя индукцию, получим утверждение теоремы.

Построение траекторий рассмотренного типа в трехмерном случае иногда называют блужданием по сферам.

Приведенную выше траекторию можно использовать для приближенного решения задачи Дирихле. Пусть на границе области задана ограниченная функция . Обозначим через искомое решение, удовлетворяющее внутри уравнению (1) и обращающееся в при .

Фиксируем достаточно малую окрестность границы (рис. 3, Приложение D). Чтобы вычислить , будем строить траектории вида до тех пор, пока случайная точка не попадет в . Пусть - ближайшая к точка границы . Можем считать, что значение случайной величины приближенно равно . Построив траекторий такого типа, получим значения , по которым оценивается искомое решение

. (2)

Замети, что сходимость по вероятности

, (3)

когда не вытекает из теоремы Хинчина, говорящей о том, что последовательность одинаково распределенных независимых величин, у которых существуют математические ожидания, подчиняется закону больших чисел, так как в сумме (3) фигурируют различных случайных величин, различающихся правилами выбора Можно, однако воспользоваться другой формой закона больших чисел - теоремой Чебышева [14, c.150]:

Если величины независимы и существует и , то при

(Доказательство этой теоремы легко получить, применяя к величине неравенство Чебышева - ).

В нашем случае все , а дисперсии , где . В самом деле, как известно, максимум и минимум гармонической функции достигаются на границе области, так что при всех .

Такой метод расчета считается более быстрым, чем метод использования разностных уравнений, так как вдали от границы позволяет делать большие шаги . Обычно рекомендуют выбирать максимально возможные радиусы .

Данный метод был предложен Дж. Брауном и обоснован М. Мюллером, который доказал, в частности, что вероятность того, что траектория никогда не попадет в , равна нулю. Дальнейшее развитие метода - организация зависимых испытаний, решение уравнений более общего вида, использование вместо кругов других фигур (для которых известны функции Грина) [3, c.102].

Пусть - решение уравнения Лапласа в единичном квадрате , удовлетворяющее граничным условиям . Вычислить значение .

Выберем в квадрате сетку с шагом и перенумеруем узлы (рис. (4), Приложение Е). Для уравнения Лапласа формула (8) все более упрощается: , так что равно значению в том узле, в котором цепь попадает на границу.

Если случайная цифра окажется 0 или 4, то будем перемещаться в соседний узел справа, если окажется 1 или 5, то будем перемещаться влево, окажется 2 или 6, то перемещаться вверх, если окажется 3 или 7, то перемещаться вниз; значения , равные 8 или 9, опускаем.

В таблице 2 (Приложение F) приведены 16 случайных цепей. В первой строке записаны использованные случайные цифры, а в третьей - сама цепь (номера ). Соответствующие этим цепям значения равны . Среднее арифметическое этих величин дает нам приближенное значение решения в точке :

.

Из эмпирической оценки дисперсии

следует, что вероятная ошибка .

Точное решение рассмотренной задачи , так что , и фактическая ошибка расчета равна 0,08.

Приведенный здесь метод позволяет вычислять решения разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальные уравнения.

Заключение

В рамках данной работы проведено изучение основных положений теории дифференциальных уравнений в частных производных, показана возможность применения вероятностных методов для их решения. В качестве примера была выбрана задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.

Во многих областях физики, математики и других естественных наук часто используются численные и эмпирические методы для решения прямых и обратных задач. Следует отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении таких задач, поскольку не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато часто удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто законы, которым подчиняются те или иные процессы, записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения этих законов.

уравнение производный задача лаплас

Литература

1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1964.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Изд-во Государственной литературы, 1959. - 602 с.

3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики: Учеб. М.: Наука, 1982. 336 с.

4. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики: Учеб. пособие. М.: Наука, 1977. 222 с.

5. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: Учеб. пособие. М.: Наука, 1980. 686 с.

6. Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его реализация в цифровых машинах. - М.: Физматгиз, 1961. - 315 с.

7. Владимиров В.С., Уравнения математической физики, М., 1967. - 256с.

8. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. - С-Пб: Питер, 2004. - 145с.

9. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э. Численные методы анализа. - М.:Наука, 1967. - 368 с.

10. Канторович Л.В. и Крылов В.И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. -- М., 1962. - 256с.

11. Карслоу Г.С., Теория теплопроводности, пер. с англ., М.: Приор, 2002.

12. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных: Учеб.пособие. М.: Наука, 1983. 424 с.

13. Петровский И.Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1999. - 213с.

14. Сдвижников О.А., Математика на компьютере: Maple8. М.: Солон-Пресс, 2003. -176 с.

15. Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.: В 4 т. Т.2. М.: Наука, 1981. 655 с.

16. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. - М.: Наука, 1973. - 312 с.

17. Тихоненко А.В. Компьютерные математические пакеты в курсе «Линейные и нелинейные уравнения физики». Обнинск: ИАТЭ, 2005.- 80 с.

18. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учеб.Пособие. М.: Наука, 1977. 735 с.

Размещено на Allbest.ru