Группы с ограничениями на системы подгрупп

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

алгебраический трансцендентный число уравнение

Теория чисел - раздел математики, занимающийся изучением свойств чисел как математических объектов. Теория чисел возникла как продолжение арифметики, то есть, науки о натуральных числах. На протяжении многих столетий понятие числа углублялось и пополнялось новыми элементами. В настоящее время в теорию чисел включают изучение не только натуральных чисел, но и множества целых чисел, множества рациональных чисел, множества алгебраических и трансцендентных чисел а также изучение функций различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.

Если рассматривать многочлен: f(x)=xⁿ+a₁x^n-1+ … +a_n с целыми коэффициентами, то целые числа являются корнями многочлена, когда этот многочлен имеет степень n=1. Тогда, во множестве комплексных чисел естественно выделить целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами.

Изучение свойств таких чисел - задача алгебраической теорией чисел. Она занимается изучением различных классов алгебраических чисел.

Большой интерес для математиков представляют числа, которые не являются корнями никакого алгебраического уравнения с рациональными или, что равносильно целыми коэффициентами, которые называются трансцендентными и множество которых имеет мощность континуума. Еще древние греки знали удивительное число , которое равно отношению длины окружности к ее диаметру и является, как выяснилось позже, трансцендентным.

В 1844 году Лиувилль сознательно построил первый пример трансцендентного числа, а математический мир удивился самому факту существования таких чисел.

Мир чисел и по наши дни таит в себе много загадок и нерешенных вопросов и притягивает к себе многие выдающиеся умы.

Целью настоящей работы является не только показать современное состояние теории алгебраических и трансцендентных чисел и зложить основные методы этой теории, но и дать представление об историческом ходе развития ее методов и о тех связях, которые существуют между этой теорией и другими проблемами теории чисел.

1. Краткий исторический очерк

Перечислим кратко основные этапы развития понятия действительного числа:

1) Понятие натурального числа, которое абстрагируется от природы элементов и позволяет пересчитывать самые разные обьекты.

2) Дроби, т.е. положительные рациональные числа.

Дроби естественно возникли при решении задач о разделе имущества, измерении земельных участков, исчислении времени и т.п.

3) Отрицательные числа и ноль.

Отрицательные числа первоначально интерпретировались как долг при финансовых и бартерных операциях, и современные дети легче учатся суммировать отрицательные и положительные числа, если отрицательные числа представлять, как долг. В современном мире без отрицательных чисел не обойтись ни в одной сфере деятельности.

4) Иррациональные алгебраические числа

Иррациональные числа открыли в пифагорейской школе при попытке вычислить длину диагонали квадрата через его сторону. Существование таких чисел привело в замешательство математиков и долгое время не вписывалось в тогдашнюю модель гармоничного мира. Но развитие техники и представлений о мире заставили человечество учиться решать алгебраические уравнения высших степеней, чем первая. Поэтому с существованием иррациональных чисел пришлось смириться, какими бы отвратительными они не казались.

Таким образом, расширение запаса натуральных и целых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел - непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле. Можна и так дать определение действительных чисел: полем действительных чисел называется непрерывное поле R, содержащее в качестве подполя поле рациональных чисел Q. Элементы поля R называются действительными числами

Методы решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени, открытые в 16 веке итальянскими математиками Сципионом дель Ферро, Никколо Тартальей, Людовиком Феррари и Рафаэлем Бомбелли привели к введению в математический мир совсем уж «сверхъестественных» и «непонятных» комплексных чисел.

В XIX веке над теорией чисел работали многие видные учёные. Гауссом была создана теория сравнений, с помощью которой доказан ряд теорем о простых числах, изучены свойства квадратичных вычетов и невычетов, включая квадратичный закон взаимности [5, стр. 179], в поисках доказательства которого Гаусс рассмотрел конечные ряды определённого вида, обобщённые впоследствии до тригонометрических сумм. Развивая работы Эйлера, Гаусс и Дирихле создали теорию квадратичных форм. Дальнейшим изучением распределения простых чисел занимался Чебышёв [8, стр. 5], который показал более точный, чем теорема Евклида, закон стремления к бесконечности числа простых чисел, доказал гипотезу Бертрана о существовании простого числа в интервале, а также поставил задачу об оценке сверху наименьшего значения разности между соседними простыми числами (расширение вопроса о простых близнецах). Теория алгебраических чисел была развита в работах Куммера (1810-1893) и Дирихле (1805-1859) и затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878) были сделаны дополнительные исследования.

Э. Куммер, пытаясь доказать теорему Ферма, работал с алгебраическим числовым полем, для множества чисел которого он применил все четыре алгебраических операции и построил таким образом арифметику целых чисел алгебраического числового поля, ввёл понятие идеальных множителей и дал толчок к созданию алгебраической теории чисел. В 1844 году Ж. Лиувилль ввёл понятия алгебраических и трансцендентных чисел, сформулировав таким образом в математических терминах замечание Эйлера о том, что квадратные корни и логарифмы целых чисел имеют принципиальные различия. Лиувилль показал, что алгебраические числа плохо приближаются рациональными дробями. В конце XIX века над доказательством трансцендентности конкретных чисел работали такие математики как Шарль Эрмит, который в 1873 году доказал трансцендентность числа e [1, стр. 274], Ф. Линдеман, который в 1882 году доказал трансцендентность числа [1, стр. 276]. Другим направлением было изучение степени приближения алгебраических чисел рациональными или алгебраическими. Эти вопросы были исследованы в работах Аксель Туэ, который в 1909 году доказал теорему, названную его именем, относящуюся к решениям неопределенных уравнений и приближениям иррациональных чисел рациональными. а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота.

В теории алгебраических чисел нужно выделить работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого используются во многих исследованиях по алгебраическим числам.

К алгебраической теории чисел относятся и много работ советского математика И.Р. Шафаревича. В теории алгебраических чисел И.Р. Шафаревич нашёл самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел, что явилось в известной мере завершающим этапом 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Эйлеру и Гауссу.

2. Алгебраические числа

2.1 Определение алгебраического числа

С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, которые являются корнями алгебраических уравнений, с коэффициентами из некоторого определенного множества чисел.

Определение 1 [1, стр. 259]: Комплексное или действительное число z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ … +a₁x+a₀=0

(a₀, a₁, …, a_nZ; a_n0).

Для определения алгебраического числа можно рассматривать многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку, приведением к общему знаменателю и умножением всего уравнения на этот общий знаменатель такое уравнение с помощью элементарных преобразований можно привести к уравнению с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число.

К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z= (p, qN) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0.

Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z= (p, qN) является корнем уравнения:

qxⁿ-p=0.

Существуют алгебраические числа и иного вида, нежели указанное выше.

Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными.

Пример:

1) Чиcло z= является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z²=2+2+3. Отсюда z²-5=. Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим: z⁴-10z²+25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения: x⁴-10x²+1=0.

2) Чиcло z= тоже является алгебраическим. Действительно, возведем в куб обе части равенства , получим: . Запишем это равенство в следующем виде: и возведем обе части полученного равенства в квадрат. После соответствующих преобразований получим уравнение, корнем которого является число z=:

3) Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b - рациональные числа, являются алгебраическими. Докажем это.

, (p, q, N).

Из равенства , получаем: . Отсюда, возводя в квадрат, получим: . Следовательно, z является корнем уравнения с целыми коэффициентами:

.

4) Например, найдем уравнение, корнем которого является комплексное число . Исходя из вышесказанного данное комплексное число является корнем уравнения , что проверяется подстановкой:

В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз.

Определение 2 [1, стр. 260]: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z является корнем многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не является корнем тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n.

Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями.

Пример:

- алгебраическое число 3-й степени, т.е. кубическая иррациональность, поскольку, это число является корнем многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x³-2=0 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.

Определение 3 [1, стр. 260]: Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена

f(x)=xⁿ+b₁x^n-1+ … +b_n (n1) (1)

с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для z. Заметим, что старший коэффициент этого многочлена равен 1.

Пример:

Минимальным многочленом для является x³-2, так как корень этого многочлена не является корнем какого-либо многочлена степени, меньшей, чем 3 с рациональными коэффициентами.

Определение 4 [4, стр. 520]. Неприводимый многочлен - это многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени, отличной от нуля. Если многочлен разлагается на множители более низкой степени, отличной от нуля, то, соответственно, такой многочлен есть приводимым многочленом.

Теорема 1 [1, стр. 261]: Если f(x) минимальный многочлен алгебраического числа z и F(x) многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(z)=0, то f(x) делитель F(x), т.е. F(x)=f(x) g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами.

Доказательство: Согласно известной теореме алгебры о делении с остачей F(x) можно представить в виде:

F(x)=f(x) g(x)+r(x)

где g(x) и r(x) - многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r(x) меньше степени f(x). Поскольку F(z)=0 и f(z)=0, то придавая x значение z, получаем r(z)=0; z - корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем у минимального для z многочлена, т.е. меньшей чем степень z. Это может быть только если r(x) тождественно равен нулю, а значит F(x)=f(x) g(x). Теорема доказана.

Теорема 2 [1, стр. 261]: Для любого алгебраического числа z минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

Доказательство: Пусть f(x) - минимальный многочлен для z. Предположим, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, т.е., что f(x)=(x)(x), (x)(x) - многочлены с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n.

Из равенства (x)(x)=f(x)=0 следует, что из двух чисел (x) и (x), по крайней мере одно равно нулю. Пусть например (x)=0, тогда z - корень тождественно не равного нулю многочлена (x) с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n, т.е. меньшей чем у f(x). А это противоречит тому, что f(x) - минимальный многочлен для z. Предположение, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т.е. f(x) неприводим над этим полем. Теорема доказана.

Теорема 3 [1, стр. 261]: Если z корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени n, то z - алгебраическое число степени n.

Доказательство: Обозначим минимальный многочлен для z через f(x). Согласно теоремы 1: F(x)=f(x) g(x); где g(x) - многочлен с рациональными коэффициентами. Поскольку F(x) неприводим над полем рациональных чисел и f(x) отлично от постоянного, то g(x)=c, где c - рационально. F(x)=cf(x), т.е. z - алгебраическое число n-й степени. Теорема доказана.

Пример:

Пусть p - простое число.

при любом простом целом a (a>1), не равном p-ой степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена.

x^p-a=0

Если z - алгебраическое число степени n и f(x) - минимальный многочлен для z, то все корни z₁, z₂, … z_n уравнения f(x)=0, отличные от z, называют сопряженным с z.

Один из корней совпадает с z, будем ставить его на первое место, т.е. z=z₁.

2.2 Поле алгебраических чисел

Теорема 4 [1, стр. 264]: Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел и (для частного при 0) являются алгебраическими числами.

Доказательство: Пусть - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого ₁, ₂, …,_n, и - корень многочлена (x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого ₁, ₂, … _m (=₁). Рассмотрим многочлен:

F(x)=(x - (_i+_i))= (x-₁-₁) (x-₁-₂) … (x-₁-_m)

(x-₂-₁) (x-₂-₂) … (x-₂-_m)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(x-_n-₁) (x-_n-₂) … (x-_n-_m) (2)

F(x) - симметрический многочлен по отношению ₁, ₂, … _m. В целом F(x) - симметрический многочлен от двух систем аргументов: ₁, ₂, …,_n и ₁, ₂, … _m.

Согласно известным теоремам о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от ₁, ₂, …,_n и ₁, ₂, … _m, т.е. через целые коэффициенты, f(x) и (x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и, следовательно, число +=₁+₁, которое является, как это следует из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число.

Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел и есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть многочлен:

F(x)=(x-_ii) (3)

Этот многочлен имеет в качестве одного из своих корней ₁₁=.

Пусть - корень многочлена (x)=b₀xⁿ+ b₁x^n-1+ … b_n, (b_i - целые числа). Тогда - является корнем многочлена с целыми коэффициентами (-x)=(-1)ⁿb₀xⁿ+(-1)^n-1b₁x^n-1+ … bⁿ, а при 0 корень многочлена xⁿ()=b₀+b₁x+ … b_nxⁿ. Таким образом, вместе с алгебраическими числами являются - и .

Разность может быть представлена в виде +(-), т.е. в виде суммы двух алгебраических чисел. При 0 частное , являясь произведением двух алгебраических чисел, представляет собой так же алгебраическое число.

Если степени алгебраических чисел и равны m и n, то, взяв в качестве f(x) и (x) соответствующие минимальные многочлены будем в (2) и (3) иметь многочлены степени mn, и алгебраические числа степени, не большей, чем mn. Многочлены (x), (-x), и xⁿ одинаковой степени, а, следовательно, , -, - алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и - и имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана.

Пример:

1) и алгебраические числа 2-й степени, а - алгебраическое число 4 степени. Действительно, если =, то ²=5+, 2⁴-10²+1=0, т.е. корень многочлена f(x)=x⁴-10x²+1 с целыми коэффициентами, и

f(x)=(x-) (x-) (x+) (x+) (4)

Из теоремы единственности над полем рациональных чисел множители f(x) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (4). Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени меньшей, чем 4, т.е. f(x) - неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно теореме 3, - алгебраическое число 4-й степени.

2) = и =, как легко видеть, это алгебраические числа 6-й степени, а произведение = - алгебраическое число 3-й степени.

2.3 Рациональные приближения алгебраических чисел

Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших рациональных приближений: погрешность при замене алгебраического числа рациональной дробью не может быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю рациональной дроби.

Для алгебраического числа 1-й степени существует постоянная c>0, такая, что для любой рациональной дроби , отличной от , будет выполняться неравенство:

(5)

Для алгебраического числа 2-й степени можно подобрать c>0, такое, что для любой рациональной дроби, будет иметь место неравенство:

(6)

В 1844 г., французским математиком Лиувиллем, впервые была доказана общая теорема:

Теорема 5 [1, стр. 264]: Для любого действительного алгебраического числа степени n существует такое положительное число c, зависящее только от , такое, что для всех рациональных чисел () имеет место неравенство:

(7)

Доказательство:

Пусть f(x)=A₀xⁿ+ A₁x^n-1+A_n неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является .

Согласно теореме Безу, имеем:

f(x)=(x-) g(x), (8)

где g(x) - многочлен с действительными коэффициентами.

Возьмем произвольное >0. |g(x)| - непрерывная, а следовательно, ограниченная функция от x в сегменте -; +, т.е. существует положительное число M, такое, что |g(x)|M, для всех x из этого сегмента. Обозначим через c=min , так, что и .

Если произвольное рациональное число удовлетворяет неравенствам: -+, тогда |g()|M и, подставляя в (8) вместо x значение , получаем:

(9)

Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен f(x) степени n2 не имеет рациональных корней, а при n=1 не имеет корней, отличных от , так что:

f()=

Поскольку числитель - целое неотрицательное, отличное от нуля, т.е. число большее или равное 1, то

(10).

Сравнивая неравенства (9) и (10) получаем , так что и в этом случае имеем: . Теорема доказана.

Пример:

Пусть z - неквадратное целое число. Найти c>0, такое, что для всех рациональных чисел имело бы место неравенство:

.

- корень многочлена x-В. Деля x²-D на x-, находим g(x)=x+.

При -<x<+ имеем , т.е. M=+. В качестве c берем , при этом выгодней всего взять так, что ²+-1=0, т.е. =.

При таком получаем , так что при любых целых a и b имеем: .

2.4 Задача построения уравнения с заданными корнями

Для построения уравнения с заданными корнями используют формулы Виета, которые выражают коэффициенты многочлена через его корни.

Теорема Виета [4, стр. 510]. Если - корни многочлена xⁿ+b₁x^n-1+ … +b_n, каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, то коэффициенты b₁, … b_n выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно

…

Иначе говоря, равно сумме всех возможных произведений из k корней.

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (теорема единственности), получаем формулы Виета.

Примеры:

Квадратное уравнение.

Если - корни квадратного уравнения , то

Кубическое уравнение.

Если , - корни кубического уравнения , то

Пример: Найти все корни многочлена 3, если известно, что произведение двух из них равно 1.

Имеем:

Вдобавок к этим уравнениям мы должны записать дополнительное условие Из третьего уравнения системы получаем Подставив его в два оставшихся, придем к двум идентичным Теперь для нахождения неизвестных , можем воспользоваться формулами Виета в «обратном порядке», составив квадратный многочлен, имеющий их корнями: Ответ: 2, 3, 1/3.

С одной стороны, по основной теореме алгебры, задав коэффициенты , мы однозначно определяем набор из n комплексных чисел - корней этого многочлена. С другой стороны, задав корни многочлена , по формулам Виета однозначно определим величины . Для простоты рассмотрим подмножество многочленов степени n, имеющих старший коэффициент равным 1. Получаем тогда взаимно-однозначное соответствие

.

Каждый корень многочлена является функцией его коэффициентов , т.е. формально говоря, функцией от многих переменных. Для степеней многочлена, больших 4 не существует общих «хороших формул», выражающих корни многочлена через его коэффициенты. Несмотря на это, формулы Виета подтверждают, что некоторые комбинации этих неизвестных нам функций оказываются равными коэффициентам многочлена. Какая основная отличительная особенность этих комбинаций?

Определение 5 Функция называется симметрической функцией своих переменных, если ее значения не меняются ни при какой перестановке этих переменных:

при всех различных .

В левых частях формул Виета как раз и стоят симметрические многочлены от .

2.5 Приводимые и неприводимые многочлены

Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим над полем R тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант, например, многочлен неприводим над полем вещественных чисел, поскольку его дискриминант отрицательный.

Критемрий Эмйзенштейна - признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием - но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий»

Теорема (критерий Эйзенштейна) [4, стр. 524]. Пусть - многочлен над факториальным кольцом R (n>0), и для некоторого неприводимого элемента p выполняются следующие условия:

• не делится на p,

• делится на p, для любого i от 0 до n-1,

• не делится на .

Тогда многочлен неприводим над F полем частных кольца R.

Следствие. Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени; например, многочлен , где n>1 и p Ї некоторое простое число.

Рассмотрим примеры применения этого критерия, когда R - кольцо целых чисел, а F - поле рациональных чисел.

Примеры:

Многочлен неприводим над Q.

Многочлен деления круга неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен , а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на p, а последний коэффициент `амен p и к тому же не делится на то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.

Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:



,

Над кольцом Z целых чисел, первые два многочлена - приводимые, последние два - неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем Q рациональных чисел, первые три многочлена являются приводимыми, двое других - неприводимыми.

Над полем R действительных чисел, первые четыре многочлена - приводимые, но является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например, разложение многочлена в поле действительных чисел имеет вид . Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

Над полем C комплексных чисел, все пять многочленов - приводимые. Фактически, каждый отличный от константы многочлен над C может быть разложен на множители вида:

где n - степень многочлена, a - старший коэффициент, - корни многочлена. Поэтому единственными неприводимыми многочленами над С являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).

2.6 Поле комплексных чисел

Исторический генезис комплексных чисел

Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение (где ) было разрешимо. В области целых чисел линейное уравнение разрешимо лишь в том случае, когда b делится нацело на a.

Одна из причин расширения множества рациональных чисел до множества действительных чисел была связана с разрешимостью квадратных уравнений, например, уравнения вида . На множестве рациональных чисел это уравнение не разрешимо, так как среди рациональных нет числа, квадрат которого равен двум. Как известно, - число иррациональное. На множестве же действительных чисел уравнение разрешимо, оно имеет два решения и .

И все же нельзя считать, что на множестве действительных чисел разрешимы все квадратные уравнения. Например, квадратное уравнение x² = - 1 на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это соображение приводит к необходимости вводить новые числа и расширять множество действительных чисел до множества комплексных чисел, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение.

Вспомним о едином принципе расширения числовых систем и поступим в соответствии с этим принципом.

Если множество А расширяется до множества В, то должны быть выполнены следующие условия:

1. Множество А есть подмножество В.

2. Отношения элементов множества А (в частности, операции над ними) определяются также и для элементов множества В; смысл этих отношений для элементов множества А, рассматриваемых уже как элементы множества В, должен совпадать с тем, какой они имели в А до расширения.

3. В множестве В должна выполняться операция, которая в А была невыполнима или не всегда выполнима.

4. Расширение В должно быть минимальным из всех расширений данного множества А, обладающих первыми тремя свойствами, причем это расширение В должно определяться множеством А однозначно (с точностью до изоморфизма).

Итак, расширяя множество действительных чисел до множества новых чисел, названных комплексными, необходимо, чтобы:

а) комплексные числа подчинялись основным свойствам действительных чисел, в частности, коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам;

б) в новом числовом множестве были разрешимы любые квадратные уравнения.

Множество действительных чисел недостаточно обширно, чтобы в нем были бы разрешимы все квадратные уравнения. Поэтому, расширяя множество действительных чисел до множества комплексных чисел, мы потребуем, чтобы в нем можно было бы построить полную и законченную теорию квадратных уравнений. Другими словами, мы расширим множество действительных чисел до такого множества, в котором можно будет решить любое квадратное уравнение. Так, уравнение не имеет решений во множестве действительных чисел потому, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. В новом числовом множестве оно должно иметь решение. Для этого вводится такой специальный символ i, называемый мнимой единицей, квадрат которого равен - 1.

Ниже будет показано, что введение этого символа позволит осуществить расширение множества действительных чисел, пополнив его мнимыми числами вида bi (где b - действительное число) таким образом, чтобы в новом числовом множестве (множестве комплексных чисел) при сохранении основных законов действительных чисел были разрешимы любые квадратные уравнения.

Операции над комплексными числами

1. Существует элемент i (мнимая единица) такой, что i² = - 1.

2. Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b - действительные числа, b - коэффициент мнимой части.

Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi () называют чисто мнимыми.

Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть - действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 - коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 - 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть -3i, число -3 - коэффициент при мнимой части.

3. Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.

Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.

4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.

Например:

(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1) I = 7 + 4i;

(- 2 + 3i) + (1 - 8i) = (- 2 + 1) + (3 + (- 8)) i = - 1 - 5i;

(- 2 + 3i) + (1 - 3i) = (- 2 + 1) + (3 + (- 3)) i = - 1 + 0i = - 1.

Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i.

Например:

(5 - 8i) - (2 + 3i) = (3 - 2) + (- 8 - 3) I = 1 - 11i;

(3 - 2i) - (1 - 2i) = (3 - 1) + ((- 2) - (- 2)) i = 2 + 0i = 2.

5. Правило умножения комплексных чисел.

(a + bi) (c + di) = (aс + bd) + (ad + bc) i.

Из определений 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i² = - 1.

Действительно: (a + bi) (c + di) = ac + adi + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc) i.

Например:

(- 1 + 3i) (2 + 5i) = - 2 - 5i + 6i + 15i² = - 2 - 5i + 6i - 15 = - 17 + I;

(2 + 3i) (2 - 3i) = 4 - 6i + 6i - 9i² = 4 + 9 = 13.

Из второго примера следует, что результатом сложения, вычитания, произведения двух комплексных чисел может быть число действительное. В частности, при умножении двух комплексных чисел a + bi и a - bi, называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части. Действительно:

(a + bi) (a - bi) = a² - abi + abi - b²i² = a² + b².

Произведение двух чисто мнимых чисел - действительное число.

Например:

; , и вообще .

6. Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:

Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. Е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.

Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Например:

;

.

Опираясь на введенные определения нетрудно проверить, что для комплексных чисел справедливы коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Кроме того, применение операций сложения, умножения, вычитания и деления к двум комплексным числам снова приводит к комплексным числам. Тем самым можно утверждать, что множество комплексных чисел образует поле. При этом, так как комплексное число a + bi при b = 0 отождествляется с действительным числом a = a + 0i, то поле комплексных чисел включает поле действительных чисел в качестве подмножества.

Решение квадратных уравнений

Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения x² = - 1.

Покажем, что расширив поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение разрешимо, т.е. имеет решение. Так, уравнение x² = - 1 имеет два решения: x₁ = i, x₂ = - i.

Это нетрудно установить проверкой: , .

Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида:

(),

где x - неизвестная, a, b, c - действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем . Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований.

Разделим все члены уравнения на и перенесем свободный член в правую часть уравнения:

К обеим частям уравнения прибавим выражение с тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых:

Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения:

Найдем значения неизвестной:

Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения.

Если , то есть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни.

Если же то мнимое число, квадратное уравнение имеет мнимые корни.

Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений. В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение.

Примеры.

3. Решите уравнение .

Решение. Найдем дискриминант

.

Уравнение имеет два действительных корня:

; .

2. Решите уравнение .

Решение. , уравнение имеет два равных действительных корня:

3. Решите уравнение .

Решение. D = 16 - 4*1*5 = - 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни:

;

;

3. Трансцендентные числа Лиувилля

На действительной прямой кроме алгебраических чисел поместилось еще одно множество, мощность которого совпадает с мощностью всей прямой - это множество трансцендентных чисел.

Определение 6 [1, стр. 271]: Число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным, то есть трансцендемнтное числом (лат. transcendere - переходить, превосходить) - это вещественное или комплексное число, которое не может быть корнем многочлена (не равного тождественно нулю) с рациональными коэффициентами

Свойства трансцендентных чисел:

· Множество трансцендентных чисел континуально.

· Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число - иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена (и потому является алгебраическим).

· Порядок на множестве вещественных трансцендентных чисел изоморфен порядку на множестве иррациональных чисел.

· Мера иррациональности почти всякого трансцендентного числа равна 2.

Впервые существование трансцендентных чисел доказано Лиувиллем. Доказательство существования трансцендентных чисел у Лаувилля эффективно; на основе следующей теоремы, являющейся непосредственным следствием теоремы 5, строятся конкретные примеры трансцендентных чисел.

Теорема 6 [3, стр. 54].: Пусть - действительное число. Если для любого натурального n1 и любого действительного c>0 существует хотя бы одна рациональная дробь , такая, что (11), то - трансцендентное число.

Доказательство: Если бы было алгебраическим, то нашлось бы (теорема 5) целое положительное n и действительное c>0 такие, что для любой дроби было бы , а это противоречит тому, что имеет место (11). Предположение, что алгебраическое число, т.е. трансцендентное число. Теорема доказана.

Числа , для которых при любых n1 и c>0 неравенство (11) имеет решение в целых числах a и b называются трансцендентными числами Лиувилля.

Теперь у нас есть средство для построения действительных чисел, не являющихся алгебраическими. Нужно построить число, допускающее приближения сколь угодно высокого порядка.

Пример:

a - трансцендентное число.

Возьмем произвольные действительные n1 и c>0. Пусть , где k выбрано настолько большим, что и kn, тогда

Поскольку для произвольных n1 и c>0 можно найти дробь такую, что , то - трансцендентное число.

Зададим число в виде бесконечной десятичной дроби: где

Тогда, для любого , где, . Таким образом, а это означает, что допускает приближения сколь угодно высокого порядка и поэтому не может быть алгебраическим.

В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов.

Для доказательства трансцендентности числа e потребуются две леммы.

Лемма 1. Если g(x) - многочлен с целыми коэффициентами, то для любого kN все коэффициенты его k-ой производной g^(k)(x) делятся на k!.

Доказательство. Так как оператор d/dx линейный, то утверждение леммы достаточно проверить только для многочленов вида g(x)=x^s, s 0.

Если k>s, то g^(k)(x)= 0 и k!|0.

Если k< s, то

биномиальный коэффициент является целым числом и g^(k)(x) опять-таки делится на k! нацело.

Лемма 2 (Тождество Эрмита) [3, стр. 55]. Пусть f(x) - произвольный многочлен степени k с действительными коэффициентами,

F(x)=f(x)+ f' (x)+ f» (x)+ … + f^(k)(x) - сумма всех его производных. Тогда для любого действительного (и даже комплексного, но нам это пока не понадобится) x выполнено:

(12)

Доказательство. Интегрируем по частям:

Интеграл вновь интегрируем по частям, и так далее. Повторив эту процедуру k+1 раз, получим:

Теорема 7 (Эрмит, 1873) [1, стр. 274]. Число е трансцендентно.

Доказательство. Докажем это утверждение от противного. Допустим, что е - алгебраическое число, степени m. Тогда

a_me^m+ … +a₁e+a₀=0

для некоторого натурального m и некоторых целых a_m,… a₁, a₀. Подставим в тождество Эрмита (12) вместо х целое число k которое принимает значения от 0, до m; умножим каждое равенство



соответственно на a_k, а затем все их сложим. Получим:

Так как (это наше противное предположение), то выходит, что для любого многочлена f(x) должно быть выполнено равенство:

(13)

За счет подходящего выбора многочлена f(x) можно сделать левую часть (13) ненулевым целым числом, а правая часть при этом окажется между нулем и единицей.

Рассмотрим многочлен , где n определим позже (n N, и n большое).

Число 0 - корень кратности n-1 многочлена f(x), числа 1, 2,…, m - корни кратности n, следовательно:

f^(l)(0)=0, l=1,2,…, n-2

f^(n-1)(0)=(-1)^mn(m!)ⁿ

f^(l)(k)=0, l=0,1, …, n-1; k=1,2,…, m

Рассмотрим g(x)=x^n-1(x-1)ⁿ(x-2)ⁿ… (x-m)ⁿ - многочлен, похожий на f(x), но с целыми коэффициентами. По лемме 1, коэффициенты g ^(l)(x) - целые числа, делящиеся на l!, следовательно, при l < n, у производной g^(l)(x) все коэффициенты - целые числа, делящиеся на n, т.к. g^(l)(x) получается из g ^(l)(x) делением только на (n-1)!. Именно поэтому

где А - подходящее целое число, а над знаком суммы стоит число (m+1) n-1 - степень многочлена f(x) и, хоть суммировать можно и до бесконечности, ненулевых производных у f(x) именно столько.

Аналогично

где B_k - подходящие целые числа, k = 1, 2,…, m.

Пусть теперь n N - любое целое число, удовлетворяющее условиям:

Снова рассмотрим равенство (13):