• Введение
• 1. Задача о «линии сгиба листа»
• 2. Пентаграмма
• 3. Построение параболы, путем построения семейства касательных
• 4. Задача о «наименьшей длине линии сгиба листа»
• 5. «Шедевр механики»
• Заключение
• Список использованных источников и литературы

Введение

Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса, ошибочного рассуждения или обычной математической задачи с «секретом» -- каким-либо неожиданным или забавным поворотом мысли. Относятся ли все эти случаи к чистой или прикладной математике, решить трудно. С одной стороны, занимательную математику, безусловно, следует считать чистой математикой без малейшей примеси утилитарности. С другой -- она, несомненно, относится к прикладной математике, ибо отвечает извечной человеческой потребности в игре.

Среди многих явлений японской культуры, вызывающих ныне все больший интерес, следует назвать оригами -- старинное японское искусство складывания различных фигурок из бумаги.

Классическое оригами -- это искусство складывать из одного лишь листа бумаги, без каких-либо разрезов, склеиваний или дорисовывания отдельных деталей, реалистические фигурки животных, птиц, рыб и других предметов.

Листок бумаги, согнутый вдоль ничем не примечательных унылых геометрических линий, внезапно преображается, превращаясь на наших глазах в изящное миниатюрное произведение полуабстрактной скульптуры, поражающее нас своим совершенством.

Никто не станет отрицать, что оригами, о которых говорится в данной работе, -- игрушки весьма занимательные, тем не менее, анализ их структуры очень скоро упирается и необходимость использования некоторых разделов математического анализа и аналитической геометрии.

1. Задача о «линии сгиба листа»

Уже самое простое перегибание листа бумаги приводит к интересному математическому вопросу. Почему, когда мы перегибаем лист бумаги, линия сгиба является прямой? В некоторых учебниках геометрии этот факт иногда приводят как иллюстрацию того обстоятельства, что две плоскости пересекаются по прямой, но такое объяснение, очевидно, неверно, ибо части сложенного листа принадлежат параллельным, а не пересекающимся плоскостям.

Осмелимся предложить следующее объяснение данного факта.

Пусть р и р' -- две точки на листе бумаги, совпадающие при перегибании листа. Любая точка а лежащая на линии сгиба, равноудалена от р и р', так как прямые ар и ар' при перегибании листа совпадают. Следовательно, линия сгиба, будучи геометрическим местом точек а, равноудаленных от р и р', перпендикулярна отрезку рр' и делит его пополам.

2. Пентаграмма

Складывание правильных многоугольников, хотя оно и не входит в классическое оригами, может служить увлекательным упражнением. Равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и восьмиугольник сложить легко, но при складывании правильного пятиугольника могут встретиться кое-какие затруднения. Проще всего сложить правильный пятиугольник можно так: завязать полоску бумаги узлом и затем разгладить его (как это показано на рис. 1 слева). Из сложенной таким образом полоски может выйти неплохая шляпа. Если один из концов полоски перегнуть еще раз и посмотреть сквозь узел на яркий свет, то мы увидим знаменитую пентаграмму (на рис. 1 справа). В средние века пентаграмме приписывали магические свойства.

Рис. 1

3. Построение параболы, путем построения семейства касательных

Перегибая лист бумаги, можно также построить различные семейства касательных, огибающими которых служат алгебраические кривые не слишком высокого порядка. Особенно легко построить параболу. Отступив от края листа, поставим на нем точку.

Рис. 2

Перегибая лист (нам понадобится сделать около 20 перегибаний), будем следить за тем, чтобы каждый раз край листа проходил через поставленную нами точку. На рис. 2 хорошо видна возникающая при этом полная иллюзия начерченной параболы. Отмеченная точка служит фокусом параболы, край листа -- ее директрисой, а линия сгиба--касательной к параболе. Нетрудно видеть, что по самому построению любая точка кривой равноудалена от фокуса и директрисы. Именно это свойство и определяет параболу.

4. Задача о «наименьшей длине линии сгиба листа»

Интересная задача из области элементарного анализа возникает в связи с нашим способом построения параболы. Возьмем лист бумаги размером 8 х 11 см. Перегнем его так, чтобы угол А коснулся левого края листа (рис. 3). Передвигая угол А вверх и вниз вдоль левого края и фиксируя в каждом положении линию сгиба, мы получаем семейство касательных к параболе с фокусом в правом нижнем углу развернутого листа. В какую точку левого края листа следует поместить угол А для того, чтобы линия сгиба, пересекающая нижний край листа, имела наименьшую длину? Чему равна минимальная длина линии сгиба? Можно рассмотреть следующий более простой вариант этой же задачи. Уменьшим ширину листа до 7,68 см и перегнем его так, чтобы угол А совпал с точкой левого края, отстоящей от основания на расстоянии 5,76 см. Какова при этом длина линии сгиба?

Рис. 3

Приведем следующее решение данной задачи.

Нашу задачу лучше всего решать как задачу на отыскание экстремума из математического анализа. Если х -- расстояние от угла А (который мы накладываем на левый край листа) до точки пересечения линии сгиба с нижним краем листа, то длина остальной части нижнего края равна . Расстояние от левого нижнего угла листа до точки, в которую попадает при сгибании листа угол А, будет равно , а расстояние от угла А до точки пересечения линии сгиба с правым краем листа равно . Приравняв производную последней функции к нулю, мы найдем значение . Следовательно, угол А касается левого края в точке, отстоящей от основания на 4 см, а длина сгиба составляет , или немногим больше 10,392 см.

5. «Шедевр механики»

Довольно о математической стороне искусства складывания фигур из бумаги! Сейчас рассмотрим вам, как сложить из листа бумаги птицу, машущую крыльями, -- одно из наиболее замечательных (с различных точек зрения) достижений оригами. Эта игрушка может служить не только образцом изящества, но и шедевром механики. Для того чтобы было легче следить за изложением, рекомендуем читателю взять квадратный лист бумаги (лучше всего для этих целей подходит плотная оберточная бумага) и самому проделать все те хитроумные манипуляции, о которых пойдет речь.

Удобнее всего работать с квадратным листом бумаги со стороной 12 см. Перегните лист по двум диагоналям и переверните его на другую сторону (рис. 4, а) так, чтобы «долины» (сгибы, обращенные ребром вниз) стали «горными хребтами» (то есть сгибами, обращенными ребром вверх). На рис. 4 все «долины» показаны пунктиром, все «хребты» -- сплошными линиями.

Рис.4

Перегните лист пополам, расправьте его и снова перегните пополам, но уже в перпендикулярном направлении, и снова расправьте. В результате на листе должны появиться еще две «долины» (рис. 4, б).

Перегнем теперь лист так, чтобы две стороны квадрата, сходящиеся в одной вершине, встретились на диагонали (рис. 4, в), расправим лист и проделаем аналогичные операции в трех остальных вершинах квадрата. В результате наш лист покроется сетью сгибов (рис. 4, г). (Заметим, что последние из сделанных сгибов образуют в средней части квадрата правильный восьмиугольник.)

Следующий этап очень трудно описать словами, но, разобравшись в существе дела, легко выполнить. Обратим внимание на четыре коротких сгиба -- «долины», указанные на рис. 4, г стрелками. В этих местах перегнем лист в противоположную сторону так, чтобы эти «долины» превратились в «горные хребты». Середины сторон квадрата (на рис. 4, г они обозначены буквами А, В, С и D) сдвинем внутрь. Результат показан на рис. 4, д. Углы квадрата (обозначенные буквами I, К, L и М) приподнимутся, и все сооружение примет вид, показанный на рис. 4, е.

Если все сгибы хорошо «отутюжены», а центр квадрата опущен до отказа вниз, то углы I, К, L и М нетрудно свести вместе (рис. 4, ж) и хорошенько разгладить заготовку, попарно сложив выступающие углы (рис. 4, з).

Отогнем выступ А (рис. 4, з) вдоль прямой В, после этого перевернем будущую фигурку на другую сторону и повторим аналогичную операцию со вторым выступом. Получившаяся фигура показана на рис. 4, и.

Перегнем клапан А (см. рис. 4, и) вдоль вертикальной оси В, перевернем нашу заготовку на другую сторону и повторим операцию. Результат показан на рис. 4, к.

Нижний угол А (рис. 4, к) отогнем вверх вдоль пунктирной прямой В, после чего перевернем все сооружение на другую сторону и отогнем вверх второй такой же клапан. Получившийся равнобедренный треугольник повернем так, чтобы его вершина была обращена вверх (рис. 4, л) Дальнейшие операции удобнее проделывать, держа модель на весу.

Потянув за верхушку (рис. 4, м), отогнем внутренний клапан М под некоторым углом влево и разгладим линию сгиба у основания М. Клапан N отогнем вправо. Конец клапана М вогнем внутрь и разгладим так, чтобы он стал похож на птичью голову (рис. 4, н).

Изогнем крылья (не делая новых сгибов) дугой. Если взять бумажную птичку за грудку и осторожно потянуть за хвост, она изящно взмахнет крыльями (рис. 4, о).

Заключение

Экспериментируя с фигурками из бумаги полезно иметь в виду следующее правило: если лист бумаги согнуть так, чтобы его нижний край прошел через фокус, то линия сгиба будет касательной к параболе.

Интересная особенность задачи о «наименьшей длине линии сгиба» заключается в том, что минимальная длина сгиба, пересекающего нижний край листа, не зависит от ширины листа и получается при х, равном ширины. Три четверти ширины, умноженные на , дают длину сгиба. Если требуется минимизировать площадь той части листа, которая при сгибании оказывается сверху, то всегда должен составлять ширины.

Длина сгиба в более простом варианте задачи (когда ширина листка бумаги была сужена до 7,68 см а угол А помещен в точку левого края, находящуюся на расстоянии 5,76 см от основания листа) составляет ровно 10 см.

Список использованных источников и литературы

1. Аменицкий Н.Н., Шиман Е.М., Шукайло К.П. Морские узлы и фокусы с веревками: Что можно сделать из листа бумаги: сер. «Научно-забавная библиотека для семьи и школы», вып. 3. -- М.: 1912.

2. Трумпа Э.А. Самоделки из бумаги (складывание и сгибание). -- М.: Учпедгиз, 1960.