Прогнозирование наработки до отказа объекта

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исходные данные

стьюдент квадратичный математический

Статистические данные по износу направляющей суппорта станка во времени

Вариант 94
Время (час)	Износ направляющей суппорта станка (в мкм)
200	0,99
400	2,12
600	2,96
800	3,99
1000	5,06
1200	5,76
1400	7,00
1600	8,03
1800	8,89
2000	10,00
2200	10,87
2400	12,25
2600	12,99
2800	14,09
3000	15,11
3200	15,98

Значения ПКГ изделия в начале и конце эксперимента, а также прочие данные, необходимые для расчетов

Значение ПКГ изделий в начале эксперимента (=1)	[0,7500; 0,8900; 0,9500; 0,9800; 1,0100]
Значение ПКГ изделий в конце эксперимента (=16)	[15,9000; 15,6000; 15,9500; 16,1700; 16,300]
Границы поля допуска	[0,5;18]
Метод оценки	МУН
Доверительная вероятность прогноза	0,9

1. Определить оценки распределения функций плотности вероятности ПКГ в начале и конце эксперимента (при =1 и при =16) по методу уменьшения неопределенности (МУН)

Метод уменьшения неопределенностей (МУН) - это новая реализация МПВ (метода прямоугольных вкладов), которая возникла в процессе его развития. МУН основан на использовании нормированного равномерного распределения, заданного в интервале [] вместо прямоугольного вклада шириной , построенного около точки с координатой .

При этом для выражения функции распределения используют кусочно-линейную интерполяцию

(П.1)

где .

(П.2)

где - нижняя и верхняя границы интервала значения случайной величины ;

- объем выборки;

- число одинаковых реализаций .

оценивается аналогично .

Для нахождения функции плотности вероятности следует воспользоваться данными графика и выражением

 (П.3)

где - приращение аргумента и соответствующее приращение функции .

По данным таблицы П.2 для значений ПКГ в начале эксперимента составим вариационный ряд: {0,7500; 0,8900; 0,9500; 0,9800; 1,0100}.

Границы поля допуска :

, , .

Статистические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок , .

Определяем оценку функции распределения (интегральный закон распределения)

.

Определяем оценку функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон распределения вероятности)

2 участок , .

3 участок ,

;

4 участок , .

5 участок , .

;

6 участок , .

Проверка осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной , т.е.

Графики и приведены на рис.П.1 и П.2

В начале эксперимента

Рис. 1. График функции

Рис. 2.График функции

Математическое ожидание (в начале эксперимента)

Математическое ожидание - это значение случайной величины, относительно которого группируются все заданные значения. Математическое ожидание(непрерывной случайной величины) есть интеграл вида

 (П.4)

Находим математическое ожидание

Дисперсия случайной величины (в начале эксперимента)

Дисперсия - мера рассеяния случайной величины около своего математического ожидания.



Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

.

По данным табл. П.2 для значений ПКГ в конце эксперимента составим вариационный ряд: {15,6000; 15,9000; 15,9500; 16,1700; 16,3000}.

Границы поля допуска:

, , .

Статические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок , .

Определяем оценку функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон распределения вероятности)



2 участок , .

3 участок ,

;

4 участок .

5 участок , .

;

6 участок , .

Проверка осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной , т.е.



Графики и приведены на рис.П.3 и П.4

В конце эксперимента

Рис. 3. График функций

Рис. 4. График функций

Математическое ожидание (в конце эксперимента)

Дисперсия случайной величины

Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

.

2. Определение среднего квадратического отклонения (СКО) для всех значений ПКГ

Таким образом, на основании проведенных расчетов было установлено, что

Следовательно, значение можно записать:

Таким образом получаем

3. Определение значения критерия Стьюдента:

Значение критерия Стьюдента соответствующее - процентному пределу ошибки (уровню значимости ошибки) и степеням свободы определим по таблице

где - доверительная вероятность прогноза, ;

;

- объем выборки.

В соответствии с полученными значениями и =2,132

4. Определяем значения доверительных границ с учетом критерия Стьюдента

- верхняя доверительная граница ПКГ

- нижняя доверительная граница ПКГ

(П.5)

(П.6)

Подставляя в выражение (П.5) и (П.6) требуемые величины определяем значение верхней и нижней доверительных границ ПКГ соответственно. Полученные результаты сводим в табл. П.4



200	0,99	5,4852	-3,5052
400	2,212	6,6152	-2,3752
600	2,96	7,4552	-1,5352
800	3,99	8,4852	0,5052
1000	5,06	9,5552	0,5648
1200	5,76	10,2552	1,2648
1400	7,00	11,4952	2,5048
1600	8,03	12,5252	3,5348
1800	8,89	13,3852	4,3948
2000	10,00	14,4952	5,5048
2200	10,87	15,3652	6,3748
2400	12,25	16,7452	7,7548
2600	12,99	17,4852	8,4948
2800	14,09	18,5852	9,5948
3000	15,11	19,6052	10,6148
3200	15,98	20,4752	11,4848

3. Обоснование выбора математической модели прогнозирования

В ходе исследования значения ПКГ снимаются через равные интервалы, поэтому для оценки порядка полинома математической модели прогнозирования воспользуемся аппаратом конечных разностей.

Имеем функцию и дискретные значения аргумента t образуют арифметическую прогрессию с разностью h, т.е.

Обозначим значения при соответствующих значениях аргумента так:

Величины

Называют разностями первого порядка (первыми разностями).

Величины

Аналогично определяются разности произвольного порядка m:

Конечные разности в более наглядной форме представляют в форме таблицы, которая называется диагональной. Каждый столбец таблицы составляется так, что разности записываются между составляющими значениями уменьшаемого и вычитаемого.



200	0,99
		1,222
400	2,212		-0,474
		0,748		0,756
600	2,96		0,282
		1,03		-0,242
800	3,99		0,04
		1,07		-0,41
1000	5,06		-0,37
		0,7		0,91
1200	5,76		0,54
		1,24		-0,75
1400	7,00		-0,21
		1,03		0,04
1600	8,03		-0,17
		0,86		0,42
1800	8,89		0,25
		1,11		-0,49
2000	10,00		-0,24
		0,87		0,75
2200	10,87		0,51
		1,38		-1,15
2400	12,25		-0,64
		0,74		1
2600	12,99		0,36
		1,1		-0,44
2800	14,09		-0,08
		1,02		-0,07
3000	15,11		-0,15
		0,87
3200	15,98

Разности третьего порядка мало отличаются от постоянных, поэтому в качестве математической модели может быть выбран полином третьей степени.

4. Определение параметров модели прогнозирования по методу наименьших квадратов

В основе метода наименьших квадратов лежит условие: коэффициенты моделей должны быть таковы, чтобы значение суммы квадратов невязок было минимальным, т.е.

где - модель прогнозирования.

Для этого необходимо выполнить условия минимума суммы S, т.е.

Составляем систему уравнений для нахождения коэффициентов a, b и с.

Таким образом, путем преобразования получим:

Сократив уравнения на 2, получим:

Введем обозначения:

Уравнения принимают вид:

Данная система уравнений решается по правилу Крамера: матричным способом решения систем линейных неоднородных уравнений.

Определение параметров модели прогнозирования для кривой .



Определитель системы находится так:

Определитель параметра a находится так:

Определитель параметра b находится так:

Определитель параметра с определяется так:

Далее

Полученная зависимость

Ее график представлен на рис. П.5.

Определение параметров модели прогнозирования верхней границы (для кривой по данным ).

Полученная зависимость имеет вид:

Ее график представлен на рис. П.5.

Определение параметров модели прогнозирования нижней границы (для кривой по данным ).

Полученная зависимость имеет вид:

Ее график представлен на рис. 5.

Рис. 5. Графики моделей линии регрессии и ее доверительных границ

5. Определение наработки до отказа

Теперь, после того, как найдены параметры выбранной модели изменений ПКГ, производится экстраполяция ее статистических данных до предельного состояния исследуемого параметра , и находятся оценки нижних и верхних границ доверительного интервала средней наработки до отказа и из уравнений



и - нижняя и верхняя границы доверительного интервала средней наработки до отказа, следовательно средняя наработка до отказа определяется как

с доверительной вероятностью прогноза P=0,9.

Список литературы

1. Надежность технических систем и ее прогнозирование / В.В. Рыжаков. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.-Ч.1.

2. Надежность технических систем и ее прогнозирование / В.В. Рыжаков. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.-Ч.2.

3.Надежность технических систем и ее прогнозирование. Задания и аналитические материалы по выполнению домашних и курсовых работ./ В.В. Рыжаков.- Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.

Размещено на Allbest.ru