Решение систем уравнений
Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.01.2012 |
| Размер файла | 104,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1.
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований расширенную матрицу приведем к трапециевидной форме
~ .
Следовательно, (числу неизвестных системы). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.
а) По формулам Крамера: где
.
Находим .
б) С помощью обратной матрицы где - обратная матрица к, - столбец правых частей.
.
; ; ;
; ; ;
; ; .
Решение системы
,
т.е. .
в) Наша система эквивалентна
(прямой ход Гаусса совершен при нахождении рангов матриц и ).
Тогда
Задание 2.
Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
С помощью элементарных преобразований матрицу приведем к трапециевидной форме
~ .
Следовательно, 2<3 и система имеет бесконечное множество решений, зависящих от 3-2=1 произвольной постоянной. Исходная система эквивалентна
Откуда .
Полагая (произвольной постоянной), имеем
, .
Задание 3.
По координатам точек , , найти:
а) Модуль вектора
;
.
б) Скалярное произведение векторов и .
.
в) Проекцию вектора на вектор .
.
г) Координаты точки , делящей отрезок в отношении 1:3; . Следовательно:
Задание 4.
Даны векторы ,
c = i - 5j + 7k Необходимо:
а) Найти модуль векторного произведения .
=;
.
б) Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора и .
Условие коллинеарности двух векторов
Т.к. то вектора и неколлинеарны.
Условие ортогональности двух векторов
Т.к. то вектора неортогональны.
в) Вычислить смешанное произведение трех векторов
.
.
г) Проверить, будут ли компланарны три вектора
Вектора компланарны, если
Из пункта в) следовательно, эти векторы компланарны.
Задание 5.
Даны четыре точки
Составить уравнения:
а) Плоскости
Уравнение плоскости по трем точкам имеет вид
, откуда .
б) Прямой
Уравнение прямой по двум точкам
откуда
в) Прямой , перпендикулярной к плоскости .
Из уравнения плоскости следует, что вектор|| откуда уравнение имеет вид
г) Прямой , параллельной Значит, вектор и уравнение этой прямой имеет вид
д) Плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой
Вектор перпендикулярен искомой плоскости.
Значит, - ее уравнение, которое приводится к виду
е) Вычислить - угла между прямой и плоскостью .
; ;
.
ж) Косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью .
Вектор а вектор . Поэтому
.
Задание 6.
Показать, что прямая параллельна плоскости
х + 3у - 2z + 1 = 0, а прямаях = t + 7, у = t - 2, z = 2t + 1 лежит в этой плоскости.
В общем виде уравнение плоскости имеет вид , а каноническое уравнение прямой:
Параметрическое уравнение прямой:
Если прямая параллельна плоскости, то
Значит, из условия задачи, . Следовательно, прямая параллельна плоскости.
Если прямая лежит в плоскости, то ,
Значит, из условия задачи, , Следовательно, прямая лежит в плоскости.
Задание 7.
Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х + 5у - 8 = 0 и 2х + 3у + 4 = 0.
Найдем точку пересечения прямых:
Уравнение прямой, проходящей через две точки и:
уравнение прямая система вектор
Поэтому ее уравнение запишем как оно приводится к виду
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.
контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Проверка совместности системы уравнений, ее решение матричным методом. Координаты вектора в четырехмерном пространстве. Решение линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника. Определение пределов, производных; исследование функции.
контрольная работа [567,1 K], добавлен 21.05.2013Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц. Нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений. Метод нахождения характеристического многочлена, предложенный А.М. Данилевским. Получение формы Жордано: form.exe.
курсовая работа [53,4 K], добавлен 29.08.2010Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.
контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гауса. Граф состояний марковской системы. Составление уравнений Колмогорова. Предельные вероятности состояний системы. Матричный метод, матрица треугольная, матрица квадратная и решение системы.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 20.07.2010
