Числовые характеристики случайной функции и выборочная функция распределения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Заочная форма

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По Математике

Работу выполнил студент II курса

Оганян Армен М.

Санкт-Петербург

2010

Контрольная работа №1

Задача 1. Задана случайная функция

где, , .

Найти числовые характеристики , , .

Решение. Согласно свойству мат. ожидания суммы случайных функций имеем

Математическое ожидание произведения случайной величины на неслучайную функцию равно произведению неслучайной функции на мат. ожидание случайной величины

Дисперсия случайной функции равна

Раскроем квадрат разности

С учетом названных выше свойств мат. ожидания получим

Корреляционная функция случайной функции для моментов времени и определяется по формуле вида

Преобразуем произведение под знаком математического ожидания следующим образом

В результате, корреляционная функция будет определена, как мат. ожидание полученной случайной функции, а именно

Ответ:

Задача 2. Дана спектральная плотность

Определить корреляционную функцию и дисперсию .

Решение. Корреляционная функция определяется как

Подставим исходные данные и найдем интеграл

Дисперсия равна

Задача 3. Найти числовые характеристики производной случайной

функции, если

, .

Решение. Так как математическое ожидание производной случайной функции равно производной математического ожидания этой функции, то с учетом исходных данных получим

Корреляционная функция производной случайной функции равна второй смешанной частной производной от ее корреляционной функции. Имеем

Дисперсия равна

Ответ:

Контрольная работа №2

1. Сгруппировать заданную выборку объема (количество интервалов равно 10).

2. Построить выборочную функцию распределения и гистограмму.

3. Вычислить среднее выборочное и несмещенную выборочную дисперсию .

4. Построить доверительный интервал для .

5. Используя критерий согласия , проверить гипотезу о нормальном распределении.

Решение. Упорядочим элементы выборки от минимального значения к максимальному:

Длина интервала равна

За левую границу первого интервала примем значение . Тогда правая граница последнего (десятого) интервала равна

.

Составим таблицу распределения выборки (табл. 1). Для этого найдем для каждого интервала частоту вариант (количество вариант, попадающих в заданный интервал). Также в табл. 1 сведем значения плотности частоты вариант интервала и значения выборочной функции распределения, которая определяется как

Табл. 1

Используя значения последних двух столбцов, построим гистограмму и график выборочной функции распределения (рис. 1 и 2).

Рис. 1 - Гистограмма

Рис. 2 - Выборочная функция распределения

Выборочная средняя определяется как

Тогда с учетом табл. 1 получим

Несмещенная выборочная дисперсия определяется как

Тогда с учетом табл. 1 и найденного значения получим

Доверительный интервал для выборочного среднего (с надежностью ) определяется в виде

где

- функция Лапласа.

Примем , откуда . Согласно таблице для функции Лапласа . Следовательно, границы интервала равны

Получили интервал .

Для проверки гипотезы о нормальном распределении с использованием критерия требуется:

- рассчитать теоретические значения частот на каждом интервале по формуле

- рассчитать наблюдаемое значение величины по формуле

- сравнить полученное значение с табличным и сделать вывод.

Производя расчеты по указанным формулам, получим

Сведем полученные результаты в табл. 2.

Табл. 2

Согласно табл. 2 имеем

Число степеней свободы выборки равно 10-3=7. Выберем из таблицы для данного числа степеней свободы наименьшее значение , превышающее . Согласно таблице при уровне значимости 0,005.

Таким образом, гипотеза о нормальном распределении выборки должна быть отвергнута с вероятностью ошибки 0,5%.