Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

Размещено на http://www.allbest.ru/

80

Содержание

Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию поверхностей. Основные понятия

1.1 Первая квадратичная форма поверхности

1.2 Внутренняя геометрия поверхности

1.3 Вторая квадратичная форма поверхности

1.4 Классификация точек регулярной поверхности

1.5 Средняя и гауссова кривизны поверхности

Глава 2. Понятие поверхности Каталана

2.1 Общие положения

2.2 Примеры поверхностей Каталана

2.3 Виды поверхностей Каталана

Глава 3. Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

3.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности

3.2 Первая и вторая квадратичные формы поверхности Каталана

3.3 О коноидах

Глава 4. Специальные поверхности Каталана (поверхности класса КА)

4.1 Вывод уравнения поверхности класса КА

4.2 Вывод уравнения поверхности класса КА по заданным кривым и нормальному вектору порождающей плоскости

Глава 5. Дифференциальная геометрия поверхностей класса КА

5.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности

5.2 Первая квадратичная форма поверхности класса КА

5.3 Вторая квадратичная форма поверхности класса КА

Глава 6. О программе визуализации и анализа поверхностей

6.1 Общие положения и возможности программы

6.2 Примеры работы

Выводы

Список литературы

Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию поверхностей.

Основные понятия

1.1 Первая квадратичная форма поверхности

Пусть - гладкая поверхность, - ее векторное параметрическое уравнение и .

Определение 1.1.

Первой квадратичной формой на поверхности называется выражение

(1)

Распишем это выражение подробнее.

,

Откуда (2)

Выражение (2) в каждой точке поверхности представляет собой квадратичную форму от дифференциалов и . Первая квадратичная форма является знакоположительной, так как ее дискриминант

и .

Для коэффициентов первой квадратичной формы часто используют следующие обозначения (и мы в своих исследованиях будем придерживаться именно их) ([1].[2],[3]):

,

,

.

Так что выражение (2) для формы можно переписать в виде

(3)

Соответственно,

.

1.2 Внутренняя геометрия поверхности

Известно, что, зная первую квадратичную форму поверхности, можно вычислять длины дуг кривых на поверхности, углы между кривыми и площади областей на поверхности. В самом деле, если рассмотреть формулы, определяющие вышеуказанные величины, можно заметить, что туда входят только лишь коэффициенты , , первой квадратичной формы. Поэтому если известная первая квадратичная форма поверхности, можно исследовать геометрию на поверхности, не обращаясь к ее уравнениям, а лишь используя ее первую квадратичную форму.

Совокупность геометрических фактов, относящихся к поверхности, которые можно получить при помощи ее первой квадратичной формы, составляет так называемую внутреннюю геометрию поверхности.

Поверхности, имеющие одинаковые первые квадратичные формы и потому имеющие одинаковую внутреннюю геометрию, называются изометричными.

Рассмотрим простой пример.

Пусть задана поверхность

Это цилиндрическая поверхность с синусоидой в качестве направляющей.

Имеем:

,

Поэтому

,

,

Следовательно,

.

Если сделать замену, вводя новые параметры и таким образом

,

.

Тогда первая квадратичная форма поверхности примет, очевидно, вид

.

Мы видим, что в новых переменных первая квадратичная форма рассматриваемой цилиндрической поверхности совпадает с первой квадратичной формой плоскости и поэтому внутренняя геометрия этой поверхности совпадает с внутренней геометрией плоскости. Т.е. синусоидальный цилиндр изометричен плоскости. Этот важный факт мы еще получим несколько другим способом.

Чисто геометрически это свойство понятно: синусоидальный цилиндр получается изгибанием (т.е. деформацией без сжатий и растяжений) обычной плоскости. При такой деформации внутренняя геометрия не изменяется.

Более того, можно показать, что если одна поверхность получается из другой путем изгибания, то внутренние геометрии этих поверхностей совпадают.

1.3 Вторая квадратичная форма поверхности

1.3.1. Определение второй квадратичной формы.

Основным объектом рассмотрения в этой части изложения станет - регулярная поверхность , заданная своим радиус-вектором.

,

В каждой точке такой поверхности помимо единичного вектора нормали

(1)

Определен и второй дифференциал радиус вектора

(2)

Определение 1.2.

Второй квадратичной формой поверхности называется скалярное произведение векторов и .

([1],[3],[4],[5]) (3)

Нетрудно заметить, что в каждой точке поверхности квадратичная форма (3) является квадратичной формой относительно дифференциалов и .

Для коэффициентов второй квадратичной формы приняты (и мы также в дальнейшем будем пользоваться этим) следующие обозначения

(4)

Это позволяет записать ее в следующем простом виде

 (5)

Покажем еще один способ вычисления коэффициентов второй квадратичной формы поверхности.

Заменим в формулах (4) единичный вектор нормали на его выражение (1), получим,

(6)

Для подробного вывода нужно знать тождество:

.

Продолжим рассуждения.

Так как векторы и ортогональны (первый, разумеется лежит в касательной плоскости к поверхности, а второй лежит в плоскости нормального сечения).

Поэтому

.

Откуда

Отсюда, дифференцируя, получим:

(7)

Это дает еще один способ расчета второй квадратичной формы.

([5],[6]) (8)

Отсюда же можно получить новые формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы. Впрочем, удобнее продифференцировать по и по очевидные равенства

и .

Воспользовавшись соотношениями (4), получаем, что

(9)

Вторая квадратичная форма эффективна при выяснении графических свойств регулярной поверхности.

1.4 Классификация точек регулярной поверхности

Пусть - регулярная поверхность и - ее параметрическое задание.

Выберем на поверхности некоторую точку и рассмотрим плоскость , которая касается поверхности в этой точке.

Отклонение произвольной точки поверхности от плоскости определим по формуле

(1)

В этой формуле - единичный вектор нормали к поверхности в точке . Это отклонение, взятое по абсолютной величине, равно расстоянию от точки до плоскости . Отклонение положительно, если точка и конец вектора лежат по одну сторону от касательной плоскости, соответственно, оно отрицательно, если они лежат по разные стороны от касательной плоскости в точке .

Рассмотрим формулу (1).

Разность допускает следующую интерпретацию

(2)

Где

, при .

Умножим обе части равенства (2) скалярно на вектор и положив

, .

Получим, что

(3)

Разумеется, вдумчивый (или хотя бы немного читающий эти выкладки) читатель поймет, что коэффициенты

,

,

указанные в формуле (3) вычислены в точке , в окрестности которой мы и рассматриваем исходную поверхность .

Из курса линейной алгебры известно, что свойства квадратичной формы во многом определяются ее дискриминантом. А скорее даже знаком квадратичной формы.

Вычислим дискриминант второй квадратичной формы в точке .

Рассмотрим все возможные случаи.([7],[8],[9],[10],[11])

Случай 1.

Т.е. вторая квадратичная форма поверхности в заданной точке является знакоопределенной.

Зафиксируем в точке некоторое направление на поверхности. Пускай .

Тогда любое другое направление на поверхности в точке можно задавать при помощи угла , который оно образует с уже выбранным направлением.

Положим

,

Тогда

(4)

Нетрудно показать, что

,

где постоянная

а в силу условия

положительна.

Таким образом неравенство

выполняется независимо от выбора угла .

Так как порядок стремления к нулю при второго слагаемого в правой части формулы (3) выше двух, то из последней оценки можно сделать следующий вывод.

Отклонение сохраняет знак (совпадающий со знаком второй квадратичной формы ) для всех достаточно малых значений независимо от выбора направления на поверхности.

Это означает, что все точки поверхности , достаточно близкие к точке , располагаются по одну сторону от касательной плоскости поверхности в этой точке. Такая точка поверхности называется эллиптической точкой.

Например, все точки сфер - эллиптические.([6],[8])

Случай 2.

.

Вторая квадратичная форма является знакопеременной.

Покажем, что в этом случае, в точке можно указать два неколлинеарных направления на поверхности, обладающие следующими свойствами:

- для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма поверхности, вычисленная в точке , обращается в нуль,

- все остальные направления на поверхности в точке разбиваются на два класса - для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна и для другого отрицательна.

Пусть некоторое направление положительного класса задается углом . В соответствии с формулой (4) имеем

, ([1],[4],[11])

где

Как видно из формулы (3), знак отклонения для всех достаточно малых значений в рассматриваемом направлении совпадает со знаком второй квадратичной формы . Следовательно, если точка поверхности достаточно близка к точке , то это отклонение положительно.

Рассуждая аналогично, можно указать точки на поверхности, близкие к точке , для которых отклонение будет отрицательным.

Приведенные рассуждения показывают, что вблизи точки поверхность располагается по разные стороны от касательной плоскости. При этом проекции точек поверхности, отклонения которых расположены на касательный плоскости заполняются множество «между» этими направлениями…

В этом случае точка называется гиперболической точкой поверхности.

Случай 3.

.

Но отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов, , .

Пусть для определенности . Тогда вторая квадратичная форма поверхности в точке может быть записана в следующем виде



Тем самым в зависимости от знака форма либо неотрицательна, либо неположительна. При этом на поверхности в точке можно указать направление , такое, что определяющие его дифференциалы и обращают вторую квадратичную форму в нуль.

Для всех других направлений на поверхности в точке форма имеет один и тот же знак (совпадающий со знаком )

В этом случае точка называется параболической точкой поверхности .

Случай 4. ([1],[11],[12])

Такая точка называется точкой уплощения поверхности. Расположение поверхности, близ таких точек может быть самым разнообразным.

Например, все точки плоскости являются точками уплощения.

1.5 Средняя и гауссова кривизны поверхности

Нам осталось рассмотреть еще немного понятий, прежде чем приступить к исследованиям. Рассмотрим на поверхности произвольную - регулярную кривую, проходящую через точку в направлении .

Пусть

- естественная параметризация кривой. Вычислим в точке три вектора

- единичный вектор касательной к кривой

,

- единичный вектор нормали к поверхности

- и вектор

Эта тройка векторов линейно независима. Это позволяет представить вектор

в виде линейной комбинации



Так как , то

.

Коэффициенты и имеют специальные названия.

- нормальная кривизна кривой

- геодезическая кривизна кривой.

Примем без доказательства следующую формулу для вычисления нормальной кривизны поверхности в заданном направлении

(1)

Как видно из этой формулы нормальная кривизна поверхности в данной точке зависит от направления на поверхности.

Определение 1.3.

Направление на поверхности называется главным, если нормальная кривизна в этом направлении достигает экстремального значения.

Покажем, что в каждой точке -регулярной поверхности найдется не мене двух различных главных направлений.

Пусть - произвольное направление в точке на поверхности . Тогда

(2)

(2) - дифференцируемая функция переменных и . Отметим, что функции коэффициентов второй и первой квадратичных форм определяются только выбором точки и от переменных и не зависят.

Полагая

,

получим, что

Так как функция

непрерывна и , то на отрезке она либо постоянна, либо имеет хотя бы один максимум. Это и означает, что в каждой точке - регулярной поверхности есть два различных главных направления.

Определение 1.4.

Экстремальные значения нормальных кривизн в главных направлениях называются главными кривизнами поверхности в данной точке.

Укажем способ вычисления главных кривизн в данной точке регулярной поверхности.

Из формулы (2) вытекает тождество относительно переменных и

(3)

Продифференцируем это тождество по . Учитывая, что производная нормальной кривизны в главном направлении обращается в нуль, получим для главного направления

(4)

(5)

Здесь - главная кривизна в направлении .

Рассматривая полученные соотношения (4) и (5) как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и , получим, что эта система всегда имеет ненулевое решение, так как в данной точке регулярной поверхности всегда есть главные направления.

Из этого вытекает, что

Вычисляя определитель, мы получим квадратное уравнение для искомой функции (внимание… мы его будем использовать при некоторых выкладках далее).

(6)

Возможны два случая.

Случай 1.

Квадратное уравнение имеет два различных корня и .

Этим корням на поверхности соответствует два различных главных направления.

Случай 2.

Уравнение (6) имеет один корень кратности 2 .

Это могут быть только точки уплощения или омбилические точки (точки округления) ().

Определение 1.5.

Средней кривизной поверхности в данной точке называется полусумма ее главных кривизн в этой точке.

(7)

Определение 1.6.

Гауссовой кривизной поверхности называется произведение ее главных кривизн.

(8)

В виду уравнения (6) можно показать, что

(9)

(10)

Этих основных понятий нам пока хватит для рассмотрения специального класса поверхностей.

Глава 2. Понятие поверхности Каталана

2.1 Общие положения

Определение 2.1.

Поверхность Каталана - линейчатая поверхность, прямолинейные образующие которой параллельны одной и той же плоскости.

Определение 2.2.

Плоскость, которой параллельны образующие поверхности Каталана, называется плоскостью параллелизма.

Определение 2.3.

Поверхность Каталана, все образующие которой пересекают одну прямую, называется Коноидом.

Замечание 2.1.

Обычно предполагают, что уравнение поверхность Каталана:

, причем .

Мы, однако, не будем учитывать это условие, а ограничимся указанным выше определением. И те, и другие поверхности мы будем для краткости называть поверхностями Каталана.

Замечание 2.2.

Из определения поверхности Каталана следует, что, если ее уравнение:

, то .

Это очевидно, так как все три вектора (вычисленные при одном и том же значении параметра), участвующие в смешанном произведении лежат в одной плоскости, - плоскости параллелизма, т.е. они компланарны.

Для обратного утверждения справедлива теорема.

Теорема 2.1.

Достаточное условие того, что данная линейчатая поверхность является поверхностью Каталана.

Пусть задана линейчатая поверхность

,

причем вектор-функция трижды непрерывно дифференцируема (здесь и далее мы говорим о каком-либо простом куске поверхности, которому отвечают некоторые промежутки параметров). Тогда если и неколлинеарен ни в одной точке то данная поверхность является поверхностью Каталана.

Доказательство.

Рассмотрим два случая: когда кривая, описываемая вектором - плоская и когда она неплоская.

1) Предположим, что кривая - плоская. Тогда равенство просто следует из этого факта. Очевидно, что все тройки векторов (при любом значении параметра) лежат в плоскости кривой . Поэтому и все образующие лежат в этой плоскости, значит и поверхность является по определению поверхностью Каталана.

2) Предположим, что кривая - неплоская. По условию теоремы . Продифференцируем это равенство один раз по параметру:

.

Если коллинеарен вектору в некоторой точке. Тогда

Значит коллинеарен , а значит, коллинеарен и , а мы предположили противное, значит, этот случай невозможен, т.е. неколлинеарен вектору .

Посмотрим на картинку:

Так как , то все эти три вектора лежат в одной плоскости - плоскости . А в силу того, что , эти векторы тоже лежат в одной плоскости - плоскости (в первом случае плоскость обозначена двумя дугами, во втором, одной дугой). Так как векторы и неколлинеарны, то они в обоих случаях определяют плоскость, т.е. плоскости и - совпадают, а значит, все четыре вектора: , , , лежат в одной плоскости, а значит: .

Напомним, что если дана кривая . То кручение кривой в точке вычисляется по формуле:

 (*)

Т.к. - то кривая - плоская, а это противоречит предположению пункта два. Т.е. рассматриваемая ситуация невозможна.

Таким образом, кривая (в условиях теоремы) может быть только плоской кривой и при этом поверхность является поверхностью Каталана ч.т.д.

Замечание 2.3. Если в теореме убрать предположение о тройной непрерывной дифференцируемости вектор-функции . То можно построить пример поверхности, такой что , но при этом поверхность не является поверхностью Каталана.

Красивый пример можно получить следующим образом.

Нам хочется, чтобы функция «развернула» плоскость прямых или разворачивала ее постоянно. Как следует из теоремы, соответствующую функцию следует искать среди функций, 3-яя производная которых терпит в какой-либо точке разрыв.

Например, можно задаться следующим уравнением: .

Здесь - функция Хэвисайда.

Проинтегрируем это уравнение.

.

Теперь уже гораздо проще подобрать необходимый пример.

Итак, рассмотрим поверхность.

Проверим, что в каждой точке выполняется равенство: .

Замечание 4. Строго говоря, мы тут допустили неточность. А именно: . Т.е. производная тета-функции Хэвисайда - дельта-функция Дирака. Поэтому,

.

Однако, простое геометрическое рассуждение может убедить нас, что вторым слагаем можно пренебречь. Действительно, посмотрим на график функции:

Очевидно, что в нуле наклон касательной к графику функции равен нулю, а функция равна нулю всюду, кроме, быть может, нуля, следовательно, вклад в значение производной эта функция не вносит. Таким образом, Наше выражение для производной вполне корректно.

.

Проверим условие коллинеарности векторов и .

Как мы видим, они коллинеарны в каждой точке.

Теперь нам надо отыскать три прямые, которые вместе не лежат в параллельных плоскостях.

Для этого найдем три значения направляющего вектора этих прямых.

,

,

Если эти три вектора некомпланарны, то отвечающие им прямые (для которых они являются направляющими векторами) не лежат в параллельных плоскостях, т.е. являются искомыми.

.

Т.е. эти прямые действительно не лежат в параллельных плоскостях.

Ниже на рисунке изображен пример такой поверхности. Мы отчетливо видим, как на этой поверхности есть прямы, соответствующие данным векторам.

Более простой пример можно построить, убрав требование о том, что неколлинеарен .

Найдем вектор, который в каждой точке обладает свойством, обратным к данному.

Пусть коллинеарен вектору при каждом значении параметра. Например:

Пусть .

Решим уравнение, например, для координаты .

Сделаем замену: .

.

.

Подставим в .

. Т.е. имеет вид:

Вычислим производные для проверки.

,

.

Теперь видно, что в каждой точке векторы и коллинеарные, поэтому смешанное произведение будет заведомо равно нулю (другого и быть не могло, собственно).

Теперь нам надо сделать так, чтобы нашлись 3 вектора не лежащие в одной плоскости (при соответствующих значениях параметра).

Т.е.

,

,

.

И при этом: .

Поскольку сдвиг в пространстве всех этих трех векторов не повлияет на равенство (или не равенство) нулю смешанного произведения, то достаточно рассматривать векторы:

,

,

.

А эти векторы, очевидно, лежат в одной плоскости. Так что добиться выполнения утверждения о коллинеарности векторов и в каждой точке, при выполнении, которого поверхность не будет являться поверхностью Каталана - нельзя.

Значит, стоит подумать о примере, который обеспечивает выполнение этого условия в одной точке, в которой, разумеется, мы должны «повернуть» плоскость образующих линейчатой поверхности.

Рассмотрим вектор:

Очевидно:

,

Очевидно, что в каждой точке (есть нулевой столбец). Также, за исключением точки, соответствующей параметру кручение вектора также равно нулю (). Причем, в каждой точке промежутка: неколлинеарен (т.е. мы имеем право пользоваться формулой (*) для расчета кручения кривой на указанном промежутке).

Действительно:

Если : , .

График ординаты имеет вид:

И мы видим, что он нигде кроме 1 в нуль не обращается (это видно и непосредственно из аналитического выражения).

Если : , .

Аналогично - график на данном полуинтервале:

Теперь мы уже поняли, что коллинеарен в точке . Следовательно, вычислять кручение кривой в этой точке по формуле (*) нельзя. Как мы сейчас увидим, в результате - кривая не будет плоской.

Действительно, возьмем три вектора:

,

,

.

Проверим, лежат ли они в одной плоскости.

.

Действительно, они некомпланарны, а следовательно, и соответствующие этим векторам прямые не лежат в одной плоскости, значит, поверхность не является поверхностью Каталана.

Теперь осталось написать явно хороший пример такой поверхности.

Пусть

Примерный вид такой поверхности изображен ниже на рисунке.

2.2 Примеры поверхностей Каталана

поверхность каталан линейчатый квадратичный

1. Очевидно, все цилиндры являются поверхностями Каталана.

Так как направляющий вектор образующих цилиндрической поверхности не зависит от параметра.

Например, - прямой круговой цилиндр.



2. Прямой архимедов геликоид (является также и коноидом)

2.3 Виды поверхностей Каталана

Напомним, что среди линейчатых поверхностей имеет место следующая классификация.

Теорема 2.1

Поверхность Каталана может быть либо косой линейчатой поверхностью, либо цилиндрической поверхностью, и не может быть конической поверхностью (имеется в виду невырожденный случай, т.е. когда все образующие конуса не лежат в одной плоскости).

Доказательство

Примеры цилиндрический и косой линейчатой поверхности мы уже видели. Осталось показать, что поверхность Каталана не может быть ни конической поверхностью, ни поверхностью касательных.

1. Конус. Очевидно, что если имеет место невырожденный случай (не все образующие лежат в одной плоскости), то это противоречит определению поверхности Каталана.

2. Поверхность касательных. Рассмотрим произвольную поверхность касательных:

.

Т.е. .

Так как очевидно, что два вектора и всегда лежат в одной плоскости, а все векторы (при различных значениях параметра) , также лежат в одной плоскости (так как это поверхность Каталана), тои все векторы также лежат в этой плоскости. Поэтому поверхность касательных вырождается в плоскость.

Замечание 2.1.

Очевидно, не все косые линейчатые поверхности являются поверхностями Каталана,

Например, Лист Мёбиуса и однополостный гиперболоид - не являются (см. рис. ниже)

Глава 3. Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

Так как поверхности Каталана являются линейчатыми поверхностями, то чтобы выделить некоторые их особые, отличные от всех линейчатых поверхностей свойства, мы для начала рассчитаем некоторые характеристики линейчатых поверхностей.

3.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой

поверхности

Понятное дело, нас интересуют лишь коэффициенты, однозначно определяющие саму форму.

, ,

,

,

,

(5)

. (6)

. (7)

Определитель для краткости обозначим так (ибо непосредственное покоординатное вычисление не дает удобочитаемого результата).

.

, , .

1. Расчет .

(8)

2. Расчет M.

.

. (9)

3. Расчет N.

.

(10)

Итак, мы рассчитали коэффициенты первой и второй квадратичных форм линейчатой поверхности. Сделаем некоторые замечания.

Замечание 3.1.

Из формулы (9) очевидно, что необходимое и достаточное условие того, что данная линейчатая поверхность является развертывающейся, может быть переписано в виде: .

Замечание 3.2.

О различных точках линейчатой поверхности.

Вычислим дискриминант второй квадратичной формы для линейчатой поверхности.

. (11)

В связи с этим, проведем классификацию точек линейчатой поверхности.

1. Так как , то на линейчатой поверхности нет эллиптических точек.

2. Пусть , т.е. вторая квадратичная форма поверхности является знакопеременной. Таким образом, в точке , для которой это справедливо можно указать два неколлинеарных направления, обладающих следующими свойствами:

а) Для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма, вычисленная в точке , обращается в нуль.

б) все остальные направления на поверхности в точке разбиваются на два класса - для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна, а для другого отрицательна.

Другими словами в окрестности точки поверхность лежит по разные стороны от касательной плоскости в заданной точке.

Такие точки, как известно, называются гиперболическими.

В силу замечания 1, гиперболическими точками среди линейчатых поверхностей обладают только косые линейчатые поверхности (например, все точки архимедова геликоида - гиперболические).

3. Пусть и . Такие точки называются параболическими.

Такими точками обладают развертывающиеся поверхности.

4. . Такие точки называют точками уплощения поверхности.

Очевидно, что у линейчатых поверхностей могут быть точки уплощения.

Поверхность в окрестности точки уплощения может выглядеть самым разным образом, вот один из примеров…

3.2 Первая и вторая квадратичные формы поверхности Каталана

Итак, из формулы (5), (6), (7):

. (5)

. (6)

. (7)

Для поверхности Каталана мы имеем дополнительное условие . Тут мы не получим никаких существенных изменений.

Определитель

,

индекс говорит о том, что он вычислен для поверхности Каталана.

Расчет .

(8)

Расчет M.

.

. (9)

Расчет N.

.

- средняя кривизна поверхности в заданной точке.

В нашем случае:

. (10)

. (11)

.

Можно считать, что

Тогда: .

Аналогичная величина для произвольной линейчатой поверхности имеет вид:

Как мы видим, - последнее слагаемое обращается в нуль .

Очевидно, что для поверхности Каталана:

.

Подставим это выражение для , , для поверхности Каталана.

Итак, пересчитаем коэффициенты второй квадратичной формы для поверхности Каталана.

(12)

- без изменений

- без изменений.

Теперь средняя кривизна.

 (13)

Попробуем найти все минимальные поверхности Каталана.

(14)

Рассмотрим два случая.

1. Поверхность Каталана является развертывающейся поверхностью (т.е. цилиндром).

Тогда, очевидно: , .

Уравнение примет вид:

. (15)

Пусть . Также, можно положить . Тогда уравнение запишется в виде:

(16)

Предположим, что функция известная (ситуация абсолютно симметрична, как мы видим).



Сделаем замену искомой функции:

. Получим:

Предположим, что . Быть может за исключением какого-то множества точек, которое мы исключим из рассмотрения (так как нас интересуют общие, регулярные свойства поверхности, то на общность рассмотрения это не повлияет).

.

Далее:

.

Таким образом, все цилиндры вида:

(17)

являются минимальными поверхностями.

Заметим, что

, поэтому.

Также может выполняться, если , т.е. если , то выполняется система:

причем (нигде, кроме быть может, каких-то точек). Проинтегрируем, например первое уравнение.

Сделаем замену искомой функции: .

Получим:

.

.

Откуда .

В результате получаем более приемлемое выражение, описывающее все минимальные цилиндры (с точностью до ориентации в пространстве).

Пусть для удобства записи функция

, тогда: .

Итак, цилиндры, вида:

являются минимальными поверхностями.

Однако, как легко видеть - это только плоскости…

Теорема 3.1. О минимальных цилиндрах.

Среди цилиндров только плоскости являются минимальными поверхностями.

Доказательство

Пусть дан цилиндр.

,

,

,

,

Тогда ,

,

,

,

Поэтому уравнение для определения главных кривизн

,

примет вид.

, т.е.

Вспомним формулу для средней кривизны, а именно:

В нашем случае, это возможно только если . А это означает, что цилиндрическая поверхность сплошь состоит из точек уплощения. Т.е. является плоскостью.

Вернемся к рассмотрению уравнения (14)

Рассмотрим случай, когда (т.е. поверхность Каталана является косой линейчатой поверхностью).

Улучшений здесь не видно, особенно.

Рассмотрим один специальный случай: .

Т.е. , .

Получим:

,

Теорема 3.3. О минимальных поверхностях Каталана.

Если имеет место разложение: для поверхности Каталана , то она является минимальной, если верно уравнение

Рассмотрим пример минимальной поверхности Каталана.

.

Это прямой архимедов геликоид. Т.е.

,

,

,

,

,

.

Имеет место разложение:

, т.е.

, .

,

,

,

,

,

, получим .

Действительно, прямой архимедов геликоид - минимальная поверхность Каталана.

Еще раз напомним, как он выглядит.

3.3 О коноидах

Выведем условие, при котором поверхность Каталана будет являться коноидом.

Т.е. задана поверхность Каталана

.

Определим, когда есть прямая, пересекающая все образующие данной поверхности.

Пусть есть кривая на этой поверхности:

Причем она не совпадает ни с одной из образующих, т.е. .

Уравнение этой кривой в пространстве имеет вид:

Если в каждой точке кривизна равно нулю - то это связное множество точек, которое лежит на прямой.

.

.

Рассмотрим векторное произведение:

Как мы видим, это не очень удобная запись. Попробуем использовать соотношение:

Сгруппируем члены при векторах.

(18)

Умножим это равенство векторно на справа.

А теперь умножим скалярно на .

Так как мы рассматриваем поверхности Каталана, то . В результате получим.

(19)

Дифференциальное уравнение (19) дает необходимое условие того, чтобы поверхность Каталана являлась коноидом.

Рассмотрим специальный простой случай, а именно, когда поверхность Каталана является цилиндром () в этом случае уравнение (19) примет вид: . Т.е. вырождается. Это и понятно, поскольку мы делали неравносильные преобразования уравнения, а выводили следствия путем соответствующих преобразований.

И действительно:

Если имеется равенство: , очевидно, что если его справа или слева умножить векторно на какой-то вектор, то оно сохраниться. Например:

.

Однако из этой записи вышеуказанное равенство не следует. Ибо если , то это тождество… Аналогично со скалярным произведением… А если то , а мы как раз умножали скалярно на . Отсюда и вырождение уравнения…

Очевидно, мы пока не получили достаточно удовлетворительного уравнения для характеризации коноидов среди линейчатых поверхностей. Воспользуемся тем фактом, что для прямой верно, что , и обратно, если для кривой этой выполняется, - то она прямая. Это справедливо в силу того, что параметрическое уравнение прямой:

, .

Итак (20)

Рассмотрим снова два случая.

1. . Т.е. поверхность Каталана является цилиндром. В таком случае:

(21)

Т.е. если уравнение (21) в указанных в начале продолжениях имеет решение, то оно определяет параметрическое уравнение прямой, через которую проходят все образующие цилиндра.

Умножим уравнение справа на векторно.

.

Откуда очевидно, что:

(22)

Рассмотрим уравнение (22) для какой-нибудь одной координаты. Пусть

, .

.

Другими словами:

.

Возвращаясь к уравнению и имея в виду: , получим, что , а значит, .

Т.е. всякий цилиндр является коноидом, если существует такая функция , что

,

при этом, общая прямая, через которую проходят все образующие цилиндра имеет вид:

Естественно - это целое семейство прямых.

Попробуем сразу воспользоваться найденным приемом для уравнения (21).

Это можно переписать так:

,

(23)

Откуда также можно сделать вывод, что - иначе равенство невозможно. Также, очевидно, что и . Другими словами существует такая замена переменного параметра , что выполнится указанное выше соотношение.

Если проанализировать это равенство для одной из координат:

.

Тогда, если существует обратная функция , то:

.

Проверим наши выкладки на примере.

Рассмотрим два цилиндра:

1)

Проверим, является ли этот цилиндр коноидом:

.

Допустим, что локально можно положить:

С другой стороны,

.

Естественно, выполнение этих двух условий в системе возможно только в каких-то определенных точках, что нас не устраивает. Очевидно, это не коноид. Результат тем более очевиден, что если , то лини - это синусоиды, а не прямые.

2) .

Очевидно:

,

остальные равенства выполняются при равенстве нулю коэффициентов линейной функции.

Очевидно, что коэффициенты в данном случае влияют лишь на динамику обхода линий .

Данная поверхность Каталана является коноидом.

Итак, данный цилиндр, является коноидом, тогда и только тогда, когда существует такая замена переменного , что

. (24)

При этом найдется целое семейство прямых, каждый член которого не совпадет ни с одной образующей и который все образующие пересекают.

Из (24) легко понять, что если такая замена существует, то поверхность является просто плоскостью. Другими словами, справедлива теорема.

Теорема 3.2. О кониодных цилиндрах.

Среди всех цилиндров только плоскость является коноидом.

Вернемся к рассмотрению общего случая соотношения (20). Напомним.

Перепишем это уравнение в следующем виде:

Константу можно «убрать» в функцию .

.

Рассмотрения возможных случаев, когда данное уравнение имеет невырожденное решение мы оставим за границами нашего рассмотрения.

Глава 4. Специальные поверхности Каталана (поверхности

класса КА)

Рассмотрим две пространственные кривые:

(1)

и , (2)

плоскость с нормальным вектором . Причем будем полагать, что для любых плоскость с нормальных вектором , проходящая через точку пересекает кривую ровно в одной точке. Это условие мы будем для краткости называть условием согласованности кривых относительно плоскости . Соответственно, две таких кривых мы будем называть согласованными относительно плоскости .

Определение 4.1.

Пусть кривые (1) и (2) согласованны относительно плоскости . Тогда множество прямых, опирающихся на эти кривые и параллельных плоскости называется поверхность класса КА. Плоскость в данном случае называется плоскостью параллелизма.

Эту поверхность можно себе представить следующим образом. Пусть в пространстве расположены две кривые, согласованные относительно некоторой плоскости . Пусть плоскость сначала проходит через точку первой кривой и точку второй кривой. Прямая принадлежит множеству, описываемому в определении 2. Двигаясь параллельно самой себе, плоскость будет пересекать новые пары точек, лежащих на заданных кривых - они также будут принадлежать формируемой таким образом поверхности. Можно сказать, что плоскость «отстраивает» поверхность, проходя через данные кривые.

Первым нашим шагов в изучении данного вида поверхностей будет вывод уравнения данной поверхности.

4.1 Вывод уравнения поверхности класса КА

Итак, пусть задано две кривые и вектор (нормальный вектор порождающей плоскости).

Выберем систему координат так, чтобы ось совпадала по направлению с заданным вектором.

Имеем:

- первая кривая.

- вторая кривая.

,

,

.

Дополнительно требуем, чтобы первая и вторая кривые были согласованны относительно плоскости .

Возьмем точку , лежащую на оси . Плоскость, проходящая через данную точку и имеющая нормальный вектор , согласно условию согласованности пересекает каждую из кривых ровно в одной точке.

Кривую I в точке .

Кривую II в точке .

Становиться очевидным, что в качестве параметра кривых удобно выбрать . При переходе к параметру (Это можно сделать ввиду условия согласованности), уравнения кривых приобретают вид:

- первая кривая,

- вторая кривая.

Тогда при выбранной точке порождающая плоскость пересечет первую кривую в точке , а вторую кривую в точке .

Таким образом, направляющий вектор прямой, порожденной данной плоскостью и лежащей на поверхности есть вектор

.

Тогда легко понять, что вся поверхность описывается уравнением:

(3)

Так как разность - снова функция параметра , то иногда будет удобно использовать следующую запись уравнения:

(3*)

Уравнение (3) будем называть уравнением поверхности класса КА в параметрической форме. Еще раз заметим, что уравнения (3) и (3*) взаимозаменяемы при рассмотрении общего случая.

4.2 Вывод уравнения поверхности класса КА по заданным кривым

и нормальному вектору порождающей плоскости

Выше, мы вывели уравнение квазицилиндрической поверхности в каноническом виде, предполагая, что нормальный вектор порождающей плоскости направлен по оси .

Однако, интересно бы было получить параметрическое (или общее уравнение) такой поверхности без такого допущения (т.е. в случае, когда вектор нормали порождающей плоскости направлен произвольно).

Для этого мы воспользуемся простым соображением. Чтобы воспользоваться каноническим уравнением поверхности в форме (3) нам надо повернуть поверхность так, чтобы нормальный вектор порождающей плоскости стал сонаправлен направляющему вектору оси .

Нам достаточно вывести матрицу такого поворота. Для этого поворот будем осуществлять в два этапа:

1. Поворот относительно оси , так, чтобы проекция вектора на плоскость оказалась бы в плоскости .

2. Поворот вокруг нового положения оси (после операции 1) до совпадения нового положения оси с самим вектором .

Рассмотрим плоскость .

Очевидно:

.

Т.е. нам надо повернуть поверхность на угол относительно оси . Однако, тут есть два важных момента:

1) Если мы будем вращать в положительном направлении, то угол следует брать со знаком +, если в отрицательном, - со знаком минус. Таким образом, выражение для угла поворота относительно оси примет вид:

.

2) Полученное в п. 1 выражение для угла поворота также не является точным, поскольку в случае становиться некорректным.

Очевидно, в этом случаем вектор лежит на оси и вращать относительно ее поверхность не требуется. Решить проблему можно так: вместо подставить функцию:

.

Такую функцию легко записать аналитически:

Итак, мы получим выражение для угла поворота относительно оси :

 (4)

После первого поворота, нам надо осуществить второй - относительно оси (эта ось направлена «вглубь» рисунка.

Откуда очевидно:

.

Этот поворот нам придется делать либо в положительном, либо в отрицательном направлении, поэтому формула для второго угла поворота примет вид:

.

Тут важно отметить, что первым поворотом мы всегда придем к картине, когда угол между направляющим вектором оси и вектором (нового его положения) всегда будет лежать на отрезке (это происходит из-за правильного выбора знака угла первого поворота).

Осталось отметить один неприятный частный случай, а именно, когда вектор лежит на оси . В этом случае , а значит , что неверно, когда вектор направлен в отрицательном направлении оси (в этом случае, нам требуется осуществить поворот на угол или ). Пользуясь приемом, примененным в пункте 1 мы уточним нашу формулу:

(5)

Дополнительных уточнений, тут, вероятно, уже не нужно.

Как известно, матрица поворота относительно оси имеет вид:

.

Относительно оси (в нашем случае, - нового ее положения):

.

Суммарно поворот описывается произведением этих матриц:

Подставлять значения углов в эту матрицу, - сущее безумие, поэтому просто поймем, как будут выглядеть уравнения для направляющих кривых квазилинейчатой поверхности при таком повороте.

Пусть

- первая кривая, - вторая кривая до описанного поворота. Очевидно, после поворота они преобразуются так:

Для первой и второй кривой соответственно. Т.е.

,

Запишем теперь каноническое уравнение в поверхности в параметрической форме.

Итак, если заданы две кривые , , согласованные относительно плоскости с нормальным вектором , то параметрическое уравнение соответствующей поверхности определяется следующими соотношениями (6) и (7)

(6)

где

(7)

Это кажущаяся сложность. В дальнейшем, для изучения внутренней геометрии поверхности мы будем пользоваться, как правило, каноническим ее заданием.

Мы можем рассмотреть другой подход к параметризации поверхностей класса КА.

А именно.

Теорема 4.1. Всякая поверхность класса КА является поверхностью Каталана. Обратное неверно: есть поверхности Каталана, не являющиеся поверхностями класса КА.

Доказательство

Первое утверждение теоремы - очевидно, в силу определения поверхности класса КА.

Для доказательства второго - достаточно привести пример.

Таким примером может служить прямой круговой цилиндр - плоскость параллелизма будет пересекать каждую из этих кривых, за исключением двух точек ровно по двум точкам.

Замечание 4.1.

Следует отметить, что поверхность Каталана всегда можно разбить на куски, каждый из которых будет представлять из себя поверхность класса КА.

Теорема 4.2. Поверхность класса КА является цилиндрической, тогда и только тогда, когда разности между радиус-векторами направляющих кривых при согласованных значениях параметров для каждой из них являются коллинеарными векторами.

Глава 5. Дифференциальная геометрия поверхностей класса КА

Определим основные характеристики поверхностей класса КА. Нам будет интересно, в частности, рассматривать различные понятия и свойства этих поверхностей в разрезе направляющих кривых, так, что мы будем использовать (3) форму записи уравнения поверхности.

Сделаем предварительное замечание относительно обозначений. Для удобства записи и наглядности индексы, обозначающие принадлежность координатных функций к первой или ко второй кривой будут указывать в слева вверху относительно символа, в отличие от предыдущих глав.

Так как поверхности класса КА являются линейчатыми поверхностями, то чтобы выделить некоторые их особые, отличные от всех линейчатых поверхностей свойства, мы для начала рассчитаем некоторые характеристики линейчатых поверхностей.

5.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой

поверхности

Понятное дело, нас интересуют лишь коэффициенты, однозначно определяющие саму форму.

, ,

,

,

,

.

.

.

Определитель для краткости обозначим так (ибо непосредственное покоординатное вычисление не дает достаточно удобочитаемого результата).

.

, , .

1. Расчет .

(8)

4. Расчет M.

.

. (9)

5. Расчет N.

.

(10)

Итак, мы рассчитали коэффициенты первой и второй квадратичных форм линейчатой поверхности. Сделаем некоторые замечания.

Замечание 5.1.

Из формулы (9) очевидно, что необходимое и достаточное условие того, что данная линейчатая поверхность является развертывающейся, может быть переписано в виде: .

Замечание 5.2. О различных точках линейчатой поверхности.

Вычислим дискриминант второй квадратичной формы для линейчатой поверхности.

. (11)

В связи с этим, проведем классификацию точек линейчатой поверхности.

1. Так как , то на линейчатой поверхности нет эллиптических точек.

2. Пусть , т.е. вторая квадратичная форма поверхности является знакопеременной. Таким образом, в точке , для которой это справедливо можно указать два неколлинеарных направления, обладающих следующими свойствами:

а) Для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма, вычисленная в точке , обращается в нуль.

б) все остальные направления на поверхности в точке разбиваются на два класса - для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна, а для другого отрицательна.

Такие точки, как известно, называются гиперболическими.

В силу замечания 1, гиперболическими точками среди линейчатых поверхностей обладают только косые линейчатые поверхности (например, все точки архимедова геликоида - гиперболические).

3. Пусть и . В окрестности такой точки поверхность лежит по одну сторону от касательной плоскости. Такие точки называются параболическими.

Такими точками обладают развертывающиеся поверхности.

4. . Такие точки называют точками уплощения поверхности.

5.2 Первая квадратичная форма поверхности класса КА

Ограничимся вычислением лишь коэффициентов.

.

,

,

Вычислим определитель.

5.3 Вторая квадратичная форма поверхности класса КА

, , .

Т.е.

,

,

.

Мы могли бы и сразу воспользоваться результатами 3.1. Т.е. для всякой поверхности Каталана верно.



В нашем случае:

,

,

,

,

,

,

При расчете второй квадратичной формы мы не получим дополнительных улучшений.

Итак, окончательно зафиксируем результат. Производные функции для удобства будем обозначать далее штрихами.

,

,

,

,

.

Где

Глава 6. О программе визуализации и анализа поверхностей

6.1 Общие положения и возможности программы

Ввиду поставленной задачи, а также для наличия удобного инструмента исследования дифференциальной геометрии поверхностей была разработана компьютерная программа визуализации параметрически заданных поверхностей, кривых, кривых на поверхности.

Данная программа позволяет легко и наглядно представлять себе геометрию поверхностей, задав ее параметрическое уравнение, границы параметров и мелкость сетки.

Имеется также возможность раскрашивать поверхность, задавать текстуру, выводить сеть заданной толщины и многое другое.

В программе есть средства для численного расчета всех дифференциальных характеристик, необходимых автору работы.

В программе встроено два алгоритма проверки произвольной поверхности на линейчатость: вращением сети и методом нормального сечения.

При разработке использовалась среда.NET, язык C# и технология OpenGL ([13],[14],[15]).

Нашей целью не ставиться описывать тут алгоритмы этой программы. Она представляет собственный интерес и довольно сложна.

Приведем далее примеры работы этой программы.

6.2 Примеры работы

Это простая визуализация поверхности.



Это пример анализа на линейчатость.

На этом мы закончим свою работу.

Выводы

1. Проведен подробный анализ поверхностей Каталана с точки зрения дифференциальной геометрии, получены важные необходимые и достаточные условия, отделяющие этот класс от класса линейчатых поверхностей. Получены уравнения для определения минимальных поверхностей Каталана. Для частных случаев сформулированы и доказаны теоремы. Как и ожидалось поверхности Каталана обладают своими, отличными от всех линейчатых поверхностей свойствами, которые и отражены в этой работе.