Анализ различных подходов к определению тригонометрических функций

Замена хорды синусом произошла в связи с тем, что индийские астрономы широко применяли проективные методы, разработанные греками и описанные в «Аналемме» Птолемея. Это становится понятным из следующего рассуждения.

Пусть в первой четверти круга АОВ (рис.5) дуга разделена на равные части BС₁ = CС₁ = С₂С₃ и т.д. точки деления проектируются на радиус OA. Полученные отрезки OD₁, OD₂, OD₃ и т.д. являются полухордами удвоенных дуг BС₁, ВС2, ВСз и т.д. или синусами дуг BС₁, ВС₂, ВС₃ и т.д.

Прямоугольный треугольник в индийской тригонометрии не играл роли.

Подобно предшественникам, индийцы подразделяли окружность на 360 градусов, считая радиус произвольным. Дуга четверти круга делилась на 24 части, из которых каждая равна 3°45 или 225'. Было установлено, что синус такой дуги по величине равняется радиусу. Поэтому радиус и тригонометрические линии в круге (линии синуса, синуса-верзуса и косинуса) выражали в частях окружности, сравнивая таким образом по величине дугу и прямолинейный отрезок. Это полностью противоречило греческой традиции: у Птолемея, как уже упоминалось, хорды выражались в долях диаметра, подразделенного на 12 частей.

Дуга в 225' носила название «кардаджа». Беруни пишет, что подразделение дуги четверти круга на 24 части встречается в «Полусе - сиддханты», и цитирует это сочинение: «Если кто-нибудь спросит о причине этого, то пусть он знает, что каждая из этих кардаджей - одна девяносто шестая часть круга, то есть 225 минут. А когда мы выводим его синус, то это тоже 225 минут» [3, с.42].

Ариабхатта, исходя из того, что 2рR = 360° = 21600' и принимая р = 3,1416, получил выражение для радиуса круга R = 3437,73872' или, приблизительно, R = 3438'. Индийская таблица синусов (табл.1) строилась для 24 значений угла в первом квадранте через каждые 3°45'. Для рассматриваемых дуг (они переводились а минуты) приводились значения R sin ц, затем первые разности ?¹ последовательных значений R sin ц, и вторые ?², в таблице фигурировал также синус-верзус дуги.

Правило составления этой таблицы равносильно формуле

,

где , а б=225'.

По-видимому, была построена сама таблица, а затем из нее выведено указанное правило. Возможно, что, исходя из значения R и простых геометрических соображений, нашли синусы 30°, 60°, 45°, а затем, воспользовавшись известным правилом определения синуса половинной дуги, получили также синусы 22°30', 11°15', 15°, 7°30', 3°45'. Далее по правилу нахождения синусов дополнений этих дуг, половин дополнений и т.д. можно было получить остальные табличные значения. На вопрос о том, каким образом составлялись и уточнялись индийские таблицы синусов, исследователи отвечают по-разному.

1.3 Развитие тригонометрии в Средневековье

1.3.1Тригонометрия на Ближнем и Среднем Востоке. Плоская тригонометрия

Важнейший период истории тригонометрии связан с деятельностью учёных Ближнего и Среднего Востока. Начало его можно датировать VIII в., когда в столице арабского халифата Багдаде началась активная работа по изучению индийского и греческого научного наследия. Среди успешно развивавшихся научных дисциплин были те направления астрономии и математики, в рамках которых формировалась плоская и сферическая тригонометрия.

Астрономия - одна из древнейших наук - на протяжении всего средневековья развивалась в неразрывной связи с другими дисциплинами. Необходимое в разных областях практической деятельности людей, например, при точном определении времени, составлении календаря, ориентировки на местности, измерении расстояний и т.д., она, в свою очередь, нуждалась в совершенном математическом аппарате. Именно потребности астрономии явились в тот период важнейшим стимулом быстрого прогресса математики и, в частности, разработки новых вычислительных приёмов.

Большое внимание в это время привлекала гномоника - теория солнечных часов, широко применявшихся в практике. При решении астрономических задач использовались древние графические приёмы, основанные на ортогональном проектировании сферы на плоскость. Всё большее значение приобретало учение о линиях в тригонометрическом круге.

Обобщив результаты, полученные предшественниками, учёные ближнего и Среднего востока развили тригонометрические методы и уже в XII в. фактически превратили тригонометрию в самостоятельную науку.

Прежде чем перейти к обзору тригонометрии на средневековом ближнем и Среднем востоке, следует назвать некоторых учёных, чьи труды сыграли особенно важную роль в ее истории.

Вначале необходимо упомянуть выдающихся переводчиков античной научной литературы с греческого и сирийского языка. Это работавшие в Багдаде в конце VIII - начале IX вв. Хаджжадж ибн Йусуф ибн Матар (жил между 786 и 833 гг.), математик, физик и медик Исхак ибн Хунайн 9830 - 910). Большой вклад в развитие тригонометрии внесли уроженцы Средней Азии Муххамад ибн Мусса ал-Хорезми (ок. 780 - ок.880 гг.) и Ахмад ибн Абдаллах ал-Марвази. Известный под именем Хабаш ал-Хасиб (ок. 770 - ок. 870 гг.). Первый из них прославился прежде всего сочинениями по математике: его имя связывается с созданием алгебры и с распространением арифметики, основанной на десятичной позиционной системе счисления с применением нуля. Важное значение в истории науки имел также его географический труд. Как и Хабаш ал-Хасиб, ал-Хорезми относился к виднейшим астрономам своего времени. Их сочинения пользовались огромной популярностью. Особую роль в истории тригонометрии сыграли составленные ими «зиджи».

Особое место в истории тригонометрии занимает выдающийся астроном средневекового Востока Мухаммад ибн Джабир ал-Баттани (ок. 850 - 929). Следует упомянуть также крупнейшего философа, основоположника восточного аристотелизма Абу Насра Мухаммада ал - Фараби (ок. 870 - 950 гг.).

К концу XI в. общими усилиями учёных Ближнего и Среднего Востока были заложены основы тригонометрии как самостоятельной науки. Оформлялась она и в трудах западноарабских математиков, среди которых должны быть названы Мухаммад ибн Йусуф ибн Ахмад ибн My'аз ал-Джаййани (989 - ок. 1080 гг.) и Абу Мухаммад джабир ибн Афлах (XII в.).

В XIII в. важный шаг в развитии тригонометрии сделали представители марагинской научной школы - прежде всего ее руководитель, учёный Насир ад-Дин ат-Туси (1201 - 1274 гг.) и его ученики Мухьи ад-Дин ал-Магриби и кутб ад-Дин аш-Ширази.

Средневековые учёные стран ислама продолжали в своих сочинениях традиции предшественников, наследниками которых в области точных наук они явились. Поэтому в астрономо- математической литературе этого периода, имеющей отношение к тригонометрии, четко выделяются, во-первых. Комментарии к греческим трудам (прежде всего к «Альмагесту» Птолемея и к сочинениям о сферике) и их обработки, и, во-вторых, сочинения, в которых развиваются индийские методы. Третью группу составляют труды, в которых эти методы сочетаются с греческими.

Индийское влияние сказалось в арабской тригонометрической терминологии. Линия синуса была названа джайб. Это арабизированный индийский термин джива, обозначающий хорду или тетиву лука. Косинус обозначался термином «синус дополнения». Обращённый синус называли вслед за индийцами «стрелой».

Вплоть до X - XI вв. зиджи и близкие им по характеру астрономические сочинения включались сводки основных сведений по тригонометрии и тригонометрические таблицы. Среди авторов трудов, внёсших значительный вклад в развитие науки и увеличение этого материала, были такие учёные как Абу Насар Мансур ибн Ирак и его великий ученик Абу Райхан Беруни. А работа Насир ад-Дина ат-Туси оставила важный след в истории тригонометрии.

Плоская тригонометрия излагалась, как правило, в специальных разделах астрономических сочинениях, прежде всего зиджей. Здесь приводились определения тригонометрических функций и устанавливались соотношения между ними, предлагались правила решения треугольников. Наибольшее внимание, естественно, уделялось вопросу, важному для практики, - составлению тригонометрических таблиц.

Понятие синуса и обращённого синуса встречаются - по-видимому, впервые арабоязычной литературе - в зидже ал-Хорезми. Он приводит таблицу синусов (до секунд включительно) и правило пользования ею, разъясняет, как с помощью этой таблицы найти синус и обращённый синус по данной дуге и как по данному синусу найти дугу. В качестве угловой единицы у ал-Харезми служит «знак зодиака», равный окружности круга, т.е. 30°. Значение синусов даются в частях радиуса, который принят равный 60, и выражаются в шестидесятеричных дробях.

Рис.6 рис.7

Правило определения обращённого синуса, словесно сформулированное ал-Харезми, с помощью современной математической символике можно записать так: если обозначить линию обращённого синуса дуги б через sinvers б, то

sinvers а = 60° - sin (90° - а), при б < 90°,

sinvers а = 60° + sin (90° - а), при б > 90°.

Если радиус круга, как принято сейчас, взять равным 1, то это правило примет вид sinvers б = 1 - cos б, где соответственно cos б > 0 и cos < 0.

Тангенс, котангенс, а также секанс и косеканс, введённые и табулированные тогда же, рассматривались вначале, как линии, фигурировавшие в науке о солнечных часах - гномонике.

Правило, по которому находился котангенс угла б, в современных обозначениях имеет вид

,

множитель 12 появляется здесь в связи с тем, что гномон подразделяется на 12 частей. Аналогично правило приводится дня тангенса, которая выражается в долях единицы:

.

Однако уже ал-Фараби при изложении труда Птолемея не только отказался от понятия хорды, но и рассматривал линии тангенса и котангенса как линии, связанные с кругом. Тем самым он нарушил традиционную связь этих тригонометрических функций с гномоникой.

Приведём для иллюстрации цитату из его «Книги приложений к Альмагесту», содержащую определение тангенса и котангенса в связи с задачей нахождения высоты солнца: «Пусть ABCD (рис.7) - круг высоты, его центр Е, a DI - пересечение плоскостей круга, высоты и круга горизонта; DE - гномон, стоящий под прямым углом к плоскости горизонта в точке D, СК - пересечение плоскости круга высоты и плоскости, стоящий под прямым углом к горизонту в точке С, а СЕ - гномон, стоящий на этой плоскости. Зададимся дугой высоты AG. Проведём GEF, т.е.луч, соединяющий вершину гномона и конец тени; DF - тень гномона DE, называемая плоской тенью или второй тенью высоты AG, а СН - тень гномона СЕ, называемая обращённой тенью или первой тенью высоты AG» [10, с.73].

При этом ал-Фараби особо отмечает, что тангенс «изменяется и увеличивается с увеличением высоты солнца», а котангенс «уменьшается с увеличением этой высоты».

Но если в приведённом рассуждении связь с гномоникой ещё сильна, то далее, при нахождении величины линий тангенса и котангенса, ал-Фараби рассматривает их только как линии в круге - наряду с линией синуса и косинуса.

, где r-радиус круга.

Существенно также, что ал-Фараби выражает тангенс и котангенс (также, как синус и косинус) в далях радиуса, подразделённого на 60 частей, а не в седьмых и двенадцатых долях гномона, как было принято раньше.

Тригонометрическая функция косинус в трудах восточных математиков рассматривалась только как синус дополнения угла до 90.

Таким образом, к концу ІХ века учёные средневекового Востока знали все шесть тригонометрических функций. Соотношение между ними, которые были выведены из геометрических соображений, формулировались словесно. С помощью математической символики эти соотношения приведенные, например, ал-Баттани, будут иметь вид:

,

, .

Чрезвычайно важный шаг для развития тригонометрии сделал Абу- л-Вафа ал-Бузджанни, положив г = 1 вместо б= 60. Он стал рассматривать тригонометрические функции в единичном круге и тем самым существенно облегчил вычисления. Ему же принадлежит более изящное, чем у Птолемея, доказательство соотношения, которое сейчас мы выражаем формулой

.

А у Ибн Йуниса встречается другое, сыгравшее существенную роль в истории тригонометрии:

.

Далее следуют уже известные из «Альмагеста» теоремы о хорде дополнительной дуги, хорде удвоенной дуги, хорде суммы и разности двух данных дуг, равносильные теоремам о синусе удвоенного и половинного углов, о синусе суммы и разности двух углов. Их важность отмечает Беруни.

Значительно облегчила решение треугольников доказанная в X в. теорема синусов, устанавливающая пропорциональность сторон и противолежащих углов.

Теорема косинусов а² = b² + с² - 2 bc cos А, где а, b, с - стороны треугольника, А - его угол, в общем виде сформулирована не была.

1.3.2 Тригонометрия в трудах европейских учёных

Обзор развития тригонометрии в Европейских странах, где в XVв., начался новый период истории этой науки, следует начать с трудов западно-арабских учёных, которые были посредниками в передаче достижений математиков и астрономов Ближнего и Среднего Востока на «Латинский» Запад. Их собственные результаты явились важным элементом научной традиции, которая легла в основу европейской тригонометрии в последующие века.

В X в. Маслама ибн Ахмад ал-Маджрити (ум. 1008 г.) и его современник Ахмад ибн ал-Мусанна ибн 'Абд-ал-Карим составили комментарии к зиджу ал-Хорезми. Первый из них, кроме того, был автором комментариев к зиджу ал-Батанни. Таким образом, благодаря трудам этих учёных в то время в Испании стали общедоступными сведения по тригонометрии, которыми располагали астрономы Ближнего и Среднего Востока.

В XI в. значительный вклад в тригонометрию сделал один из знаменитых астрономов своего времени Ибрахим ибн Йахйа ан-Наккаш ибн аз-Заркала, известный как аз-Заркали (ок. 1030 - 1099 гг.). Он прославился как знаток «Альмагеста» и критик теории Птолемея. Под руководством аз-Заркали был составлен коллективный труд - «Толеданский зидж», получивший впоследствии широкое распространение в латинских переводах. В нем содержатся, в частности, таблицы синусов при радиусе, равном 150, и описан индийский метод их вычисления; приведены также таблицы восхождений, вычисленные для различных широт по индийскому методу и методу Птолемея.

Для развития тригонометрии, как и других отраслей математики, в европейских странах решающее значение имела широко развернувшаяся в XII в. деятельность переводчиков научной литературы с арабского языка на латинский.

Прославленная школа переводчиков действовала между ИЗО и 1150 гг. в Толедо, отвоеванном в 1085 г. Испанцами; покровителем ее был великий канцлер Кастилии архиепископ Раймундо. Выдающимся представителем школы переводчиков был Герардо Кремонский (1114--1187 гг.), которому принадлежало свыше 70 переводов произведений античных и восточных авторов, в том числе ал-Хорезми, ал-Фаргани и др. в Толедо также работали Иоанн Севильский, Доминго Гонзалец (Доминико Гундисальви) и другие учёные, переводившие математические и астрономические сочинения.

Важную роль в распространении в Европе достижений восточных ученых сыграли видные переводчики XII в. Роберт из Честера и Герман из Каринтии (известным также под именем Германа Второго или Славянина), поддерживающие между собой тесную связь.

Среди первых астрономических сочинений, переведённых с арабского языка, были «Альмагест» и ряд зиджей, в основе которых лежали труд Птолемея и индийские сиддханты.

К числу первых зиджей, появившихся в латинском переводе, относится зидж ал-Хорезми. Он стал известен в XII в. в двух версиях - ал- Маджрити и Ибн Мусанны. Первую из них перевел Аделард из Бата, и этот перевод получил наибольшее распространение. Версия ал- Маджрити представляет собой переработку оригинала, причем, видимо, значительную. Современник ал-Маджрити писал: «Он занимался обработкой таблиц ал-Хорезми; он перевел его персидское летосчисление в арабское и определил средние положения планет для начала хиджры; он добавил к сочинению еще другие прекрасные таблицы, но точно ему следуя и не обращая внимания на ошибки в его труде». Таким образом, ясно, что не все таблицы в версии ал-Маджрити принадлежат ал-Хорезми, но какие именно, установить трудно.

Вторая версия зиджа ал-Хорезми, принадлежащая Ибн Мусанны, была переведена в XII в. с арабского языка дважды.в настоящее время оба перевода хорошо изучены. Ибн Мусанна по-иному, в сравнении с ал-Маджрити, изложил содержание зиджа ал-Хорезми, построив свое сочинение в форме вопросов и ответов. Он пытался с помощью правил Птолемея объяснить индийские астрономические методы, которые применялись в зидже, но не всегда успешно.

В 1983 г. Тригонометрические разделы обеих версий зиджа ал- Хорезми, оказавших столь большое влияние на развитие математики и астрономии в Европе, были опубликованы на русском языке в томе математических трактатов ал-Хорезми.

В XII веке были переведены и другие арабские сочинения в переводе Герардо Кремонского, в которых содержались сведения по тригонометрии. Позднее стали появляться труды европейских учёных, базировавшихся на арабской версии «Альмагеста», зиджах и переводах тригонометрических трактатов. Важное место среди них занимают «Альфонсинские таблицы», составленные на испанском языке в 1262--1272 гг. в Толедо под покровительством короля Кастилии Альфонсо X, прозванного Мудрым. Эта работа была выполнена группой христианских и еврейских учёных. «Альфонсинские таблицы», носивший чисто компилятивный характер, в значительной мере основывались на зидже аз-Заркале. Вплоть до XVIb. они служили главным источником астрономических познаний и основой всех вычислений, связанных с астрономией. Помимо географических и хронологических таблиц, таблиц видимых движений Солнца, Луны и планет т.п., сочинение содержало тригонометрический раздел, включавший таблицы синусов и тангенсов; последние были составлены для гномона, равного 12 «пальцам».

С XIII в. в разных концах Европы начинают появляться самостоятельные сочинения по математике и астрономии, в которых значительное место занимало изложение начал тригонометрии и приводились тригонометрические таблицы. К ним относятся «Практика геометрии» выдающегося ученого XIII в. Леонардо Пизанского (ок. 1170 - 1250 гг.), труды Джованни Кампано (XIII в.), Жана Линерииса (ок. 1322 г.), Николая Кузанского (конец XIV в.) и др. в этих трудах обобщались сведения по тригонометрии, полученные из арабских источников, разъяснялись правила пользования тригонометрическими таблицами.

Чаще всего приводились таблицы синусов и вскоре были сделаны попытки уточнить их. Но уже Дж. Кампано составил таблицу тангенсов (Tabula foecunda) для значений аргумента от 0 до 45° через 1°.

В XIV в. тригонометрия постепенно стала учебным предметом, заняв прочное место среди университетских курсов. Так, а Парижском университете лекции по тригонометрии читал Жан Линериис, который вычислил таблицы синусов через - приняв диаметр круга за 120, и излагал элементы сферической тригонометрии. Работавший там же Жан де Мер составил таблицы синусов, основываясь на зидже аз-Заркали.

Особое внимание привлекла тригонометрия в Венском университете, сыгравшем важную роль в развитии математики в Европе. Здесь работал Иоганн из Гмундена (ок. 1380 - 1442 гг.), который прославился своими лекциями. Его «Трактат о синусах, хордах и дугах», написанный в 1437 г.,- это хороший учебник по тригонометрии для своего времени, в котором разъясняются методы вычисления таблиц синусов по аз-Заркали и Птолемею. Сочинение дало толчок к составлению новых, более точных тригонометрических таблиц.

Первым завершенным курсом тригонометрии явилось сочинение Региомонтана «О видах треугольников пять книг». Трактат состоит из пяти книг. В 1 определены основные математические понятия и доказаны 57 предложений о тригонометрических функциях (синусе и косинусе), о плоских треугольниках и их решении с применением синуса. В частности, решается задача о нахождении углов треугольника по трем сторонам. Косоугольные треугольнике Региомонтан решает, сведя их к прямоугольным. Книга 2, в которой излагается общая теория треугольников, начинается с доказательства плоской теоремы синусов, используемой при доказательстве других теорем. Книги 3-5 посвящены сферической геометрии.

Дальнейшая история плоской и сферической тригонометрии в XVI - XVII вв. связана с именами Франческо Мавролико, Христофа Клавия, Франсуа Виета, Адриана ванн Роумена, Бартоломея Питиска и др.

Зидж ал-Хорезми в версии ал-Маджрити и в латинском переводе Аделарда из Бата послужил одним из краеугольных камней европейской астрономии в средние века. Известны четыре его рукописи, которые привлекли внимание историков науки в середине XIX в. На основе их изучения А. Бьёрнбо и Р. Бестгорном был подготовлен к печати текст сочинения, который в 1914 г. Издал Г. Зутер со своими комментариями.

А.Бьёрнбо изучил тригонометрические таблицы ал-Хорезми и впервые показал их роль в истории тригонометрии. Он рассмотрел описанные ал-Хорезми правила определения синуса по дуге и обратно с помощью таблицы синусов и указал, что это - первая таблица такого рода в арабоязычной литературе; в качестве угловой еденицы здесь служил «знак Зодиака», равный окружности круга, т.е., а значение синусов даны в частях радиуса, который принят равный 60, и выражены в шестидесятиричных дробях. Особое внимание А.Бьёрнбо уделил правилам нахождения «обращённого синуса», а также методом определения «прямой тени» (т.е. котангенса) некоторого тела по высоте Солнца, высоты Солнца по тени, отбрасываемой телом, и «обращённой тени» (т.е. тангенса) по высоте Солнца. Исследователь пришёл к выводу, что значение для таблицы синусов были взяты у Птолемея, и что, возможно, в оригинале имелось также таблица арксинусов. Что касается таблицы тангенсов, то он отметил, что, они также являются первыми в литературе на арабском языке.

До сих пор тригонометрия формировалась и развивалась под определяющим влиянием астрономии. Положение в этом смысле мало изменилось даже тогда, когда самостоятельное существование тригонометрии стало общепризнанным фактом. Новое обогащение содержания тригонометрии происходило как часть истории математического анализа. И когда после первых ошеломляющих открытий понадобилось привести в систему математический анализ, пришлось сделать то же и с тригонометрическими функциями. Эта работа, её результаты нашли своё отчётливое выражение в трудах Л.Эйлера. Теорию тригонометрических функций Эйлер изложил в 8-й главе 1-го тома своей книги « Введение в анализ бесконечных» (1748г., на русском языке изданного 1961г.). Тем самым он завершил более или менее успешные попытки своих ближайших предшественников.

Эйлер ввёл близкую к привычной нам символику, полностью разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента. Эти функции он рассматривал как безразмерные числа, называя их общим термином «трансцендентные количества, получающиеся из круга».

Ход рассуждения Эйлера был примерно таков.

1. С помощью формул приведения для sin (k+z) и cos (к +z) при целых k выясняется вопрос о знаках тригонометрических функций любых дуг.

2. На основе теорем о синусах и косинусах суммы и разности аргументов выводится формула Муавра дня натурального показателя степени (cos z ± i sin z)ⁿ = cos nz ± i sin nz.

3. Из этой формулы выводятся следующие:

4.

;

;

а далее формулы

4. Полагая в полученных таким образом формулах n бесконечно большим, z бесконечно малым, налагая условие, что nz = v, т.е. конечное, а также что в этих предположениях cos z = 1, sin z = z = , Эйлер получает разложения:

Тем самым был сделан важный шаг. Дело в том, что предшественники Эйлера неизменно связывали понимания тригонометрических функций с образами линий в круге некоторого радиуса, называя его «полным синусом». Теперь же тригонометрические функции составили просто некоторый класс аналитических функций как действительных, так и комплексных аргументов, что было проделано с характерной для того времени смелостью и оправдывалось на первых порах только правильностью и полезностью достигаемых при этом результатов.

Вскоре, в 1770г., появилось и удержавшееся до наших дней название тригонометрические функции. Его ввёл Г.С. Клюгель (1739 - 1812 гг.) в работе «Аналитическая тригонометрия» (1770 г.).

В то же примерно время (т.е. во второй половине XVIIIв.). Построение общей системы тригонометрических и примыкающих к ним знаний развивалось и несколько в ином направлении. И.Г.Ламберт (1728 - 1777гг.) в «Очерках об употреблении математики и её приложений» (1770г.). Провёл обобщение тригонометрии на четырёхугольнике, создав таким образом тетрогонометрию. Ещё через несколько лет, в 1774 - 1776гг., в работах А.И.Лекселя (1741 - 1784гг.). Было произведено дальнейшее обобщение и построено полигонометрия. Рассматривая n-угольник со сторонами а_ь а₂,...,а_п и углами ц_ь ц₂,..., ц_п между продолжениями сторон и предыдущими сторонами, Лексель получил соотношения

Суммы в левых частях приведённых равенств эквиваленты суммам векторов, направленных по сторонам многоугольников. Из этих формул, справедливых и не для невыпуклых, и для самопересекающихся многоугольников, в работах Лекселя выведены основные формулы тригонометрии и тетрагонометрии. Затем он распространил теорию на 5, 6, 7, - угольники и решил ряд задач на исследование п - угольников, исходя из заданных диагоналей и углов этих диагоналей со сторонами.

Результаты Лекселя были существенно дополнены С. Люилье (1750 - 1840гг.) в книге «Полигонометрия, или об измерении прямолинейных фигур (1789г.) ». Основную роль в исследования Люилье играла выражение для площади многоугольника, которую он вычислял так: откинув одну из n сторон, он составил все парные произведения остальных n - 1 сторон на синусы углов между этими сторонами и, складывая полученные произведений, нашёл удвоенную площадь многоугольника. Исходя из формулы, Люилье получил все формулы полигонометрии, в том числе и формулы Лекселя.

Наконец, Люилье обобщил и эти результаты на пространственные случаи и, развивая работы Эйлера о многогранниках, создал в (1799 - 1805 гг.) полиэдрометрию - учение об измерении многогранников (полиэдров), описав её в работе «теоремы полиэдрометрии». Основной теоремой является следующая: «Площадь каждой грани многогранника равна сумме произведений площадей остальных граней на косинусы углов, образуемых ими с этой гранью».

Таким образом, к XIX веку тригонометрия приобрела разнообразные интерпретации, не теряя своей теоретической целостности, а наращивая её.

Глава 2. Различные подходы к введению тригонометрических функций

2.1 Введение тригонометрических функций на уроках алгебры и начал анализа по учебнику А. Г. Мордковича

2.1.1 Понятие числовой окружности на координатной плоскости

В 5 главе учебника автор, вводя элементы теории тригонометрических функций, говорит, что «для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель -- числовая окружность, с которой вы до сих пор не встречались». Для этого он вспоминает понятие числовой прямой, рассматривает некоторые примеры, связанные с ней, и говорит: «…в реальной жизни двигаться приходится не только по прямой. Довольно часто рассматривается движение по окружности. Вот конкретный пример. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью… в математике условились использовать для этой цели единичную окружность -- окружность с радиусом 1. Это будет наша беговая дорожка». Таким образом, автор подводит учеников к понятию Числовая окружность.

Для начала автор предусмотрительно объясняет:

рис 8

Длина L окружности с радиусом R вычисляется по формуле

L = 2рR,

где р ~ 3,14.

Если R = 1, то L = 2р ~ 6,28.

Длина половины окружности равна р, а длина четверти окружности -- АВ, ВС, CD, DA на рис. --равна .

Условимся называть дугу АВ первой четвертью единичной окружности, дугу ВС -- второй четвертью, дугу CD -- третьей четвертью, дугу DA -- четвертой четвертью.

При этом обычно речь идет об открытой дуге, т.е. о дуге без ее концов (что-то вроде интервала на числовой прямой).

Определение: Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А - правый конец горизонтального диаметра (рис.8). Поставим в соответствие каждому действительному числу t точку окружности по следующему правилу:

1) если t > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной t; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = M(t);

2) если t < 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной |t|; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = M(t);

3) числу t = 0 поставим в соответствие точку А: А = А(0).

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.

Затем автор показывает положение точек на окружности:

77

77

рис 9 рис 10

И объясняет причину такого расположения: «…длина единичной окружности равна 2р, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа р.»

Для понимания учащимися понятия числа на окружности не , а, например, числа 1, автор дает легкое и понятное объяснение: «… можно ли найти на единичной окружности такую точку, что длина дуги будет равна 1? Давайте прикинем:

р = 3,14; , ,

Таким образом,…»

Далее автор разъясняет основные фундаментальные понятия этой темы:

Итак, на числовой окружности, как и на числовой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности).

Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу.

Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом.

Для числовой окружности справедливо следующее утверждение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и числу вида t + 2рk, где k -- любое целое число (k ? Z). В самом деле, 2р -- длина числовой (единичной) окружности, а целое число |k| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, k = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если k = -7, то это значит, что мы делаем семь (| k | = | -7| = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке M(t), то, выполнив еще | k | полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М.

Итак,

M(t)= M(T+2рk)

Перейдем непосредственно к понятию числовой окружности на координатной плоскости, представленную в данном учебнике.

Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат ХОУ так, как показано на рис. 11:

рис 11

центр окружности совмещен с началом координат, радиус окружности принимается за масштабный отрезок.

Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х. При этом В = В(0; 1), С = С(-1; 0), D = D(0; -1).

Каждая точка числовой окружности имеет в системе ХОУ свои координаты, причем:

у точек первой четверти -- х > 0, у > 0;

у точек второй четверти -- х < 0, у > 0;

у точек третьей четверти -- х < 0, у < 0;

у точек четвертой четверти -- х > 0, у < 0

Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства:

-1? х ? 1, -1? у ? 1.

Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х² + у² = R². Заметим, во-вторых, что R = 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид

рис 12

х²+у² = 1.

Точка М₁-- середина первой четверти.

Опустим из точки М₁ перпендикуляр М₁Р на прямую ОА и рассмотрим ?ОМ₁Р (рис. 12).

Так как дуга АМ₁ составляет половину дуги АВ, то АOМ₁ = 45°. Значит, ОМ₁P -- равнобедренный прямоугольный треугольник; его катеты ОР и М₁Р равны, т.е. у точки М₁ абсцисса и ордината равны: х = у.

Кроме того, координаты точки М₁(х; у) удовлетворяют уравнению окружности х² + у² = 1.

Таким образом, для отыскания координат точки М₁ нужно решить систему уравнений:

Подставив х вместо у во второе уравнение системы, получим:

х² + x² = 1, т.е. 2х² = 1, х² = , х = = ,

(мы учли, что абсцисса точки М₁ положительна). А так как у = х, то и у = .

Итак, М₁ = М₁

Для остальных ключевых точек так же выводятся свои координаты, а результат записывается в таблицу.

2.1.2 Синус, косинус, тангенс, котангенс

1. Синус и косинус.

Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

Итак (см.рис. 13),

Если М(t) = M(x, y), то

x = cos t

y = sin t

отсюда сразу следует, что -1? sin t ? 1, -1? cos t ? 1.

Вернемся к предыдущему параграфу:

каждая точка числовой окружности имеет в системе ХОУ свои координаты, причем:

у точек первой четверти -- х > 0, у > 0;

у точек второй четверти -- х < 0, у > 0;

у точек третьей четверти -- х < 0, у < 0;

у точек четвертой четверти -- х > 0, у < 0

рис 13

Это позволяет нам составить соответствующую таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:

Мы отметили в предыдущем параграфе, что уравнение числовой окружности имеет вид х²+у² = 1.

Тем самым фактически получено важное равенство, связывающее sin t и cos t: sin² t+cos² t = 1

Было отмечено, как важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, опираясь на таблицы, которые составляются для координат точек, мы без труда составим соответствующие таблицы для вычисления значений cos t и sin t.

табл.1

Опираясь на предыдущий параграф, увидим, что, например, решения уравнения sin t = 0 имеют вид t = рk.

Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 13), она соответствует числу , а значит, и всем числам вида + 2 рk. Значит, решения уравнения sin t = 1 имеют вид t = + 2 рk.

Аналогично: cos t = 1, t = 2 рk; cos t = -1, t = р+ 2 рk.

Параметр k (или n) принимает любые целочисленные значения (k Z ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем.

Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.

Свойство 1. Для любого значения t справедливы равенства:

sin (-t) = - sin t

cos (-t) = cos t

Свойство 2. Для любого значения t справедливы равенства:

sin (t+ 2 рk) = sin t

cos (t+ 2 рk) = cos t

Свойство 3. Для любого значения t справедливы равенства:

sin (t+ р) = - sin t

cos (t+ р) = - cos t

2. Тангенс и котангенс.

Определение. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg t. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg t:

Говоря о tg t, подразумевают, что cos t ? 0, т.е. что t ? + рk , а говоря о ctg t, подразумевают, что sin t ?0, т.е. что t ? рk. Поэтому обычно определения tg t и ctg t записывают так: