Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования
Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений для сравнительно простых объектов. Выражение входной и выходной величины элемента в долях, введение безразмерных координат. График кривой разгона, коэффициент усиления.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.05.2010 |
| Размер файла | 12,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
2
Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования
Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта.
В настоящие время при составлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты.
Например, уравнение
(С*d (Q) /СC*dt) + Q= 2*I0*R*I/ СC*F (1)
I/I = XВХ характеризует относительное отклонение входной величины от базового значения, а Q/ Q0 = Хвых относительное отклонение выходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциального уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными. Так, например, уравнение (1) можно записать в безразмерной форме, заменив:
Q = Q0 *Хвых и I = I *XВХ
Тогда
С* Q0* d Хвых / СC* F* dt + Q0 Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*F
Разделив обе части уравнения на Q0, получим:
С* d Хвых / СC* F* dt + Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*F* Q0
Обозначим:
С / СC* F= Т 2* I02* R/ СC*F* Q0 = R
Коэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени
В самом деле,
Сдж/град / СCвт/см2*град* F см = С / СC* Fдж*см2*град/град*вт*см2
Коэффициент К при XВХ называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным:
2* I02А2* RОм/ СC вт/см2*град *F см * Q0град =
= 2* I02* R/ СC*F* Q0А2*Ом*см2*град/Вт*см2*град =
= 2* I02* R/ СC*F* Q00 = К
Уравнение (1) с учетом введённых обозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид:
Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх (2)
Определим для примера уравнение кривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой было введено ранее:
Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх
Будем искать решение этого уравнения в виде
Х вых = С*еrt + K* Х вх 0
Где r и С подлежат определению
Подставляя значения Х вых и Х/ вых в уравнение (2). Получим
Т* С*r*еrt + С*еrt = 0
Сокращая на С*еrt будем иметь:
Т* r + 1 = 0
Откуда r = - 1/Т и решение примет вид
Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)
При t = 0 Х вых = 0 следовательно С = К* Х вх 0. тогда уравнение кривой разгона будет:
Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)
График кривой разгона:
При t = выходная величина Х вых достигает предельного значения
Х вых. уст = К* Х вх 0
Коэффициент усиления К определяет отношение установившихся значений выходной величины к входной:
К = Х вых. уст/ Х вх 0
Коэффициент усиления может быть непосредственно найден из графика переходной функции; постоянная времени Т характеризует инерционность процесса.
Таким образом, кривые разгона дают наглядное представление о характере протекания переходных процессов в системе или объекте.
Подобные документы
Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Дифференциальные уравнения как модели эволюционных процессов. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Асимптотическая устойчивость линейных однородных автономных систем. Изображения фазовых кривых при помощи ПО Maple.
дипломная работа [477,4 K], добавлен 17.06.2015Дифференциальные уравнения как математический инструмент моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике. Описание математических методов решения систем дифференциальных уравнений. Методы расчета токов на участках цепи.
курсовая работа [337,3 K], добавлен 19.09.2011Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
курсовая работа [209,4 K], добавлен 04.01.2016Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
контрольная работа [239,4 K], добавлен 19.06.2009Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009
