Побудови за допомогою циркуля та лінійки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Актуальність теми. Геометричні побудови є істотним чинником математичної освіти; вони являють собою потужне знаряддя геометричних досліджень. Теорія геометричних побудов становить теоретичну основу практичної графіки: багато креслярських методів опираються на розв'язки геометричних задач на побудову.

Геометричні побудови можуть зіграти серйозну роль у математичній підготовці школяра, тому дана тема є важливою для вчителя математики. Жоден вид задач не дає стільки матеріалу для розвитку математичної ініціативи й логічних навичок учня, як геометричні задачі на побудову. Ці задачі звичайно не допускають стандартного підходу до них і формального сприйняття їх учнями. Задачі на побудову зручні для закріплення теоретичних знань учнів за будь-яким розділом шкільного курсу геометрії. Вирішуючи геометричні задачі на побудову, учень здобуває багато корисних креслярських навичок.

Об'єктом дослідження в моїй курсовій роботі є геометричні побудови різними засобами.

Предметом дослідження є геометричні побудови за допомогою циркуля та лінійки.

Мета моєї курсовій роботи - вивчити геометричні за допомогою циркуля та лінійки.

Робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел.

У першому розділі введено основні поняття задач на побудову за допомогою циркуля й лінійки, а також розглянуто схему розв'язування задач на побудову.

Другий розділ присвячено розгляданню основних методів розв'язання задач на побудову.

Ця курсова робота може бути корисною для студентів фізико-математичних факультетів, а також викладачам при підготовці та проведенні занять з даної теми.



1. Задачі на побудову за допомогою циркуля й лінійки

1.1 Поняття задачі на побудову

Задача на побудову полягає в тому, що потрібно побудувати наперед зазначеними інструментами деяку фігуру, якщо дана деяка інша фігура й зазначені деякі співвідношення між елементами шуканої фігури й елементами даної фігури.

Кожна фігура, що задовольняє умову задачі, називається розв'язком цієї задачі.

Знайти розв'язок задачі на побудову - значить звести її до кінцевого числа основних побудов, тобто вказати кінцеву послідовність основних побудов, після виконання яких шукана фігура буде вже вважатися побудованою в силу прийнятих аксіом геометрії. Перелік припустимих основних побудов, а отже й хід розв'язку задачі, суттєво залежить від того, які саме інструменти вживаються для побудови.

У будь-якій задачі на побудову потрібно за якими-небудь даними фігурам побудувати шукану фігуру, що задовольняє ті або інші умови. При цьому вказується ( тобто формулюється явно або мається на увазі), за допомогою яких креслярських інструментів слід виконати побудова шуканої фігури. Тут можуть представитися різні комбінації з наступних інструментів: лінійка, косинець, транспортир, циркуль. У шкільному курсі геометрії звичайно розглядаються задачі на побудову за допомогою циркуля й лінійки, тому надалі всюди, де не обговорено противне, передбачається, що всі побудови повинні бути виконані за допомогою цих інструментів.

Передбачається, що лінійка як інструмент геометричних побудов не має масштабних ділень і з її допомогою можна провести пряму, що проходить через дві дані або побудовані точки. Ніяких інших операцій виконати лінійкою не можна. За допомогою циркуля як інструмента геометричних побудов можна описати окружність із центром у даній або побудованій точці й радіусом, рівним даному або побудованому відрізку.

Виберемо в просторі деяку площину й назвемо її основною площиною. Будемо припускати, що всі розглянуті геометричні фігури лежать у цій площині. Точки, прямі й окружності основної площини відіграють особливу роль у задачах на побудову за допомогою циркуля й лінійки, тому їх, ми називаємо основними фігурами. Крім основних фігур, нас будуть цікавити також інші найпростіші фігури: відрізки, промені, кути, півплощини, багатокутники й дуги окружностей. Однак зазначимо, що кожна із цих фігур визначається завданням точок, прямих або окружностей. Наприклад, відрізок АВ визначається точками А и В і прямою АВ. Промінь визначається початком променя ( тобто точкою), прямої, якій він належить, і деякою його точкою. Таким чином, не порушуючи загальності, можна вважати, що у будь-якій геометричній задачі на побудову потрібно за заданими основним фігурам побудувати інші основні фігури (точки, прямі або окружності).

Точки й прямі, як звичайно, будемо позначати відповідно прописними й малими літерами латинського алфавіту (А, В, С, …, а, b, с), кути-(ВОА, A, ц, ш). Для того щоб у загальному виді сформулювати постановку задачі на побудову, введемо наступні узгодження. Будемо вважати, що при формулюванні й розв'язанні кожної конкретної задачі на побудову за певним правилом виділяється деяка множина Щ основних фігур ( тобто точок, прямих і окружностей), кожний елемент якої називається побудованою фігурою. Кожна пряма або окружність множини Щ розглядається як єдиний об'єкт - елемент множини. Наприклад, якщо г - побудована окружність, те звідси не випливає, що всі точки окружності побудовані, більше того, ми не припускаємо навіть, що центр окружності г є окремою точкою. Звичайно, окремі точки цієї окружності як самостійні фігури можуть бути побудованими, але це повинно бути застережене умовами задачі.

Сформуємо у загальному виді постановку задачі на побудову. Дана кінцева множина основних побудованих фігур , , ..., і описана властивість, що характеризує шукану непобудовану основну фігуру Ф. Потрібно, використовуючи аксіоми геометрії, одержати кінцеву множину основних побудованих фігур, що містить фігуру Ф.

При розв'язуванні задач на побудову часто доводиться "довільно вибирати" довільні точки, що як належать, так і не належать побудованим прямим, окружностям, а також відрізкам і променям. Можливість вибору довільних побудованих точок, що належать побудованим прямим або окружностям, не скінченне. Можливість вибору точок, що не належать побудованим прямим і окружностям, можна обґрунтувати за допомогою аксіом геометрії.

1.2 Схема розв'язування задач на побудову

Звичайно при розв'язку задач на побудову користуються схемою, яка полягає в наступному. Розв'язок задачі розчленовують на чотири частини: аналіз, побудова, доказ і дослідження. Нижче даний короткий опис кожної із цих частин.

Аналіз або пошук розв'язку задачі полягає у встановленні залежностей між даними фігурами й шуканою фігурою з метою знаходження способу розв'язування задачі.

Для проведення аналізу задачу припускають вирішеної й виконують "від руки" креслення, що зображує шукану й дані фігури. Потім вивчають шукану фігуру і її зв'язку з даними задачі, поки не стане ясна послідовність побудов, що веде до розв'язку. У ряді випадків доцільно виділити точку, пряму або відрізок ( так званий основний елемент побудови), побудова якого приводить до побудови шуканої фігури.

Побудова полягає в послідовнім перерахуванні тих побудов (найпростіших і основних), які треба виконати для розв'язування задачі. При цьому виконується креслення, тобто фактично здійснюється крок за кроком побудова шуканої фігури за допомогою циркуля й лінійки.

Доказ полягає в тому, щоб установити, що побудована фігура дійсно задовольняє всім умовам, поставленим у задачі. У ряді випадків доказ безпосередній випливає з ходу побудови.

Дослідження полягає в тому, щоб відповісти на запитання: 1)Чи при всякому виборі даних задача має розв'язок, тобто шукану фігуру можна побудувати циркулем і лінійкою? 2) Скільки різних розв'язків має задача при кожному можливому виборі даних?

Для визначення числа розв'язків розрізняють два типи задач на побудову.

Перший тип становлять задачі, у яких потрібно визначити положення шуканої фігури щодо деяких з заданих фігур. У цьому випадку дві фігури, що задовольняють умови задачі й відмінні своїм положенням відносно заданих фігур, вважаються різними, якщо навіть вони рівні одна одній.

Другий тип становлять задачі, у яких положення шуканої фігури стосовно даних не відіграє ролі. Інакше кажучи, якщо F1, F2, …, Fk дані фігури, а Ф - шукана фігура, то при будь-якому русі основної площини образ Ф' фігури Ф також буде розв'язком задачі стосовно даних фігур F1, F2, …,Fk . У цьому випадку всі рівні фігури, кожна з яких задовольняє умовам задачі, уважаються як один розв'язок. Прикладом цього типу задач є задача побудови трикутника по трьом сторонам.

Задача. Побудувати трикутник сторони якого відповідно дорівнюють даним відрізкам а, b і с.

Розв'язок. Проведемо яку-небудь пряму й відкладемо відрізок АВ, дорівнює відрізку с. Далі побудуємо дві окружності (А, b) і (В, а). Нехай С - одна із точок перетинання цих окружностей. З'єднавши точки А, С і В, з відрізками, одержимо шуканий трикутник АВС. Виникає питання:чи при будь-яких заданих відрізках а, b і і с задача має розв'язок? Доведемо, що якщо c а й c b, то трикутник АВС, що задовольняє умовам:АВ =с, ВС= а, СА = b, можна побудувати тоді й тільки тоді, коли с < а+b(1). Насправді, якщо трикутник АВС, що задовольняє умовам задачі, побудований, то по нерівності трикутника АВ < АС + ВР. Звідси випливає, що виконується рівність(1). Обернено, нехай для відрізків а, b і с виконуються нерівності:с а, с b и с < а + b(2).

Доведемо, що трикутник АВС, що задовольняє умовам задачі, можна побудувати. За побудовою АВ = с, тому АВ < а + b. Але, з іншого боку, якщо, наприклад, a b, те з нeрівностей с а, с b випливає, що с > а - b і АВ > a - b. Таким чином, окружності (А, b) і (В, а) перетинаються у двох точках С и Cґ. Легко бачити, що точки А, В и С не лежать на одній прямій. Таким чином, відрізки АВ і ВС і СА утворюють трикутник.

Ясно, що можна побудувати нескінченна множина трикутників, сторони яких відповідно дорівнюють даним відрізкам. Але будь-які два з них рівні по трьом сторонам, тому ми вважаємо, що якщо дана задача на побудову має розв'язок, то вона має тільки один розв'язок.



2. Методи розв'язування задач на побудову

задача побудова фігура геометричний

До основних методів розв'язування задач на побудову, досліджуваних у середній школі, відносяться:

1) Метод геометричного місця точок.

2) Методи геометричних перетворень:

а) метод центральної симетрії;

б) метод осьової симетрії;

в) метод паралельного переносу;

г) метод повороту;

3) Алгебраїчний метод.

Перераховані методи є одним з видів застосування на практиці відповідних геометричних понять, які становлять основу кожного з методів. Тому без гарного знання цих понять учнями не може бути ніякої мови про успішне засвоєння відповідних методів. Але, з іншого боку, у силах учителя підібрати таку систему задач на побудову й так побудувати навчання, щоб розв'язувані задачі поглиблювали уявлення й збільшували знання школярів про дане поняття, розкриваючи його з різних сторін. Задачі при вивченні конкретного методу повинні підбиратися так, щоб у них як можна більш яскраво проявлялася суть досліджуваного методу, особливо на первісному етапі його вивчення. При цьому якщо задача вирішується декількома методами, то досліджуваний метод повинен дозволяти розв'язати задачу найбільше економно й красиво. Розглянемо більш докладно кожний метод.

2.1 Метод геометричного місця точок

Математична сутність методу геометричного місця точок досить проста. Вона полягає в тому, що шукана точка визначається як точка перетинання деяких двох геометричних місць (або іноді як точка перетинання деякого геометричного місця точок з даною прямою або окружністю); при цьому ті умови задачі, які визначають положення шуканої точки, розчленовуються подумки на дві умови, і кожне з них дає деяке геометричного місця точок, побудова якого виявляється можливою (іноді одне із цих геометричних місць заміняється безпосередньо даною прямою або окружністю).

Метод геометричного місця точок є одним з найважливіших прийомів розв'язування геометричних задач на побудову.

При вивченні цього методу в школі справа, звичайно, полягає не в тому, щоб учні вміли описати суть методу словами, а в тому, щоб учні вміли свідомо користуватися цим методом.

Основа даного методу - поняття геометричного місця точок. Геометричним місцем точок (ГМТ) простору називається множина всіх точок простору, кожна з яких має властивість зазначену вище.

Усі інші точки простору зазначеної властивістю не мають. ГМТ задається властивістю точки, яка називається характеристичною властивістю цього ГМТ (фігури).

Кожна задача, у якій потрібно знайти ГМТ по його характеристичній властивості, припускає описання цього ГМТ наочно через відомі елементарні фігури. Розв'язок задачі на відшукання ГМТ неминуче приводить до доказу двох тверджень - прямого і йому протилежного; необхідно довести, що: 1) кожна точка передбачуваного (шуканого) ГМТ має задану властивість; 2) будь-яка точка, що не належить цій фігурі, заданою властивістю не має.

Набір досліджуваних ГМТ може бути найрізноманітнішим. Традиційний шкільний набір - це:

а) множина всіх точок площини, вилучених від даної токи на дану відстань;

б) множина всіх точок площини, рівновіддалених від двох даних точок;

в) множина всіх точок площини, вилучених від даної прямої на дану відстань;

г) множина всіх точок площини, рівновіддалених від двох даних прямих.

Крім цього до списку по можливості можуть бути додані наступні ГМТ:

а) множина всіх точок площини, з яких даний відрізок видний під даним кутом.

б) множина всіх точок площини, для кожної з яких різниця квадратів відстаней до двох даних точок постійна, дорівнює квадрату даного відрізка;

Розглядати ці ГМТ доцільно тільки в класах з поглибленим вивчанням математики, а також на позакласних заняттях з математики.

Сутність методу геометричних місць полягає в наступному:

а) задача зводиться до побудови деякої точки;

б) з'ясовується, які властивості має дана точка;

в) розглядається одна із властивостей, будується множина всіх точок, що мають цю властивість;

г) береться наступну властивість і так далі;

д) оскільки шукана точка повинна мати всі ці властивості, то вона повинна належати кожній з побудованих множин, тобто належить перетинанню цих множин.

2.2 Методи геометричних перетворень

Методи цієї групи мають досить багато загального. Кожний вивчається, як правило, при розгляді відповідного перетворення, при цьому розв'язувані задачі служать для закріплення й більш глибокого засвоєння досліджуваного поняття. Для підвищення ефективності навчання необхідно, щоб, крім первісних представлень про саме перетворення, учні вміли виконувати побудову образів фігур при цьому перетворенні, тому що використання образу шуканої фігури при побудові є основою кожного із цих методів, їх основна ідея й суть.

Якщо шукану фігуру відразу побудувати важко, то її перетворюють у яку-небудь іншу фігуру, побудову якої можна зробити легше.

При вивченні цих методів доцільно виділити найбільш характерні ознаки для того, щоб у майбутньому, аналізуючи задачу, учень міг вибрати відповідний метод.

2.2.1 Метод центральної симетрії

Симетрією щодо точки О ( центральною симетрією) Z₀ простору називається перетворення простору, який точку О відображає на себе, а будь-яку іншу точку М відображає на таку точку М₁, якщо точка О є серединою відрізка ММ₁.

Даний метод застосуємо до тим задач, в умові яких зазначена точка, що є центром шуканої симетрії або допоміжної фігури.

Розглянемо задачу: " Через дану точку А провести пряму так, щоб її відрізок з кінцями на даних прямій і окружності ділився точкою навпіл".

Розв'язок. Нехай m і б -- дані пряма й окружність, CD - шуканий відрізок, С m, Dа. Тоді (C) = D. Якщо (m) = m₁, то Dm₁ і, отже, Dа m₁. Звідси випливає така побудова: будуємо образ m₁ прямій m при симетрії , крапки D і Е перетинання прямій m₁ з даною окружністю б визначають разом із крапкою А шукані прямі DA і ЕА .

2.2.2 Метод осьової симетрії

Симетрією простору щодо даної прямій l (осьова симетрія) називається перетворення, яке кожну точку прямої l відображає на себе, а будь-яку іншу точку М простору відображає на таку точку М₁, якщо пряма l служить серединним перпендикуляром до відрізка ММ₁. Пряма l називається віссю симетрії. Важко вказати загальні ознаки задач, які розв'язуються методом осьової симетрії. Застосування осьової симетрії доцільно для задач, які легко вирішуються, якщо частина даних розташована по одну сторону деякої прямої, а інші - по іншу.

Розглянемо задачу: "Побудувати ромб так, щоб одна з його діагоналей дорівнювала даному відрізку r і лежала на даній прямій а, а інші дві вершини ромба лежали відповідно на даних прямих b і с".

Аналіз. Нехай ABDC -- шуканий ромб, AD = r. Зауважемо, що задача про побудову ромба зводиться до побудови однієї якої-небудь із його вершин, наприклад вершини С. За властивостями ромба точки В и С симетричні відносно прямої а. Тому при осьовій симетрії відносно прямої а точка В перетвориться в точку С, а, отже, пряма b -- у деяку пряму b', що проходить через точку С. Таким чином, точка С може бути побудована як точка перетину прямих с і b', з яких одна дана, а інша легко будується.

Побудова. Будуємо послідовно: пряму b', симетричну із прямій b відносно прямої а; точку С, загальну для прямих с і b'; пряму ВС; точку ОВС а; точки А и D на прямій а, що знаходяться від точки О на відстані ; ABCD -- шуканий ромб. Дослідження. Можливі наступні випадки: 1) с || b', розв'язків немає; 2) с b', розв'язків нескінченно багато; 3) прямі с і b' перетинаються поза прямою а, один розв'язок; 4) прямі с і b' перетинаються на прямій а, розв'язків немає .



2.2.3 Метод паралельного переносу

Паралельним переносом на вектор називається відображення площини на себе, при якому кожна точка М відображається в таку точку М₁, що вектор дорівнює вектору .

Методом паралельного переносу вирішують задачі, при аналізі яких важко знайти залежність між даними елементами, що дозволяє побудувати шукану фігуру, але якщо ми яку-небудь частину або всю фігуру перенесемо паралельно в деякому напрямку на певну відстань, то одержимо допоміжну фігуру, яку легко можна побудувати. Напрямок і величина переносу визначаються так, щоб у допоміжну фігуру ввійшло більше число даних.

Розглянемо задачу: "Побудувати опуклий чотирикутник, знаючи три його кути й дві протилежні сторони".

Докладніше: дано два відрізки а й b і три кути б, в, д. Потрібно побудувати чотирикутник ABCD так, щоб А = б, В = в, D = д, AD = a, СВ = b. Передбачається, що 0° < б < 180, 0° < в < 180, 0°< д < 180°.

Аналіз. Допустимо, що ABCD-- шуканий чотирикутник. Перенесемо сторону ВС на вектор, і нехай відрізок ВС займе після переносу положення АЕ. Тоді в AED відомі: AD = a, AE = b, DAE = BAD - BAE = A - (180° - B) = б + в - 180°. За цим даними AED може бути побудований.



Побудова. 1) На довільній прямій будуємо відрізок AD = а ; 2) Через точку А проводимо промінь AM під кутом б + в - 180° до променя AD; 3) Відкладаємо на промені AM відрізок АЕ = b; 4) Будуємо промінь EN, що утворює з ЕА кут в й розташований із точкою D по різні сторони від прямої AM; 5) Будуємо промінь DK так, щоб ADK був рівний д і щоб промінь DK розташовувався по ту ж сторону прямщї DE, що й промінь EN; 6) Відзначаємо точку С перетинання променів EN і DK -- третю вершину чотирикутника; 7) Четверта вершина В знаходиться з перитинання прямої AF, паралельної СE, із прямої CL, паралельної АЕ.

Доказ. BAD = ВАЕ+ DAE = (180° - в) + (б + в - 180°) = б. ABC = СЕА, як кути, сторони яких відповідно паралельні й протилежно спрямовані. СЕА = в за побудовою. ADC = д за побудовою. Відрізок AD = а за побудовою. Але АЕ = b, а виходить, і ВС = b .

2.2.4 Метод повороту

Поворотом площини навколо точки О на кут називається відображення площини на себе, при якому кожна точка М відображається в таку точку М₁, що ОМ = ОМ₁ і кут МОМ₁ = .

Даний метод застосовується до тих задач, де або частини фігур зближаються в положення, зручне для побудови, або при заданих явно або не явно центрі й куті повороту потрібно відшукати дві відповідні точки, що лежать на даних або шуканих фігурах.

Розглянемо задачу: "Земельна ділянка квадратної форми була обгороджена. Від огорожі збереглися два стовпи на паралельних сторонах квадрата. Крім того, залишився стовп у центрі квадрата. Потрібно відновити границю ділянки".

Аналіз. Нехай ABCD -- шуканий квадрат, О -- його центр, М і N- дані точки відповідно на сторонах АВ і CD . Якщо повернути квадрат на 180° близько його центру О, то він перетвориться сам у себе. Точка М займе деяке положення М' на стороні CD, а точка N -- деяке положення N' на стороні АВ. Після цього неважко вже побудувати прямі АВ і CD і відновити шуканий квадрат.

Побудова. 1) Будуємо точку М', симетричну М відносно О, і точку N', симетричну N відносно О. 2) Будуємо прямі MN' і NM'. 3) Повернемо побудовані прямі близько точки О на 90°. Чотири побудовані прямі обмежують шуканий квадрат.

Доказ опускаємо.

Дослідження. За змістом задачі неможливий випадок, коли точки М і N розташовуються із точкою О на одній прямій, але не симетричні відносно О. Якщо точки М і N симетричні відносно О, то задача стає невизначеною. В інших випадках задача має єдиний розв'язок .

2.3 Алгебраїчний метод

Алгебраїчний метод розв'язування задач на побудову - один з найважливіших методів теорії конструктивних задач. Саме за допомогою цього методу вирішуються питання, пов'язані з можливістю розв'язання задач тим або іншим набором інструментів.

Крім того, це один із самих потужних методів, що дозволяє вирішувати багато задач, розв'язання яких звичайними способами важко. Метод прекрасно демонструє тісний взаємозв'язок алгебри й геометрії.

Але, на жаль, у шкільному курсі геометрії алгебраїчному методу практично не приділяється уваги, хоча з методичної точки зору вивчення цього методу не представляє особливих складностей.

Суть методу полягає в наступному:

а) задача зводиться до побудови деякого відрізка;

б) використовуючи відомі геометричні співвідношення між шуканим й даним, складаються рівняння (система рівнянь), що зв'язує шукані й дані;

в) вирішуючи рівняння або систему рівнянь, виражають формулою довжину шуканого відрізка через довжини даних;

г) за формулою будується шуканий відрізок (якщо це можливо);

д) за допомогою знайденого відрізка будується шукана фігура.

Підготовчу роботу становить вивчення основних формул і способів побудови, де також використовуються деякі елементи схеми розв'язування задач алгебраїчним методом, і засвоюється сама ідея такого підходу до розв'язування задач на побудову.

У шкільному курсі геометрії звичайно розглядають побудови циркулем і лінійкою відрізків, заданих наступними деякими найпростішими формулами :

1) х = а + b .

2) х = а -- b(а > b) .



3) х = nа,

де n -- натуральне число. На 0 побудований відрізок х, такий, що х = 6а.

4) х = .

Будуємо промінь, що виходить із якого-небудь кінця О даного відрізка а під довільним кутом до нього. Відкладаємо на цьому промені n раз довільний відрізок b, так що OB = nb (див. 1). З'єднуємо точку В з другим кінцем А відрізка а. Через точку В₁, обумовлену умовою ОВ₁ = b, проводимо пряму, паралельну АВ, і відзначаємо точку A₁, у якій вона перетне відрізок а.

5) х =

(n і m -- дані натуральні числа).

Розділимо відрізок а на m рівних частин і збільшимо отриманий відрізок у n раз.

6) х =



(побудова четвертого відрізка, пропорційного трьом даним відрізкам).

Запишемо умову у вигляді пропорції с : а = b : х. Нехай (2) ОА = а, ОС = с, так що члени одного з відношень відкладені на одному промені, що виходить із точки О. На іншому промені, що виходить із тієї ж точки, відкладаємо відомий член іншого відношення ОB = b. Через крапку А проводимо пряму, паралельну ВС, і відзначаємо точку X її перетин з прямою ОВ. Відрізок ОХ шуканий, тобто ОХ = х.

7) x = .

Можна скористатися побудовою 6), уважаючись b = а.

8) х =

(побудова середнього пропорційного двох дані відрізків).

Будуємо відрізки АС = а, ВС = b, так що АВ = а + b. На АВ як на діаметрі будуємо півколо (див. 3). У точці С побудуємо перпендикуляр до АВ і відзначимо точку D його перетин з окружністю. Тоді х = CD.

9) х =

Відрізок x будується як гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами а і b (див. 4).



10) х = (a > b)

Відрізок x будується як катет прямокутного трикутника з гіпотенузою а й катетом b.



Висновки

Для написання курсової роботи я працював з літературою з теми "Побудови за допомогою циркуля та лінійки", та загалом літературою з геометрії.

У першому розділі викладено основний теоретичний матеріал по даній темі. Зокрема, дано означення поняття задачі на побудову, розглянуто схему розв'язування задач на побудову.

У другому розділі розглянуто методи розв'язування задач на побудову, а також наведені приклади задач до кожного з методів.

Курсова робота може бути рекомендована студентам, викладачам, учителям при підготовці та проведенні занять з даної теми, студентам при написанні курсових робіт, а також усім, хто цікавиться математикою.

Размещено на Allbest.ru