Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выпускная работа

Приложения качественной

теории дифференциальных уравнений

к биологическим задачам

ОГЛАВЛЕНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• ГЛАВА 1.
• 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ДАЛЬНЕЙШЕМ.
• 1.1 СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ.
• 1.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
• 2. ОСНОВЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
• 2.1 АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ
• 2.2 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
• 3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
• 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
• 3.2 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ
• 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
• 4.1 ЛОКАЛЬНОЕ И ГЛОБАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
• 4.2 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
• 4.3 СЛОЖНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
• 4.4 ОБЫКНОВЕННЫЕ ТОЧКИ
• 5. ПРИМЕРЫ, ИЛЛЮСТРИРУЮЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.
• ГЛАВА 2.
• 1. ПРИЛОЖЕНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К БИОЛОГИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ.
• 1.1 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ И ДИНАМИКА.
• 1.2 КОНКУРИРУЮЩИЕ ВИДЫ.
• 1.3 УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА - ЛОТКА.
• 1.4 МОДЕЛЬ ХОЛЛИНГА -- ТЭННЕРА.
• 2. ДРУГИЕ МОДЕЛИ.
• СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Моя выпускная квалификационная работа посвящена изучению основ качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложений к биологическим задачам и имеет следующую структуру:

В первой главе я рассматриваю теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений и систем, геометрическую интерпретацию решений, автономные уравнения и системы на плоскости, линейные системы и линейную замену переменных, типы фазовых портретов для канонических систем, нелинейные системы на плоскости и их линеаризацию в окрестности особой точки, локальное и глобальное поведение их фазовых портретов, сложные особые точки и обыкновенные точки. В конце главы я привожу примеры, иллюстрирующие теоретический материал, в которых исследую на устойчивость решения дифференциальных систем, нахожу положения равновесия уравнений, исследую особые точки и рисую фазовые плоскости траекторий уравнений и систем.

Вторая глава посвящена приложениям теории дифференциальных уравнений в биологии. Здесь я рассматриваю дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций конкурирующих видов, их решения и фазовые портреты. Более подробно изучаю уравнения Вольтерра - Лотка, модель Холлинга - Теннера. В конце главы исследую другие модели, описывающие конкуренцию двух видов, рассматриваю уравнение типа «хищник - жертва» и рисую типичные фазовые портреты для этих моделей. Примеры и модели я подбирала и исследовала самостоятельно.

Работа состоит из 80 страниц машинописного текста, список литературы содержит 5 наименований.

Теория дифференциальных уравнений возникла из прикладных задач в области механики и астрономии и в настоящее время самым тесным образом связана с приложениями. Она оказывает большое влияние на развитие других областей математики. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические и биологические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических, магнитных и биологических явлений и др.

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени.

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления.

Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают тогда, когда неизвестная функция зависит лишь от одной независимой переменной. Соотношение между независимой переменной, неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка составляет дифференциальное уравнение. В настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой богатую, широко разветвленную теорию. Одними из основных задач этой теории являются существование у дифференциальных уравнений таких решений, которые удовлетворяют дополнительным условиям (начальные данные Коши, когда требуется определить решение, принимающее заданные значения в некоторой точке и заданные значения производных до некоторого конечного порядка, краевые условия и другие), единственность решения, его устойчивость. Под устойчивостью решения понимают малые изменения решения при малых изменениях дополнительных данных задачи и функций, определяющих само уравнение. Важными для приложений являются исследование характера решения, или, как говорят, качественного поведения решения, нахождение методов численного решения уравнений.

Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической) не следует существование решения соответствующей математической задачи.

Начало качественной теории дифференциальных уравнений было положено в работах знаменитого французского математика Пуанкаре. В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями.

Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.

Известно много приложений математики в биологии. В первую очередь это исследования по физиологическим проблемам, относящимся к ощущениям, кровообращению, движению животных; эти исследования можно рассматривать как разделы оптики, акустики, гидродинамики, механики твердого тела.

Мы будем рассматривать биологические сообщества. Они состоят из нескольких популяций биологических видов, живущих в общей среде. Обычно индивидуумы этих сообществ оспаривают одну и ту же пищу, или же одни виды живут за счет других, которыми они питаются. Так же они могут и взаимно оказывать друг другу помощь. Все это входит в общее явление борьбы за существование. Количественный характер этого явления проявляется в заданной среде в виде изменений численности индивидуумов, составляющих различные популяции. В определенных условиях эти изменения состоят в колебаниях числа индивидуумов около некоторых средних значений, в других случаях они вызывают исчезновение или прогрессирующее увеличение некоторых видов.

Изучение этих вариаций и разнообразных изменений является важным теоретически, но во многих случаях это изучение представляет и огромную практическую важность, как это мы имеем в случае живущих в одних и тех же морях разных видов рыб, изменение числа которых интересует промышленность. Точно так же изменение числа паразитов растений интересует агрономию в том случае, когда эти паразиты ведут борьбу за существование с их собственными паразитами. Инфекционные болезни, например, малярия, показывают также изменения, которые зависят, по всей вероятности, от подобных же причин.

Борьба за существование относится к тем вопросам, о которых в конце позапрошлого века очень много спорили, но не делали почти никаких попыток узнать, что она в действительности собой представляет. В XX веке несколько выдающихся людей ясно чувствовали необходимость математической теории борьбы за существование и делали определенные шаги в этой области. При этом часто один исследователь не знал о работах другого, но приходил к тем же самым выводам, что и его предшественник. По-видимому, всякое серьезное размышление над процессом конкуренции заставляет человека охватить этот процесс в его целом, а это неизбежно ведет к математике, так как простое описание и даже количественное выражение данных еще недостаточно для ясного представления о взаимоотношении конкурирующих компонентов в процессе их роста.

Первый шаг в этой области был сделан Рональдом Россом в 1911 году, который интересовался в это время распространением малярии. Размышляя над процессом распространения, Росс пришел к заключению, что он имеет дело со своеобразным случаем борьбы за существование между малярийным плазмодием и человеком при участии комара. Росс математически сформулировал уравнение борьбы за существование для малярии, которое по своей идее довольно близко к тем уравнениям борьбы за существование, которые были предложены в 1926 г. итальянским математиком Вольтерра, не знавшим об исследованиях Росса. В то время как Росс работал над вопросом о распространении малярии, американский математик Лотка теоретически исследовал ход определенных химических реакций и должен был здесь иметь дело с уравнениями такого же типа. Позже Лотка заинтересовался проблемой борьбы за существование, и в 1920 г. сформулировал уравнение, описывающее взаимодействие между хозяевами и паразитами, причем он представил обильный и интересный материал в своей ценной книге "Элементы физической биологии" (1925). Не будучи знаком с этими исследованиями, итальянский математик Вито Вольтерра предложил в 1926 г. довольно сходные уравнения борьбы за существование. В то же самое время он способствовал значительному продвижению вперед в области всей этой проблемы, впервые проведя исследования многочисленных важных вопросов теории конкуренции с теоретической точки зрения. Таким образом, три видных исследователя пришли к весьма сходным теоретическим уравнениям практически в одно и то же время, однако за счет совершенно разных подходов. Также интересно отметить, что экспериментальное изучение борьбы за существование началось только после того, как почва для этого была подготовлена чисто теоретическими исследованиями.

Исследования борьбы за существование несомненно будут в будущем быстро прогрессировать, однако этим исследованиям придется преодолеть определенный разрыв между исследованиями современных биологов и математиков. Нет сомнения, что борьба за существование представляет собой биологическую проблему, и она должна решаться экспериментальным путем, а не за столом математика. Однако, для того, чтобы глубже проникнуть в природу этих явлений, ученые должны объединить экспериментальный метод с математической теорией, возможность которой создана блестящими исследованиями Лотки и Вольтерры. Соединение экспериментального метода с количественной теорией вообще является одним из самых мощных средств современной науки.

ГЛАВА 1.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ДАЛЬНЕЙШЕМ

1.1 СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ.

Определение. Пусть -- действительнозначная функция действительных переменных t и х с областью определения . Функция где t принадлежит некоторому интервалу , для которой всюду на I выполняется равенство

(1.1)

называется решением дифференциального уравнения (1.1).

Чтобы функция была решением, необходимо выполнение условия для любого ; таким образом, область D ограничивает как область определения, так и область значений функции .

Предложение 1 Если функция X непрерывна в открытой области , то для любой точки существует решение , , уравнения такое, что и .

Замечание. Это предложение не исключает случая, когда более чем для одного решения .

Предложение 2. Если X и непрерывны в некоторой открытой области , то для любой заданной точки существует единственное решение уравнения такое, что .

Замечание. Предложение 1.2 дает достаточное условие, при котором каждой точке из соответствует только одно решение.

1.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИ.

Решение уравнения представляется геометрически графиком функции . Этот график определяет интегральную кривую на плоскости .

Если X непрерывна в D, то предложение 1 утверждает, что интегральные кривые заполняют область D плоскости . Это следует из того, что каждая точка D должна лежать, по крайней мере, на одной интегральной кривой. Таким образом, решения дифференциального уравнения представляются семейством интегральных кривых в D (рис. 1.1--1.3).

Eсли обе функции X и непрерывны в D, то из предложения 2 следует, что существует единственная интегральная кривая, проходящая через каждую точку D.

Примеры.

1. Рассмотрим уравнение

(1.2)

в области D плоскости (t, x).

Интегрируя его, мы получим

следовательно

Когда , .

Для точек , будем рассматривать перевернутое уравнение

(1.2')

Как мы видим, интегральными кривыми уравнения (1.2) являются гиперболы:

верхняя и нижняя части оси Ox.

,(

тоже являются интегральными кривыми, что вытекает из рассмотрения уравнения (1.2').

Интегральные кривые следующих уравнений исследуем с помощью метода изоклин. Это метод позволяет, не интегрируя уравнение, увидеть, как ведут себя его решения.

2. Рассмотрим уравнение

(1.3)

Дифференциальное уравнение задает наклон интегральных кривых

(т.е. угловой коэффициент касательных к ним) во всех точках области D. Так, в частности, в точках пересечения с кривой (где -- некоторая постоянная) интегральные кривые имеют наклон . Такая кривая называется изоклиной наклона. Множество изоклин, которое получается, когда мы придаем различные действительные значения, -- это семейство прямых:

,

.

А угол наклона касательных к интегральным кривым можно найти из

формулы:

Таким образом, при

при

3. Сделаем набросок интегральных кривых уравнения

(1.4)

в области D плоскости t, х, где .

1) В этом случае интегральные кривые имеют наклон в точках

пересечения с кривой .

А множество изоклин, которое получается, когда мы придаем с различные действительные значения, -- это семейство гипербол:



с асимптотами .

Множество изоклин:

2) Знак определяет, в каких точках D интегральные кривые выпуклы, а

в каких вогнуты. Если , то функция возрастает (убывает) при возрастании t и интегральная кривая вогнута (выпукла). Таким образом, область D можно разбить на два подмножества, на каждом из которых интегральные кривые либо выпуклы, либо вогнуты; эти множества разделяются кривой . Для уравнения (1.4) получается

и D разбивается на области .

3) Изоклины расположены симметрично относительно прямой , и,

значит, интегральные кривые тоже должны быть относительно ее симметричны. Функция удовлетворяет соотношению , из которого следует, что если .

Эти три замечания позволяют сделать набросок интегральных кривых для уравнения (1.4) вогнутости (P) интегральных дифференциального уравнения кривых уравнения

Можно увидеть, что обе функции непрерывны в , так что через каждую точку проходит единственная интегральная кривая.

Так же решения можно найти с помощью разделения переменных. Семейство интегральных кривых состоит из кривых, заданных уравнением

(1.5)

где С - постоянная, и решения . Однако нарисовать интегральные кривые непосредственно по уравнению (1.5) труднее, чем по самому дифференциальному уравнению (1.4).

2 ОСНОВЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1 АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение 1. Дифференциальное уравнение вида

(2.1)

называется автономным.

Это название оправдано тем, что определяется одним только х, и, таким образом, решение само управляет своим изменением.

Решения автономных уравнений обладают следующим важным свойством:

Если --решение уравнения (2.1) с областью определения I и

областью значений , то при любом действительном С также является решением с той же областью значений и с областью определения . Это следует из того, что

.

Интегральная кривая получается из интегральной кривой сдвигом по в положительном направлении, на величину С.

Кроме того, если через каждую точку полосы проходит только одна интегральная кривая, то все решения в полосе получаются сдвигами . Таким образом, область D разделяется на полосы, в которых интегральные кривые получаются из какой-нибудь одной кривой сдвигом вдоль оси t.

Рассмотрим примеры автономных дифференциальных уравнений.

1. Возьмем уравнение

,

можем записать его как

(2.2)

Интегрируя уравнение (2.2), получим:

т.е.

2. Посмотрим, как получаются интегральные кривые уравнения

Запишем его в виде

(2.3)

Проинтегрировав уравнение (2.3):

видим, что решения имеют такой вид:

Это позволяет сделать набросок интегральных кривых данного уравнения:

Для семейств интегральных кривых, в которых кривые получаются одна из другой сдвигами, качественное поведение семейства определяется качественным поведением каждого индивидуального решения, а оно в свою очередь определяется функцией Х(х). Если , то решения либо возрастают, либо убывают; если же Х(с) = 0, то существует решение .

Эти свойства решений удобнее изображать на оси х, чем на плоскости t, x. Если для , то на этом интервале рисуется стрелка, показывающая направление изменения х.

Определение 2.Если Х(с) = 0, то решение изображается точкой . Такие решения называются особыми точками или положениями равновесия уравнения, так как для всех значений t.

Определение 3. Геометрическое изображение качественного поведения решений уравнения называется фазовым портретом.

Если решение х не является особой точкой, то оно должно быть либо возрастающим, либо убывающим; таким образом, если число особых точек конечно, то может существовать только конечное число «различных» фазовых портретов. Под словом «различные» подразумеваются «отличающиеся набором областей, в которых х возрастает или убывает».

На каждой из получаемых полупрямых функция X может быть либо положительной, либо отрицательной. Следовательно, фазовый портрет должен соответствовать одному из четырех случаев, изображенных на рис. 2.5. Это значит, что качественное поведение любого автономного дифференциального уравнения с одной особой точкой должно соответствовать одному из фазовых портретов на рис. 2.5 при некотором значении с.

Различные дифференциальные уравнения с одной особой точкой, имеющие один и тот же фазовый портрет, считаются качественно эквивалентными.

Замечание. Соображения, которые использовались при получении рис. 2.5, сохраняют свою силу, если точка х = с -- одна из многих особых точек на фазовом портрете. Другими словами, качественное поведение х в окрестности любой особой точки должно быть таким же, как в одном из случаев на рис. 2.5. Это поведение определяет характер особой точки.

Из сказанного можно сделать вывод, что фазовый портрет любого автономного уравнения полностью определяется видом его особых точек.

Определение 4. Два дифференциальных уравнения вида качественно эквивалентны, если они имеют равное количество особых точек одинакового характера, расположенных в одинаковом порядке на фазовой прямой.

2.2 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(2.4)

где --вектор в . Такое уравнение эквивалентно системе двух связанных уравнений:

 (2.5)

причем , так как . Решение уравнения (2.4) является парой функций , удовлетворяющих системе уравнений (2.5).

Вообще говоря, решение содержит две произвольные постоянные, так что возникает двупараметрическое семейство решений.

Качественное поведение этого семейства определяется тем, как ведут себя с увеличением времени. Вместо того чтобы просто указывать на фазовой прямой, увеличивается или уменьшается величина х, мы должны показать как изменяется положение точки х на фазовой плоскости. Поэтому фазовый портрет будет двумерным, а качественное поведение определяется семейством кривых с указанием направления движения по этим кривым при возрастании t. Такие кривые называются траекториями.

Качественное исследование уравнений на плоскости начинается с изучения особых точек уравнения (2.4). Особым точкам соответствуют решения вида , и они возникают в случае, когда

Соответствующая траектория -- это точка на фазовой плоскости.

1) Система

имеет особую точку (0,0) и решения

(2.6)

где -- некоторые действительные постоянные. Любое решение из семейства (2.6) при удовлетворяет для всех t уравнению

Таким образом, каждая траектория семейства (2.6) лежит на некоторой прямой, проходящей через начало координат. Из уравнений (2.6) видно, что при любых ненулевых значения убывают при возрастании t и стремятся к нулю при . На рисунке 2.6 это показано с помощью стрелок на траекториях; если представляет собой положение фазовой точки х в момент t, то с ростом времени t она движется по направлению к началу координат. Чтобы изобразить это, достаточно нарисовать направленный луч.

2) На рис. 2.7 показана еще одна возможность. Здесь при возрастании

t величина убывает, а возрастает. Система

имеет решения

где -- действительные числа.

Тогда

с . В этом случае только две траектории стремятся, к особой точке (0, 0), а все остальные от нее рано или поздно уходят, причем при , и наоборот. Качественное поведение здесь сильно отличается от того, что представлено на рис. 2.6.

Уравнения траекторий можно часто найти, решая уравнение

 (2.7)

Иногда необходимо получить фазовый портрет, когда невозможно записать обозримые явные формулы для решений. Это можно сделать, обобщив метод изоклин на случай плоскости. Во всех точках плоскости, где задана векторная функция , она задает вектор х (векторное поле). Для качественного исследования обычно достаточно знать направление Х(х). Это направление постоянно на изоклинах уравнения (2.7). Особенно интересны точки, где обращается в нуль или в бесконечность, т. е. изоклины, где или .

Если для любой точки и любого существует единственное решение x(t) уравнения такое, что

то через каждую точку проходит в точности одна траектория. Если же возникает неединственность, то обычно она бывает сосредоточена на некоторых линиях в S, и только в их окрестности поведение траекторий не сразу можно определить по виду функции.

3) Будем решать систему

,

записав ее в виде уравнения

(2.8)

т.е. .

Это уравнение является однородным. Чтобы привести его к уравнению с разделяющимися переменными, сделаем замену:



Тогда наше уравнение примет вид:

,

преобразуя его, получим

Следовательно

(2.9)

где не решение, а и решения уравнения. Траектории, лежащие на прямых и , проходят через особую точку системы (0,0).

Проинтегрировав уравнение (2.9), имеем

откуда, возвращаясь к переменным , найдем общий интеграл

уравнения (2.8)



Две траектории, которые лежат на прямой стремятся к особой точке (0,0), а все остальные от нее рано или поздно уходят.

При рассмотрении следующей системы уравнений, воспользуемся методом изоклин.

4) Систему уравнений

запишем в виде

(2.10)

Интегральные кривые имеют наклон в точках пересечения с кривой

.

А множество изоклин, которое получается, когда мы придаем с различные действительные значения, -- это семейство парабол:

и прямая .

Некоторые из этих изоклин изображены на рисунке 2.9 красным цветом.

А угол наклона касательных к интегральным кривым найдем из формулы:

Получается при

при

.

Особой точкой уравнения является точка(0,0)

Используя достаточно густое семейство изоклин, мы может получить отчетливое представление о траекториях уравнения (2.10). Одна траектория (лежащая на прямой ) стремится к особой точке, а все остальные от нее уходят.

Эти примеры показывают, что качественно различные решения приводят к траекториям с различными геометрическими свойствами. Проблема выделения различных видов особых точек сводится к проблеме выделения различных геометрических конфигураций, составленных траекториями. Здесь показано только несколько фазовых портретов на плоскости, имеющих одну особую точку.

3 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Определение 1. Система , называется линейной системой размерности n, если отображение линейно. Для линейных систем существует только конечное число качественно различных фазовых портретов. Чтобы установить это, надо рассмотреть, как на такую систему влияет линейная замена переменных.

3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ

Линейное отображение: ,

можно записать в матричной форме:

Соответственно дифференциальное уравнение принимает вид

(3.1)

Где A-- матрица коэффициентов. Каждая компонента производной является линейной функцией переменных . Эти переменные являются просто координатами точки относительно базиса в , где .

Следовательно,

Чтобы сделать замену переменных, надо координаты представить как функцию новых переменных.

(3.2)

где для всех i и j. Конечно, одному набору старых координат должен соответствовать один набор новых координат и наоборот. Это значит, что отображение (3.2) должно быть взаимно однозначным, и, следовательно, М должна быть обратимой матрицей. Отсюда следует, что столбцы матрицы М должны быть линейно независимы.

Из формулы (3.2) вытекает, что

и мы видим, что -- это координаты точки относительно нового базиса . Уравнение (3.1) легко можно записать через новые переменные; получим

так что

где

Таким образом, матрица коэффициентов В подобна А.

Подобие является отношением эквивалентности между матрицами; отсюда следует, что множество таких матриц по этому отношению распадается на классы эквивалентности. Для любых двух матриц , принадлежащих одному классу эквивалентности, системы и yсвязаны соотношением , где . Таким образом, если одна из этих систем решена, то можно получить решения для любой системы с матрицей того же класса.

Предложение 3.1 Пусть -- действительная 22-матрица. Тогда существует действительная неособая матрица M такая, что принадлежит одному из нижеперечисленных типов:

(a) , ; (b) ; (3.3)

(c) (d),

Где

Определение 2. Матрица называется жордановой формой матрицы . Собственные значения матрицы (и ) -- это значения , для которых

.

Здесь - след матрицы А, а - ее определитель. Таким образом, собственными значениями являются

 (3.4)

где

(3.5)

Именно характер собственных значений определяет тип, к которому относится матрица .

Жорданова форма зависит от вида собственных значений, являются ли они действительными различными (), действительными совпадающими () или комплексными ().

(a) Действительные различные собственные значения ()

Собственные векторы матрицы А определяются из уравнений

(i=1, 2),

где -- различные собственные значения.

Пусть

матрица, столбцами которой являются собственные векторы. Тогда

где

В случае различных действительных собственных значений собственные векторы линейно независимы и, следовательно, матрица М неособая. Так что

(b) Совпадающие собственные значения ()

Из уравнения (3.4) получаем, что . В этом случае мы должны рассмотреть две возможности.

(i) Матрица диагональная

что соответствует случаю (3.3(b)). Здесь для любой неособой матрицы М мы имеем . Следовательно, подобна только самой себе и является единственной в своем классе эквивалентности.

(ii) Матрица А недиагональная

В этом случае, так как , rank (А --) = 1 и не существует двух линейно независимых собственных векторов. Пусть -- некоторый собственный вектор А. Если мы положим и выберем так, чтобы матрица была неособой, то

,

где -- первый столбец единичной матрицы I.

Матрицы А и имеют одинаковые собственные значения, так что

,

где . Однако переход от М к

дает

,

что соответствует случаю (3.3 (с)).

(c) Комплексные собственные значения ()

Можно обозначить , где . Надо показать, что существует неособая матрица такая, что имеет вид (3.3(d)), или, что равносильно,

.

Записав матрицу М через ее столбцы, получим

или

Это матричное уравнение можно записать как систему четырех линейных однородных уравнений относительно неизвестных элементов матрицы М:

(3.6)

Пусть P - матрица коэффициентов в (3.5), а

Получается, что

,

где - характеристический полином матрицы A. По теореме Кэли -- Гамильтона, утверждающей, что всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, , так что

здесь 0 -- нулевая 44-матрица. Таким образом, столбцы матрицы Q являются решениями уравнения (3.6). Первый столбец Q дает

 (3.7)

Заметим, что дискриминант имеет вид

Если то , следовательно, . Тогда и , и мы получаем, что Таким образом (3.7) дает неособую матрицу М такую, что имеет вид (3.3(d)).

Любая действительная 22-матрица А попадает в один, и только один, из указанных в (3.3) классов.

3.2 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим простые линейные системы.

Определение 3. Линейная система называется простой, если матрица А неособая, т. е. и А не имеет нулевых собственных значений. Тогда единственным решением уравнения

является х = 0 и система имеет единственную изолированную особую точку в начале координат фазовой плоскости. Каноническая система, соответствующая простой линейной системе, так же является простой, так как А и J имеют одинаковые собственные значения.

(а) Различные действительные собственные значения

В этом случае задается формулой (3.3(a)) с ненулевыми . Тогда система после замены примет вид:

(3.8)

и, следовательно,

(3.9)

где .

Если одного знака, то фазовые портреты имеют вид, изображенный на рис. 3.1 (а) и (b). особая точка в начале координат плоскости называется узлом. Если все траектории направлены к началу координат (от него), то узел называется устойчивым (неустойчивым). Форма траекторий определяется отношением . Из (3.8), (3.9) следует уравнение

где . Следовательно, при

Если имеют противоположные знаки, то возникает фазовый портрет. В этом случае особая точка называется седлом. На осях координат (исключая начало) лежат особые траектории, которые называются сепаратрисами седла. Это единственные траектории, имеющие вид радиальных лучей. На одной координатной оси лежат две сепаратрисы (начало координат также является отдельной траекторией). Эти сепаратрисы направлены к началу координат (от него), если соответствующее собственное значение отрицательно (положительно). Остальные траектории имеют сепаратрисы в качестве асимптот; сначала они подходят к некоторой точке при возрастании t от , лежащей ближе всего к началу координат, а затем снова удаляются.

(b) Равные собственные значения

Если матрица J диагональная, то каноническая система задается формулой (3.8) с . Таким образом, случай (3.3(b)) соответствует узлу специального вида, который называется дикритическим узлом. Этот узел устойчив при , неустойчив при ; все его траектории являются радиальными лучами.

Если матрица J недиагональная, т. е. имеет вид (3.3(c)), то система

имеет решения

В этом случае начало координат называется вырожденным узлом; он устойчив при и неустойчив при . Кривая, на которой траектории меняют свое направление, -- геометрическое место точек экстремума для . Оно задается уравнением , т. е.

(с) Комплексные собственные значения

Жорданова матрица задается в этом случае формулой (3.3(d)), так что каноническая система имеет вид

Систему такого вида можно проинтегрировать, перейдя к полярным координатам на плоскости . Если продифференцировать эти выражения по t и подставить , то получится

и решение будет иметь вид:

.

Если , то начало координат называется фокусом (устойчивым при , неустойчивым при ). Параметр > 0 определяет угловую скорость точки на спирали.

Если , то начало координат называется центром и фазовый портрет состоит из континуума концентрических кругов. Это единственный случай, когда в линейных системах возникает повторяющееся, или периодическое, движение. Каждая точка (за исключением начала координат) снова проходится через время . Решения системы периодичны по t с периодом T и определяются формулами:

.

В случае, когда система является вырожденной ( вырожденная матрица, т. е. ), хотя бы одно из собственных значений А равно нулю. Тогда существуют нетривиальные решения уравнения кроме , и система имеет другие особые точки. Для линейных систем на плоскости существуют только две возможности: или ранг А равен единице, или А -- нулевая матрица. В первом случае имеется прямая, состоящая из особых точек, проходящая через начало координат; во втором случае все точки плоскости являются особыми точками. Ранг А равен рангу J, так что то же самое справедливо для канонической системы.

(а)

т.е. .

все точки оси являются неподвижными точками; это предельный случай

(а) при

(b)

т.е. .

все точки оси являются неподвижными точками; это предельный случай

(а) при

Рассмотрим сначала случай вещественных различных .

В этом случае , то есть .

Если , то собственные числа разных знаков и особая точка является седлом.

Если , то собственные числа одного знака. При этом если , то отрицательные, и особая точка является устойчивым узлом, а если , то положительные, и особая точка - неустойчивый узел.

Когда совпадают, .

В этом случае , где собственное значение матрицы . Если , то отрицательное, и особая точка является устойчивым дикритическим или вырожденным узлом, а если , то положительное и особая точка является неустойчивым дикритическим или вырожденным узлом.

Теперь рассмотрим случай комплексных собственных значений

В этом случае то есть .

Если обозначить , то Если то отрицательное, и особая точка является устойчивым фокусом. Если то положительное, и особая точка - неустойчивый фокус. А если , и особая точка является центром.

Определение 4. Две системы дифференциальных уравнений называются качественно эквивалентными, если существует непрерывное взаимно однозначное преобразование, которое переводит фазовый портрет одной системы в фазовый портрет другой, так что сохраняется ориентация траектории. Так же эта эквивалентность называется топологической эквивалентностью.

Выше мы показали, что любая простая линейная система на плоскости качественно эквивалентна одной из систем. Десять изображенных там фазовых портретов представляют алгебраические типы линейных систем.

Качественная эквивалентность дает менее подробную классификацию. Можно показать, что все устойчивые (неустойчивые) узлы, вырожденные узлы, фокусы эквивалентны друг другу в смысле определения 4. Это означает, что классы алгебраически эквивалентных систем можно далее группировать в классы качественно (или топологически) эквивалентных. В таком смысле существует только четыре типа качественного поведения: устойчивость, центр, седло и неустойчивость.

Фазовый портрет в окрестности произвольной особой точки принадлежит одному и только одному из указанных трех типов: асимптотически устойчивому, нейтрально устойчивому или неустойчивому.

Дадим строгое определение устойчивой особой точки.

Определение 5. Особая точка системы называется устойчивой, если для любой окрестности V точки существует некоторая меньшая окрестность этой точки такая, что любая траектория, проходящая через , остается в при возрастании t.

Определение 6. Особая точка системы называется асимптотически устойчивой, если она устойчива и, кроме того, существует окрестность V точки такая, что любая траектория, проходящая через V, стремится к при стремлении t к бесконечности.

Замечание. Любая асимптотически устойчивая особая точка устойчива. Но обратное неверно.

Определение 7. Особая точка системы , которая устойчива, но не асимптотически устойчива, называется нейтрально устойчивой.

Определение 8. Особая точка системы , которая не является устойчивой, называется неустойчивой.

Это значит, что существует такая окрестность V особой точки, что для любой окрестности имеется по крайней мере одна траектория, которая проходит через и не остается в . Например, седло неустойчиво, так как существует сепаратриса, содержащая точки, сколь угодно близкие к началу координат, причем при движении по этой сепаратрисе точка стремится к бесконечности при возрастании времени.

Типы устойчивости простых линейных особых точек:

a) Устойчивый узел, вырожденный узел и фокус обладают следующим

свойством: при траектории стремятся к началу координат. Таким образом, удовлетворяет требованиям определения 5, и эти особые точки асимптотически устойчивы.

Центр не является асимптотически устойчивым, но он устойчив. Это следует из определения 6 с

Таким образом, центр нейтрально устойчив.

Неустойчивые узел, вырожденный узел и фокус, а также седло неустойчивы.

4 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

В этом параграфе будем рассматривать фазовые портреты систем -- непрерывно дифференцируемая нелинейная функция. Такие фазовые портреты не всегда определяются характером особых точек системы.

4.1 ЛОКАЛЬНОЕ И ГЛОБАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

При исследовании нелинейных систем часто приходится встречаться с сужениями полных, или глобальных фазовых портретов на некоторую окрестность точки , которую мы можем выбирать сколь угодно малой. Такое сужение называется локальным фазовым портретом в точке .

Замечание. Качественный портрет простой линейной системы определяется характером особой точки. Другими словами, локальный фазовый портрет в начале координат качественно эквивалентен глобальному фазовому портрету системы.

Нелинейные системы могут иметь более одной особой точки, и часто можно для каждой из них построить локальный фазовый портрет. Однако, локальные фазовые портреты не всегда определяют глобальный фазовый портрет.

Определение 1. Замкнутая траектория С на фазовом портрете называется предельным циклом, если она изолирована от всех остальных замкнутых траекторий; точнее, если существует трубчатая окрестность С, не содержащая других замкнутых траекторий.

Типы предельных циклов:

Предельный цикл называется

1) Устойчивым, если траектории, проходящие

через окрестность V предельного цикла остаются в этой же окрестности при всех ;

2) Неустойчивым предельным циклом, если

траектории, проходящие через окрестность V

предельного цикла покидают ее при всех ;

3) Полуустойчивым предельным циклом, если

траектории, проходящие через окрестность V предельного цикла, с одной стороны остаются в этой окрестности, а с другой стороны выходят за ее пределы при возрастании .

Признак отсутствия предельных циклов (Бендиксона):

Запишем в виде системы уравнений:

Если правые части этих уравнений имеют непрерывные частные производные первого порядка в односвязной области D и выражение

нигде не меняет знак и не равно тождественному нулю, то в области D нет предельных циклов.

4.2 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ

Рассмотрим нелинейные системы, имеющие особую точку в начале координат.

Определение 2. Допустим, что систему можно записать в виде

(4.1)

где .

Линейная система

(4.2)

называется линеаризацией системы (3.1) (или линеаризованной системой, соответствующей (4.1)) в начале координат. Компоненты линейного векторного поля системы (4.2) называются линейной частью (4.1).

Замечание. Определение 2 можно также применить к особым точкам, отличным от начала координат, введя локальные координаты.

Пусть --особая точка нелинейной системы

.

При замене переменных

точка перейдет в начало координат. Координаты называются локальными координатами в точке .

В этих координатах система имеет вид

 (4.3)

где -- компоненты вектора X.

Если мы положим

то (4.3) преобразуется в систему

(4.4)

Для системы (4.4) интересующая нас особая точка находится в начале координат, и в ней можно строить линеаризацию.

Определение 3. Говорят, что начало координат является простой особой точкой системы , если соответствующая линеаризованная система проста.

Теорема о линеаризации. Пусть нелинейная система

имеет простую особую точку . Тогда в окрестности начала координат фазовые портреты этой системы и ее линеаризации качественно эквивалентны, если только особая точка линеаризованной системы не является центром.

Если собственные значения линеаризованной системы имеют действительную часть, отличную от нуля, то фазовые портреты нелинейной системы и ее линеаризации качественно эквивалентны в окрестности особой точки. Такие особые точки называются гиперболическими.

Эта теорема устанавливает связь фазового портрета нелинейной системы в окрестности некоторой особой точки с фазовым портретом ее линеаризации.

Аналогия между особыми точками нелинейных систем и их линеаризацией более тонкая, чем просто качественная эквивалентность, и не сводится к окончательной классификации особых точек на устойчивые, седловые и неустойчивые, приведенной на рис. 3.7. Внутри устойчивых и неустойчивых классов для особых точек нелинейных систем также можно определить узлы, вырожденные узлы и фокусы таким образом, что если особая точка линеаризации является узлом, вырожденным узлом или фокусом, то такой же характер имеет особая точка исходной нелинейной системы.

Траектории, представляющие собой лучи для линеаризованной системы в некоторой особой точке являются касательными к соответствующим траекториям нелинейной системы.

Если для линеаризованной системы особая точка - центр, то для исходной нелинейной системы она может быть центром или фокусом. Если траектории системы имеют ось симметрии, проходящую через исследуемую особую точку, то последняя будет центром для этой системы. Фокус имеется тогда и только тогда, когда нулевое решение системы будет асимптотически устойчиво при или при

4.3 СЛОЖНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Определение 4. Особая точка нелинейной системы является сложной, если соответствующая линеаризованная система является вырожденной.

Такие линейные системы имеют целую прямую, а иногда и целую плоскость, особых точек. Нелинейные члены и могут существенно изменить это поведение.

Систему уравнений исследуем методом изоклин.

Запишем в виде

(4.5)

Интегральные кривые имеют наклон в точках пересечения с кривой

.

А множество изоклин, которое получается, когда мы придаем с различные действительные значения, -- это семейство парабол:

и прямая .

Некоторые из этих изоклин изображены на рисунке 4.1 (а) красным цветом.

А угол наклона касательных к интегральным кривым можно найти из формулы:

Получаем при

при

.

Особой точкой уравнения является точка(0,0)

Используя достаточно густое семейство изоклин, мы может получить отчетливое представление о траекториях уравнения (4.5). Как мы видим на рисунке (4.1(а)), только одна траектория (лежащая на прямой ) стремится к особой точке, а все остальные рано или поздно от нее уходят.

Характер локального фазового портрета определяется теперь нелинейными членами. Поэтому в отличие от простых особых точек, существует бесконечно много различных типов локальных фазовых портретов.

Линеаризации многих систем имеют на своих фазовых портретах по крайней мере одну прямую, состоящую из особых точек. Так же линии, состоящие из особых точек, могут возникать и в нелинейных системах; они не обязаны быть прямыми и всегда состоят из непростых особых точек.

В силу сделанных выше замечаний неудивительно, что не существует

подробной классификации непростых особых точек. Однако определения устойчивости (применимые как к простым, так и к непростым особым точкам)

позволяют дать грубую классификацию качественного поведения.

Теорема 1. Всякая достаточно малая окрестность особой точки системы

не являющаяся центром или топологическим узлом, состоит из конечного числа эллиптических, параболических и гиперболических областей (в частных случаях области некоторых типов могут отсутствовать), примыкающих последовательно одна к другой, а так же из точек траектории, отделяющих эти области одной от другой и из самой особой точки.

Сложные особые точки с нулевыми характеристическими корнями.

Рассмотрим систему

(4.6)

где и аналитические функции, не имеющие общего множителя, отличного от постоянного. В разложениях этих функций по степеням и хотя бы один из линейных членов не равен нулю.

Пусть начало координат является сложной особой точкой этой системы, т.е.

и определитель матрицы коэффициентов линеаризованной системы, соответствующей системе (4.6) в начале координат равен нулю:

(4.7)

Следовательно, хотя бы одно из собственных значений матрицы равно нулю. Среди сложных особых точек, для которых выполняется условие (4.7), выделяются два случая в зависимости от следа матрицы :

Так как характеристическое уравнение имеет вид

то, в случае, когда , только один характеристический корень равен нулю, второй же равен . А в случае, когда trA,оба характеристических корня равны нулю.

I. Рассмотрим случай, когда .

В этом случае систему (4.6) в окрестности начала координат можем представить в каноническом виде:

где , а разложения по степеням функций и начинаются с членов не менее чем второго порядка.

Введем в рассмотрение функцию

являющуюся решением уравнения

Подставим функцию в и введем обозначение

Так как функции и не имеют общего множителя, отличного от постоянного, то не может быть тождественно равна нулю и, следовательно, в разложении функции по степеням будут отличные от нуля члены.

Таким образом, мы можем написать

где (так как разложение по степеням и начинается с членов не ниже второй степени и ). Число характеризует красность общей точки кривых

Теорема 2. Особая точка , для которой , может иметь следующий качественный характер:

а) характер седла ( при нечетном и );

б) характер узла ( при нечетном и ); причем при узел устойчивый, а при неустойчивый.

в) особая точка с одним узловым сектором и двумя седловыми ( при четном и любом знаке ). При узловой сектор устойчивый, при неустойчивый. Кроме того, если , то траектории узлового сектора стремятся к (при в зависимости от знака ) слева от оси (рис. 4.3 (а)), а если , то справа оси (рис. 4.3 (б)).

В случае, когда рассматриваемая система не имеет канонического вида, направления, в которых траектории стремятся к началу координат, могут быть отличны от направления осей.

II. Теперь рассмотрим случай, когда .

В этом случае оба характеристических корня особой точки равны нулю.

Систему (4.6) можем привести к виду:

где аналитические функции, разложения которых по степеням начинаются с членов не менее чем второго порядка.

Рассмотрим следующие функции:

1) функцию , являющуюся решением уравнения

2) функцию , определяемую формулой

эта функция тождественно не равна нулю (в силу предположения об отсутствии общих множителей, отличных от постоянных у правых частей рассматриваемой системы), поэтому в разложении по степеням будут отличные от нуля члены, и мы можем написать

3) функцию

Функция , в отличие от , может тождественно обращаться в нуль.

Рассмотрим сначала случай, когда , так что при некотором Числа и коэффициенты характеризуют качественную структуру особой точки.

Теорема 3. Пусть четное,

Тогда: 1) в случае, если , особая точка имеет качественный характер седло-узла;

2) в случае, когда , существует одна полутраектория, стремящаяся к при , и одна полутраектория, стремящаяся к при , все остальные траектории и при возрастании, и при убывании выходят из окрестности (т.е. окрестность особой точки состоит из двух седловых секторов). Такая особая точка называется вырожденным седло-узлом.

Теорема 4. Пусть нечетное число и и пусть

Тогда: 1) если то особая точка имеет качественный характер седла (рис. 4.6);

2) если , то особая точка имеет:

а) характер фокуса или центра при , о также при

б) характер узла, если четное и при этом или ;

в) одну замкнутую узловую область, две сопровождающие ее узловые области и одну седловую область (рис 4.7), если нечетное число и при этом и

Рисунки 4.4 - 4.7 выполнены при условии ; в случае на рисунках 4.6 и 4.7 расположение траекторий получается симметричным относительно оси . Все стремящиеся к особой точке с определенным направлением траектории стремятся к ней, касаясь оси . Однако если особая точка является фокусом или центром, то нет траекторий, стремящихся к особой точке, а все траектории в достаточно малой окрестности являются спиралями или замкнутыми траекториями.

4.4 ОБЫКНОВЕННЫЕ ТОЧКИ

Определение 5. Любая точка фазовой плоскости, которая не является особой точкой системы , называется обыкновенной точкой этой системы.

Таким образом, если -- обыкновенная точка, то , и в силу непрерывности функции X существует некоторая окрестность точки , содержащая только обыкновенные точки. Это означает, что локальный фазовый портрет в обыкновенной точке не содержит особых точек. Существует важный результат относительно качественной эквивалентности таких локальных фазовых портретов--теорема о выпрямлении векторного поля или теорема о трубке траекторий .

На рис. 4.8-- 4.11 показаны локальные фазовые портреты в типичных обыкновенных точках . Для каждой из рассмотренных точек выделена некоторая специальная окрестность, называемая трубкой траекторий. Траектории системы входят в окрестность на одном ее конце и выходят на другом; ни одна траектория не может покинуть эту окрестность через ее боковые стороны. Для каждого из фазовых портретов, изображенных на рисунках, можно найти такие новые координаты на плоскости,