Рівняння Пфаффа

Ознайлення з базовими поняттями, фактами, методами та найпростішими застосуваннями рівняння Пфаффа. Виконання завдань щодо розв’язання рівнянь Пфаффа. Аналітичний запис задачі про відшукання інтегральних поверхонь максимально можливої вимірності.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык украинский
Дата добавления 30.12.2013
Размер файла 489,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

на тему: «Рівняння Пфаффа»

ЗМІСТ

Вступ

1. Рівняння Пфаффа

2. Цілком інтегровані рівняння Пфаффа

3. Інтегральні криві рівняння Пфаффа

4. Цілком інтегровані рівняння Пфаффа в R3

Висновки

Додаток

Список літератури

Вступ

Сучасна теорія диференціальних рівнянь посідає чільне місце серед інших математичних дисциплін. Гармонійне поєднання суто математичного й прикладного аспектів робить її однаково привабливою як для теоретиків, так і для тих, хто займається застосуванням математики в різноманітних галузях знань. Механіка, фізика, радіоелектроніка, машинобудування, хімія, біологія, економіка -- це далеко не повний перелік наук, в яких широко використовуються диференціальні рівняння.

Мета даної роботи -- ознайомити з основними, базовими поняттями, фактами, методами та найпростішими застосуваннями теми, підготувати до самостійної роботи та виконання завдань щодо розв'язання рівнянь Пфаффа.

Центральним об'єктом вивчення є звісно поняття рівняння Пфаффа (як диференціальне рівняння з кількома незалежними змінними) -- аналітичний запис задачі про відшукання інтегральних поверхонь максимально можливої вимірності, яке пов'язує між собою значення шуканої функції, її похідних та аргументу. Однак в курсовій роботі диференціальне рівняння Пфаффа розглядається не лише як аналітичний об 'єкт. Значна увага приділяється геометричним поняттям і образам, які дають змогу глибше зрозуміти природу цього об'єкта, пояснити відповідні теоретичні побудови.

рівняння пфафф інтегральний

1. Рівняння Пфаффа

Нехай в області D с R3 задано диференціальну форму

щ := а(х)dх := а1(x) dx1 + ... + аn(x) dxn

з неперервно диференційовними коефіцієнтами аі : D > R , i =1, …, n. Усюди надалі ми розглядатимемо лише невироджений випадок, для якого виконується умова || а(х) || ? 0 х є D.

Рівняння вигляду

щ = 0 (1)

називається рівнянням Пфаффа.

При n = 2 це рівняння знайоме нам. Тепер ми зробимо це в загальному випадку. Ставлячи кожній точці х0 D у відповідність гіперплощину

Р(х0) : а10)(х1 - х01) + ... + аn0) (хn - х0n) = 0, (2)

ортогональну до вектора аn0), рівняння (1) задає в області D поле гіперплощин Р. Природно сформулювати задачу про відшукання k-вимірної (k ? n - 1) інтегральної поверхні поля Р, тобто такої поверхні, яка в кожній своїй точці х0 дотикається відповідної гіперплощини Р(х0). Про таку поверхню можна також сказати, що вона ортогональна до векторного поля а(х). Для k -вимірної поверхні, заданої параметричними рівняннями

х = х(s), х(s) С1 (D > D),

де D -- область у Rk, умова інтегральності виражається тотожністю a(x(s))dx(s) ? 0.

Основою для рівняння Пфаффа є задача відшукання інтегральних поверхонь максимально можливої вимірності k = n - 1.

Виникає завдання про знаходження сімейства поверхонь U (x, y, z) = c, ортогональних до векторних ліній. Рівняння таких поверхонь має вигляд (F* t) = 0. Де t - віктор, що лежить в дотичній площині до шуканих поверхонь:

t = i dx + j dy + k dz,

aбо в розгорнутому вигляді

Р (х, у, z) dx + Q (x, у, z) dy + R (x, у, z) dz = 0. (3)

Рівняння вигляду (3) називаються рівняннями Пфаффа.

Якщо поле F = Pi+Qj+Rk потенційне:

F = grad U, тобто

то шуканими поверхнями є поверхні рівня U (x, y, z) = c з потенційною функції U. В цьому випадку знаходження шуканих поверхонь не становить труднощів, оскільки

де криволінійний інтеграл береться на будь-якому шляху між обраною фіксованою точкою (x0, y0, z0) і точкою зі змінними координатами (х, у, z), наприклад, по ламаній, що складається з прямолінійних відрізків, паралельних осям координат.

Якщо ж поле F не потенційне, то в деяких випадках можна підібрати скалярний множник µ(х, у, z), після множення на який вектора F поле стає потенційним.

Якщо такий множник існує, то µ F = grad U або

Примножуючи перше з цих тотожностей на R, друге на P, третє на Q і складаючи почленно всі три тотожності, отримаємо необхідну умову існування інтегруючого множника µ:

Якщо ця умова, яка називається умовою повної інтегровності рівняння (3), не виконується, то не існує сімейства поверхностей U (x, y, z) = c, ортогональних векторним лініям поля F (x, у, z).

Дійсно, якщо б таке сімейство U (x, y, z) = c існувало, то ліва частина рівняння (3) могла б відрізнятися від

лише деяким множником µ(x, у, z), який і був би інтегровним множником рівняння (3).

Отже, для існування сімейства поверхонь U (x, y, z) = c, ортогональних векторним лініям векторного поля F, необхідно, щоб вектори F і rot F були б ортогональні, тобто (F* rot F) = 0.

ЗАУВАЖЕННЯ

Умова (F* rot F) = 0 називається також умовою інтегровності рівняння Пфаффа Р dx + Q dy + R dz = 0 одним співвідношенням U (x, y, z) = c.

Іноді потрібно визначити не поверхні, ортогональні векторним лініям поля F, а лінії, що володіють тією ж властивістю, іншими словами, треба проінтегрувати рівняння Пфаффа не одним, а двома співвідношеннями:

U1 (x, y, z) = 0 та U2 (x, y, z) = 0. (4)

Для знаходження таких ліній можна одне з рівнянь (4) задати довільно, наприклад

U1 (x, y, z) = 0, (5)

і, виключивши з рівняння (3) за допомогою рівняння (5) одну з змінних, наприклад z, отримаємо диференціальне рівнянняння виду

М (х, y) dx + N (x, y) dy = 0,

інтегруючи яке, знайдемо шукані лінії на довільно обраній поверхні U1 (x, y, z) = 0.

Покажемо, що умова (F * rot F) = 0 є не тільки необхідним, але і достатнім для існування сімейства поверхностей, ортогональних векторним лініям.

Зауважимо, що на шуканих поверхнях U (x, y, z) = c повинно обертатися в тотожність рівняння

Р dx + Q dy + R dz = 0

або, що те ж саме, на цих поверхнях криволінійний інтеграл

(6)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

має дорівнювати нулю по будь-якому шляху (в тому числі і по незамкнутим шляхам).

Розглянемо всілякі вихрові поверхні, тобто векторні поверхні поля rot F. Очевидно, що в силу теореми Стокса

де dr = i dx + j dy + k dz, і інтеграл (6) по будь-якому замкнутому шляху на вихровий поверхні дорівнює нулю (так як скалярний добуток одиничного вектора нормалі до поверхні n і вектора rot F дорівнює нулю). Виберемо тепер серед вихрових поверхонь ті, на яких всі інтеграли

по незамкнутим шляхах також равні нулю. Для побудови такої поверхні, що проходить через задану точку М (x0, y0, z0), проведемо через цю точку М якусь лінію, ортогональну векторним лініям поля F. Такі лінії визначаються рівнянням

Р dx + Q dy + R dz = 0 , (3)

до якого додано рівняння довільної поверхні z=f (x, у), що проходить через точку М (найчастіше рівняння цієї поповерхні беруть у вигляді z = f1 (x) або z = f2 (y) або навіть у вигляді z = a, де а - константа). Підставляючи z = f (x, у) в (3), отримаємо звичайне рівняння виду

М (х, y) dx + N (x, y) dy = 0,

інтегруючи яке і враховуючи початкову умову у (х0) = у0, отримаємо шукану криву l, що проходить через точку М (x0, y0, z0) і ортогональну векторним лініям (рис. 1).

Якщо ця лінія не є лінією вихору, то, проводячи через кажну точку лінії l лінію вихору, отримаємо шукану поверхню S, ортогональну векторним лініям поля F.

Дійсно, взявши будь-яку незамкнену криву l на поверхні S (рис. 1) і провівши через її граничні точки вихрові лінії до перетину з кривою l в точках р1 і р2, отримаємо замкнутий контур, що складається з відрізка лінії l між точками р1 і р2, кривої l і двох вихрових ліній.

Криволінійний інтеграл . Взятий з цього замкнутого контуру С, дорівнює нулю, так як контур лежить на вихровій поверхні, причому той же інтеграл, узятий на відрізку дуги l, і по відрізках вихрових ліній дорівнює нулю, так як дуга l і вихрові лінії ортогональні векторним лініях поля F (вихрові лінії ортогональні векторним лініях поля F в силу умови (F * rot F) = 0). Отже, інтеграл по довільно обраному нами незамкнутому шляху l дорівнює нулю, тобто поверхня S є інтегральною поверхнею рівняння (3), що проходить через задану точку М.

Цей метод доказу достатності умови (F * rot F) = 0 для існування сімейства поверхонь, ортогональних векторним лініям поля F, одночасно вказує шлях, правда не найкоротший, для знаходження цих поверхонь.

ПРИКЛАД 1

z dx + (x - y) dy + zy dz = 0.

Умова (F * rot F) = 0, де F = zi + (x -y)j + yzk, не виконується, отже, дане рівняння не інтегрується одним співвідношенням.

ПРИКЛАД 2

(6x + yz) dx + (xz - 2у) dy + (ху + 2z) dz = 0.

rot F ? 0, де F = (6x + yz) i + (xz - 2y) j + (xy + 2z) k, то F = grad U, де

.

В якості шляху інтегрування вибираємо ламану, ланки якої паралельні осям координат. Інтегруючи, отримуємо U = 3x2 - y2 + z2 + xyz, і отже, шуканим інтегралом є 3x2 - y2 + z2 + xyz = с.

2. Цілком інтегровані рівняння Пфаффа

ОЗНАЧЕННЯ 1

Рівняння (1) називають цілком інтегрованим, якщо через кожну точку області D проходить інтегральна гіперповерхня (тобто (п - 1)-вимірна інтегральна поверхня) поля Р.

Як нам уже відомо, при n = 2 кожне рівняння Пфаффа є цілком інтегрованим. Цього, однак, уже не можна стверджувати при n ? 3.

Найпростішим прикладом цілком інтегрованого рівняння Пфаффа є рівняння в повних диференціалах, яке характеризується тим, що форма щ є точною, тобто існує функція U(х) С2 (D > R) така, що

щ = dU (7)

[Зрозуміло, що точній формі щ відповідає потенціальне векторне поле а(х) = gгad U(х).] У цьому випадку область D розшаровується інтегральними гіперповерхнями

Mc :={x D : U(x) = с} (8)

-- поверхнями рівня функції U(х) (стала с пробігає область значень функції U(х).

Навпаки, припустимо, що для довільної точки х0 D у деякому її околі В(х0) існує функція U(х) C2(D > R) з ненульовим градієнтом, поверхні рівня якої є інтегральними для поля Р, а отже, ортогональними до векторного поля а. Легко бачити, що тоді вектори grad U(x) та а(х) будуть колінеарними кожному х D. А це, своєю чергою, означає, що в околі точки х0 для форми щ існує інтегрувальний множник, тобто функція µ : D > R \ {0}, яка має властивість

µщ = dU. (9)

Із невиродженості форми щ випливає, що функція µ неперервно дифе-ренційовна.

Зрозуміло, що рівняння Пфаффа, для якого існує інтегрувальний множник, цілком інтегроване, причому, знаючи інтегрувальний множник, ми зможемо виписати й рівняння інтегральних поверхонь (принаймні локально).

Далі, якщо для форми

µщ := b(х) dx ? b1(х) dx1 + ... + bn(x) dxn

виконується рівність (9), то з урахуванням рівностей ,

i, j = 1, …, n дістаємо умови на коефіцієнти bi :

, i, j = 1, ..., n. (10)

ОЗНАЧЕННЯ 2

Форму b(x) dx, для якої умови (10) виконуються в кожній точці х D, називають замкненою формою в області D.

Відомо, що в разі виконання умов (10) криволінійний інтеграл , принаймні в околі точки х0, не залежить від конкретного вибору шляху г(х0, х), який сполучає х0 з х і цілком лежить в околі точки х0. Даний інтеграл і визначає функцію U(х), яка рівностями (8) задає інтегральні поверхні рівняння (1). Таку функцію назвемо інтегралом рівняння Пфаффа.

Знайдемо необхідні умови існування інтегрувального множника. При bі = µаi як наслідок (13) маємо

За допомогою визначників цю рівність можна подати у вигляді

(11)

Оскільки всі мінори третього порядку матриці

дорівнюють нулю, то з огляду на рівності (11) таку саму властивість має й символічна матриця

(12)

Щоб переконатися в цьому, достатньо розкласти будь-які два відповідних мінори таких матриць за їх першими рядками.

Виявляється, знайдена умова є не лише необхідною, а й достатньою.

ТЕОРЕМА (ФРОБЕНІУСА)

Для того щоб рівняння (1) було цілком інтегрованим, необхідно й достатньо, щоб усі мінори третього порядку матриці (12) перетворювалися в нуль в області D.

Доведення цієї теореми для n = 3 буде наведено в п. 4. У цьому випадку умова теореми Фробеніуса набирає вигляду

a(x) rot a(x) = 0 (13)

і означає, що векторне поле а(х) ортогональне до свого ротора.

3. Інтегральні криві рівняння Пфаффа

Для рівняння (1) завжди можна побудувати одновимірні «інтегральні поверхні», тобто інтегральні криві. При n = З це можна зробити таким чином. Візьмемо довільну точку х0 D. У деякому її околі B(х0) завжди можна визначити двічі неперервно диференційовну функцію F: В(х0) > R, для якої grad F(x) був би неколінеарний вектору а(х). Тоді система

(14)

визначає поле напрямів у B(х0). Це поле напрямів можна задати деякою системою в симетричній формі

, (15)

якій відповідає автономна система

= f(х). (16)

Векторне поле f = (f1, f2, f3) з точністю до множника визначається умовою: вектор f(x) ортогональний до векторів а(x) та grad F(x). Наприклад, можна покласти

f(x) := | а(x), grad F(х) |, (17)

де | •, • | -- операція векторного добутку в R3.

Інтегральні криві системи (15) [фазові криві системи (16)] будуть інтегральними кривими системи (14), а отже, рівняння (1).

Зауважимо, що система (14) має очевидний перший інтеграл F. Тому її вимірність можна знизити на одиницю.

Припустимо, наприклад, що а30) ? 0. Нехай F = F (х1, х2) -- довільна двічі неперервно диференційовна в околі точки (х01, х02) функція, яка в цьому околі задовольняє умову невиродженості і F(х0102)=0. На площині х1Ох2 рівняння

F (х1, х2) = 0. (18)

визначає криву г, яка проходить через точку (х01, х02). У просторі R3 воно визначає циліндричну поверхню S із напрямною г і твірними, паралельними осі Ох3. Зрозуміло, що вектори а(х) та gгad F(х) неколінеарні в деякому околі точки х0. Тоді існує єдина інтегральна крива

Г : х = о(s), s I (19)

системи (17), яка лежить на поверхні S і проходить через точку х0.

Для відшукання цієї кривої потрібно рівняння (18) розв'язати відносно однієї зі змінних і результат підставити в рівняння (1). Дістанемо рівняння Пфаффа на площині. Якщо, наприклад, із (18) можна виразити змінну х2 через х1, так що х2 = ц(х1) (х02 = ц (х01)), то рівняння на площині х1Ох3 матиме вигляд

.

Звичайно, функцію F слід намагатися вибирати так, щоб це рівняння легко розв'язувалося. Знайшовши його інтегральну криву х1 = о1(s), х3 = о3(s), яка проходить через точку (х01, х02), дістанемо рівняння кривої (19), в якому о(s)= (о1(s),ц(о1(s)), о1(s)). Вона водночас є фазовою кривою автономної системи (19), де f(x) визначено формулою (17).

ПРИКЛАД 3

Приріст dW теплової енергії газу пов'язаний із приростами об'єму dV та тиску dp співвідношенням (закон збереження енергії)

, (20)

де R -- газова стала, С? -- теплоємність газу при сталому об'ємі, Ср = С?+АR -- теплоємність газу при сталому тиску, А -- стала (термічний еквівалент роботи).

Для даного випадку умова теореми Фробеніуса не виконується:

.

Тому рівняння (20) не є цілком інтегрованим. Із фізичного погляду не означає, що теплова енергія газу не є функцією його стану, який визначається значеннями V, р. Тепло, котре поглинається (виділяється) під час деякого процесу -- переходу зі стану (V0, р0) у стан (V, р), залежить від кривої г, що сполучає точки x0 та x, і зображується криволінійним інтегралом

Наприклад, крива, вздовж якої виконується рівність

, (21)

забезпечує адіабатичний процес (W = const). Із рівняння (21) після відокремлення змінних дістаємо формулу Пуассона для адіабати: , де С -- довільна стала.

Якщо скористатися формулою Клапейрона рV = RТ, де Т -- абсолютна температура газу, й домножити обидві частини рівняння (20) на 1/T, то побачимо, що

Тому криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування, який сполучає точку (V0, р0) зі змінною точкою (V, р). Цей інтеграл визначає ентропію -- фізичну величину, яка вже є функцією стану газу.

4. Цілком інтегровані рівняння Пфаффа в R3

Нехай n = З, а форма щ задовольняє умову (13). Покажемо, що через кожну точку х0 = (х01, х02, х03) D можна провести інтегральну поверхню рівняння (1), і притому лише одну. Спосіб побудови цієї поверхні нагадує конструкцію розв'язку задачі Коші для рівняння з частинними похідними й передбачає такі кроки.

• Знаходимо інтегральну криву Г : х = о(s), s I рівняння Пфаффа, яка проходить через точку х0.

• Задаємо в D векторне поле g(x) С1 (D > R3 ) так, щоб воно було ортогональне до векторного поля а(х), тобто задовольняло умову

a(x)g(x) = 0, (22)

і не дотикалося кривої Г у жодній її точці. Зокрема, якщо для кожного s I вектори о'(s) і rot a(о(s)) неколінеарні, то можна покласти

g(x) = rot a(x).

Поле g(х) бажано вибирати так, щоб система

= g(х) (23)

була інтегровною.

• З кожної точки кривої Г випускаємо фазову криву системи (23) і таким чином утворюємо поверхню MГ, яка проходить через цю криву (рис. 2, а).

Виявляється, мг і є шуканою інтегральною поверхнею рівняння Пфаффа. Точніше, якщо позначити через ч(t, s) розв'язок системи (23), який задовольняє початкову умову ч(0, s) = о(s), то для деякого д > 0 рівняння

x = ч (t, s), t ? (-д, д), s ? (s0 - д, s0 + д) (24)

визначають (локальну) інтегральну поверхню рівняння Пфаффа (1), яка проходить через точку х0.

Множина (24) справді є поверхнею. Цей факт випливає з міркувань, наведених у доведенні теореми існування розв'язку задачі Коші для квазілінійного рівняння з частинними похідними першого порядку. Отже, для обґрунтування сформульованого алгоритму залишається переконатися в тому, що

Для цього виведемо диференціальні рівняння, які описують зміну в часі t коефіцієнтів при ds і dt форми . Маємо

(25)

З (22) знаходимо

Оскільки виконуються умови (13) та (22), то векторне поле колінеарне векторному полю а. Тому знайдеться така функція с(х), що

Це й є шукане рівняння для . Розв'язавши його, дістанемо

Оскільки Г є інтегральною кривою рівняння Пфаффа, то

а тому й . Таким чином, рівняння (24) справді визначають інтегральну поверхню рівняння (1).

Доведемо її єдиність. Нехай, навпаки, існують дві інтегральні поверхні S1, та S2 рівняння (1), які проходять через точку х0 і не збігаються в будь-якому о колі цієї точки. Вони мають спільну дотичну площину П, Ортогональну до вектора а(х0). Уведемо в R3 нову декартову прямокутну систему координат (х, у, z) із початком О у точці х0 так, щоб площина хОу збігалася з П, а вісь Оz була спрямована вздовж вектора a(x0). Тоді кожна поверхня S1 (i= 1, 2) в околі точки О буде графіком деякої неперервно диференційовної функції z = fi (х, у). Згідно з припущенням для як завгодно малого е > 0 існує точка (хе, уе) така, що |хе| + |уе| < е і f1е, уе) ? f2е, уе). Покладемо f= уеx - хеy. Рівняння f= 0 визначає площину, яка проходить через точки (хе, уе, f1е, уе)) і перетинає поверхні S1 та S2 по двох різних кривих Г1 та Г2.

Повернемося до старих координат. Кожна з кривих Г1 та Г2 проходить через точку x0 і є інтегральною кривою системи (14). Для останньої існує лише одна інтегральна крива, яка проходить через точку x0. Ця суперечність доводить єдиність інтегральної поверхні, яка проходить через задану точку.

ПРИКЛАД 4

Розглянемо рівняння

(2yz + Зх) dx + xz dy + ху dz = 0. (26)

Уданому випадку а(х, у, z) = (2yz + 3х, xz, ху). Оскільки rot а(х, у, z) = (0, у, -z), то умова (16) виконується.

Знайдемо інтегральні криві рівняння (29), які лежать у площині

F y=1.

На ній рівняння (29) набирає вигляду

(2z + 3х) dх + х dz = 0.

Це лінійне відносно z рівняння легко інтегрується, і ми дістаємо сім'ю інтегральних кривих рівняння (29), які лежать у площині y=1:

(27)

Тепер побудуємо векторне поле g так, щоб воно не лежало в площині у = 1, задовольняло умову аg = 0 і систему = g(х) можна було легко зінтегрувати. Зручно покласти g(x, у, z) rot а(х, у, z) = (0, у, -z). Відповідна система в симетричній формі має вигляд

Її загальний інтеграл

yz = c1, х = с2. (28)

Тепер для того щоб утворити поверхню з інтегральних кривих сім'ї (28), які для фіксованого с виходять із точок кривої (27), робимо так само, як і під час розв'язування задачі Коші для рівняння з частинними похідними: підставляємо (27) у (28), виключаємо змінну х, в одержаному співвідношенні , заміняємо с1, с2 лівими частинами рівностей (28). Остаточно дістаємо рівняння сім'ї інтегральних поверхонь рівняння (26):

х2уz + x3 = с.

Звідси, зокрема, випливає, що інтегрувальним множником форми (2yz + Зх) dx + xz dy + ху dz є функція µ = х.

Висновки

Розбудова теорії звичайних диференціальних рівнянь триває вже понад три століття. Сьогодні ця математична дисципліна являє собою багаторівневу систему знань із розгалуженою внутрішньою структурою, різноманітними зв'язками з іншими розділами математики, розвинутим понятійним апаратом, потужним арсеналом аналітичних, геометричних та чисельних методів.

Коло проблем, які досліджує теорія диференціальних рівнянь, невпинно розширюється. Зараз у ній можна виділити близько двадцяти великих розділів. Згідно з класифікаційною системою провідних реферативних математичних журналів загальне число тематичних напрямів (рубрик), які безпосередньо стосуються теорії звичайних диференціальних рівнянь, перевищує півтори сотні й продовжує зростати. Можна також налічити кілька десятків рубрик, які відображають зв'язки цієї теорії з іншими математичними дисциплінами. І тому навіть лаконічні огляди її здобутків за останні десятиліття нерідко виливаються в багатотомні видання.

Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Основою для рівняння Пфаффа є задача відшукання інтегральних поверхонь максимально можливої вимірності k = n - 1.

Виникає завдання про знаходження сімейства поверхонь U (x, y, z) = c, ортогональних до векторних ліній.

ДОДАТОК

ЗАДАЧА 1

Знайти поверхню, що задовольняє рівняння Пфаффа:

Розв'язок:

Оскільки (F* rot F) = z - 2x + y і функція z = 2x - y не є розв'язком даного рівняння, то воно не може бути про інтегровано одним співвідношенням. Про інтегруємо його двома співвідношеннями, беручи, наприклад, z = x + y. Тоді отримаємо рівняння

dx - dy = 0,

y = x + C1.

Таким чином, одно параметричне сімейство прямих

x = t, y = t + C1, z = 2t + C1

задовольняє дане рівняння.

ЗАДАЧА 2

Знайти поверхню, що задовольняє рівняння Пфаффа:

Розв'язок:

F = (3yz, 2xz, xy).

Так як

rot F = -ix + 2jk - kz та (F* rot F) = 0,

то дане рівняння інтегрується одним співвідношенням. Таким чином, існує множник µ = µ(x, y, z) такий, що rot µF = 0, тобто поле µF потенційне. Звідси, для множника µ маємо рівняння:

Інтегруючи перше рівняння, отримуємо загальний розв'язок:

µ = yц(x,о), о = yz2.

Підставляючи отримане значення µ у друге рівняння, маємо:

звідки знаходимо

ц = x2ш(x3y2z4).

µ = yx2ш(з), з = x3y2z4.

Залишається знайти ш. Для цього скористаємося третім рівнянням. Маємо

-9x5y3z4 ш'(з) = 0,

звідси

ш(з) = C.

Таким чином

µ= yx2

(нехай С рівне одиниці). Помноживши почленно дане рівняння на yx2, отримуємо рівняння

3x2y2zdx + 2x3yzdy + x3y2dz = 0,

ліва частина якого є повний диференціал функції , яку ми знайдемо вичисливши криволінійний інтеграл

Таким чином,

x3y2z = C

є шуканий інтеграл даного рівняння.

ЗАДАЧА 3

Знайти поверхню, що задовольняє рівняння Пфаффа:

Розв'язок:

Так як (F* rot F) = z + x - y2 ? 0, то дане рівняння не може бути проінтегроване одним співвідношенням. Значить, залишається перевірити, чи буде функція z = y2 - xy розв'язком цього рівняння. Вичисливши dz = 2ydy - xdy - ydx й підставивши значення z і dz в рівняння, отримаємо тотожність. Отже, поверхня

z = y2 - xy

є єдиною, яка ортогональна полю F = (z + xy, -z, -z - y2, y).

Список літератури

1. А. К. Боярчук, Г.П.Головач -- дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике. Т. 5 М.: Эдиториал УРСС, 2010. - 384 с.

2. Вестник самгу -- Естественнонаучная серия. 2010. № 2(76)

3. Диригивцев А. Я. Математичний аналіз: У 2 ч. -- К.: Либідь, 1994. -Ч. І. -- 320 с.

4. Диференціальні рівняння / І. 1. Ляшко, О. К. Боярчук, Я. Г. Гай та ін. -- К.: Виша шк. Головне вид-во, 1981. -- 504 с.

5. Диференціальні рівняння: Підручник / А. М. Самойленко, М. О. Перестюк, І. О. Парасюк. -- 2-ге вид., перероб. І дон. -- К.: Либідь, 2007. - 600с.

6. Лаерешок С. //. Курс диференціальних рівнянь. -- Львів: Вид-во паук.-техн. л-ри. 2009. -- 216 с.

7. Филиппов А. Ф. -- Сборник задач по дифференциальным уравнениям. -- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 176 с.

8. Эльсгольц Л.Э. -- Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление -- М.: Наука , 1969. - 425с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.

    контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016

  • Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.

    курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010

  • Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.

    курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014

  • Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.

    курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010

  • Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.

    контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010

  • Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Лінійні диференціальні рівняння I порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язування задачі Коші. Зведення до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом введення нової залежної змінної.

    лекция [126,9 K], добавлен 30.04.2014

  • Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.

    курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010

  • Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.

    курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013

  • Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку. Лінійні диференціальні рівняння II порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих як загальний метод розв’язування та й приклад розв’язання задачі Коші.

    лекция [202,1 K], добавлен 30.04.2014

  • Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.

    отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.