Диофантовы уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 28 города СМОЛЕНСКА

СМОЛЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Секция “Математика”

Реферат

“Диофантовы уравнения”

Выполнил работу: Гончаров Евгений Игоревич,

учащийся 11 класса

Руководитель: Солдатенкова Зоя Александровна,

учитель математики

Смоленск

2014

Почему меня заинтересовала данная тема?

Как-то раз, листая учебник, я наткнулся на небольшую врезку о диофантовых уравнениях. Я сразу же заметил, что текстовые задачи в рамках этой темы имеют интригующее, порой комичное, условие, а в силу большого количества различных методов их решения, они вовсе не кажутся типовыми. Кроме того, некоторые вызвали у меня затруднение.

Находя пути их рационального решения, я стал плотнее знакомиться с данной темой. Чем глубже я погружался - тем больше сложных и интересных задач встречал, тем больше возникало вопросов. Вскоре я осознал, что большая часть этой темы лежит за рамками школьной программы.

Поэтому я не стал опережать события и углубляться в теорию (КТО, 10 проблема Гильберта, Великая теорема Ферма и прочее). А начал осваивать исключительно алгоритмы решения диофантовых уравнений и систем уравнений, параллельно знакомясь с историей их открытия.

История

Диофант Александрийский - древнегреческий математик. Летописи не сохранили практическиникаких сведений об этом ученом. Диофант представляет одну занимательных загадок в истории математики. из Мы не знаем, кем он был, точные года его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и сам Диофант:

Диофант цитирует Гипсикла Александрийского (древнегреческого математика и астронома, жившего во II веке до н. э.);

О Диофанте пишет Теон Александрийский (греческий математик эпохи позднего эллинизма, философ и астроном, живший в III веке н.э.);

Свои работы Диофант посвящаетДионисию Александрийскому (епископу,жившему в середине III в. н. э.). Таким образом, ученые предполагают, что этот математик жил в IIIв.н.э.

В антологии МаксуимаПлануда (греческого монаха XIV в. н.э.) содержится эпиграмма-задача „Эпитафия Диофанта":

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

(Пер. С. Н. Боброва).

Эта задача сводится к составлению и решению простейшего линейногоуравнения:

(1/6)х+(1/12)х+(1/7)х+5+(1/2)х+4=х,

где х -количество лет, прожитых Диофантом.

14х+7х+12х+42x+9*84=84х;

9x=9*84

х=84 - вот сколько лет прожил Диофант.

И за эти годы Диофант написал сочинения “Об измерении поверхностей и Об умножении”, трактат “О многоугольных числах”. Основнымже произведением Диофанта является “Арифметика” в 13 книгах.

К сожалению, далеко не все его работы сохранились. В тех, что дошли до нас, содержится 189 задач с решениями, сводящимися к определенным уравнениям первой и второй степеней и неопределенным. Вклад этого ученого в развитие математики огромен.

Диофант вводит специальные символы для вычитания, сокращенные слова для отдельных определений и действий. То есть именно он был автором первого алгебраического языка.

В честь Диофанта назван кратер на Луне.

Однако Диофант не искал общих решений, а довольствовался каким-нибудь одним, как правило, положительным решением неопределенного уравнения.

Диофантовы уравнения как математическая модель жизненных ситуаций

Каждый человек, даже бесконечно далекий от математики, встречался и, более того, - решал простейшие диофантовы уравнения, сам того не зная. Действительно, они служат математической моделью ко многим задачам, возникающим на бытовом уровне.

Задача № 1

На складе есть ящики с гвоздями, массой по 16, 17 и 40 кг. Сможет ли кладовщик выдать 100 кг гвоздей, не раскрывая ящиков?

Решение:

Легко заметить, что 17 кг +17кг +16 кг=50 кг. Тогда, что бы выдать 100 кг (в 2 раза больше) необходимо взять 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг.

Ответ: Да, сможет.

Здесь нам повезло: решение свелось к простейшему перебору, а ответ оказался очевидным. Рассмотрим еще одну задачу:

Задача № 2

В загоне находятся одноглавые сороконожки и трехглавые змеи. Всего у них 298 ног и 26 голов. Сколько ног у трехглавых змей?

Решение:

Пусть в загоне было х сороконожек, и y Горынычей, причем у каждого змея по p ног. Сразу же оговорим, что каждая из этих переменных должна быть целой и положительной. Тогда:

x+3y=26x=26-3yx=26-3yx=26-3y

40x+py=29840x+py=298120y-742=py p=120-742/y

x>026-3y>0y?8 y?8

y>0 p>0p>0 120-742/y>0

p>0y>0y>0y>0

x=26-3y у=7

p=120-742/yТогда: х=5

y?8p=14

y?7 y=8

y>.0 x=2

p=27,25

Тогда:

Так как p целое, то p=27,25 нам не подходит.

Ответ: 14.

Эта задача была несколько сложнее первой, но путем введения ограничений на переменные мы смогли сузить перебор всего до двух случаев. Идем дальше:

Задача № 3

Требуется разлить 20,5 литра сока в банки по 0,7 литра и 0,9 литра так, чтобы все банки оказались полными. Сколько каких банок надо заготовить? Какое наименьшее количество банок при этом может понадобиться?

Решение:

Пусть xколичество банок по 0,7 литра, а у - 0,9 литра. Тогда составим уравнение:

20,5=0,7x+0,9y;

7x+9y=205.

Очевидно, что прямой перебор чисел “в лоб” займет уйму времени. А “в мире нет места для некрасивой математики” ©Г. Харди.

Рассмотрим метод решения подобных уравнений, а потом вернемся непосредственно к нашей задачи и доделаем ее.

Метод рассеивания

Диофантово уравнение имеет вид:

P(x1,x2…xn)=0, где P -- целочисленная функция, а переменные xi принимают целые значения. Решая задачу № 2, мы столкнулись с уравнением вида ax+by=c, где a,b и с целочисленные коэффициенты, а x и у - переменные, принимающие только целые значения. Это - линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными.

Общий метод для решения таких уравнений возник в Индии в XII веке. Его появление было вызвано астрономическими запросами и календарными

расчетами. Первые “намеки” на общее решение диофантовых уравнений сделал Ариабхатт. Сам же метод был создан Бхаскарой и Брахмагуптой. Сейчас он известен как метод рассеивания. Разберем его на примере:

Пример № 1: Найти все целые решения уравнения 19х-8у=13.

Решение:

Выразим у через х (так как коэффициент при у наименьший) и выделим целую часть:

у= (19x-13)/8 = (3х-13)/8 +2х

Выражение (3х-13)/8 должно быть целым. Обозначим его k.

Тогда 8k=3x-13. Повторим проделанную выше операцию:

x=(8k+13)/3=2k+(2k+13)/3

h= (2k+13)/3. Тогда 3h=2k+13,

k=(3h-13)/2=(h-13)/2+h

p = (h-13)/2. Тогда 2p= h-13. h=13+2p

Из равенства (4) очевидно, что h принимает целые значения при любых целых значениях p.

Путем последовательных подстановок (4) находим выражения для неизвестных: k=13+3p, x= 39+8p и, наконец, у=91+18p.

Ответ: (39+8p;91+18p).

Теперь, обладая достаточным запасом знаний, вернемся к задачи № 3.

7х+9у=205;

х=29+(2-9у)/7; пусть t=(2-9у)/7, где t - целое число;

7t=2-9y; t=(2-2y)/7-y; пусть (2-2y)/7=p, где p - целое число;

1-y=7k, где kцелое;y=1-7k, где k - целое число. Тогда x=28+9k.

x>0; 28+9k>0;k?-3.

y>0; 1-7k>0;k?0.

То есть kможет принимать значения: -3,-2,-1,0.

x+y=1-7k+28+9k; x+y=29+2k.

То есть наименьшему количеству банок соответствует наименьшее k.

(x+y)наименьшее=29-6=23.

Ответ: (28+9k;1-7k), где kпринимает значения -3,-2,-1,0. Наименьшее количество банок 23.

Задачи на разложение числа

Стоит заметить, что текстовые задачи, сводящиеся к нахождению числа, знаю его делители и остатки, занимают особое, почетное место, среди текстовых задач по данной теме. Они же и наиболее сложные, а значит интересные. Рассмотрим некоторые из них.

Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Какое наименьшее количество яиц могла нести крестьянка на базар?

Решение: Обозначим за n искомое количество яиц, тогда составим систему уравнений:

n=2a+1 n-1=2a (1)

n=3b+1 n-1=3b (2)

n=4c+1 n-1=2*2c (3)

n=5d+1 n-1=5d (4)

n=6e+1 n-1=2*3e (5)

n=7fn=7f

Из уравнений (1), (2),(3),(4),(5) следует, что число n-1=2*3*2*5k, где kцелое;

n-1=60k;n=60k+1.

При подстановке полученного n в (7) уравнение получаем: 60k+1=7f.

f= (60k+1)/7 = (4k+1)/7 + 8k;

r=(4k+1)/7,где rцелое, (1)

7r=4k+1; 4k=7r-1; k=(3r-1)/4+r;

s=(3r-1)/4,где sцелое

3r-1=4s; 3r=4s+1;r= (s+1)/3+r;

u = (s+1)/3,где u целое,тогда

s+1=3u; s= 3u-1,

то есть s всегда принимает целые значения при любом целочисленном u. Путем последовательных подстановок получаем:

r=4u-1; k=7u-2; f=420u -119.

Очевидно, что при u=1, f принимает наименьшее положительное значение, а именно 301.

Ответ: 301.

* Следует заметить, что не обязательно слепо следовать этому алгоритму до самого победного конца. Фактически, в рамках условия задачи, нам не обязательно отыскивать все возможные целые значения k: достаточно лишь одного, наименьшего. И уже после (1) преобразования очевидно, что искомое нами k равно 5, а значит f=60*5+1=301.

Предположим, что имеется некоторое количество туристов. Разбив их на тройки, получаем в остатке 2, разбив на пятерки -- 3, разбив на семерки -- 2. Сколько туристов в группе, если всего их число не превосходит 100 человек.

Пусть всего было k туристов. Тогда:

k=3a+2 k=3a+2

k=5b+3 5b+3=3a+2

k=7c+2 7c+2=3a+2

И тут очевидная часть нашего решения заходит в тупик. Что бы из него выйти необходимо вспомнить, что:

1) a*b+c?c (moda) ? c (modb). Например, 15 ? 1 (mod 7), то есть число 15 дает в остатке 1 при делении 7.

2) a*b+d ? c (modr) a*b ? c-d (modr) b ? a(c-d) (modr)a? b(c-d) (modr). Тогда:

k=3a+2 k=3a+2 k=3a+2

3a+2 ? 3 (mod 5) 3a= 1 (mod 5) a ? 3 (mod 5)

3a+2 ? 2 (mod 7) 3a= 0 (mod 7) 3a ? 0 (mod7)

k=3a+2 k=3a+2

a= 3 +5p, гдеpцелоеa=3 + 5p

9+15p ? 0 (mod 7) p= -135 (mod 7)

k=3a+2 k=3a+2k=105d-2014

a=3 + 5pa=35d-672 a=35d-672

p=-135 + 7d, гдеdцелоеp=-135 + 7dp= -135 + 7d

Итак, k=105d-2014. Если d=20, то k = 86, если d<20 , то k<0, если d>20, то k>100. Ответ: 86.

Давайте попробуем придать ей практическую полезность, например, выведем общую формулы для экскурсовода для подсчета туристов. Пусть r1, r2, r3 остатки при делении общего числа туристов на группы по 3, 5,7 соответственно, а общее количество туристов по-прежнему не будет превышать 100 человек. Аналогичнорассуждая, получаем:

k=3a+r1 3a? (r2-r1) (mod 5)a=3(r2-r1) + 5d, гдеdцелое

k=5b+r2 3a+r1=7c+r39r2-8r1+15d?r3 (mod 7)

k=7c+r3k=3a+1 k=3a+1

a=3(r2-r1) + 5d d = 15(r3-9r2+8r1)+7p, где p целое

d?15(r3-9r2+8r1) (mod 7) a = 3(r2-r1) + 5d

k=9r2-8r1+15d k = 225r3-1792r1-2016r2+105p

Ответы: 86; k=225r3-1792r1-2016r2+105p.

Итак, нами получена формула для k. Но в ней помимо r1,r2,r3 присутствует целочисленноеd. Возникает закономерный вопрос: всегда ли числоkбудет определяться единственным образом, если оно меньше 100? Меньше 150? 43? и так далее.

Китайская теорема об остатках

Китайская теорема об остатках (КТО) - несколько связанных утверждений, сформулированных в трактате китайского математика Сунь Цзы (IIIв.н.э.) и обобщенных ЦиньЦзюшао(XVIIIв.н.э.) в его книге «Математические рассуждения в 9 главах». Звучит она так:

Пусть числа M1 , M2, …, Mk -- попарно взаимно простые, и M= M1*M2*…*Mk .Тогдасистема

x?B1 (modM1)

x? B2 (modM2)

…

x? Bk (modmk)

имеет единственное решение среди чисел {0,1,…,M-1}.

Проще говоря, ответ будет всегда однозначным, если искомое число туристов меньше произведения делителей, на которые его делят. Возвращаясь к задаче № 4, мы говорим, что их будет возможно сосчитать, если их общее число не будет превышать 104. (М-1=3*5*7-1=104). Так значит, что бы посчитать человек, отталкиваясь от нашей формулы необходимо вычислить 225r3-1792r1-2016r2, а потом отнимать от него число 105 до тех пор, пока мы не получим число меньшее 105, но большее 0. Это долго и неудобно. Да и, честно говоря, число около ста человек можно сосчитать и не используя такие сложные алгоритмы.

Простейшие нелинейные диофантовы уравнения

Диофант полностью проанализировал неопределённые уравнения второй степени с двумя неизвестными. Для решения уравнений и систем более высоких степеней он разработал ещё более тонкие и сложные методы, которые привлекали внимание многих европейских математиков Нового времени. Но практически все уравнения этого типа в рамках школьного курса решаются методом разложения на множители.

Пример № 2: Решить в целых числах уравнениеx2-3xy+2y2=7.

Решение:

x2-xy-2xy+2y2=7;

x(x-y) -2y(x-y)=7;

(x-2y)(x-y)=7

Очевидно, что мы можем получить число 7 следующими способами: 1*7=7;7*1=7;-1*(-7)=7;-7*(-1).

Тогда составим и решим систему уравнений:

x-2y=1 x=13

x-y=7y=6

x-2y=7 x=-5

x-y=1 y=-6

x-2y=-1 x=-13

x-y=-7 y=-6

x-2y=-7 x=5

x-y=-1 y=6

Ответ: (13;6), (-5;-6), (-13;-6), (5,6).

Пример № 3:Доказать, что уравнение x5+3x4y- 5x3y2-15x2y3 + 4xy4+12y5=33 не имеет целочисленных корней.

Решение:

x4(x+3y)-5x2y2 (x+3y)+4y4(x+3y)=33;

(x4- 4x2y2+4y4-x2y2)(x+3y)=33;

(x2(x2-y2)-4y2(x2-y2))(x+3y)=33;

(x-y)(x+y)(x+2y)(x-2y)(x+3y)=33;

Если у=0, тогда исходное уравнение примет вид x5=33. Тогда x не является целым. Значит, при у=0 данное уравнение не имеет целых решений. Если, y?0, то все пять множителей в левой части уравнения различны. С другой стороны число 33 можно представить в виде произведения максимум четырёх различных множителей (33=1·3·11 или 33=-1·3·(-11)·(-1) и т.д.). Следовательно, при y?0данное уравнение также не имеет целых решений.

Десятая проблема Гильберта

Так или иначе, возникает вопрос: любое ли диофантово уравнение можно решить, то есть найти его корни или доказать их отсутствие.

8 августа 1900 года состоялась II Международный конгресс математиков. На ней Давид Гильберт предложил 23 задачи. Десятая звучала так:

“Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах”.

Множество светлых умов XX-ого века бились над этой задачей:АксельТуэ, ТуральфСкулем, Эмиль Пост, Джулия Робинсон, Мартин Дэвис и Хилари Патнем, Мартина Дэвиса и другие. И лишь в 1970 году Юрий Матиясевич завершилдоказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи.

Давид Гильберт (23 января 1862 -- 14 февраля 1943) -- немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910--1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков. В 1970 г. Международный астрономический союз присвоил имя Гильберта кратеру на обратной стороне Луны.

Юрий Владимирович Матиясевич (родился 2 марта 1947 года, Ленинград) -- советский и российский математик, исследователь Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН, член экспертной комиссии РСОШ по математике, академик Российской академии наук, доктор физико-математических наук

диофант уравнение математический

Заключение

Эта тема многогранна и практически необъятна. Недаром над ней ломали голову ученые с мировым именем на протяжении все истории развития математики. Она затрагивает фундаментальные понятия в математике и знания о диофантовых уравнениях, как мне кажется, никогда не будут исчерпывающими.

Делая этот реферат я овладел методом рассеивания, научился решать системы уравнений на задачи про остатки, познакомился с историей освоения методов решения диофантовых уравнений.

“По миру математики, которая уже давно мудра и величава, мы идём проторенным путём.

Но каждый может стать первооткрывателем: вначале для себя, а в будущем, может, и для других…”

Я думаю продолжить работу над этой темой, расширить свои познания в решении неопределённых уравнений. Изучение новых методов решения обогащает багаж знаний любого человека, тем более, что они могут оказаться актуальными на ЕГЭ (С6).

Список используемой литературы

1. Журнал «Квант» 1970г. №7

2. «Энциклопедия юного математика» 520 с.

3. http://festival.1september.ru/articles/417558/

4. math.ournet.md

5. http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm

6. Пичугин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры», М., 1990г., 224с.

7. Глейзер Г.И. «История математики в школе 10-11», 351с

8. Петраков И.А. «Математика для любознательных», М., 2000г. 256с.

9. http://bars-minsk.narod.ru/teachers/diofant.html

Размещено на Allbest.ru