Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

Вычислить предел

Решение.

При имеем

Следовательно,

Найти асимптоты функции

Решение.

=

Очевидно, что функция при .

Отсюда получаем, что

Следовательно, - вертикальная асимптота.

Теперь найдем горизонтальные асимптоты.

Следовательно, - горизонтальная асимптота при .

Определить глобальные экстремумы

при х[1,2]

Найдем производную

Для нахождения локальных экстремумов решим уравнение

,

значит для нахождения глобальных экстремумов наибольшего и наименьшего значения на отрезке надо взять значения функции в концах отрезка. наименьшее наибольшее

Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

Найдем производную

Решим уравнение

Локальные экстремумы: т. max

т. min

Точка перегиба

Промежутки монотонности:

возрастает при ,

убывает при .

Точка - локальный минимум.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Решение:

Требуется найти вторую производную

==

Точки перегиба

6x-12=0

x=2

выпуклость вверх (выгнутость)

Выпуклость вниз (выпуклость)

Отсюда следует, что функция выпуклая при ; вогнутая при ; точка перегиба x =2

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ»

1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

.

Решение.

1) Область определения функции

.

2) Функция не является четной или нечетной, так как

.

3) Теперь найдем точки пересечения с осями:

а) с оx: , б) с oy .

4) Теперь найдем асимптоты.

а)

А значит, является вертикальной асимптотой.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты

Отсюда следует, что

является наклонной асимптотой при .

5) Теперь найдем критические точки

не существует при .

6)

не существует при

Построим эскиз графика функции

Найти локальные экстремумы функции

Решение.

Решим систему

Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.

, ,

Две точки подозрительны на экстремум

(0,0), (-1,1)

Для анализа характера экстремума найдем вторые производные

Найдем знаки выражений в подозрительных точках, т.е

и

В точке (0,0) получим 0 и - 9

В точке (-1,1) получим - 6 и - 27

Вывод: в точке (0,0) экстремума нет,

в точке (-1,1) знаки - + это точка максимума

Определить экстремумы функции

,

если ху=100, х>0, у>0

Решение.

Сначала запишем функцию Лагранжа

.

И исследуем ее

При , ,

При , ,

Т.к. то получаем одну точку (10,10).

Это точка минимума

«ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

1. Найти неопределенный интеграл

Поэтому сделаем замену y=x-1

Тогда x=y+1, dx=dy

Получим

===

функция интеграл деление асимптота

Сделаем замену

==

=arcsinz+C (табличный интеграл)

=arcsin (возврат к y,x)

= arcsin

2. Найти неопределенный интеграл

Решение:

Сделаем замену , тогда , dx=2ydy

==

Выполним деление с остатком:

на получим , остаток 24

==

Первые два интеграла табличные, в последнем - замена

Y+3=z, y=z-3, dy=dz

==

3. Найти неопределенный интеграл

Решение:

Применим замену

=

Так как , то =

По формуле интегрирования по частям

=

Вычислить

Решение:

Сделаем замену

,

;

=

5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

Решение:

1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найдем точки пересечения.

Точки пересечения (-1,1), (1,1)

Фигура располагается по x от -1 до 1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Требуется найти площадь заштрихованной области

При видим, что , поэтому

Список используемой литературы

1.Кругликов В.И.Основы высшей математики: Учебное пособие. Тюмень: Мздательство Тюменского государственного университета,2004.

2. Артемьева Е. Ю. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике для психологов. - Издательство МГУ, 1969.

3. Макаров И. П. Дополнительные главы математического анализа. - М., «Просвещение», 1968.

4. Мацкевич И. П., Свирид Г. П., Булдык Г. М. Сборник задач и упражнений по высшей математике. - Минск,

«Высшая школа», 1996.

4. Пугачев И. С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Наука, 1979.

6. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. - Москва, «Просвещение», 1968.

7. Столяр А. А. Логическое введение в математику. - Минск, «Высшая школа», 1971.

8. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. -М.: Наука, 1978.

9. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. -М.: Наука, 1971.

Размещено на Allbest.ru