Операторы проектирования

14

Министерство Образования Российской Федерации

Вятский Государственный Гуманитарный Университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа

Операторы проектирования.

Выполнил студент 5курса

математического факультета

Лежнин В.В.

/подпись/

Научный руководитель:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов А.К.

/подпись/

Рецензент:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Подгорная М.И.

/подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой М.В. Крутихина

/подпись/ << >>

Декан факультета В.И. Варанкина

/подпись/ << >>

Киров

2003

Оглавление.

Введение. 2

Часть I. Основные понятия и предложения. 2

Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах. 10

Часть III. Задача о дополняемости. 13

Литература. 15

Введение.

В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.

Часть I. Основные понятия и предложения.

Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.

Определение. Пусть d - метрика на множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.

Определение. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательное вещественное число, именуемое нормой x, и выполняются следующие условия:

1. + x, yX.

2. = xX, - скаляра.

3. > 0, если x0.

Примеры нормированных пространств.

1) l - нормированное пространство, в котором элементы - последовательности комплексных чисел x=(x, …,x, …), удовлетворяющие условию <,

норма в таком пространстве определяется ;

2) L(0,1) - нормированное пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1), удовлетворяющее условию dx < , и норма определена как = .

3) С[0, 2] - пространство непрерывных 2 периодических функций на отрезке [0, 2]. Норма в нем определяется =

Определение. Пусть X, Y - два топологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называется отображение y = Ax, где x принадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющее условию

A(x+x) = Ax+Ax.

Определение. Оператор A называется непрерывным в точке x области определения, если для любой окрестности V точки y= Ax существует такая окрестность U точки x, что Ax принадлежит V, как только x принадлежит пересечению области определения и U. Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке области определения.

Определение. Линейный оператор, действующий из Е в Е, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.

Предложение 1. Всякий непрерывный линейный оператор ограничен.

Доказательство.

Пусть М - подмножество ограниченного множества Е, а подмножество АМ множества Е не ограничено. Тогда в Е найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств АМ не содержится в V. То тогда существует такая последовательность х из М, что ни один из элементов Ах не принадлежит V, и получается, что х 0 в Е, но последовательность {Ах}не сходится к 0 в Е, а это противоречит непрерывности оператора А.

В нормированных пространствах определение ограниченности линейных операторов можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого f из Е

.

Наименьшее из чисел С, удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается .

Определение. Пусть X - векторное пространство. Линейное отображение P:X > X называется проектором в пространстве X, если , т.е. P(P(x)) = Px для любого элемента x из X.

Свойства проекторов.

Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).

1. R(P) = N(I-P) = {xX, Px = x}, где I - тождественное отображение;

2. R(P)N(P) = {0} и X = R(P)+N(P);

Доказательство 1.

а) Так как (I-P)P = IP- = P-P = 0, то R(P) содержится в N(I-P);

б) Если x принадлежит N(I-P), то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);

Таким образом, из а) и б) следует, что R(P) = N(I-P).

Доказательство 2.

Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};

Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Px принадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);

Определение. М - замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MN={0}, то говорят, что М дополняемо в X и что X является прямой суммой подпространств X=MN.

Определение. Топологическое векторное пространство X называется F-пространством, если топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой.

Теорема o замкнутом графике.

Предположим, что X и Y являются F-пространствами, отображение Т:X>Y линейно и множество G={(x, Tx): xX} (его график) замкнуто в XY. Тогда Т - непрерывно.

Предложение 2. Пусть - линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что x 0 для некоторого x из X.

Тогда если непрерывен, то ядро N() замкнуто в X.

Доказательство.

Так как N() = ({0}), а {0} - замкнутое множество поля скаляров (как любое одноточечное подмножество), то тогда непрерывность влечет замкнутость ядра (как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении).

Теорема 1.

а) Если Р - непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X представляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)N(P);

б) Обратно: если Х является F-пространством и X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АВ, то проектор Р с образом А и ядром В непрерывен.

Доказательство:

а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит по второму свойству проекторов X=R(P)N(P);

Чтобы доказать б) достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике .

Пусть последовательности x>x и Px>y.

Так как Px принадлежит А, А - замкнуто, следовательно y принадлежит A, а значит y = Py.

Аналогично x- Px принадлежит В, В - замкнуто, следовательно x-y принадлежит B, значит Py = Px поэтому y = Px. Получили, что точка (x, y) принадлежит G (см. теорему о замкнутом графике). Отсюда вытекает, что проектор Р непрерывен.

Определение. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны.

Расшифровка этого определения состоит в том, что постулируется непрерывное отображение :GGG, определенного равенством: (x,y)=xy.

Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой.

Определение. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество.

Определение. Пространство X называется пространством Фреше , если оно является локально выпуклым F-пространством.

Определение. Предположим, что топологическое векторное пространство X и топологическая группа G связаны следующим образом: кждому элементу s из G сопоставлен непрерывный линейный оператор T:XX, причем

T = TT, где s, t принадлежат G

и отображение (s, x) Tx прямого произведения GX в пространстве X непрерывно. В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X.

Теорема 2.

Пусть Y - дополняемое подпространство Фреше Х, и пусть компактная группа G непрерывна и линейно действует на Х, причем Т(Y)Y для любого sG. Тогда существует непрерывный проектор Q пространства Х на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Т.

Лемма Фату. Пусть на множестве E задана последовательность измеримых, почти всюду конечных функций f (x), которая сходится по мере к некоторой почти всюду конечной функции f . Тогда

d d

Пример недополняемого подпространства.

Рассмотрим подпространство Y=H пространства Х=L, где L- пространство всех суммируемых функций на комплексной плоскости, а H состоит из всех функций L, для которых (n)=0, при всех n<0. (n) обозначает n-ый коэффициент Фурье функции f и вычисляется:

(n)=edx, (n=0,1, 2, …). (1)

(для простоты обозначается: f(x)=f(e )).

В качестве группы G возьмем мультипликативную группу всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и сопоставим каждому элементу

e G оператор сдвига , полагая, что

(f)(x) = f(x+s), где s - некоторое вещественное число. (2)

Теперь посмотрим, как изменяются коэффициенты Фурье при таком сдвиге: ()(n) =e dx.

Произведем замену: x+s = t x = t-s. Тогда

()(n)=ed(t-s) =

= eedt=eedt=e (n),

то есть (f)(n)= e (n). (3).

Так как e G, то (H) = H для любого вещественного s.

Если бы подпространство H было дополняемо в L, то из Т2. следовало бы существование такого непрерывного проектора Q пространства L на H, что Q = Q для любого вещественного s. (4).

Найдем вид проектора. Положим e(x)=e . Тогда e=ee, а так как оператор Q линеен, то

Qe = eQe. (5).

Из (4) и (5) следует, что

(Qe)(x-s) = e (Qe)(x). (6).

Пусть С = (Qe)(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид

Qe = Ce. (7).

Воспользуемся тем, что образом оператора Q служит подпространство Н. Так как Qe принадлежит H для любого n, то из (7) следует, что

С = 0 для любого n<0. Так как Qf = f для любого f из H, то С = 1 при любом n0.

Таким образом, проектор Q должен являться «естественным», то есть его действие сводится к замене нулями всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами:

Q(e)=e. (8).

Рассмотрим функцию f (x) = e, (0<r<1), (9).

которая представляет собой ядро Пуассона: , в частности f>0. Поэтому

= dx = dx = 1 для любого r. (10) Но (Qf)(x) = e = (11).

Так как dx = , то из леммы Фату следует, что , при

r 1. В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q.

Таким образом, доказано, что H недополняемо в L.

Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах.

Гильбертово пространство.

Комплексное векторное пространство Н называется пространством с внутренним произведением (унитарное пространство), если каждой упорядоченной паре векторов x,y из Н сопоставлено комплексное число (x,y), называемое скалярным и:

а) (y,x)=, x, yH;

b) (x+y,z)=(x+z)+(y+z), x, y, zH;

c) (x,y)=(x,y), x, yH, C;

d) (x,x)0, xH;

e) (x,x)=0 x=0, xH;

Если (x,y) = 0, то говорят, что x ортогонален y (обозначение xy).

Если Е подмножество Н, F подмножество H, то ЕF обозначает, что (x,y) = 0 для любых x из E и любых y из F.

Через Е обозначаются все y из H, ортогональные каждому из векторов x из E.

Нормой в пространстве Н называется число .

Если полученное нормированное пространство является полным, то оно называется гильбертовым пространством.

Примеры гильбертовых пространств.

1) l - комплексное гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определяется формулой (x, y) = ;

2) L(0,1) - гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определено формулой

(f, g) = dx.

Теорема3:

М - замкнутое подпространство гильбертова пространства Н, следовательно H можно представить в виде прямой суммы M и М (Н=ММ, М - ортогональное дополнение к М).

Доказательство:

Если Е подмножество Н, то из линейности скалярного произведения (x,y) по x следует, что Е является подпространством в Н. Допустим, что элементы g принадлежат Е и сходятся к g. Тогда для любого f из E

(g, f) = = 0, и потому g тоже входит в Е, значит Е - замкнутое подпространство.

(1) Если х принадлежит М и х принадлежит М, то (х, х) = 0, а это будет тогда и только тогда, когда х = 0, следовательно ММ={0}.

(2) Пусть х принадлежит Н.

Рассмотрим множество х-М = {х-х: хМ}, причем х такой, что он минимизирует величину . Пусть х = х-х, следовательно, для любых y из М, значит, х принадлежит М, поэтому для любого х из Н х можно представить в виде х = х+х, где х из М и х из М.

Из (1) и (2) следует, что Н представимо в виде прямой суммы М и М Н=ММ, следовательно любое подмножество в гильбертовом пространстве дополняемо.

Примеры дополняемых подпространств в гильбертовом пространстве.

1) в l рассмотрим элементы x = (x, …,x, …), у которых x= 0 при четных n и x произвольные при n нечетных. Эти элементы образуют в l замкнутое подпространство. Назовем его X.

Рассмотрим также элементы y = (y, …, y, …), у которых y произвольные при четных n, и y= 0 при нечетных n. Эти элементы образуют замкнутое подпространство в l, и при этом это подпространство является ортогональным дополнением к X, так как их скалярное произведение равно 0. Следовательно, по Т3. X дополняемо в H с помощью X.

2) L(0,1).

Пусть X - подпространство L(0,1), состоящее из тех функций L(0,1), которые обращаются в 0 на интервале (0, а].

Пусть Y - подпространство L(0,1), состоящее из тех функций L(0,1), которые в ноль не обращаются на интервале [a, 1).

Тогда Y является ортогональным дополнением X, так как их скалярное произведение равно 0, а значит X дополняемо в L(0,1) с помощью Y.

Часть III. Задача о дополняемости.

Пусть С[0, 2] - множество непрерывных 2 периодических функций на отрезке [0, 2].

Пусть Е - множество четных чисел и пусть

С = {f(x) С: (n) = 0 nE}.

Требуется доказать, что С дополняемо в С[0, 2].

Доказательство:

Чтобы доказать требуемое, необходимо найти такой непрерывный проектор, который бы отображал множество С[0, 2] на С(Т1.), таким образом, чтобы коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах, отображались бы в 0, а на четных оставались бы без изменения.

Рассмотрим оператор P = (+I), где - оператор сдвига на , а I - тождественное отображение.

ограничен, так как мы имеем дело с 2 периодическими функциями, так как

= = 1, то есть С = 1.

А раз он ограничен, то следовательно и непрерывен (предложение 1).

I - тоже непрерывен.

Теперь посмотрим, как изменятся коэффициенты Фурье функций при таком отображении.

1) n = 2k-1, где к - целое.

(()(2k-1)+()(2k-1)) =

= (e (2k-1)+ (2k-1)) = (2k-1)( e +1). (*)

Так как e =cos +isin , значит e = cos ((2k-1))+isin((2k-1)).

При любом k - целом выражение cos ((2k-1))+isin((2k-1)) = -1, а, следовательно, и выражение (*) принимает значение 0. Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах при таком отображении обращаются в 0.

2) n=2k, где k - целое.

(()(2k)+( )(2k)) = (e (2k)+ (2k)) =

= (2k)( e +1). (**)

При любом k - целом выражение cos (2k)+isin(2k) = 1, а следовательно и выражение (**) не изменяет своего значения, то есть равно (2k). Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на четных номерах при таком отображении не изменяются, то есть оператор Р действительно является проектором.

Таким образом, нашелся такой непрерывный проектор P: С[0, 2] С, следовательно С дополняемо в С[0, 2].

Литература.

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука. 1989.

2. Рудин Уолтер. Функциональный анализ. М., Наука. 1975.

3. Вулих Б.З. Краткий курс в теорию функций вещественной переменной. М., Наука. 1973.