Применение интегралов к решению задач по математическому анализу

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Введение

При решении ряда физических и технических задач встречаются определённые интегралы, которые не могут быть вычислены в элементарных функциях. Кроме того, в некоторых важных задачах возникает необходимость вычисления определённых интегралов, подынтегральные функции которых не являются элементарными.

Наиболее употребляемыми приближенными методами вычисления определённых интегралов являются: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (Симпсона).

Основная идея этих методов заключается в замене подынтегральной функции функцией более простой природы - многочленом малой степени .



1. Приближенные методы вычисления определённых интегралов

1.1 Метод прямоугольников

Разобьём отрезок на равных частей при помощи точек:

, , , .

Метод прямоугольников заключается в замене интеграла суммой:

Для приближенных практических расчётов применяется формулы:

, (1)

. (2)

Из рисунка ясно, что если - положительная и возрастающая функция, то формула (1) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула (2) - площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенных равенств (1) и (2) оценивается с помощью следующей формулы:

,

где - наибольшее значение на отрезке .

1.2 Метод трапеций

Разобьём отрезок на равных частей при помощи точек:

, , ,

Метод трапеций заключается в замене интеграла суммой:

Для приближенных практических расчётов применяется формула:

. (3)



Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы

,

где .

1.3 Метод парабол (метод Симпсона)

а) Через любые три точки с координатами проходит только одна парабола .

б) Выразим площадь под параболой на отрезке через :

.

Учитывая значения и из пункта а) следует:

в) Разобьём отрезок на равных частей при помощи точек:

, , ,

Метод парабол заключается в замене интеграла суммой:

Для приближенных практических расчётов применяется формула:

. (4)

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (4) оценивается соотношением

,

где .

1.4 Оценка точности вычисления «не берущихся» интегралов

В данной работе вычисление абсолютной и относительной погрешности проводится при условии, что известно точное значение определённого интеграла. Однако не всякая первообразная, даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции. Таковы первообразные, выраженные интегралами , , , и т.д. Во всех подобных случаях первообразная представляет собой некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций.

Определённые интегралы от таких функций можно вычислить только приближённо. Для оценки точности вычисления в таких случаях используют, например, правило Рунге. В данном случае интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном . Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном , вычисляется по формуле Рунге:, для формул прямоугольников и трапеций , а для формулы Сипсона . Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов

, ,

где - начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения будет выполнено условие , где - заданная точность.

Для того чтобы не вычислять один и тот же интеграл по нескольку раз для разных разбиений отрезка интегрирования, можно вычислить шаг интегрирования заранее.

Пример. Выбрать шаг интегрирования для вычисления интеграла с точностью 0,01 пользуясь квадратурными формулами прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Квадратурная формула прямоугольников.

Вычислим, при каком шаге погрешность будет составлять 0,01:

Поскольку ,

то

При шаге отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Квадратурная формула трапеций.

Вычислим, при каком шаге погрешность составит 0,01:

Поскольку ,

.

При шаге ,отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Квадратурная формула Симпсона.

Вычислим, при каком шаге погрешность составит 0,01:

,

,

.

При шаге , отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Как и следовало ожидать, наименьшее количество равностоящих узлов получается при вычислении интеграла по квадратурной формуле Симпсона.

Содержание РГР «Приближенные методы вычисления определённых интегралов»

Студенту предлагается работа, состоящая из четырёх этапов:

1 этап - точное вычисление определённого интеграла.

2 этап - приближенное вычисление определённого интеграла одним из методов: прямоугольников или трапеций.

3 этап - приближенное вычисление определённого интеграла методом парабол.

4 этап - расчёт и сравнение абсолютной и относительной ошибок приближенных методов: , где - точное решение интеграла, - значение интеграла, полученное с помощью приближенных методов.

Построение графика подынтегральной функции.

Варианты и образец выполнения РГР приведены ниже.

Варианты

№ варианта	f(x)	a	b	Шаг h
1		0	1	0,1
2		0	1	0,1
3		0	1	0,1
4		0	1	0,1
5		0	р	0,1р
6		0	1	0,1
7		0	1	0,1
8		0	1	0,1
9		0	1	0,1
10		0	р/2	0,05р
11		0	1	0,1
12		0	1	0,1
13		0	1	0,1
14		1	2	0,1
15		0	р	0,1р
16		1	2	0,1
17		0	1	0,1
18		0	р/2	0,05р
19		0	1	0,1
20		0	р/2	0,05р
21		0	1	0,1
22		0	1	0,1
23		0	р/2	0,05р
24		0	р/2	0,05р
25		0	р/2	0,05р
26		0	р/2	0,05р
27		0	1	0,1
28		0	1	0,1
29		0	р/2	0,05р
30		0	1	0,1

приближенный погрешность точность определенный интеграл



2. Решение задач

Вычислить интеграл

2.1 Точное вычисление

= 0,40631714.

2.2 Приближенное вычисление с помощью формул прямоугольников

,

, .

, .

Составим таблицу:

№	xi	yi = f (xi)
0	0	0
1	0,1	0,010005
2	0,2	0,04016
3	0,3	0,091207
4	0,4	0,165041
5	0,5	0,265165
6	0,6	0,396981
7	0,7	0,567851
8	0,8	0,786966
9	0,9	1,065081
10	1	1,414214

По первой формуле прямоугольников получаем:

? 0,1 = 0,1·3,062514 = 0,306251.

По второй формуле прямоугольников получаем:

? 0,1 = 0,1· 4,802669 = 0,480267.

В данном случае первая формула даёт значение интеграла с недостатком, вторая - с избытком.

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

I = 0,40631714,

,

,

,



2.3 Приближенное вычисление по формуле трапеций

В нашем случае получаем:

? 0,1 = =0,1

= 0,1·4,095562 =

= 0,409556.

Вычислим относительную и абсолютную погрешности

I = 0,40631714,

,

2.4 Приближенное вычисление по формуле Симпсона

В нашем случае получаем:

?

=

=

= 0,406325.

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

I = 0,40631714

,

В действительности, = 0,40631714.

Таким образом, при разбиении отрезка на 10 частей по формуле Симпсона мы получили 5 верных знаков; по формуле трапеций - три верных знака; по формуле прямоугольников мы можем ручаться только за первый знак.



Заключение

Во всех математических дисциплинах имеются точные и приближённые вычисления. Все точные вычисления проводятся ручным способом, а когда речь идёт относительно измерениях: расстояние, площадь, объём и другие измерении, здесь уже действует приближённые вычислении.

В таких случаях задача заключается в том, что как найти метод, формулу или алгоритм с помощью которой можно будет вести приближённые вычислении, найти главное слагаемое и довести ошибку и погрешность до наименьшего.

Поэтому для не табличных определённых интегралов есть приближённые формулы вычисления методом прямоугольников, трапеции и метод парабол (метод Симпсона). В алгебре для приближённых корней алгебраических уравнений есть метод хорды, касательной, трапеции и другие.



Список литература

1. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учеб. пособие для втузов / Г.С. Бараненков [и др.]; под ред. Б.П. Демидовича. - М.; Владимир: Астрель: Изд-во АСТ: ВКТ, 2010. - 495 с.

2. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа: учеб. для вузов. Т. 1: Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды / Л.Д. Кудрявцев. - 3-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 399 с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н.С. Пискунов. - Изд. стер. - М.: Интеграл-Пресс, 2004. - 415 с.

4. Шипачев В.С. Высшая математика учеб. для вузов / В.С. Шипачев. - 7-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 479 с.

Размещено на allbest.ru