Прийоми варіювання геометричних задач

Варіювання неістотних ознак поняття за умови інваріантності істотних. Геометричні задачі, які розв’язуються на основі деяких теорем. Добуток двох додатних множників, сума яких стала. Властивості рівних відношень та й змінні пропорційні показники.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык украинский
Дата добавления 29.04.2014
Размер файла 59,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Прийоми варіювання геометричних задач

1. Принцип варіативності

Важливою умовою формування в учнів правильних узагальнень психологи вважають варіювання неістотних ознак поняття за умови інваріантності істотних. Варіювання у побудові системи вправ реалізується таким чином: якщо в означенні того чи іншого поняття є істотною певна ознака, необхідно, щоб ця ознака у вправах, пропонованих учням, фігурувала у якості істотної, інші ж, неістотні ознаки, мають широко варіюватись. Варіювання форми подання умови сприяє фіксації в пам'яті учнів того чи іншого прийому розв'язування задач.

При цьому варіювання умови геометричних вправ стосується неістотних її сторін, що безпосередньо не впливають на застосування прийому розв'язування, а саме, числових даних, буквених позначень, розміщення фігур тощо. Такі вправи називають однотипними, а їх систему - однотипною. Забезпечити розв'язання потрібної кількості однотипних геометричних вправ можливо завдяки вправам за готовими малюнками. Корисно також пропонувати учням на різних рівнях вправи певного типу, що мають однакову логічну структуру, але різну форму презентації умови. Форму подання умови вправ можна варіювати шляхом введення додаткових елементів, збільшення кількості числових даних. Варіювання видів розумової діяльності засобом системи вправ реалізується шляхом залучення задач на прямі і обернені дії. Метод одночасного розв'язування прямих і обернених задач був запропонований П.М. Ерднієвим. На думку автора такий підхід сприяє швидшому і глибшому засвоєнню навчального матеріалу. Я.Й. Груденов пропонує застосовувати принцип порівняння для того, щоб підкреслити взаємозв'язок, спільне та відмінне в системі задач.

Добираючи систему вправ з геометрії для досягнення певної мети, потрібно передбачати варіацію видів математичного мислення, пропонуючи різні типи вправ: на обчислення, доведення, побудову, дослідження.

2. Геометричні задачі, які розв'язуються на основі деяких теорем

Теорема 1. Добуток двох додатних множників, сума яких стала, має найбільше значення при рівності множників (якщо множники можуть приймати однакові значення)

Доведення: 1. Нехай х + у = 2а. При х1 = у1 = а добуток х1 у1 = а2.

Покажемо, що добуток х2у2, де х = а, у2 = а, менше а2.

Нехай х2 = а + в, тоді у2 = а - в; х2у2 = а2 - в2. Отже х2у2 < x1y1.

2. Розглянемо тотожність ху = [(x + y)2 - (x - y)2].

При х + у = const добуток (ху) має найбільше значення при

найменшому значенні (х - у)2, тобто х - у = 0 при х = у

3. Геометричне доведення:

Побудуємо на АВ = 2а = х + у півколо, як на діаметрі

При ОС = х1 = у1 = а маємо: ОС2 = АО ВО = а2

При х = у, нехай х2 = АD, тоді у2 = DB

х2 у2 = АD DB = DF2, DF < OC,

тому що DF - пів хорда, а ОС - радіус.

Узагальнимо теорему: Добуток двох множників х і у, пов'язаних відношенням

mx + ny = 2a, де m i n - додатні числа, буде найбільшим

при mx = ny = a, тобто при х = і у = .

При ху, що має найбільше значення, найбільше значення

має і mnxy, а так як mx + ny постійне, то mx = ny = a.

Задача 1

Плоска фігура складається з прямокутника і рівностороннього трикутника. Визначити її розміри так, щоб при даному периметр площа була найбільшою (в рахунок периметра не входить спільна сторона прямокутника і трикутника).

Розв'язання

1. х - сторона трикутника;

2. у - сторона прямокутника;

3. Периметр Р = 3х + 2у; = > у = ;

4. Площа: Sn = х у - прямокутника

Sт= - площа рівностороннього трикутника

5. S = ху + х2

S = х + х2== [2 р - х (6 -)];

Значення х2, при якому площа S буде найбільшою

визначають з рівняння:

(6 - ) х = 2 р - (6 - ) х

2х (6 - ) = 2 р

у = = = = , де = х

Відповідь: При розмірах х = ; у = площа буде найбільшою при заданому периметру

Теорема 2

Сума двох додатних чисел, добуток яких сталий, має найменше значення при рівності доданків.

Доведення: 1). Дано: ху = а2. Довести х + у 2a

При х у, сума х + у > 2a. Нехай х = а + в, тоді у = ; у > a - в.

Тоді х + у 2a. При х = у одержимо х + у = 2а.

2). Розглянемо тотожність: (x + y)2 =(x - y)2 +4xy

(x + y) має найменше значення при x - y = 0

3). Геометричне доведення:

Нехай xy = a2

Будуємо коло радіуса а.

При x = y будемо мати

x + y = 2a, при x y: ОЕ OF = a2

OE + OF = EF

EF > 2a, бо EF - діаметр,

а 2а - хорда нового кола.

Задача 1

Дано прямокутник ABCD, в якому AB = a, AD = b. Із вершини А провести січну AEF (F - точка перетину січної з продовженням DC) так, щоб сума BE + CF була найменшою.

варіювання інваріантність множник геометричний

Розв'язання

Побудуємо точку E:

Продовжуємо AB на відрізок ВК = а і на АК, як на діаметрі, будуємо півколо до перетину у точці Е з стороною ВС. При а < b точка Е лежить всередині відрізка ВС (АВ = а, АD = в).

При а > b точка Е лежить на продовженні ВС

АВ = ВС то точка Е співпадає з вершиною С.

У квадраті шуканою прямою є діагональ АС.

Нехай ВЕ = x, CF = y, CE = b - x

Розглянемо АВС і FCE: AEB =FEC, як вертикальні, В = 900, С = 900. Отже, АВЕ FCE (за гострими кутом - ознака подібності прямокутних трикутників).

Із подібності ABE i FCE випливає пропорційність сторін

== або = або = => y = = - a

x + y = x + - a

Сума (x + y) буде найменшою, якщо x = , а добуток x = const;

x2 = ab => x =

Теорема 3. Якщо сума декількох додатніх змінних Х, У, Z стала і дорівнює а, то добуток Xp, Уq, Zr, де p, q, r - дані додатні числа, має найбільше значення у тому випадку, коли змінні пропорційні своїм показникам, тобто коли = = , якщо Х, У, Z можуть задовольнятися цим умовам.

Доведення:

Нехай p, q, r - дані цілі числа. При цих значеннях Х, У, Z, при яких добуток Хp, Уq, Zr досягає найбільшого значення, найбільшим буде і ()р()q ()r

Добуток цей складається із p + q + r множників, сума яких стала і дорівнює а, так як

+ +… + = p = Х

+ +… + = q = У

+ +… + = r = Z

Маємо = = = (на основі добутку декількох достатніх

змінних множників, сума яких стала, досягає найбільшого значення при рівності множників, якщо можна множники зробити рівними)

На основі властивостей рівних відношень маємо:

= = = =

X = ; Y = ; Z = .

Нехай показники p, r, q - числа дробові. Після зведення до спільного знаменника, одержимо

p = ; q = ; r = .

Шуканий добуток Х У Z досягає найбільшого значення при найбільших величинах Х, У, Z, а цей вираз має найбільше значення при

= = або = = => = =

Задача 1.

Який із всіх рівнобедрених трикутників, вписаних у дане півколо так, щоб одна із рівних сторін лежала на діаметрі, а друга була б хордою, має найбільшу основу?

Нехай шуканий трикутник є АВС (АВ = АС = Х,

ВС = У). Проводимо ВD АС. Знайдемо, що

y2 = 2х2 - 2х АD, але АD =

y2 = 2х2 - 2х = 2х2 - =

Сума (х2 + 2R - x) - стала; добуток (х2 (2R - x)) має найбільше значення при

= => х = 4R - 2x => 3x = 4R => x = R

Трикутник, у якого сторона дорівнює R має найбільшу основу

Теорема 4. Середнє геометричне декількох величин не більше їх середнього арифметичного

Якщо х1 + х2 + … + хm = ma, то х1х2х3… хm am

Отже, х1х2…хm ()m; ;

Наслідок: Сума m додатніх змінних, добуток яких сталий, має найменше значення при рівності змінних.

Нехай х1 х2 … хm= bm, тоді на основі описаної нерівності маємо

b . x1 + x2 + x3 + … + xm > mb. Знак нерівності має місце тоді, коли x1 = х2 = … = хm.

Задача 1.

Знайти висоту циліндра найбільшого об'єму, який можна вписати в даний прямий конус.

Розв'язання

Нехай: АС = r і ВС = h

Об'єм циліндра: V = П х2у, де у = КС, х = DК

Розглянемо АВС і DВК

АВС DВК (D = А при паралельних прямих DК і АС і січній АD).

Із подібності випливає пропорційність сторін:

; ВК = h - у ; х = = > V = Пх2у; V = у.

Об'єм має найбільше значення при найбільшому значенні добутку (h - у)2 у або при у

Сума множників: + у = h - стала. Отже, найбільше значення об'єму при = у, то у = .

Висновки

Головним засобом розвитку творчого мислення учнів є розв'язування нестандартних задач або задач стандартного вигляду, які розв'язуються

Нестандартними методами.

Розв'язування будь-якої задачі - це дуже складний комплекс дій. Учень повинен мати глибокі математичні знання, вміти оперувати математичними поняттями володіти сукупністю сформованих властивостей мислення.

Завжди під час розв'язування задач перед учнями постає проблема перетворення умови задачі з метою пошуку її розв'язання.

Активний пошук способів розв'язування задач - це процес творчого мислення, що є необхідною умовою творчої діяльності.

Нестандартні задачі корисні й тим, що не містять алгоритмічних підходів, завжди потребують пошуків нових підходів, що стимулюють пізнавальні інтереси учнів, формують навички проведення аналізу систематизації висування гіпотез, допомагають оволодіти дедуктивним методом, активізують самостійну пошукову діяльність.

Список літератури

1. Яковлев Г.Н. Геометрия. Теория и ее использование для решения задач. - Минск: Альфа. 1995.

2. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. Для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

3. Єрдниев П.М. О постановки в університетах спецкурса по содержанию школьних учебников. - Математика в школе, 1981, №6.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Розв'язання графічним методом математичної моделі задачі з організації випуску продукції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів. Знаходження умовних екстремумів функцій методом множників Лагранжа. Розв'язання задач симплекс-методом.

    контрольная работа [48,5 K], добавлен 16.07.2010

  • Поняття про алгебраїчний метод у геометрії. Побудова коренів квадратного рівняння та формул. Побудова деяких однорідних виразів циркулем і лінійкою. Ознака можливості побудови відрізка. Розв’язування задач на побудову. Поняття про однорідні функції.

    курсовая работа [920,5 K], добавлен 17.03.2011

  • Проблема формування конструктивно-геометричних умінь та навичок учнів в старшій профільній школі. Поняття геометричних побудов; паралельне і центральне проектування та їх властивості. Основні типи задач в стереометрії та методи їх розв’язування.

    дипломная работа [2,6 M], добавлен 11.02.2014

  • Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.

    курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010

  • Основні поняття поворотної симетрії. Означення, задання та властивості повороту площини. Формула повороту площини в координатах. Поворотна симетрія в природі. Розв'язання задач з геометрії за допомогою повороту (на обчислення, на побудову, на доведення).

    курсовая работа [2,6 M], добавлен 02.11.2013

  • Історія виникнення відсотків, сутність цього терміна. Розв’язання задач на їх визначення за допомогою пропорцій. Добірка текстових завдань, які розв’язуються шляхом розрахунку розміру складних відсотків. Методи вирішення задач на суміші та сплави.

    реферат [72,7 K], добавлен 02.12.2015

  • Функція двох змінних, методика визначення її головних параметрів. Поняття екстремуму функцій двох змінних, необхідні та достатні умови її існування. Особливості визначення екстремуму функції за деяких умов, які обмежують область зміни аргументів.

    курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014

  • Означення теорії множин. Дії над множинами. Алгебра множин. Вектори і прямий добуток множин. Властивості відношень. Способи задання функції. Сукупність підстановок множини. Алгебраїчні операції та системи. Властивості рефлексивності та симетричності.

    конспект урока [263,1 K], добавлен 28.06.2012

  • Площина як одне з основних понять геометрії, її розміщення у просторі. Поняття взаємно перпендикулярних площин. Огляд прикладів вирішення задачі на побудову двох паралельних площин. Теореми, що використовуються при розв’язанні позиційних задач на цю тему.

    контрольная работа [451,5 K], добавлен 19.11.2014

  • Суть принципу Діріхле та найпростіші задачі, пов’язані з ним. Використання методів розв’язування математичних задач олімпіадного характеру при вивченні окремих тем шкільного курсу математики та на факультативних заняттях. Індукція в геометричних задачах.

    дипломная работа [239,7 K], добавлен 15.03.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.