Общие свойства конечных групп с условием плотности для F-субнормальных подгрупп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ГРУПП С УСЛОВИЕМ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ -СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-33 ____________

Цыганцова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

____________ Скиба М.Т.

Гомель 2005

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1 Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп

2 Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп

3 Описание конечных не -групп с плотной системой -субнормальных подгрупп

Заключение

Литература

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

--- пустое множество;

--- множество всех , для которых выполняется условие ;

--- множество всех простых чисел;

--- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

--- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида ;

--- множество всех целых положительных чисел.

--- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .

Запись означает, что предшествует в упорядочении , .

Пусть --- группа. Тогда:

--- порядок группы ;

--- порядок элемента группы ;

--- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

--- множество всех простых делителей порядка группы ;

--- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

--группа --- группа , для которой ;

--группа --- группа , для которой ;

--- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

--- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

--- коммутант группы ;

--- --холловская подгруппа группы ;

--- силовская --подгруппа группы ;

--- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;

--- группа всех автоморфизмов группы ;

--- является подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;

--- является нормальной подгруппой группы ;

--- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;

--- индекс подгруппы в группе ;

;

--- централизатор подгруппы в группе ;

--- нормализатор подгруппы в группе ;

--- центр группы ;

--- циклическая группа порядка ;

Если и --- подгруппы группы , то:

--- прямое произведение подгрупп и ;

--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

--- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

Группу называют --нильпотентной, если .

Группу порядка называют --дисперсивной, если выполняется и для любого имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь называется -цепью (с индексами ); если при этом является максимальной подгруппой в для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого .

Нормальный ряд называется главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

--- класс всех групп;

--- класс всех абелевых групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп;

--- класс всех --групп;

--- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть --- некоторый класс групп и --- группа, тогда:

--- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если --- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и . Класс групп называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Пусть --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется:

-нормальной, если ;

-абнормальной, если .

Максимальная -цепь называется -субнормальной, если для любого подгруппа -нормальна в . Подгруппа группы называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.

Группа называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.

Введение

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп из , где не максимальна в , найдется -подгруппа такая, что . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.

В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп

такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в для любого . Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.

1. Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп

Опишем вначале общие свойства конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.

Группа называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- подгруппа группы . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) если -субнормальна в и является подформацией формации , то -субнормальна в .

Доказательство. 1) Из того, что

следует, что . Это значит, что .

2) Так как , то и . Отсюда следует, что каждая -нормальная максимальная подгруппа является -нормальной максимальной. Лемма доказана.

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация. Если множество всех -субнормальных подгрупп плотно в группе , то справедливы следующие утверждения:

1) если , то в множество всех -субнормальных подгрупп плотно;

2) если --- подгруппа из , то множество всех -субнормальных подгрупп из является плотным в .

Доказательство. 1) Пусть --- нормальная подгруппа группы . В фактор-группе рассмотрим две произвольные подгруппы , из которых первая не максимальна во второй. Тогда и не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Следовательно, -субнормальна в .

2) Пусть --- подгруппа из и --- две произвольные подгруппы из такие, что не максимальна в . Тогда, по условию, в существует -субнормальная подгруппа , для которой . Ввиду леммы, -субнормальна в . Лемма доказана.

Если --- -субнормальная подгруппа группы , то

.

Доказательство. По определению, существует цепь

такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в при любом . Таким образом, и потому

для каждого . Следовательно, .

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- группа, у которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно. Справедливы следующие утверждения:

1) если --- -абнормальная максимальная подгруппа группы , то либо , либо каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит ;

2) если и , то либо максимальна в , либо -субнормальна в .

Доказательство. Докажем сначала 1). Пусть --- -абнормальная максимальная подгруппа, не принадлежащая . Допустим, что обладает -абнормальной максимальной подгруппой , не принадлежащей . Тогда в имеется -абнормальная максимальная подгруппа . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Ясно, что . По лемме ,

.

Так как -субнормальна, то она содержится в -нормальной максимальной подгруппе, и поэтому . Значит, . Последнее противоречит следующему:

Докажем 2). Пусть и . Допустим, что не максимальна в . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как -замкнута, то . Поэтому -субнормальна в . Теперь ясно, что -субнормальна в . Лемма доказана.

Пусть --- насыщенная -замкнутая формация, --- группа с нормальной силовской -подгруппой , удовлетворяющая следующим условиям:

1) ;

2) холлова -подгруппа -группы является максимальной в и принадлежит ;

3) любая собственная подгруппа из -субнормальна в .

Тогда является минимальной не -группой.

Доказательство. Из условия прямо следует, что совпадает с и является минимальной нормальной подгруппой в . Понятно, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа из сопряжена с и поэтому принадлежит . Пусть --- произвольная -нормальная максимальная подгруппа из . Тогда . Так как -замкнута, то . Подгруппа является собственной в и по условию -субнормальна в . По теореме ,

.

Итак, каждая максимальная подгруппа из принадлежит . Лемма доказана.

2. Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп

В данном разделе изучаются свойства максимальных подгрупп конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.

Пусть далее --- некоторое фиксированное упорядочение множества всех простых чисел.

Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация, --- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая , у которой все -абнормальные максимальные подгруппы принадлежат . Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1) --- максимальная подгруппа в ;

2) --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе из .

Доказательство. Пусть --- группа минимального порядка, для которой лемма не верна. По теореме --- -группа. Пусть --- -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда содержит некоторую -холлову подгруппу . По нашему предположению, не максимальна в . Тогда по лемме -субнормальна в . Если --- -максимальный простой делитель , то подгруппа нормальна в . Тогда, по теореме ,

.

Противоречие. Пусть --- множество простых делителей порядка группы , больших при упорядочении . По доказанному выше множество не пусто. Тогда . По индукции максимальна в . Противоречие. Лемма доказана.

Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация, --- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая . Тогда любая -абнормальная максимальная подгруппа из либо принадлежат , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.

Доказательство. Предположим, что утверждения леммы не выполняются и в существует -абнормальная максимальная подгруппа , не удовлетворяющая утверждениям леммы. Ввиду леммы и теоремы, , где --- -абнормальная максимальная подгруппа из , --- -группа, . Очевидно, что содержит некоторую -холлову подгруппу из .

1. Предположим, что . Если , то каждая -нормальная максимальная подгруппа группы будет иметь вид , где --- некоторая максимальная подгруппа из . Так как не максимальна в , то, по лемме , -субнормальна в . Тогда по теореме и --- минимальная не -группа. Предположим теперь, что . Если предположить, что , то не максимальна в . Тогда . Если не -максимальный простой делитель порядка группы , то в существует нормальная силовская -подгруппа , . Тогда подгруппа

.

Если -холлова подгруппа из не максимальна в , то применяя лемму и теорему, получаем, что . Пусть максимальна в . Тогда каждая собственная подгруппа из будет не максимальна в и, следовательно, по лемме, -субнормальна в . Если подгруппа , то, по теореме, . максимальна в , так как в противном случае не максимальна в . Применяя лемму и теорему, получаем, что --- минимальная не -группа и -корадикал группы является силовской -подгруппой. Так как по нашему предположению , то порядок группы делится на и, следовательно, . Тогда, по теореме , . Противоречие. Значит, --- -максимальный простой делитель порядка группы . Тогда и каждая собственная подгруппа из не максимальна в . Если -субнормальна в , то по теореме . Так как не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что

.

Так как , то

.

Отсюда следует, что и . Очевидно, что . Подгруппа содержится в некоторой -нормальной максимальной подгруппе из .

1.1

Тогда --- -максимальный простой делитель порядка группы и силовская -подгруппа группы нормальна в . Отсюда следует, что . Так как --- -группа, то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . По индукции либо принадлежит формации, либо является минимальной не -группой. Если --- минимальная не -группа, то и . Противоречие. Значит, . Пусть --- -главный фактор из . Но так как , то --- -главный фактор и выполняется изоморфизм . Так как , то --- -центральный -главный фактор. Противоречие.

1.2 ,

Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Тогда в существует -абнормальная максимальная подгруппа . Если не максимальна в , то, по лемме, -субнормальна в . Противоречие. Значит, максимальна в . По условию найдется -субнормальная в подгруппа такая, что

.

Так как , то . Если , то и, следовательно, -субнормальна в . Значит, . Но тогда -субнормальна в . Противоречие.

2. и --- минимальная нормальная подгруппа в . Если каждая максимальная подгруппа из -субнормальна в , то --- минимальная не -группа. Значит, в найдется максимальная подгруппа , не -субнормальная в . Очевидно, что . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Так как не максимальна в , то, по условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Так как и , то . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . По индукции либо принадлежит , либо является минимальной не -группой.

2.1

Тогда . Если предположить, что является -максимальным простым делителем порядка группы , , то силовская -подгруппа нормальна в и, по теореме,

.

Значит, --- -максимальный простой делитель порядка группы . Это значит, что и . Пусть --- минимальная не -группа. Тогда совпадает с силовской -подгруппой группы и, следовательно, . Получили, что . С другой стороны, -субнормальна в , а значит, и в . Поэтому

.

Противоречие. Значит, . Это значит, что . Из того, что максимальна в , а максимальна в , следует, что --- абелева дополняемая в подгруппа. Так как и , то и . По теореме Гашюца имеет дополнение в . Так как не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что . Из того, что следует, что . Но тогда -субнормальна в . Противоречие.

2.2

Тогда --- силовская -подгруппа группы . Рассмотрим -холлову подгруппу группы , содержащую . Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если не максимальна в , то будет -субнормальна в . Потому максимальна в . Ввиду теоремы --- -группа. Если , то, согласно доказанному выше, лемма верна. Значит, --- минимальная нормальная подгруппа в . максимальна в . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Так как не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что . Так как , то . Но подгруппа будет содержаться в подгруппе группы . Если , то -субнормальна в . Если же , то получаем противоречие с тем, что --- -абнормальная максимальная подгруппа группы . Теорема доказана

3. Описание конечных не -групп с плотной системой -субнормальных подгрупп

В работе Закревской Л.Н. был исследован вопрос о строении группы , в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. При рассмотрении произвольной формации возможен случай, когда . Строение таких групп исследуется в в данном разделе.

Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация, --- группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая формации , . Тогда разрешима.

Доказательство. Пусть и --- группа минимального порядка, для которой теорема не верна. Так как , то содержит все силовские -подгруппы, . Следовательно, каждая -субнормальная подгруппа должна содержать все силовские -подгруппы, .

Пусть --- силовская -подгруппа группы и . Тогда если в ней существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдется -субнормальная подгруппа такая, что . Тогда, по доказанному, содержит все силовские -подгруппы, . Противоречие. Значит, в нет вторых максимальных подгрупп и .

Предположим, что . Тогда каждая максимальная подгруппа группы будет -абнормальной в . Пусть некоторая неединичная силовская подгруппа группы . Если предположить, что в существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что . Отсюда следует, что . Противоречие. Следовательно, --- простое число. Получили, что каждая неединичная силовская подгруппа из имеет простой порядок и, значит, разрешима, что противоречит нашему предположению.

Пусть теперь . Так как, по доказанному, , то . Тогда по индукции --- разрешимая группа. По доказанному, каждая силовская подгруппа фактор-группы имеет простой порядок, и, значит, разрешима. Следовательно, разрешима и сама группа . Лемма доказана.

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- группа, в которой множество всех -субнормальных подгрупп плотно, . Тогда --- группа одного из следующих типов:

1) , , ;

2) , , максимальна в , , ;

3) , , .

Доказательство. По лемме, разрешима. Так как , то ясно, что . Положим и рассмотрим холлову -подгруппу группы . Если единичная подгруппа не является максимальной в , то существует -субнормальная в подгруппа такая, что . По лемме , и, значит, --- -группа. Получили противоречие. Таким образом, равен либо 1, либо является простым числом.

Рассмотрим теперь холлову -подгруппу группы . Пусть --- нормальная максимальная подгруппа из . Пусть , . Если 1 не максимальна в , то между 1 и можно вставить -субнормальную подгруппу, индекс которой, по лемме , является -числом. Понятно, что этот индекс делится на . Получаем противоречие. Значит, равен либо квадрату простого числа, либо простому числу, либо произведению двух различных простых чисел.

Если , то ясно, что либо типа 1), либо типа 3). Пусть --- простое число. Если --- простое число, то --- группа типа 1). Пусть , где --- простые числа. Предположим, что в существует подгруппа порядка . Так как 1 не максимальна в , то между 1 и существует, по условию, -субнормальная подгруппа, индекс которой, по лемме, является -числом. Но этот индекс делится и на . Остается принять, --- максимальная подгруппа группы . Но тогда и --- группа типа 2). Теорема доказана.

Приведем пример, показывающий, что классы групп, перечисленные в теореме, не пусты.

Пусть --- такая -замкнутая насыщенная формация -нильпотентных групп, что не совпадает с множеством всех простых чисел. Пусть --- любое простое число, не входящее в . Тогда всякая группа порядка , где --- любое простое число, является группой типа 1), а всякая группа порядка или является группой типа 3) теоремы. Предположим, что и существует такое простое число , что и (в частности, можно взять и ). В сплетении группы порядка с группой порядка возьмем подгруппу Шмидта . Тогда имеет порядок и является группой типа 2) теоремы.

Заключение

В данной работе рассматривались конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- произвольная -замкнутая насыщенная формация. В первом разделе данной главы установлены общие свойства, которые могут быть использованы для изучения строения конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп. Во втором разделе исследуются свойства максимальных подгрупп в конечных группах с плотной системой -субнормальных подгрупп. В частности, установленно, что в -дисперсивной группе с плотной системой -субнормальных подгрупп каждая -абнормальная максимальная подгруппа либо принадлежат , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. В третьем разделе данной главы описаны конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп в случае, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация и .

Литература

1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.

2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск:Наука и техника, 1984. --- 71--88.

3.Закревская Л.Н. Конечные группы с -плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.:Наука и техника, 1986. --- 59--69.

4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. --- Минск:Бел. навука, 2003. --- 254 с.

5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003--1005.

6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183--190.

7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1975. --- С. 197--217.

8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1976. --- С. 111--138.

9.Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348--382.

10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. --- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. --- С. 5--29.

11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111--131.

12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45--50.

13.Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп // Матем. сб. --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- с. 321--346.