Исследование функции. Вычисление производных функции

Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 09.04.2015
Размер файла 134,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство связи

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

По дисциплине: Математический анализ

Выполнил: Калинин Максим

Проверил: Агульник Ольга Николаевна

Новосибирск, 2015 г

1. Найти пределы

а) б) в) .

Решение.

Воспользуемся формулами:

(19)

(20)

(21)

(22)

(23).

- воспользуемся тождественными преобразованиями: разделим числитель и знаменатель выражения на .

.

Поскольку ~, то ~, тогда

.

в)

Ответ: а) , б) 0, в).

2. Найти производные данных функций

б)

г) .

Решение.

Свойства производной:

(24)

(25)

(26)

(27)

.

.

.

- функция задана неявно.

Продифференцируем обе части равенства:

;

;

;

Выразим производную :

;

;

.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию . Используя результаты исследования, построить её график

Решение. Схема исследования функции

1. Найдем область определения функции: . Точек разрыва нет. 2. Проверим, не является ли функция четной или нечетной; проверим также, не является ли она периодической.

функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат, непериодическая

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

Пересечение с : точка

Пересечение : .

4. Найдем производную функции и ее критические точки.

, - критические точки.

5. Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции.

Определим знак производной на каждом из интервалов методом частных значений:

, ,

.

, .

Табл.1.

-2

(-2;2)

2

-

-

-

-

+

-1

1

Значит при (-2;2), при и

- точка минимума ; - точка максимума .

6. Найдем вторую производную, ее нули и интервалы знакопостоянства.

.

, , .

, , .

, , ,

Табл.2.

0

-

0

+

0

-

0

+

0

В интервалах, где < 0 , то есть при и график функции выпуклый, а где >0 - и - вогнутый.

7. Найдем асимптоты.

Уравнения наклонных асимптот , где , тогда наклонных асимптот не существует.

Горизонтальная асимптота (ось )

График данной функции имеет вид:

Рис.3.

4. Дана функция . Найти все её частные производные второго порядка

Решение.

Для вычисления частных производных будем пользоваться правилом: все переменные, кроме той, по которой дифференцируем, считаем постоянными. Тогда учитывая (24) - (27). Найдем вначале производные первого порядка.

- считаем постоянной, а - переменной.

- считаем постоянной, а - переменной.

Найдем производные второго порядка:

- дифференцируем по , считая постоянной.

- дифференцируем по , считая постоянной.

- дифференцируем по , считая постоянной.

Ответ: ,

, .

5. Найти неопределенные интегралы

а)б)

в)г).

Решение.

Воспользуемся свойствами интеграла:

(28)

. (29)

(30) - внесением под знак дифференциала необходимой переменной.

(31)

Воспользуемся формулой понижения степени , тогда

.

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся формулами

, если (32)

(33).

экстремум дробь монотонность подынтегральный

Воспользуемся для разложения методом неопределенных коэффициентов:

получим систему: . Тогда

.

- выполним замену переменной , тогда .

.

Выполним обратную замену, тогда .

Ответ: а) , б) , в) , г) .

Список использованной литературы

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 8-е изд. - М.: Наука, 1966 - 872 с.

2. Демидович Б.П.. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1972 - 544 с.

3. Задачи и упражнений по математическому анализу для втузов.: Учебное пособие для студентов высших техн. учебн. заведений/под. ред. Б.П. Демидовича. - М.; ООО «Издательство Астрель» , 2004 - 495с.

4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. 4-е изд. - М.: Высшая школа, 1966 - 460 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М. :Наука, 1985. - 560с.

6. Справочник по математике для экономистов/В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Высшая школа, 1987. - 336 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.

    контрольная работа [696,1 K], добавлен 05.01.2013

  • Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.

    контрольная работа [84,3 K], добавлен 01.05.2010

  • Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.

    контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014

  • Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.

    курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014

  • Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.

    контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014

  • Исследование функции на четность и периодичность. Нахождение вертикальных, горизонтальных (или наклонных) асимптот, а также экстремумов и интервалов монотонности. Определение интервалов выпуклости и точки перегиба. Построение графика исследуемой функции.

    презентация [134,7 K], добавлен 21.09.2013

  • Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вычисление площади ромба. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Нахождение производной функции и асимптот графика. Правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.

    контрольная работа [158,8 K], добавлен 24.04.2009

  • Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.

    контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010

  • Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.

    контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011

  • Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.

    контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.