Дифференциальное уравнение

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Решить уравнение

Решение:

- уравнение с разделяющимися переменными

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

- общее решение уравнения

Ответ:

2. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение:

Сделаем замену

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:



- общий интеграл дифференциального уравнения

Ответ:

3. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения

,

Решение:

Решаем уравнение методом Бернулли:

Для решения исходного уравнения необходимо решить систему уравнений

(*)

Решим первое уравнение системы (*):

Проинтегрируем обе части полученного уравнения

Подставим найденное выражение для функции во второе уравнение системы (*) и решим его.

Проинтегрируем обе части полученного уравнения.

- общее решение дифференциального уравнения

Найдем частное решение уравнении при условии .



- частное решение дифференциального уравнения

Ответ:

4. Найти общий интеграл уравнения

,

Решение:

,

Таким образом, данное уравнение - уравнение в полных дифференциалах.

Решим второе уравнение системы:



Найдем от найденной функции и подставим в первое уравнение полученной выше системы:

- общий интеграл дифференциального уравнения

Ответ:

5. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

, ,

Решение:

Найдем общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному. Для этого составим характеристическое уравнение:

Тогда общее решение однородного уравнения запишем в виде

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения составим систему

Решим полученную систему методом Крамера. Вычислим главный определитель:

Вычислим побочные определители:

Частное решение запишем в виде

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение, отвечающее начальным условиям.

- решение задачи Коши

Ответ:

6. Решить уравнение

Решение:

Найдем общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному. Для этого составим характеристическое уравнение:



Тогда

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку не является корнем характеристического уравнения, то искать его будем в виде

Подставим найденные значении производных в исходное уравнение:

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:



общее решение неоднородного уравнения

Ответ:

7. Исследовать сходимость ряда

Решение:

Для исследования ряда на сходимость применим признак Даламбера.

Поскольку , то ряд расходится

Ответ: ряд расходится

8. Найти область сходимости функционального ряда

(1)

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда (1):

- интервал сходимости ряда (1)

Исследуем сходимость ряда в граничных точках:

: (2)

Исследуем ряд (2)на сходимость:

условия теоремы Лейбница выполнены, т.е. ряд (2) сходится

Рассмотрим ряд из модулей (3)

Данный ряд расходится как геометрический.

Поскольку ряд (2) сходится, а ряд (3) из модулей расходится, то ряд (2)сходится условно.

: (4)

Исследуем ряд (4)на сходимость:

условия теоремы Лейбница выполнены, т.е. ряд (4) сходится

Рассмотрим ряд из модулей (5)

Данный ряд расходится как геометрический.

Поскольку ряд (4) сходится, а ряд (5) из модулей расходится, то ряд (4) сходится условно.

Таким образом, окончательно получаем интервал сходимости

Ответ: ряд сходится при ; причем, при соответствующие знакочередующиеся ряды сходятся условно

9. Разложить в степенной ряд функцию в окрестности точки и найти интервал сходимости ряда.

Решение:

Вычислим несколько производных указанной функции:

Найдем радиус сходимости полученного ряда:

Исследуем граничные точки.

: (1)

, т.е. не существует предела частичных сумм ряда (1), следовательно, этот ряд расходится

: (2)

т.е. не существует предела частичных сумм ряда (2), следовательно, этот ряд расходится

Ответ: , данный ряд сходится при

10. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную на отрезке .

Решение:

Поскольку - нечетная функция на , то ее ряд Фурье будет содержать только синусы.

Вычислим коэффициенты ряда Фурье:

Тогда ряд Фурье исходной функции имеет вид:

1. На книжной полке случайным образом расставлены 4 учебника и 3 задачника. Найти вероятность того, что все учебники окажутся рядом.

Решение:

Событие : все учебники окажутся рядом

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности.

Общее число исходов равно числу перестановок семиэлементного множества:

Благоприятствующее число исходов определим следующим образом как квадрат числа перестановок четырех элементного множества. Поскольку все учебники должны оказаться рядом, то рассмотрим их как единый элемент. Тогда с учетом еще трех задачников получаем 4 элемента. Число всех возможных размещений таких элементов - число перестановок четырехэлементного множества. Но "внутри" единого элемента учебники тоже могут меняться местами (при этом они все равно будут рядом), поэтому

.

Ответ:

2. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени равна . Элементы работают независимо и включены в цепь по приведенной схеме.



Пусть событие означает отказ элемента с номером , а событие - отказ цепи за время (прекращение тока в цепи). Требуется написать формулу, выражающую событие через все события . Найти вероятность события при .

Решение:

Поскольку событие - отказ элемента с номером , тогда - нормальная работа элемента с номером . Для наступления события необходимо, чтобы

· отказали все три элемента с номерами 1, 2, 3, но мог работать хотя бы один из элементов 4, 5;

· отказали оба элемента с номерами 4, 5, но мог работать хотя бы один из элементов 1, 2, 3;

· отказали все элементы в цепи.

В формульном виде это можно записать следующим образом:

Найдем вероятность события на основании теорем сложения и умножения вероятностей.

Поскольку

, то

Ответ:

3. Противник может применить в налете самолеты одного из двух типов и с вероятностями соответственно 0,7 и 0,3. Самолет типа сбивается ракетой с вероятностью 0,7, типа - с вероятностью 0,9. По появившемуся самолету выпущены одновременно две ракеты. Найти вероятность того, что сбитый самолет был типа .

Решение:

Событие : самолет сбит

Событие : самолет типа

Событие : самолет типа

Событие : самолет типа сбит

Событие : самолет типа сбит

Событие : оказавшийся сбитым самолет был типа

, , ,

По формуле полной вероятности

По формуле Байеса

Ответ:

4. Каждый прибор проходит два независимых испытания. Вероятность выхода из строя прибора при первом испытании равна , при втором - . Испытано независимо 5 приборов. Найти вероятность выхода из строя не более одного прибора.

Решение:

Событие : при независимом испытании 5 приборов из строя вышло не более одного прибора

Вероятность для одного прибора пройти оба испытания

,

тогда вероятность того, что прибор испытания не пройдет равна

Вероятность события определим по формуле Бернулли:

Ответ:

5. Самолеты испытываются при перегрузочных режимах. Вероятность каждого самолета пройти испытание равна 0,8. Испытания заканчиваются после первого самолета, не выдержавшего испытания. Составить закон распределения и функцию распределения числа испытаний самолетов.

Решение:

- вероятность того, что самолет пройдет испытание

- вероятность того, что самолет не пройдет испытание

Пусть - случайная величина - число самолетов, прошедших испытание

Данная случайная величина распределена по биномиальному закону. Составим закон распределения данной случайной величины:

	0	1	2	…		…
				…		…
				…		…

Составим функцию распределения:



6. Дана плотность вероятности случайной величины :

Найти , , , , .

Решение:

Известно, что

Вычислим данный интеграл:

Оценим вероятность с помощью неравенства Чебышева:

переменная дифференциальный неравенство гистограмма

Ответ:

, , ,, .

7. Случайная величина распределена по закону Гаусса с и . Найти вероятность попадания в интервал .

Решение: Поскольку и , то ,

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой

Ответ:

8. Ряд наблюдений для отклонения воздушного судна от заданной высоты полета (в м) имеет вид:

+27; +38; -5; -36; -62; -77; -85; -54; -8; +25; +34; +73; +112; +90; +61; +37; -15; -29; -62; -33; -44; -17; +20; +40; +47; +61; +10; -8.

Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки среднего значения , дисперсии и среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности, а так же интервальную оценку с доверительной вероятностью 0,99. Построить статистические графики - гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами и ) и выборочную функцию распределения.

Решение: Упорядочим данный ряд по убыванию:

+112; +90; +73; +61; +61; +47; +40; +38; +37; +34; +27; +25; +20; +10; -5; -8; -8; -15; -17; -29; -33; -36; -44; -54; -62; -62; -77; -85.

Тогда ,

Число интервалов определим по формуле Стерджеса:

Длина каждого частичного интервала

Построим интервальный вариационный ряд:

Интервал	-85 -52,17	-52,17 -19,34	-19,34 13,49	13,49 46,32	46,32 79,15	79,15 112
Частота	5	4	6	7	4	2
Середина интервала	-68,585	-35,755	-2,925	29,905	62,735	95,575

Найдем статистические оценки



Найдем интервальную оценку . Поскольку доверительная вероятность , то

Тогда искомый доверительный интервал

Плотность нормального распределения с параметрами и имеет вид:

Построим гистограмму и функцию плотности на одном графике:

№ интервала
1	-68,585	0,0028	0,178	0,005	0,178
2	-35,755	0,0058	0,143	0,004	0,321
4	-2,925	0,0081	0,214	0,007	0,535
3	29,905	0,0072	0,250	0,008	0,785
5	62,735	0,0041	0,143	0,004	0,928
6	95,575	0,0014	0,072	0,002	1,000



Построим выборочную функцию распределения

Размещено на Allbest.ru