Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Материал, связанный с функциями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что функции широко используются в различных разделах математики, в решении разных прикладных задач. Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций. Узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях.

Функция - это одно из основных понятий математики. Изучение функций в школьном курсе математике основано на знании элементарных функций.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа в средней общеобразовательной школе.

Предмет исследования - содержание и методические особенности обучения школьников базисным элементарным функциям.

Цель - состоит в разработке теоретически обоснованной методики обучения исследования и построения графиков элементарных функций.

Для реализации поставленной цели решались следующие задачи:

Овладение методикой исследования, обобщение и логическое изложение материала;

Систематизация и углубление теоретических и практических знаний по теме "Исследование и построение графиков функции".

Отбор содержания и разработка рабочей тетради для учащихся средних общеобразовательных учреждений.

Структура выпускной квалификационной дипломной работы следующая:

Первая глава содержит теоретический материал по общим сведениям об элементарных функциях .

Здесь рассматриваются такие функции, как линейная, обратная пропорциональность, степенная, квадратичная, кубическая, тригонометрические, логарифмическая и показательная.

Вторая глава позволяет рассматривать простейшие преобразования графиков такие как параллельный перенос и сдвиг . Эти преобразования часто встречаются в школьном курсе математики также очень часто встречаются в повседневной жизни.

Третья глава выпускной квалификационной работы представлена методической разработкой рабочей тетради по теме «Построение графиков элементарных функций», которая разработана для учащихся 9-11 классов. В ней содержится занятия на каждую тему, т.е. «линейная функция», «степенная функция», «Показательная функция» «логарифмическая функция» «тригонометрические функции». В начале каждой темы учащимся предлагается теоретический материал. Далее подробно разобраны несколько задач на данную тему занятия. Затем предлагаются задания, которые учащиеся должны решить самостоятельно. Задания предлагаются по степени возрастания сложности по данной теме. Данная рабочая тетрадь позволяет каждому учащемуся работать в индивидуальном темпе, а также помогает учащимся сформировать знания, умения и навыки самостоятельно.

Поставленные задачи определили структуру дипломной работы.

Глава 1. Общие сведения об элементарных функциях

1.1 Функция и ее свойства

Впервые определение функции было дано русским математиком Н.И.Лобачевским.

Термин «функция» введен Лейбницем, а символическая запись функциональной зависимости впервые введена Л.Эйлером. Исторически первым способом задания функции был способ аналитический - при помощи формулы.

Понятие функции часто встречается в школьном курсе математики и хорошо знакомо учащимся. Рассмотрим это понятие.

Пусть D и E - непустые числовые множества, а х и у соответственно их элементы. Если каждому хD ставится в соответствие по некоторому закону только одно значение уE, то говорят, что между переменными х и у существует функциональная зависимость, и называют х - независимой переменной (или аргументом), а у - зависимой переменной (или функцией).

Для обозначения функций обычно пользуются буквами.

Символическая запись функции: y=f(x) (хD).

Хотя именно буква f связана со словом «функция», но для обозначения функциональной зависимости может применяться и любая другая буква.

Определение 1. Множество D называют областью определения функции и обозначают D(f), а множество E называют областью изменения функции. Говорят еще, что функция f отображает множество D на множество E.

Определение 2. Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению x соответствует определенное значение y.

Определение 3. Значение переменной х, при котором функция обращается в нуль, то есть f(x) = 0 называется нулём (или корнем) функции.

Определение 4. Функция у=f(x) называется чётной, если при изменении знака у аргумента значение функции не меняется: f(-x)=f(x). График чётной функции симметричен относительно оси ОY.

Определение 5. Функция у=f(x) называется нечётной, если при изменении знака у аргумента изменяется только знак значения функции: f(-x) = - f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Определение 6. Функция у=f(x) называется периодической, если существует такое постоянное число Т ? 0, что f(x+Т) = f(x). Наименьшее положительное число Т называют периодом.

Определение 7. Функция у=f(x) называется возрастающей, если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2).

Определение 8. Функция у=f(x) называется убывающей функцией, если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2).

График функции - это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения ее аргумента. А именно, график функции y=f(x) -это множество точек (x;y) на координатной плоскости, где координате x предаются всевозможные значения из области определения функции, и для каждого такого x значение y определяется функциональной зависимостью y=f(x). Для каждой функции характерен свой график.

Элементарные функции

Элементарные функции - класс функций, в который входят многочлены, рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, а также функции, получающиеся из перечисленных выше с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций (образования сложной функции), применяемых конечное число раз.

В школьном курсе математики большое внимание уделяется построению графиков элементарных функций. Учащиеся изучают свойства и умеют строить графики простейших элементарных функций:

- линейная;

- обратная пропорциональность;

- степенная;

;

- квадратичная;

, кубическая;

- тригонометрические;

- логарифмическая;

- показательная.

Графики некоторых из перечисленных функций можно построить, проведя исследование по заданной формуле, но этот процесс довольно трудоемкий и требует знаний дифференциального исчисления.

Во многих случаях графики элементарных функций можно построить по графику заданной его части или по графику другой функции с помощью линейных преобразований: параллельного переноса, растяжения (сжатия), преобразования симметрии.

1.2 Общая схема исследования функции и построения ее графика

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

П. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решение уравнений y'(х)=0 и y'(х)= ;

2) точки, “подозрительные” на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

Ш. Исследование графика функции по второй производной:

1) найти решения уравнений y”(х)=0 и y”(х)= ;

2) точки, “подозрительные” на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия;

3) вычислить значения функции в точках перегиба;

4) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

5) нанести на эскиз графика точки перегиба;

6) окончательно построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.

1.3 Графики элементарных функций

1.3.1 Линейная функция y = kx + b

1. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, так как выражение kx+b имеет смысл при любых значениях x.

2. Множеством значений линейной функции при k0 является множество R всех действительных чисел.

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-x) = -kx + b .

4. Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.

5. Асимптоты графика функции не существуют.

6. Функция возрастает при k0, функция убывает при k0.

7. Функция не является ограниченной.

8. График линейной функции y=kx+b - прямая линия. Для построения этого графика, достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 - тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox.

9. Точек перегиба не существует.

10. Не существует экстремальных точек.



y=kx+b (k<0) y=kx+b (k>0)

1.3.2 Степенная функция y=xn

1. Область определения функции: D(f)= R;

2. Область значений: E(f)= (0+?);

3. Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);

4. Нули функции: y=0 при x=0;

5. Функция убывает при x(-?;0];

6. Функция возрастает при x[0;+ ?);

7. a) нет вертикальных асимптот

b) нет наклонных асимптот

8. Если n-четное, то экстремум функции x=0

Если n-нечетное, то экстремумов функции нет

9. Если n-четное, то точек перегиба нет

Если n-нечетное, то точка перегиба x=0

10. График функции:

a) Если n=2, то графиком функции является квадратная парабола;

b) Если п = 3, то функция задана формулой у = х3. Ее графиком является кубическая ? парабола;

c) Если п -- нечетное натуральное число,?причем п 1, то функция обладает свойствами теми же, что и у = х3.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным показателем (п1):

1.? Область определения функции: D(f)= R;

2. ?Область значений [0,+?];

3. ?Функция является четной, т.е. f(-х)=f(х);

4. ?Нули функции:?у = 0 при х = 0;

5. ?Функция убывает на промежутке (-?;0), возрастает на промежутке (0;+?).

6. ?График функции:?[рис.3]

Рассмотрим свойства степенной функции с четным показателем:

1.? Область определения функции: D(f)= R;

2. ?Область значений: E(f)= R;

3. ?Функция является нечетной, т.е. f(-х)=-f(х);

4. ?Нули функции:?у = 0 при х = 0;

5. ?Функция возрастает на всей области определения.

6. ?График функции:?[рис.2]

1.3.3 Показательная функция у = ax

1. Область определения функции: -? < х < +?

2. Множество значений функции: 0 < y < +?

3. Функция ни четная, ни не чётная, так как f(-x) = a-x

4. Функция не является периодической.

5. Асимптоты графика функции:

а) вертикальных асимптот не существует,

б) горизонтальная асимптота у = 0

6. Если а > 1, то функция возрастает на промежутке -? < x < +? (рис.4);

7. Если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -? < x < +? (рис. 5);

8. Точка (0; 1) - единственная точка пересечения с осями координат.

9. Не существует точек перегиба.

10. Не существует экстремальных точек.

Рис.4 Рис.5

1.3.4 Логарифмическая функция у = logax

1. Область определения функции: 0 < x < ?

2. Множество значений функции: -? < y < +?

3. Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = loga(-x)

4. Функция не периодическая

5. Асимптоты графика функции:

а) вертикальные асимптоты х = 0

б) горизонтальных асимптот не существует

6. Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +? (рис.6);

если 0 < a < 1, то функция убывает на этом же промежутке (рис.7);

7. Точка (1; 0) - единственная точка пересечения с осями координат.

8.Не существует точек перегиба.

9.Не существует экстремальных точек.

1.3.5 Тригонометрические функции

Функция y=sin x

Свойства функции y=sin x:

1. Область определения функции: D(f)=R;

2. Область значений: E(f)=[-1;1];

3. Функция является нечетной, т.е. sin(-x) = - sin x;

4. Функция периодическая с положительным наименьшим периодом 2р;

5. Нули функции: sin x = 0 при x = рk, kZ;

6. Функция принимает положительные значения: sin x>0 при x(2рk?р+2рk), kZ;

7. Функция принимает отрицательные значения: sin x<0 при x(р+2рk?2р+2рk), kZ;

8. Функция возрастает на [-1;1] при x[ -+2рk?+2рk], kZ;

9. Функция убывает на [1;-1] при x[+2рk?+2рk], kZ;

10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=+2рk, kZ;

11. Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x=+2рk, kZ;

12. a) нет вертикальных асимптот

b) нет горизонтальных асимптот

13. Графиком функции является синусоида.

Функция y=cos x

Свойства функции y=cos x:

Область определения функции: D(f)=R;

Область значений: E(f)=[-1;1];

Функция является четной, т.е. cos (-x) = cos x;

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2р;

Нули функции: cos x = 0 при x = +рk, kZ;

Функция принимает положительные значения: cos x>0 при x( -+2рk; +2рk), kZ;

Функция принимает отрицательные значения: cos x<0 при x( +2рk?+2рk), kZ;

Функция возрастает на [-1;1] при x[ -р+2рk?2рk], kZ;

Функция убывает на [1;-1] при x[2рk?р+2рk], kZ;

Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=2рk, kZ;

Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x=р+2рk, kZ;

a) нет вертикальных асимптот

b) нет горизонтальных асимптот

Графиком функции является косинусоида:

Функция y=tg x

Свойства функции y=tg x:

Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x =+рk, kZ;

Область значений: E(f)=R;

Функция является нечетной, т.е. tg (-x) = - tg x;

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом р;

Нули функции: tg x = 0 при x = рk, kZ;

Функция принимает положительные значения: tg x>0 при x( рk; +рk), kZ;

Функция принимает отрицательные значения: tg x<0 при x( -+рk?рk), kZ;

Функция возрастает на (-;+?) при x(-+рk ?+рk ), kZ;

a) вертикальные асимптоты x= + рn

b) наклонных асимптот нет

Графиком функции является тангенсоида:

Функция y=ctg x

Свойства функции y=ctg x:

Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = рn , где n Z;

Область значений: E(f)=R;

Функция является нечетной, т.е. ctg (-x) = - ctg x;

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом р;

Нули функции: ctg x = 0 при x = +рn, nZ;

Функция принимает положительные значения: ctg x>0 при x( рn; +рn), nZ;

Функция принимает отрицательные значения: ctg x<0 при x( +рn?р +рn), nZ;

Функция убывает в каждом из промежутков (рn ?р +рn), nZ;

a) вертикальные асимптоты x= рn и x=0

b) наклонных асимптот нет

Графиком функции является котангенсоида.

Функция y=arcsin x

Свойства функции y=arcsin x:

1. Область определения функции: D(f)=[-1;1];

2. Область значений: E(f)=[-; ];

3. Функция является нечетной, т.е. arcsin (-x) = - arcsin x;

4. Нули функции: arcsin x = 0 при x = 0;

5. Функция возрастает на [-1;1];

6. Функция принимает наибольшее значение при x=1;

7. Функция принимает наименьшее значение при x= -1;

8. a) вертикальных асимптот нет

б) наклонных асимптот нет

9. График функции y = arcsin x:

Функция y=arccos x

Свойства функции y=arccos x:

Область определения функции: D(f)=(-1;1);

Область значений: E(f)=[0; р];

Функция не является ни четной, ни нечетной;

Нули функции: arccos x = 0 при x = 1;

Функция убывает на (-1;1);

Функция принимает наибольшее значение р при x =-1;

Функция принимает наименьшее значение 0 при x= 1;

a) вертикальные асимптоты x=-1 и x=1

b)наклонных асимптот нет

Функция y=arctg x

Свойства функции y=arctg x:

Область определения функции: D(f)=R;

Область значений: E(f)= (-; );

Функция является нечетной, т.е. arctg (- x) = - arctg x;

Нули функции: arctg x = 0 при x = 0;

Функция возрастает на R;

a) нет вертикальных асимптот

наклонные асимптоты y=+ рn

График функции y = arctg x:

Рис.14

Функция y=arcctg x

Свойства функции y=arcctg x:

Область определения функции: D(f)=R;

Область значений: E(f)= (0; р );

Функция не является ни четной, ни нечетной;

Нули функции: arctg x = 0 при x = ;

a) нет вертикальных асимптот

b) наклонные асимптоты y= рn

6.Функция убывает на R;

7.График функции y = arcctg x:

Рис.15

Глава 2. Простейшие преобразования графиков

2.1 Параллельный перенос

Рассмотрим параллельный перенос вдоль оси абсцисс. Пусть дан график функции y=f(x). Как по отношению к нему будет расположен график функции y=f(x-а)?

Для всякой точки М0(х0;у0), принадлежащей графику функции y=f(x-а), точка М1(х0-а;у0), смещенная по сравнению с точкой М0(х0;у0) на а единиц влево, будет принадлежать графику функции y=f(x). В самом деле, это означает, y0=f(x0-а). Подобным же образом легко установить, что если точка М2(х2;у2) принадлежит графику функции y=f(x), то точка М3(х2+а;у2) смещенная по сравнению с ней на а единиц вправо, принадлежит графику функции y=f(x-а). В самом деле, это означает, что y2=f(x2). Отсюда заключаем, что если а >0, то график функции y=f(x-а) получается из графика функции y=f(x) смещением на а единиц вправо. Ясно, что если а<0, то график функции y=f(x-а) получается из графика функции смещением на единиц влево.

С помощью параллельного переноса вдоль оси Ох (рис.16) или оси Оу (рис.17) по заданному графику функции можно построить графики функций и . В этом случае любая точка A ( x ; y ) графика переходит в точку A` ( x+m ; f(x)+n ).



Замечание. Тот же результат можно получить, если перенести ось у влево или соответственно вправо (при а <0) на единиц.

2.2 Деформация (растяжение и сжатие) графика

График функции y=f(x), >0 получается из графика функции y=f(x) «сжатием» к оси у в раз при >1 и «растяжением» от оси у в раз при 0<<1.

График функции y=kf(x), к>0 получается из графика функции y=f(x) «растяжением» от оси х в k раз при k>1 и «сжатием» к оси х в раз при 0<k<1.

С помощью растяжения или сжатия по оси Ох или оси Оу можно построить график функции (рис.18) или (рис.19). Для построения графика функции последовательно применяют преобразования.



Замечание. Нетрудно показать, что если y=f(x) - периодическая функция с периодом Т, то функция y=f(x), >0 является периодической с периодом . В самом деле, так как функция f(x) имеет период Т, то при любом х выполняется равенство f(x+Т)= f(x): Положим = f(x); тогда для любого х получим

и, следовательно, функция имеет период .

2.3 Отражение

График функции y=-f(x) получается зеркальным отражением графика функции y=f(x) относительно оси х. (рис.20)

Для построения графика функции необходимо построить график функции и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции .



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.20

График функции y=f(-x) получается зеркальным отражением графика функции y=f(x) относительно оси у. (рис.21)

Для построения графика функции необходимо построить график функции и отразить его относительно оси абсцисс

Рис.21

Построение графиков четных и нечетных функций изучается в школьном курсе. Для построения графиков этих функций следует строить ветвь графика только в области неотрицательных значений аргумента . График функции в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат для графика четной функции и получается отражением ее относительно оси ординат. Для нечетной функции необходимо дополнить построенную ветвь симметричной ей относительно начала координат.

Глава 3. Рабочая тетрадь «Построение графиков элементарных функций»

Пояснительная записка

Предлагаемая рабочая тетрадь предназначена для предпрофильной подготовки учащихся 9-11х классов и посвящена изучению поведения функций и построению их графиков. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес. Изучение функций и их графиков является важным разделом школьного курса. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично. Изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу и, следовательно, не изучаются.

Основная цель рабочей тетради - помочь в систематизации изложения методов построения графиков функций, в рамках знаний, предусмотренных школьной программой. Актуальность состоит еще и в том, что в материалах ЕГЭ очень часто встречаются задания, решение которых возможно только с помощью графика. В данной разработке предусмотрена возможность дифференцированного обучения, как путем использования задач различного уровня сложности. Так и на основе различной степени самостоятельности осваивания нового материала.

Учебная цель

· Проверить умение учащихся читать графики функций.

· Проверить понимание учащимися: терминов абсцисса, ордината, аргумент, значение функции и связь между ними;

· Познакомить учащихся со средой Рабочей тетради возможностями рабочей тетради для решения задач

Требования к знаниям и умениям

· Учащиеся должны владеть понятиями: аргумент, функция, график функции, абсцисса, ордината.

· Учащиеся должны уметь: по заданному значению аргумента находить значение функции; по заданному значению функции находить значение аргумента;

· находить на графике функции точку по заданной абсциссе, по заданной ординате;

Форма организации учебной деятельности

· Индивидуальная работа, выполнение самостоятельной работы в тетрадь

Построенная прямая является графиком функции .

Пример 2. Не выполняя построения, найти координаты точек пересечения с осями координат графика функции

Решение. Пусть точка А - точка пересечения графика функции с осью Ох. Ордината точки А равна нулю. Найдем абсциссу этой точки:

; .

Имеем А(-5;0) - точка пересечения графика функции с осью Ох.

Пусть точка В - точка пересечения графика с осью Оу. Абсцисса точки В равна нулю. Найдем ординату этой точки:

; .

Имеем В- точка пересечения графика функции с осью Оу.

Пример 3. Найти координаты точки пересечения графиков функций:

и .

Решение. Приравниваем правые части уравнений и :

.

Получили линейное уравнение с одной переменной х. Решив уравнение, получим: - абсцисса точки пересечения графиков функций и .

Поставим значение переменной х в уравнение (или ) и получим: - ордината точки пересечения графиков функций и .

Ответ:

Пример 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и . Решение: Уравнение прямой в общем виде: . Необходимо найти k и b. Подставим координаты точек А и В вместо х и у в уравнение и получим систему из двух линейных уравнений с переменными k и b. Решим полученную систему:

Подставим значения k и b в уравнение и получим: .

Ответ: .

Задание 1. Построить график линейной функции

Решение. Найдем координаты двух точек:

х= ___; у =___. А(__;__)

х= ___; у = ___. В(__;__)

Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.

б) График функции можно получить из графика с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу на две единицы вверх.

Построим график функции. Графиком этой функции является парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз. Для построения графика функции найдем координаты нескольких точек:

х	-2	-1	0	1	2
у	-4	-1	0	-1	-4

В этой же системе координат построим график функции .

Для этого возьмем значения аргумента, как и для функции , но им будут соответствовать значения функции, большие на 2, чем значения функции :

х	-2	-1	0	1	2
у	-2	1	2	1	-2



график функция элементарный исследование

в) Решение. График функции можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов. Сначала получим график функции из графика с помощью параллельного переноса вдоль оси Ох на 1 единицу вправо, затем из полученного графика с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу на 2 единицы вниз получаем график функции .

Пример 2. Постройте график функции . Найдите по графику, при каких значениях х значение у равно 0, больше 0, меньше 0. Укажите множество значений.

Решение. График функции является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а=2>0.

Пусть точка - вершина параболы, найдем ее координаты:

.

Точка А(-1;-8) - вершина параболы, значит, парабола симметрична относительно прямой х=-1. Для построения графика найдем координаты нескольких точек.



х	-3	-2	-1	0	1
у	0	-6	-8	-6	-8

При х= -3 и х=1 у=0.

При х<-3 и х>1; y>0.

При -3<х и х<1 у<0.

Множество значений функций: E(f)=[-8;+).

Пример 3. Не выполняя построение графика функции, найти точки пересечения графика функции с осями координат.

Решение. Абсцисса точки пересечения графика функции с осью ординат равна нулю. Найдем ординату этой точки:

если х = 0, то .

(0; -3) - координаты точки пересечения графика функции с осью ординат.

Графиком функции является парабола. Парабола может пересекать ось абсцисс в двух точках, может касаться оси абсцисс, а может не иметь с ней общих точек. Если такие точки существуют, то их ординаты равны нулю. Чтобы найти абсциссы, нужно решить квадратное уравнение .

Так как дискриминант данного уравнения равен 16, то уравнение имеет 2 корня: .

(3; 0), (-1; 0) - координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Ответ: (0; -3), (3; 0), (-1; 0).

Занятие 3. Показательная функция

Область определения функции: ______________

Множество значений функции: ______________

Если а > 1, то функция ___________ на промежутке -? < x < +? ;

Если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке ____________;

Единственная точка пересечения с осями координат:____________

Пример 1. Построить график функции .

Вычислим значение функции для нескольких значений аргумента:

х	-2	-1	0	1	2
у			1	3	9

Построим эти точки. Основание степени больше 1, следовательно, функция строго возрастает, т.е. с увеличением аргумента значения функции увеличиваются. Учитывая, что функция определена на всей числовой прямой и непрерывна, соединяет найденные точки графика сплошной линией.

Задание 2. Используя правило построения графика функции , где , по графику функции , построить график .

Решение. Сначала построим график функции, для построения графика функции найдем координаты нескольких точек.

х	-2	-1	0	1	2
у	9	3	1	1/3	1/9

В этой же системе координат построим график функции , для этого возьмем значение аргумента, как и для функции , но им будут соответствовать значения функции возведенные в квадрат, чем значения функции:

х	-2	-1	0	1	2
у	81	9	1	1/9	1/81

В этой же системе координат построим график функции , для этого возьмем значение аргумента, как и для функции , но им будут соответствовать значения функции увеличенные в три раза, чем значения функции:

х	-2	-1	0	1	2
у	243	27	3	1/3	1/27

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример 1. Построить график функции .

Решение. Вычислим значения функции для нескольких значений аргумента:

х	1/9	1/3	1	3	9
у	2	1	0	-1	-2

Построим эти точки. Основание логарифма меньше 1 но больше нуля, следовательно, функция строго убывает. Учитывая, что функция определена на множестве положительных чисел и непрерывна. Соединяем построенные точки сплошной линией.

Пример 2. Используя правило построения графика функции , где , по графику функции , построить график .

Решение. Сначала построим график функции, для построения графика функции найдем координаты нескольких точек.

х	1	2	4	1/2	1/4
у	0	1	2	-1	-2

Так как функция имеет вид, тогда график функции смещен влево по оси Ох на 1 единицу. Найдем координаты нескольких точек

х	0	1	3	-1/2	-3/4
у	0	1	2	-1	-2



Пример 3. Используя правило построения графика функции , где , по графику функции , построить график функции .

Решение. Сначала построим график функции, для построения графика функции найдем координаты нескольких точек.

х	1	1/2	1/4	2	4
у	0	1	2	-1	-2

Так как функция имеет вид , для этого возьмем значение аргумента, как и для функции , тогда им будут соответствовать значения функции увеличенные в два раза. Найдем координаты нескольких точек

х	2	1	1/2	4	8
у	0	1	2	-1	-2



Пример 1. Построить графики функций а) б) в);

Решение а). Для того чтобы построить график функции, исследуем ее.

Область определения - вся числовая прямая.

Множество значений функции - [-1;1]. Функция является нечетной т.к. .

Следовательно. График функции симметричен относительно начала координат.

Наименьший положительный период равен, т.к. .

Поэтому построим часть графика на отрезке , длина которого равна периоду.

Найдем нули функции на этом промежутке.

; ; , где k=-1; 0; 1.

Наибольшее значение, равное 1, функция принимает при .

Наименьшее значение, равное -1, функция принимает при .

Для того чтобы построить график функции на всей числовой прямой, необходимо часть графика, построенного на отрезке , сдвигать вдоль оси абсцисс на , где .

Пример 1. построить график функции

Решение а). Для того чтобы построить график функции, исследуем ее.

Область определения - вся числовая прямая.

Множество значений функции - [-1;1]. Функция является четной т.к. .

Следовательно. График функции симметричен относительно начала координат.

Наименьший положительный период равен, т.к. .

Поэтому построим часть графика на отрезке , длина которого равна периоду.

Найдем нули функции на этом промежутке.

; ; ,

где k=-1; 0; 1.

Наибольшее значение, равное 1, функция принимает при .

Наименьшее значение, равное -1, функция принимает при .

Для того чтобы построить график функции на всей числовой прямой, необходимо часть графика, построенного на отрезке , сдвигать вдоль оси абсцисс на , где .

Пример 1. Построить графики функций

Решение. для того чтобы построить график функции, исследуем ее.

Область определения -.

Множество значений функции: E(f)=R.

График функции симметричен относительно начала координат.

Нули функции на промежутке .

Для того чтобы построить график функции , необходимо часть графика.

Построенного на отрезке, сдвигать вдоль оси Ох.

Пример 1. Построить графики функций

Решение. для того чтобы построить график функции, исследуем ее.

Область определения -.

Множество значений функции: E(f)=R.

График функции симметричен относительно начала координат.

Нули функции на промежутке .

Для того чтобы построить график функции , необходимо часть графика.

Построенного на отрезке, сдвигать вдоль оси Ох



Заключение

Вопрос о функции в школьном курсе математики - это один из тех вопросов, характер изучения которых в значительной степени определяет прикладную и практическую направленность этого курса.

Особую роль при рассмотрении свойств функций играет использование графических представлений. Одна из важнейших задач изучения функционального материала состоит в формировании умения «читать» график: находить значение функции по заданному значению аргумента; находить, при каких значениях аргумента функция принимает указанное значение; определять промежутки знакопостоянства, а также промежутки возрастания и убывания функции. При изучении конкретных функций график является опорным для выяснения свойств функции, которые затем доказываются аналитически. В то же время, обращение к аналитическим доказательствам используется для уточнения суждения о виде графика.

В ходе выполнения квалификационной работы было выявлено, что в некоторых случаях график функции удобно строить с помощью преобразований: параллельного переноса, растяжения (или сжатия), преобразования симметрии. Зная график основной функции и все возможные преобразования, можно построить график функции любой сложности

Главной методической особенностью рабочей тетради предложенной в квалификационной работе является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

Квалификационная работа состоит из введения, трех глав, заключения. Объемом 57 страниц, изучена и систематизирована литература в количестве 12 источников.

Литература

1. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. - М.: Просвещение, 1992. - 364 с.

2. Баврин И. И. Курс высшей математики: Учебник. - М.: Просвещение, 1992. - 372с.

3. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., Мордкович А.Г. Математика: лекции, задачи, решения. - М.: Альфа, 1995. - 367 с.

4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, 1978. - 423 с.

5. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. Материалы. - М.: Просвещение, 1990. - 415 с.

6. Дорофеева А. В. Учебник по высшей математике. М.: Изд-во МГУ, 1971. 422 с.

7. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. - М.: Дрофа, 2000. - 414 с.

8. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. - М., Просвещение, 1995. - 427 с.

9. Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарным функциям. - М., Высшая школа, 2001.

10. Райхмистр Р.Б. Графики функций. - М., Высшая школа, 2001.

11. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П.Савин. - М.: Педагогика, 1985. - 549с.

12. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. - М.: Просвещение, 1978. - 362с.

Размещено на Allbest.ru