Элементы высшей алгебры: нахождение корней многочленов высших степеней
Изучение полиномиальных уравнений и путей их решений. Доказательство теорем Безу и Штурма. Ознакомление с правилами использования формул Виета, математических методов Лобачевского, касательных и пропорциональных отрезков для определения корней многочлена.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.09.2011 |
| Размер файла | 782,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Воронежский государственный технический университет
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине "Высшая математика"
Тема "Элементы высшей алгебры: нахождение корней многочленов высших степеней"
Выполнил:
студент 1 курса
группы АИ-101
Картунов А.А.
Проверил:
Купцов В.С.
Воронеж, 2011
Содержание
Введение
Элементы высшей алгебры: нахождение корней многочленов высших степеней
Задача
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Математика ум в порядок приводит
М. Ломоносов
Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много… Эти нечисловые понятия всегда ограждали сферу математики. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась. В Европе сложилось разделение на гуманитарные и естественные науки по степени влияния математики на эти части.
Целью этой курсовой работы является изучение элементов высшей алгебры, а именно нахождение корней многочленов высшей степени, решение практической задачи по данной теме.
В математике, многочлены или полиномы от одной переменной - функции вида где ci - фиксированные коэффициенты, а x - переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.
Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект "классической алгебры". С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе. полиномиальный уравнение корень многочлен
Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.
Элементы высшей алгебры. Нахождение корней многочленов высшей степени
Многочлен (или полином) от n переменных -- есть конечная формальная сумма вида
,
где I = (i1,i2,...,in) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI -- число (называемое "коэффициент многочлена"), зависящее только от мультииндекса I.
В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида
Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел).
В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом, в случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.
Полной степенью (ненулевого) одночлена называется целое число
| I | = i1 + i2 + ... + in.
Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени
Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае -- неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен л, то p или q делится на л. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).
Например, многочлен x4 + 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.
Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел -- на множители первой степени (основная теорема алгебры).
Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.
Корень многочлена над полем k - это элемент , который после подстановки его вместо x обращает уравнение в тождество.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x ? a равен P(a). Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).
Доказательство.
Поделим с остатком P(x) = (x ? a)Q(x) + R(x). Так как degR(x) < deg(x ? a) = 1, R(x) - многочлен степени 0. Подставляя a, поскольку (a ? a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(x).
Другой вариант доказательства.
Запишем формулу Тейлора для многочлена:
Берём x0 = a. Теорема доказана.
Следствие. Число a является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x) делится без остатка на двучлен x ? a.
Число вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами степени n заведомо меньше либо равно n. При этом комплексные корни многочлена (если они есть) сопряжены, таким образом, многочлен четной степени может иметь только четное число вещественных корней, а многочлен нечётной - только нечётное.
Всякий многочлен p(x) с вещественными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень.
Теорема (основная теорема алгебры). Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в поле комплексных чисел.
Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция, обратная многочлену должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.
Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом кратности корней.
Доказательство. У многочлена f(x) есть корень a, значит, по теореме Безу, он представим в виде (x ? a)g(x), где g(x) -- другой многочлен. Применим теорему к g(x) и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте g(x) не окажется линейный множитель. На самом деле существует еще несколько прямых следствий.
Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте (р. 1617). Первые доказательства основной теоремы алгебры принадлежат Жирару, 1629 г., и Декарту, 1637 г., в формулировке, отличной от современной. Маклорен и Эйлер уточнили формулировку придав ей форму, эквивалентную современной: "Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами."
Д'Аламбер первым в 1746 г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме, что если для какого-нибудь x f(x)?0, где f(x) -- многочлен степени ?1 , то найдется точка x1 такая, что |f(x1)|<|f(x)|. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д'Аламбер мог доказать, что где-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во 2-й половине XVIII века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что по крайней мере один из них является комплексным числом. Гаусс первым дал доказательство без этого предположения (единственным недоказанным Гауссом предположением было то, что многочлен с действительными коэффициентами, принимающий как положительное, так и отрицательное значение, также имеет и корень, что весьма геометрически наглядно). Его доказательство, по существу, содержит построение поля разложения многочлена.
Со времён доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.
Кроме того, доказательство теоремы не вполне "алгебраическое", оно привлекает утверждения о топологии комплексной плоскости, либо хотя бы вещественной прямой.
Многочлен с вещественными коэффициентами p(x) можно записать в виде
где
-- (в общем случае комплексные) корни многочлена p(x), возможно с повторениями, при этом если среди корней многочлена p(x) встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.
Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.
Формулы Виета -- формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.
Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным его корням.
Если -- корни многочлена (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:
Иначе говоря ( ? 1)kak равно сумме всех возможных произведений из k корней.
Если старший коэффициент многочлена , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a0 (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.
Доказательство осуществляется рассмотрением равенства
где правая часть представляет собой многочлен, разложенный на множители.
После перемножения элементов правой части, коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равными в обеих частях, из чего следуют формулы Виета.
Пример. Квадратное уравнение
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Или
Если x1 и x2 -- корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 , то
и .
В частном случае, если a = 1 (приведенная форма x2 + px + q = 0), то
x1 + x2 = ? p и x1x2 = q.
Пример. Кубическое уравнение
Если x1, x2, x3 - корни кубического уравнения p(X) = ax3 + bx2 + cx + d = 0, то
Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.
То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 г. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции -- эллиптические или гипергеометрические (корень Бринга).
В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.
Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.
Ряд Штурма (система Штурма) для вещественного многочлена -- последовательность многочленов, позволяющая эффективно определять количество корней многочлена на промежутке и приближённо вычислять их с помощью теоремы Штурма. Ряд и теорема названы именем французского математика Жака Штурма.
Рассмотрим многочлен f(x) с вещественными коэффициентами. Конечная упорядоченная последовательность отличных от нуля многочленов с вещественными коэффициентами называется рядом Штурма для многочлена f(x), если выполнены следующие условия: не имеет корней;
если и , то ;
если ,
то произведение меняет знак с минуса на плюс, когда x, возрастая, проходит через точку c, т.е. когда существует такое д > 0, что
для и для .
Значением ряда Штурма в точке c называется количество смен знака в последовательности f0(c),f1(c),...,fs(c) после исключения нулей.
Теорема Штурма Пусть f(x) -- ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами, f0(x),f1(x),...,fs(x) -- некоторый ряд Штурма для него, [a,b] -- промежуток вещественной прямой, причём . Тогда число корней многочлена f(x) на промежутке [a,b] равно W(a) ? W(b), где W(c) -- значение ряда Штурма в точке c.
Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена. Пусть многочлен f(x), отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно построить, например, следующим образом:
;
;
Если fk(x) (k > 0) имеет корни, то , где -- остаток от деления многочлена f(x) на многочлен g(x) в кольце многочленов , иначе s = k.
Для произвольного многочлена, отличающегося от константы, можно положить , и далее следовать приведенному выше способу. Здесь (f(x),f'(x)) -- наибольший общий делитель многочленов f(x) и f'(x). Если многочлен f(x) есть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена f0(x) = f(x).
Ряд Штурма используется для определения количества вещественных корней многочлена на промежутке. Отсюда вытекает возможность его использования для приближённого вычисления вещественных корней методом двоичного поиска.
Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена
f(x) = (x ? 1)(x ? 3) = x2 ? 4x + 3
Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена
f(x) = (x ? 1)(x ? 3) = x2 ? 4x + 3
|
Многочлен fi(x) |
Знак многочлена в точке |
|||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||
|
f0(x) = x2 ? 4x + 3 |
||||||||
|
f1(x) = 2x ? 4 |
||||||||
|
f2(x) = 1 |
||||||||
|
Значение ряда в точке |
Таким образом, по теореме Штурма число корней многочлена f(x) равно: 2 ? 0 = 2 на промежутке
2 ? 0 = 2 на промежутке (0,4)
2 ? 1 = 0 на промежутке (0,2)
Метод Лобачевского.
Для отделения корней Лобачевский предложил метод квадратирования - способ построения по исходному уравнению нового уравнения, кони которого связаны с корнями исходного следующим образом: yi=-xi2
Процедура выполнения многократна, пока не достигнем серьёзной разницы модуля разности корней b0(m)yn + b1(m)yn-1+…+ bn-1(m)y+ bn(m)=0 (*)
Пусть уравнение (*) получено в результате m-го шага квадрирования.
m=1 b0(1)=a02, b1(1)= a12=2 a0 a2
bk(1)=ak2-2ak-1ak+1+2ak-2ak+2….,k=0,n
При получении bk коэффициента, который рассчитывается как квадрат соответствующего коэффициента ak минус удвоенное произведение соседних коэффициентов с ak плюс удвоенное произведение следующей пары соседей , чередуя знаки, пока в число соседних коэффициентов не попадут а0 и аn.
m>1b0(m)=( b0(m-1))2, b1(m)=( b1(m-1))2-2b0(m-1)b2(m-1)
bk(m)=( b0(m-1))2-2bk-1(m-1)bk-1(m-1)+2bk-2(m-1)bk+2(m-1)
Критерий остановки: bk(m)?( b0(m-1))2, k=0,n
Получим корень: yi(m)=-xi2, i=1,n -связь корней, полученных на m-шаге процесса квадрирования с корнями исходного уравнения.
yi на m-шаге :
,
Отсюда
, i=1,n
Знак xi определяется путем подстановки в исходное уравнение. Те коэффициенты, которые будут отвечать за наличие комплексных корней, имеют следующий признак: один или несколько коэффициентов в ходе процесса квадрирования ведут себя неправильно (все остальные коэффициенты >к квадратам предыдущих, а неправильные > к квадратам предыдущих могут менять знак).
Признак наличия кратных корней: один или несколько коэффициентов > к половине квадрата коэффициента предыдущего шага.
Метод половинного деления.
Если функция непрерывна на отрезке и , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , делим этот отрезок пополам. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем ту из половин или , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам и проводим то же рассуждение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения , или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …, , … таких, что и , позволяющих отделить корень этого уравнения с заданной точностью.
Пример. Отделим аналитически корни уравнения .
Рассмотрим функцию .
Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента :
.
.
при ;
;
или ;
;
;
, .
Посчитаем значения функции в точках нулей её производной и в граничных точках (исходя из области допустимых значений неизвестного).
Для удобства составим таблицу знаков функции :
|
+ |
- |
- |
- |
+ |
Следовательно, уравнение , то есть имеет два действительных корня: и .
Уменьшим промежутки, в которых находятся корни:
|
2 |
3 |
|||||||
|
+ |
- |
- |
- |
- |
- |
+ |
Следовательно, уравнение , то есть имеет два действительных корня: и .
Уточним корень уравнения методом проб (методом половинного деления) с точностью до 0,01.
Если функция непрерывна на отрезке и , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , делим этот отрезок пополам. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем ту из половин или , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам и проводим то же рассуждение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения , или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …, , … таких, что и , позволяющих отделить корень этого уравнения с заданной точностью.
Результаты расчётов поместим в таблице:
|
0 |
2 |
3 |
2,5 |
39,0625 |
62,5 |
50 |
34,5625 |
|
|
1 |
2 |
2,5 |
2,25 |
25,62890625 |
45,5625 |
40,5 |
13,69140625 |
|
|
2 |
2 |
2,25 |
2,125 |
20,39086914 |
38,3828125 |
36,125 |
5,648681641 |
|
|
3 |
2 |
2,125 |
2,0625 |
18,09571838 |
35,09472656 |
34,03125 |
2,159194946 |
|
|
4 |
2 |
2,0625 |
2,03125 |
17,02368259 |
33,52355957 |
33,0078125 |
0,539429665 |
|
|
5 |
2 |
2,03125 |
2,015625 |
16,50588995 |
32,75587463 |
32,50195313 |
-0,240188539 |
|
|
6 |
2,015625 |
2,03125 |
2,0234375 |
16,76328689 |
33,13823509 |
32,75439453 |
0,147127453 |
|
|
7 |
2,015625 |
2,0234375 |
2,01953125 |
16,63421502 |
32,94668508 |
32,62805176 |
-0,047151658 |
Итак, корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью корень уравнения .
Пример. Отделим корни уравнения и найдём их с точностью методом деления пополам.
Сделаем чертёж для того, чтобы графически найти приближённые значения корней (решений) уравнения , то есть . Построим графики функций и , а затем найдём корни исходного уравнения как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Очевидно, графики функций и пересекаются в двух точках, абсциссы которых принадлежат соответственно отрезкам и , и приблизительно равны соответственно и 2,1. Следовательно, уравнение имеет два решения (корня):
1) решение, принадлежащее отрезку и приблизительно равное ;
2) решение, принадлежащее отрезку и приблизительно равное 2,1.
Если функция непрерывна на отрезке и , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , делим этот отрезок пополам. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем ту из половин или , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам и проводим то же рассуждение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения , или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …, , … таких, что и , позволяющих отделить корень этого уравнения с заданной точностью.
Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна на отрезке , причём и , то есть . Поэтому для нахождения первого корня уравнения , то есть уравнения , воспользуемся методом половинного деления:
1) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
2) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
3) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
4) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
5) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
6) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
7) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
8) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
Итак, первый корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью первый корень уравнения : .
Снова рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна на отрезке , причём и , то есть . Для нахождения второго корня уравнения , то есть уравнения , снова воспользуемся методом половинного деления:
1) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
2) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
3) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
4) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
5) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
6) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
7) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
8) Делим отрезок пополам: ; на концах отрезка функция имеет противоположные знаки.
Итак, второй корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью второй корень уравнения : .
Метод касательных (Ньютона).
Метод Ньютона (также известный как метод касательных) -- это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643--1727), под именем которого и обрёл свою известность.
Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.
Чтобы численно решить уравнение методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме: , где -- сжимающее отображение.
Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде
,
тогда:
В предположении, что точка приближения "достаточно близка" к корню , и что заданная функция непрерывна , окончательная формула для такова:
С учётом этого функция определяется выражением:
Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение, и алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:
По теореме Банаха последовательность приближений стремится к корню уравнения .
Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.
Пусть -- определённая на отрезке [a, b] и дифференцируемая на нём действительнозначная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:
,
где б -- угол наклона касательной в точке .
Следовательно искомое выражение для имеет вид:
.
Итерационный процесс начинается с некого начального приближения x0 (чем ближе к нулю, тем лучше, но если предположения о нахождении решения отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях).
Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение.
Комбинированный метод хорд (пропорциональных отрезков) и касательных (Ньютона).
Если функция непрерывна на отрезке , , а и сохраняют постоянные знаки на отрезке , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , можно воспользоваться комбинированным методом хорд (пропорциональных отрезков) и касательных (Ньютона), на каждом этапе которого находятся значения по недостатку и значения по избытку точного корня уравнения . Так, для случая и полагаем , и , (на каждом шаге данный метод применяется к отрезку . Если допустимая абсолютная погрешность приближённого корня равна , то процесс сближения прекращается в тот момент, когда будет обнаружено, что . По окончании процесса за значение корня лучше всего взять среднее арифметическое полученных последних значений: .
Пример. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение третьей степени , вычислив корни с точностью до 0,001.
Сделаем чертёж для того, чтобы графически найти приближённые значения корней (решений) уравнения , то есть . Построим графики функций и , а затем найдём корни исходного уравнения как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Очевидно, графики функций и пересекаются в двух точках:
a) в точке, абсцисса которой принадлежит отрезку и приблизительно равна ;
b) в точке, абсцисса которой принадлежит отрезку и приблизительно равна 0,6.
Следовательно, уравнение имеет два решения (корня):
a) корень, принадлежащий отрезку и приблизительно равный ;
b) корень, принадлежащий отрезку и приблизительно равный 0,6.
Если функция непрерывна на отрезке , , а и сохраняют постоянные знаки на отрезке , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , можно воспользоваться комбинированным методом хорд (пропорциональных отрезков) и касательных (Ньютона), на каждом этапе которого находятся значения по недостатку и значения по избытку точного корня уравнения . Так, для случая и полагаем , и , (на каждом шаге данный метод применяется к отрезку . Если допустимая абсолютная погрешность приближённого корня равна , то процесс сближения прекращается в тот момент, когда будет обнаружено, что . По окончании процесса за значение корня лучше всего взять среднее арифметическое полученных последних значений:
.
Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна на отрезке , причём и , то есть .
; для любых ;
; для любых .
Сделаем замену .
Тогда функция , принимает вид , . Теперь и сохраняют постоянные знаки на отрезке: ; для любых ;
; для любых .
Поэтому для нахождения первого корня уравнения (), то есть уравнения воспользуемся комбинированным методом хорд и касательных:
1) Полагаем , ; для функции
:
; ; ;
,
;
2) Для функции
:
;
;
;
,
.
3) Для функции
:
;
;
;
,
.
Очевидно, , то есть , следовательно, процесс сближения можно прекратить, требуемая точность достигнута.
Итак, первый корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью первый корень уравнения : . Соответственно с точностью первый корень уравнения
: .
Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна на отрезке , причём и , то есть .
; для любых ;
; для любых .
Поэтому для нахождения второго корня уравнения , то есть уравнения воспользуемся комбинированным методом хорд и касательных:
1) Полагаем , ;
,
;
2) ;
;
;
;
.
3) ;
;
;
;
.
Очевидно, , то есть , следовательно, процесс сближения можно прекратить, требуемая точность достигнута.
Итак, второй корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью второй корень уравнения : .
Задача
Решить уравнение (найти все корни)
.
Решение.
Отделим графически корни уравнения
Рассмотрим функцию
Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента :
.
Очевидно, график функции пересекается с осью в четырёх точках, абсциссы которых расположены:
1) между -8 и -7;
2) между -1 и 0;
3) примерно в точке 1;
4) между 2 и 3.
Следовательно, уравнение имеет 4 действительных корня: , , и .
Уточним корень уравнения методом проб (методом половинного деления) с точностью до 0,01.
Если функция непрерывна на отрезке и , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , делим этот отрезок пополам. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем ту из половин или , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам и проводим то же рассуждение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения , или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …, , … таких, что и , позволяющих отделить корень этого уравнения с заданной точностью.
Результаты расчётов поместим в таблице:
Итак, корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью корень уравнения .
Аналогичным образом уточним корень уравнения методом проб (методом половинного деления) с точностью до 0,01.
Результаты расчётов поместим в таблице:
Итак, корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью корень уравнения .
Уточним корень уравнения
.
,
следовательно, можно сделать вывод, что корень уравнения .
Уточним корень уравнения методом проб (методом половинного деления) с точностью до 0,01. Результаты расчётов поместим в таблице:
|
0 |
2 |
3 |
2,5 |
39,0625 |
78,125 |
100 |
28,6875 |
|
|
1 |
2 |
2,5 |
2,25 |
25,62890625 |
56,953125 |
81 |
12,83203125 |
|
|
2 |
2 |
2,25 |
2,125 |
20,39086914 |
47,97851563 |
72,25 |
7,244384766 |
|
|
3 |
2 |
2,125 |
2,0625 |
18,09571838 |
43,8684082 |
68,0625 |
4,964126587 |
|
|
4 |
2 |
2,0625 |
2,03125 |
17,02368259 |
41,90444946 |
66,015625 |
3,943757057 |
|
|
5 |
2 |
2,03125 |
2,015625 |
16,50588995 |
40,94484329 |
65,00390625 |
3,462451994 |
|
|
6 |
2 |
2,015625 |
2,0078125 |
16,25146866 |
40,47058344 |
64,50097656 |
3,228888039 |
|
|
7 |
2 |
2,0078125 |
2,00390625 |
16,12536669 |
40,23483306 |
64,25024414 |
3,113861859 |
|
|
8 |
2 |
2,00390625 |
2,001953125 |
16,06259161 |
40,11730198 |
64,12506104 |
3,05678568 |
Итак, корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью корень уравнения .
Ответ: ; ; ; .
Заключение
Итак, в данной работе были изучены элементы высшей алгебры, а именно способы отделения и нахождения корней многочленов, решены конкретные задачи для иллюстрации этих способов.
Математическое моделирование, универсальность математических методов обуславливают огромную роль математики в самых различных областях человеческой деятельности.
Основой любой профессиональной деятельности являются умения:
- строить и использовать математические модели для описания, прогнозирования и исследования различных явлений;
- осуществить системный, качественный и количественный анализ;
- владеть компьютерными методами сбора, хранения и обработки информации;
- владеть методами решения оптимизационных задач.
Широкое применение находят математические методы в естествознании и сугубо гуманитарных науках: психологии, педагогике.
Можно сказать, что в недалеком будущем любая часть человеческой деятельности будет еще более широко использовать в своих исследованиях математические методы. Ведь математика отлично приспособлена для количественной обработки любой научной информации, независимо от ее содержания.
Список использованной литературы:
1. Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. - Орёл: ОрёлГТУ, 2000. - 96 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - 6-е изд. - СПб.: Изд. Лань, 2003. - 832 с.
3. Кострикин А. И. "Введение в алгебру", ч. 1 "Основы алгебры", изд. 2 исправленное, - М: Физматлит 2004
4. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М., Просвещение, 2007. - 190 с.
5. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 608 с.
7. Стили в математике: социокультурная философия математики.//Под ред. А.Г. Барабашева. - СПб., РХГИ. 2008. - 244 с.
8. Тихомиров В.М., Успенский В.В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. -- МЦНМО, 1997. -- № 1. -- С. 50-70
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Нахождение корней уравнений (Equation Section 1) методом: Ньютона, Риддера, Брента, Лобачевского и Лагерра. Вычисление корней многочленов по схеме Горнера. Функции произвольного вида (при использовании пакета Mathcad). Нахождение корней полиномов.
контрольная работа [62,7 K], добавлен 14.08.2010Содержание текстов Единого государственного экзамена. Решение уравнений высших степеней. Разложение многочлена третьей степени на множители. Определение корней квадратного уравнения и рациональных корней многочлена. Старший коэффициент делимого.
реферат [42,1 K], добавлен 20.10.2013Биография Франсуа Виета и его труды по математике. Создание новой алгебры: выражение свойств уравнений и их корней общими формулами и алгебраическими выражениями. Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями.
реферат [394,9 K], добавлен 13.05.2012Понятие и содержание равносильных уравнений, факторы их оценивания. Теорема о равносильности уравнений и ее доказательство. Причины и пути приобретения посторонних корней при разрешении данных уравнений. Нахождение и сравнение множества решений.
презентация [16,0 K], добавлен 26.01.2011История развития формул корней квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Решение квадратных уравнений Диофантом. Квадратные уравнения в Индии, в Хорезмии и в Европе XIII - XVII вв. Теорема Виета, современная алгебраическая запись.
контрольная работа [992,3 K], добавлен 27.11.2010Уравнения третьей степени и выше. Разложение левой части уравнения на множители, если правая часть равна нулю. Теорема Безу как один из методов, которые помогают решать уравнения высоких степеней. Определение и доказательство теоремы и следствия из нее.
научная работа [44,3 K], добавлен 25.02.2009Понятие многочленов и их свойства. Сущность метода неопределённых коэффициентов. Разложения многочлена на множители. Максимальное число корней многочлена над областью целостности. Методические рекомендации по изучению темы "Многочлены" в школьном курсе.
дипломная работа [733,7 K], добавлен 20.07.2011История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
реферат [75,8 K], добавлен 09.05.2009Теория высшей алгебры в решении задач элементарной математики. Программы для нахождения частного и остатка при делении многочленов, наибольшего общего делителя двух многочленов, производной многочлена; разложения многочленов на кратные множители.
дипломная работа [462,8 K], добавлен 09.01.2009Изучение способов приближенного решения уравнений с помощью графического изображения функций. Исследование метода определения действительных корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки для приведенных семи уравнений, построение их графиков.
творческая работа [12,5 M], добавлен 04.09.2010
