Мірою точності асиметрії та ексцесу є дисперсії

При великій кількості вимірів відповідно маємо

При великій кількості вимірів маємо:

2. Критерій Колмогорова

Це найбільш простий критерій перевірки гіпотези про нормальний закон розподілу. Використовується різниця D між статистичною інтегральною функцією розподілу (z) і відповідною теоретичною функцією розподілу F(z).

При невеликій кількості вимірів для статистичного розрахунку обчислюють: середнє арифметичне , відхилення , за формулою Бесселя середню квадратичну похибку m. Далі обчислюють нормовані похибки і складають зростаючий ряд Z_min, Z₁, Z₂, … Z_max.

3. Критерій x² (Пірсона)

В математичній статистиці його вважають найбільш строгим і надійним критерієм погодження нульових гіпотез. Він забезпечує мінімальну ймовірність виникнення похибок 2-го роду.

Розрахунки в критерії Пірсона аналогічні критерію Колмогорова і пов'язані з групуванням нормованих похибок. Слід пам'ятати, що при групуванні похибок в кожному інтервалі їх повинно бути не менше п'яти. Тому крайні інтервали можна штучно об'єднувати (збільшувати). Число інтервалів повинно бути не менше чотирьох.

Критерієм перевірки нульової гіпотези є статистика

,

де N= [v_i] - число всіх вимірів, p_i - теоретичне значення ймовірності вибраних інтервалів вибирається із таблиць.

В критерії Пірсона доведено, що при нормальному розподілі похибок вимірів статистика X² має X² - розподіл з числом ступенів вільності k = n - 1.

Критична область для нульової гіпотези буде

де %д - вибирається із таблиць дод. 9 за заданими д\ і г = & -- З, &- кількість інтервалів.

2. Розподіл імовірностей випадкових похибок

Результати вимірів е випадковими оскільки передбачити їх величину неможливо. Тоді і їх похибки будуть випадковими і для них можна вказати лише межу, в яких вони змінюються згідно з першою властивістю.

Неперервні випадкові похибки можна характеризувати законом розподілу, як об'єктивно існуючим зв'язком між випадковими величинами і їх імовірностями.

При багаторазових випробуваннях закон розподілу ряду істинних випадкових похибок можна характеризувати функціями:

1. Інтегральною функцією розподілу

()

2. Функцією щільності

де - приріст випадкової похибки .

Звернемося до постулату Гаусса, згідно з яким найбільш імовірним значенням шуканої величини є середнє арифметичне Із результатів повторних вимірювань. Скористаємося теоремою:

Якщо випадкові похибки відповідають постулату Гаусса, то законом розподілу випадкових похибок буде нормальний закон. В методі максимальної правдоподібності Фішера також доведено, що для нормального закону розподілу випадкових величин оцінкою параметра є середнє арифметичне.

Функція щільності нормального розподілу випадкових похибок визначиться за формулою

Для нормованих похибок отримаємо

3. Числові характеристики рівноточних вимірів

Рівноточними, називають виміри, дисперсії яких рівні між собою, тобто . Тому рівноточні виміри можна виразити статистичним рядом

()

Якщо невідоме істинне значення вимірюваної величини Х, то необхідно знайти значення близьке до істинного. Його називають дійсним, або ймовірним значенням виміряної величини. Воно може бути прийнятим, коли точність вимірів задовольняє поставленим вимогам, або - відхилене. Тому постає задача обчислення за результатами вимірів показників як розміру шуканої величини, так і її точності, їх називають числовими характеристиками. В теорії похибок вимірів до числових характеристик відносять:

1. Середнє арифметичне

Використаємо ряд вимірів. Якщо відоме істинне значення вимірюваної величини X, то визначимо ряд істинних похибок

Складемо їх і поділимо на n

За четвертою властивістю компенсації випадкових похибок ліва

частина формули наближається до нуля при . Позначимо середнє арифметичне

Тоді отримаємо ймовірне співвідношення

Принцип арифметичного середнього показує, що при нескінченній кількості вимірів і відсутності систематичних похибок просте арифметичне середнє наближається до істинного значення.

Це означає, що середнє арифметичне X буде найбільш точним, або ймовірніш значенням виміряної величини.

Як виміри, так і похибки вимірів при дотриманні "комплексу умов" належать нормальному закону розподілу. Тоді і за методом ММП Фішера доведено, що середнє арифметичне буде найбільш близьким до істинного.

Практично число вимірів обмежене, тому і обчислене середнє арифметичне буде випадковою величиною, яка може приймати значення в деякому інтервалі, який залежить від числа вимірів та прийнятої довірчої ймовірності.

2. Середня квадратична похибка окремого виміру

Теоретично мірою точності вимірів є дисперсія . За результатами статистичної обробки рядів вимірів визначають емпіричну (або статистичну) дисперсію m²

За ММП Фішера доведено, що коли статистичний ряд, підкоряється нормальному закону розподілу, ефективною точності є дисперсія

Оскільки розмірність дисперсії ("в квадраті"), то за міру точності приймають емпіричний стандарт або середню квадратичну похибку

де - істинні похибки.

Її називають похибкою Гаусса.

Якщо невідоме істинне значення вимірювальної величини, то використовуємо різниці

,

де - систематична похибка.

Коли число вимірів дорівнює n, із формули отримаємо:

,

Зведемо вираз до квадрату і підсумуємо

Якщо в формулі взяти суму ймовірних похибок V, отримаємо:

Оскільки середнє арифметичне за формулою дорівнює , то в формулі отримаємо:

або

Формула використовується і для контролю обчислення ймовірних похибок V.

Тоді формула зведеться до вигляду

Істинна похибка простої арифметичної середини обчислюється за формулою:

або .

Згідно з четвертою властивістю випадкових похибок

з врахуванням попередніх формул отримаємо

Остаточно отримаємо формулу Бесселя для визначення середньої квадратичної похибки виміру за ймовірними похибками

3. Середня квадратична похибка арифметичної середини

Запишемо

Оскільки виміри рівноточні, тобто , а часткові похідні , то за формулою отримаємо дисперсію середнього арифметичного

Тоді середня квадратична похибка арифметичного середнього арифметичного буде

Додатково обчислюють:

4. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки

5. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки арифметичного середнього

Для оцінки точності похибок вимірів використовують інші критерії.

6. Середню похибку , як середнє арифмитичне із суми абсолютних випадкових значень похибок, тобото

7. Середню похибку r. Її визначають в середині зростаючого ряду складеного із абсолютних значень похибок вимірів. Тоді ймовірність серединної похибки буде

Середня квадратична похибка виміру m має зв'язок середньою та серединною r похибками

;

8. Абсолютні похибки. До них належать: середня квадратична (m), середня квадратична арифметичного середнього (М), середня (), серединна (r), істинна (), ймовірна (V_i) і гранична ()

9. Відносні похибки. Відношення абсолютної похибки до значення виміряної величини називають відносною похибкою.

Назва відносної похибки відповідає назві абсолютної похибки, наприклад:

квадратична відносна похибка;

- істинна відносна похибка.

- гранична відносна похибка тощо.

Оцінка точності вимірів за допомогою середніх квадратичних похибок m порівняно з середньою та серединною похибками має переваги:

1. Обгрунтованості: ймовірність , тобто при умовах коли число вимірів прямує до нескінченності, середня квадратична похибка прямує до абсолютного значення стандарту.

2. Ефективності: , тобто значення дисперсії буде мінімальним.

3. На величину середньої квадратичної похибки m вплив більших за абсолютним значенням похибок найбільший.

4. Середня квадратична похибка m зв'язана з граничною похибкою відношенням

,

де t - вибирається із таблиць розподілу Лапласа або Стюдента залежить від надійної ймовірності p та кількості вимірів n.

5. Середня квадратична похибка визначається достатньо надійно при обмеженій кількості вимірів.

4. Числові характеристики нерівноточних вимірів

В практиці геодезичних вимірювань може відчутно порушуватися "комплекс умов": виміри виконують приладами різної точності або різними методами, значно змінюються зовнішні умови (температура, вологість тощо) чи інші чинники. Тоді дисперсії таких вимірів значно відрізняються між собою () і їх називають нерівноточиними. Нерівноточні виміри можна виразити статистичним рядом

,

()

Задача виникає, коли за результатами нерівноточних вимірів однієї і тієї величини необхідно визначити найбільш надійне значення виміряної величини і виконати оцінку точності вимірів за допомогою числових характеристик.

В теорії похибок вимірів до числових характеристик нерівноточних вимірів відноситься:

1. Вага вимірів. Розглянемо статистичний ряд нерівноточних вимірів, який будемо характеризувати емпіричними дисперсіями

,

)

Введемо величини -- , обернено пропорційні квадратам середніх квадратичних похибок (емпіричних дисперсій ) і позначимо

де С - постійний умовно прийнятий коефіцієнт такої величини, щоб значення ваги р_і було ближче до одиниці.

Величину р_і називають вагами нерівноточних вимірів. Тоді нерівноточні виміри можна характеризувати статистичним рядом

,

)

Якщо дисперсія є мірою абсолютної точності результату, то вага є мірою відносної точності.

Вага вказує наскільки точність одного виміру більш або менш точна відносно іншого в ряду вимірів.

Практично в більшості випадків невідома дисперсія або середня квадратична похибка вимірів m. Ваги вимірів обчислюють за наближеними формулами

;

;

,

де L_i - довжина лінії, ходу або полігону;

N_i - кількість виміряних величин;

n_i - кількість вимірів однієї і тієї величини (число прийомів).

Аналогічно коефіцієнт С вибирають так, щоб ваги p_i за величиною були близькі до одиниці для зручності обчислень.

В практичних розрахунках часто використовують приведені ваги

,

де , тоді

Ряд нерівноточних вимірів можна звести до рівноточного, якщо кожен вимір помножити на величину . Статистичний ряд

..., - буде рівноточним.

2. Загальне середнє арифметичне

Припустимо, що в результаті вимірів однієї величини отримано статистичний ряд нерівноточних результатів

()

Найкращі оцінки отримують тоді, коли виміри х₁, або їх похибки , підкоряються нормальному закону розподілу. Перейдемо до нормованих похибок

; ;

де X- істинне значення вимірюваної величини.

Функція щільності нормованого нормального закону розподілу визначається за формулою

Числові характеристики визначаються за результатами всіх вимірів. Тоді функція щільності сумісного розподілу ряду випадкових величин буде

Найбільш надійне значення шуканого параметра t для нерівноточних вимірів буде відповідати максимальному значенню функції . Із формули видно, що це відбудеться за умови, коли показник степеня буде мінімальним, тобто

З врахуванням попередньої формули отримаємо

Для визначення екстремуму функції візьмемо першу похідну за перемінними х₁, прирівняємо до нуля і отримаємо

Умовно помножимо їх на довільне число С, отримаємо

Оскільки , то отримаємо

Ймовірно

Це означає, що частка при необмеженій кількості вимірів прямує до істинного значення. Його називають загальним середнім арифметичним

або

В разі рівноточних вимірів . Тоді формула зводиться до простої арифметичної середини , тому цю формулу і називають загальною середньою арифметичною.

3. Середня квадратична похибка одиниці ваги

Нерівноточні виміри характеризують дисперсіями або мірою відносної точності p_i. Умовно із ряду нерівноточних вимірів виберемо результат такого виміру x_k, вага якого буде дорівнювати одиниці, тобто . Дисперсію цього результату позначимо через . Тоді

,

або середня квадратична похибка одиниці ваги буде дорівнювати:

. Оскільки то , або

Тоді середня квадратична похибка будь-якого виміру визначиться за формулою

При р = 1, - тобто середня квадратична похибка одиниці ваги є мірою точності того результату виміру, вага якого дорівнює одиниці.

Визначимо середню квадратичну похибку одиниці ваги:

а) при заданому істинному значенні виміряної величини

В результаті нерівноточних вимірювань однієї і тієї ж величини X отримано статистичний ряд

де -- істинні похибки нерівноточних вимірів, - вага вимірів.

Зведемо ряд нерівноточних похибок вимірів до рівноточного ряду

, …, (i = l,n)

Оскільки ряд даний є рівноточним і підкоряється нормальному закону розподілу, то за формулою Гаусса можна визначити середню квадратичну похибку m вимірів. Для виміру вага якого дорівнює одиниці р = 1. Це буде середня квадратична похибка одиниці ваги , або

, або

.

б) при обчисленому загальному середньому арифметичному

, (i = l,n)

де -- загальне середнє арифметичне;

X - істинне значення вимірюваної величини.

Зробимо перетворення

Тобто, при нерівноточних вимірах і наявності істинних похибок , систематична похибка , визначиться за формулою

Для спрощення доказів складемо ряд ймовірних похибок

, (i = l,n)

Оскільки , то

З формули ряд імовірних похибок теж є нерівноточним. Як і в попередньому випадку зведемо їх до рівноточного вигляду

, ..., , (i = l,n)

Оскільки ряд є рівноточним і за умовами підкоряється нормальному закону розподілу, то за формулою Бесселя визначимо середню квадратичну похибку m. Для виміру, вага якого буде дорівнювати одиниці (р = 1) вона буде дорівнювати середній квадратичній похибці одиниці ваги, тобто

або

4. Середня квадратична похибка загального середнього арифметичного

Формулу загального середньоарифметичного отримаємо у вигляді

Дисперсія функції F (х) при отримаємо , отримаємо

Середня квадратична похибка загального середнього арифметичного при нерівноточних вимірах визначиться за формулою

Додатково обчислюють:

5. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки одиниці ваги

.

6. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки загального середнього арифметичного

.