Теорія ймовірностей та математична статистика
Знаходження імовірності за локальною теоремою Муавра-Лапласа. Формула Муавра-Лапласа, інтегральна теорема Лапласа. Дискретна випадкова величина, знаходження функції розподілу. Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини; закон розподілу.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | украинский |
Дата добавления | 10.04.2009 |
Размер файла | 209,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Міністерство освіти і науки України
Донбаський державний технічний університет
Кафедра Вищої Математики
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
По дисципліні “Теорія ймовірностей та математична статистика”
Варіант №26
(завдання №14, 2, 4, 12, 11, 15, 2, 14, 3, 6)
Виконала: студентка групи
Перевірила: доцент кафедри вищ. мат.
Алчевськ 2009
РОЗДІЛ I “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”
ЗАВДАННЯ №1
14) В урні 2 білі і 3 чорні кульки. Двоє по черзі беруть навмання по одній кульці. Яка імовірність того, що з них перша біла, а друга чорна?
РОЗВ'ЯЗАННЯ
Для білої:
Для чорної:
Загальна вірогідність:
або
ЗАВДАННЯ №2
2) В першій урні 3 білих і 2 чорних кульки, а в другій 4 білих і 4 чорних кульки. З першої урни в другу навмання перекладають одну кульку, потім з другої урни взяли одну кульку. Яка імовірність, що вона біла?
РОЗВ'ЯЗАННЯ
Вірогідність того, що з першої урни переклали білу кульку:
Вірогідність того, що з другої урни узяли білу кульку:
ЗАВДАННЯ №3
4) 4.1 Обчислити ймовірність того, що деяка подія не відбудеться, якщо відомо, що при випробуваннях вона в середньому відбувається в випадках.
РОЗВ'ЯЗАННЯ
4.2 З 60 питань, що входять до екзаменаційних білетів, студент підготував 50. Яка ймовірність того, що взятий навмання студентом білет, який містить два питання, буде складатися з підготовлених ним питань?
РОЗВ'ЯЗАННЯ
4.3 Яка ймовірність того, що серед вийнятих навмання 4 карт з повної колоди (52 карти), дві виявляться пікової масті?
РОЗВ'ЯЗАННЯ
ЗАВДАННЯ №4
12) Проведено незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з імовірністю .
I) за локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться рівно разів;
II) за інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться від 700 разів до разів.
РОЗВ'ЯЗАННЯ
I)
1) Скористуємось формулою Муавра-Лапласа:
2) Знайдемо :
3) Знайдемо :
4) Шукана ймовірність:
II)
За інтегральною теоремою Лапласа:
1) Знайдемо межі інтеграла і :
2) Знайдемо функції Лапласа і :
3) Шукана ймовірність:
ЗАВДАННЯ №5
11) Дискретна випадкова величина задана рядом розподілу. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини.
Х |
2 |
4 |
5 |
|
Р |
0,2 |
0,6 |
0,2 |
РОЗВ'ЯЗАННЯ
1) Математичне сподівання знайдемо за формулою:
2) Складемо закон розподілу для :
Х |
4 |
16 |
25 |
|
Р |
0,2 |
0,6 |
0,2 |
3) Дисперсію знайдемо за формулою:
4) Середнє квадратичне відхилення знайдемо за формулою:
5) Знайдемо функцію розподілу:
6) Графік цієї функції має вигляд:
ЗАВДАННЯ №6
15) Випадкова величина задана функцією розподілу:
Знайти:
I) щільність розподілу ймовірності;
II) математичне сподівання;
III) дисперсію випадкової величини;
IV) імовірність попадання випадкової величини в інтервал ;
V) Накреслити графіки функцій і .
РОЗВ'ЯЗАННЯ
I) щільність розподілу ймовірностей:
II) математичне сподівання:
III) дисперсія:
IV) імовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу
V) Графіки функцій і :
ЗАВДАННЯ №7
2) Відоме математичне сподівання і дисперсія випадкової величини .
Знайти:
I) імовірність попадання цієї величини в заданий інтервал ;
II) імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання менша за число .
РОЗВ'ЯЗАННЯ
I) Імовірність влучення випадкової величини у інтервал :
II) Імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання буде менше 2, можна обчислити за формулою:
РОЗДІЛ II
14) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №1 “СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ”
23 |
26 |
31 |
35 |
38 |
43 |
48 |
39 |
36 |
27 |
|
43 |
39 |
37 |
34 |
31 |
27 |
21 |
33 |
32 |
44 |
|
24 |
28 |
30 |
35 |
33 |
39 |
40 |
41 |
46 |
36 |
|
42 |
39 |
35 |
32 |
27 |
29 |
33 |
35 |
38 |
41 |
|
25 |
30 |
30 |
31 |
32 |
34 |
36 |
37 |
38 |
40 |
перший інтервал 21-25
Представити кожну вибірку у вигляді таблиці частот згрупованої вибірки, побудувати гістограму і полігон частот, записати емпіричну функцію розподілу і побудувати їх графік.
РОЗВ'ЯЗАННЯ
1) Складемо таблицю частот згрупованої вибірки:
Межі інтервалу xi xi+1 |
Середина інтервалу xi0 |
Частота ni |
Накопичувальна частота ?ni |
Відносна частота ni/n |
Накопичувальна відносна частота ?ni/n |
|
21 25 |
23 |
4 |
4 |
0,08 |
0,08 |
|
25 29 |
27 |
6 |
10 |
0,12 |
0,20 |
|
29 33 |
31 |
12 |
22 |
0,24 |
0,44 |
|
33 37 |
35 |
11 |
33 |
0,22 |
0,66 |
|
37 41 |
39 |
11 |
44 |
0,22 |
0,88 |
|
41 45 |
43 |
4 |
48 |
0,08 |
0,96 |
|
45 49 |
47 |
2 |
50 |
0,04 |
1 |
2) Побудуємо гістограму частот:
3) Побудуємо полігон частот:
4) Емпірична функція розподілу визначається значеннями накопичувальних відносних частот:
5) Графік розподілу емпіричної функції:
6) Знайдемо методом творів вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибірки об'єму n=50:
Середина інтервалу xi0 |
23 |
27 |
31 |
35 |
39 |
43 |
47 |
|
Частота ni |
4 |
6 |
12 |
11 |
11 |
4 |
2 |
6.1) Складемо заповнимо таблицю:
хi0 |
ni |
Ui |
niUi |
niUi2 |
ni(Ui+1)2 |
|
23 |
4 |
-2 |
-8 |
16 |
4 |
|
27 |
6 |
-1 |
-6 |
6 |
0 |
|
31 |
12 |
0 |
0 |
0 |
12 |
|
35 |
11 |
1 |
11 |
11 |
44 |
|
39 |
11 |
2 |
22 |
44 |
99 |
|
43 |
4 |
3 |
12 |
36 |
64 |
|
47 |
2 |
4 |
8 |
32 |
50 |
|
39 |
145 |
273 |
6.2) Обчислимо умовні моменти 1-го і 2-го порядку:
6.3) Знайдемо крок h (різниця між сусідніми інтервалами): .
6.4) Обчислимо шукані, вибіркові, середню дисперсію, враховуючи що помилковий нуль :
3) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №2
“МЕТОД НАЙМЕНЬШИХ КВАДРАТІВ”
За наданими статистичними даними підібрати емпіричну функцію, якщо вона не задана, та:
1. Побудувати діаграму розсіювання.
2. Записати емпіричну функцію.
3. Записати систему нормальних рівнянь.
4. Скласти розрахункову таблицю.
5. Вирішити отриману систему й записати емпіричну функцію зі знайденими параметрами.
Уважаючи, що залежність між змінними й має вигляд , знайти оцінки параметрів по наступних вибірках:
1 |
3 |
4 |
2 |
5 |
7 |
8 |
9 |
||
80 |
90 |
120 |
100 |
110 |
150 |
160 |
130 |
РОЗВ'ЯЗАННЯ
По вибірці спостережень побудуємо в системі координат и діаграму розсіювання, тобто побудуємо крапки:
Аналіз дослідницьких даних показує, що в якості емпіричної (підібраної) функції можна використати функцію . Необхідно знайти параметри а й b, для чого застосуємо МНК. Тоді для визначення параметрів а й b будемо мати систему нормальних рівнянь:
Для зручності обчислень складемо наступну розрахункову таблицю ():
1 |
1 |
80 |
1 |
80 |
|
2 |
3 |
90 |
9 |
270 |
|
3 |
4 |
120 |
16 |
480 |
|
4 |
2 |
100 |
4 |
200 |
|
5 |
5 |
110 |
25 |
550 |
|
6 |
7 |
150 |
49 |
1050 |
|
7 |
8 |
160 |
64 |
1280 |
|
8 |
9 |
130 |
81 |
1170 |
|
Підставимо дані останнього рядка таблиці в нормальну систему рівнянь:
Вирішуючи систему, одержимо .
5) Підставляючи ці значення параметрів, одержимо емпіричну функцію:
6) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №3
“ЗНАХОДЖЕННЯ ВИБІРКОВОГО КОЕФІЦІЕНТА КОРЕЛЯЦІЇ ТА ПРЯМИХ ЛІНІЙ РЕГРЕСІЇ”
Розподіл 40 заводів кольорової металургії за середньодобовим виробленням металу (тис.т) та затратами електроенергії на 1т. (тис. кВтгод) дано у таблиці:
|
|||||||
10-15 |
15-20 |
20-25 |
25-30 |
30-35 |
|||
2,0-2,5 |
6 |
6 |
|||||
2,5-3,0 |
6 |
6 |
12 |
||||
3,0-3,5 |
6 |
4 |
10 |
||||
3,5-4,0 |
2 |
4 |
2 |
8 |
|||
4,0-4,5 |
4 |
4 |
|||||
6 |
4 |
8 |
10 |
12 |
40 |
За відповідним рівнянням регресії оцінити середні затрати електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., та порівняти їх з відповідним груповим середнім.
Надано таблицю, яка визначає деякий неперервний розподіл. За цим розподілом треба утворити дискретний розподіл, взявши значеннями і середини відповідних інтервалів і припускаючи, що між і існує лінійна кореляційна залежність, виконати таку роботу:
1. Обчислити коефіцієнт кореляції та проаналізувати тісноту та напрям зв'язку між і .
2. Скласти рівняння прямих регресії на та на .
3. Обчислити для даного значення однієї змінної відповідне значення іншої, використавши для цього одне з одержаних рівнянь регресії (підхоже) та порівняти це значення з відповідним груповим середнім (це останнє завдання подано разом з кореляційною таблицею).
РОЗВ'ЯЗАННЯ
1) Перейдемо до дискретних розподілів, тобто значення змінних Х и Y приймемо середини відповідних інтервалів:
|
|||||||
12,5 |
17,5 |
22,5 |
27,5 |
32,5 |
|||
2,25 |
6 |
6 |
|||||
2,75 |
6 |
6 |
12 |
||||
3,25 |
6 |
4 |
10 |
||||
3,75 |
2 |
4 |
2 |
8 |
|||
4,25 |
4 |
4 |
|||||
6 |
4 |
8 |
10 |
12 |
40 |
2) Для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції потрібно обчислити вираження , для чого скласти кореляційну таблицю в умовних варіантах.
За хибний нуль узята варіанта , а за хибний нуль узята варіанта , які розташовані приблизно в серединах відповідних варіаційних рядів.
3) У кожній клітці, у якій частота , записуємо в правому верхньому куті добуток частоти на .
4) Знаходимо суму всіх чисел, що коштують у правих кутах кліток одного рядка й записуємо її в клітку стовпця .
5) Множимо варіанту на й отриманий добуток записуємо в останню клітку того ж рядка.
6) З метою контролю аналогічні обчислення робимо по стовпцях, причому добуток записуємо в лівому нижньому куті кожної клітки із частотами , після чого їх складаємо й отриману суму записуємо в рядок .
Потім множимо варіанту и на й результат записуємо в останньому рядку.
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|||||||||||||||
-2 |
-12 |
6 |
12 |
6 |
12 |
-24 |
|||||||||||||
-1 |
-6 |
6 |
6 |
-6 |
6 |
12 |
12 |
18 |
-18 |
||||||||||
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
4 |
4 |
10 |
4 |
0 |
||||||||||
1 |
2 |
2 |
-4 |
4 |
4 |
-4 |
2 |
2 |
0 |
8 |
-8 |
-8 |
|||||||
2 |
8 |
4 |
-8 |
4 |
-8 |
-16 |
|||||||||||||
6 |
4 |
8 |
10 |
12 |
40 |
||||||||||||||
10 |
4 |
2 |
-6 |
-18 |
|||||||||||||||
-20 |
-4 |
0 |
-6 |
-36 |
-66 |
7) Обчислюємо й :
8) Обчислюємо допоміжні величини й :
9) Обчислимо й :
10) Шуканий вибірковий коефіцієнт кореляції:
Тому що , цей зв'язок зворотній.
11) Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на Х має вигляд:
.
Обчислимо , , , :
12) Рівняння прямої лінії регресії Y на Х:
13) Рівняння прямої лінії регресії Х на Y:
14) За відповідним рівнянням регресії середнє значення затрат електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., складає:
Якщо скористатися безпосередньо таблицею, то
Як видно, узгодження розрахункового і спостережуваного умовних середніх - задовільне.
Подобные документы
Визначення кількості сполучень при дослідженні ймовірностей. Закон розподілу випадкової величини. Функція розподілу, знаходження середнього квадратичного відхилення. Визначення щільності розподілу ймовірностей. Закон неперервної випадкової величини.
контрольная работа [71,3 K], добавлен 13.03.2015Імовірність несплати податку для кожного підприємця. Випадкова величина в інтервалі. Ряд розподілу добового попиту на певний продукт. Числові характеристики дискретної випадкової величини. Біноміальний закон розподілу, математичне сподівання величини.
контрольная работа [152,5 K], добавлен 16.07.2010Знаходження ймовірності настання події у кожному з незалежних випробувань. Знаходження функції розподілу випадкової величини. Побудова полігону, гістограми та кумуляти для вибірки, поданої у вигляді таблиці частот. Числові характеристики ряду розподілу.
контрольная работа [47,2 K], добавлен 20.11.2009Класична ймовірність події як відношення кількості сприятливих до загальної кількості можливих подій. Інтегральна теорема Мавра-Лапласа. Підпорядкування випадкової величини біноміальному закону розподілу з певними параметрами. Ряд розподілу цієї величини.
задача [22,2 K], добавлен 14.06.2009Функція розподілу випадкової величини. Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин. Властивості функції розподілу. Дискретні і неперервні випадкові величини. Геометричний закон розподілу. Біноміальний розподіл випадкової величини.
реферат [178,2 K], добавлен 26.01.2011Закон распределения случайной величины дискретного типа (принимающей отдельные числовые значения). Предельные теоремы схемы Бернулли. Вычисление вероятности появления события по локальной теореме Муавра-Лапласа. Интегральная формула данной теоремы.
презентация [611,2 K], добавлен 17.08.2015Основні поняття теорії ймовірності. Аналіз дискретної випадкової величини, характеристика закону розподілу випадкової величини. Знайомство з властивостями функції розподілу. Графічне та аналітичне відображення законів ймовірності дискретних величин.
реферат [134,7 K], добавлен 27.02.2012Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
реферат [88,5 K], добавлен 02.02.2010Визначення ймовірності виходу приладу з ладу. Розв’язок задачі з використанням інтегральної формули Бернуллі та формулу Пуассона. Визначення математичного сподівання, середньоквадратичного відхилення, дисперсії, функції розподілу випадкової величини.
контрольная работа [84,2 K], добавлен 23.09.2014Прийняття рішень як основний компонент систем управління проектами. Методика розробки програми для знаходження множини оптимальних рішень за критерієм Байєса-Лапласа з формуванням матриці ймовірностей реалізації умов за експоненційним законом розподілу.
курсовая работа [802,8 K], добавлен 08.10.2010