Іменні теореми в шкільному курсі геометрії

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Сучасний період розвитку суспільства, оновлення всіх сфер його соціального і духовного життя потребує якісно нового рівня освіти, який відповідав би міжнародним стандартам. Учні повинні навчитись отримувати нові знання (у найрізноманітніших формах), застосовувати математику як інструмент для розв'язування прикладних задач.

Дійсність така: всі сходяться на думці, що у ХХІ столітті мета шкільного курсу математики - внести той вклад в розвиток особистості, який здатна внести лише математика.

Математика відіграє унікальну роль, ставлячи такі цілі:

а) забезпечити (враховуючи бурхливий розвиток і входження віртуальних засобів у діяльність особистості) уміння аналізувати ситуації, швидко реагувати на зміни в суспільстві, і в моральному плані математично освічена особистість - це людина, яка сама собі хибити не буде; і культуру роботи з поняттями, і увагу до тексту, і систему мислення, які в математиці даються для загального розвитку;

б) мета соціальна - створити в країні такі можливості, щоб особистість, яка захопилася математикою, могла почувати себе комфортно та могла розвиватися достатньо необмежено - при цьому бути потрібною і морально, і матеріально;

в) змінити ставлення до математики (70% випускників школи мають стійку ненависть до математики).

Математика вчить мислити, ставить перед людиною складні проблеми, розуміти в чому суть проблем. За нашою, українською, ментальністю, потрібні дуже глибоко мислячі люди, що здатні розв'язувати найскладніші проблеми, які стоять перед країною - їх шукати потрібно серед математиків.

Людям окрім всього іншого необхідно придумати модель, за якою буде існувати людство. Це потребує величезних затрат інтелектуальної сили - елітарної математичної освіти.

Математик - це можливість піддавати сумніву, вагатися, обов'язковість вимог доведення.

Сьогодні інша ситуація. Сьогодні треба навчати так, щоб дитина відчувала розвиток, отримувала задоволення від такого відчуття, що вона переборює складнощі навчання для свого розвитку. Це значно важче, і не кожен готовий або може витрачати значні зусилля для освоєння математики.

Математика - це частина світової культури. Що повинно отримати суспільство від математичної освіти, чого воно недоотримує?

Від математики суспільству не вистачає: культури людських відносин, дослідницької культури. Водночас, математика показує: що таке взагалі дослідження, об'єктивність, справедливість доведень, чуття математичної мови, логіка мислення.

Математичне мислення є частиною загальнолюдського мислення, а тому мова викладу навчального матеріалу повинна відповідати гуманітарному підходу, не виключаючи історичної основи.

Як відомо, геометрія виникла з практичних задач. Часто виникає практична необхідність визначити об'єм чи поверхню об'єктів побуту, дослідити їх взаємне розташування та визначити оптимальні розміри. Встановлено, що кожний десятий винахід робиться із застосуванням геометрії за рахунок вибору зручної форми, вдалого розташування тощо.

Інженерам, архітекторам, будівельникам, дизайнерам, модельєрам необхідні ґрунтовні знання геометрії. Отже, маємо показати реальну користь геометричних знань, використовувати геометричний матеріал для ознайомлення учнів з виявленням їх властивостей у природі, тобто вироблення «геометричного бачення» навколишнього світу.

Дослідження є первинним видом інтелектуальної діяльності людства. Не можна проникнути в суть геометрії, якщо не бачити краси геометричних форм, формул, тверджень.

Математику в число предметів викладання ще в першій половині IV ст. до н. е. ввів старогрецький філософ Платон. Видатний український і російський математик М. Остроградський розумів наскільки важливо для педагога вміти зацікавити предметом. Він писав: «І ми нічим не нехтуємо, щоб прищепити учневі смак, навіть пристрасть до навчання».

Математика займає особливе місце у системі знань людства, виконуючи роль універсального та потужного методу сучасної науки.

Особливе значення для формування і розвитку геометричного мислення мають прийоми діяльності, образного мислення, дослідницької діяльності.

Актуальність вибору теми дослідження зумовлена соціально-педагогічними факторами, бурхливим розвитком нових інформаційних та мультимедійних технологій.

Роль історичної змістової лінії у реалізації прикладної спрямованості навчання математики без перебільшення є визначальною.

Теореми і задачі, пов'язані з ними, сприяють цілеспрямованому розвитку математичного мислення, вдосконалють і збагачують прийоми пізнавальної діяльності.

Історична змістова лінія математичного матеріалу має великий потенціал у формуванні логічного мислення та дослідницьких умінь учнів.

Зважаючи на те, що дослідницький підхід у навчанні має великий попит у сучасному суспільстві, можна стверджувати, що ця змістова лінія є ефективним шляхом впровадження цього підходу.

Метою дослідження є визначення основних теорем шкільного курсу «Математики», дослідження можливостей формування та розвитку як мислення взагалі, так і окремих його видів, особливостей їх використання у освітній системі для формування інтелектуального розвитку особистості.

Концептуальна ідея дослідження даної проблеми полягає у реалізації прикладної спрямованості навчання математики, забезпеченні цілісності курсу «Математики».

Математика, як наука, виникла із практичних потреб людини, буде змінюватися надалі, пристосовуючись до потреб науки та навколишнього світу.

Використання прикладного змісту іменних теорем для вивчення шкільного курсу «Математики», як об'єкту дослідження, сприятиме розв'язанню низки проблем модернізації особистісно-орієнтованої педагогічної освіти, визначенню чинників, закономірностей та умов формування інтелектуального розвитку особистості у процесі їх навчання, як предмету дослідження.

Основне завдання - розкриття можливостей іменних теорем математики, як засобу дослідження причинно-наслідкових зв'язків, які дозволяють аналізувати процеси і явища, прогнозувати їх поведінку у майбутньому, оптимізувати їхні параметри.

Практичне використання результатів дослідження для організації навчального процесу по вивченню іменних теорем, допоможе розв'язати дидактичні завдання уроку.

Посилення уваги до доведення теорем і розв'язування задач на доведення мотивується тим, що теореми - є логічним стержнем усього курсу геометрії. Така робота над теоремою вимагає від учня тільки запам'ятовування готових даних і не спонукає його до активної розумової діяльності.

1. Деякі іменні теореми та формули математики

Теорема Фалеса

Рис. 1

Філософ Фалес Мілетський (625-547 рр. до н. е.), якого називають «батьком грецької науки», один з перших відомих в історії математиків. Саме він почав формування основоположних понять математики - доведення і теорема.

Фалес перший довів ряд теорем геометрії, заклавши основи гоніометрії (від грецьких gфnнa - кут, metron - міра) - частини тригонометрії, в якій розглядалися способи вимірювання кутів.

Він знав, що: в рівнобедреного трикутника кути при основі рівні; вертикальні кути рівні; діаметр ділить круг навпіл. Теорему про вписаний кут, що спирається на діаметр, у Західній Європі іноді теж називають теоремою Фалеса, хоча її знали вавилоняни ще чотири тисячоліття тому.

Теорему про рівність двох трикутників за стороною і двома прилеглими кутами (друга ознака рівності трикутників) Фалес використав для визначення відстані від берега до корабля. Однак теорему про перетин сторін кута паралельними прямими, названу теоремою Фалеса, вчений не знав.

Вважають, що ця теорема названа на честь першого вченого-геометра для збереження його імені в пам'яті майбутніх поколінь.

Фалес викликав захоплення у стародавніх єгиптян власним способом визначення висоти різних піраміди за тінню, з допомогою пропорційного відношення між трьома величинами, які можна виміряти, і шуканою величиною - висотою піраміди.

Вважають, що він був першим грецьким ученим, який для розв'язування геометричних задач на побудову, як основні геометричні інструменти, використовував циркуль і лінійку.

Алгоритм Евкліда

Рис. 2

Алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника (спосіб послідовного ділення) описано в VII книзі «Начал» Евкліда для цілих чисел, а в X - у геометричній формі для знаходження найбільшої спільної міри двох відрізків, тому його назвали алгоритмом Евкліда.

Алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел при скороченні дробів використано трактаті «Математиці в дев'яти книгах» (Китай, ІІ ст. до н.е.) Французький вчений Ж. Штурм (1829) використав алгоритм Евкліда для знаходення кількості дійсних коренів алгебраїчного рівняння на заданому інтервалі (метод Штурма).

Решето Ератосфена.

Старогрецький математик Ератосфен (275-194 рр. до н. е.) прославився працями з астрономії (описував сузір'я з відповідними міфами), філології (досліджував стародавню комедію), географії й математики, успішно займався поезією, музикою, філософією.

Сучасники Ератосфена називали його Пентатл (Багатоборець). У праці «Решето» Ератосфен виклав метод знаходження простих чисел, які не перевищують даного натурального числа. Він полягав у поступовому викреслюванні з ряду натуральних чисел тих чисел, які діляться на 2, на 3, на 4 і т. д.

Учений писав на дощечці, вкритій воском, і послідовно проколював у воску дірочки над числами, кратними 2, 3,4,…, внаслідок цього дощечка ставала схожою на решето, крізь яке ніби просіювали складені числа. Цей спосіб знаходження простих чисел назвали решето Ератосфена. Італійський математик П. Катальді (1603) видав першу таблицю простих чисел, менших від 750.

Німецький математик Й. Ламберт (1770) подав таблицю найменших дільників усіх чисел, менших від 102000, які не діляться на 2, 3 і 5. Вчений гарантував безсмертя тому, хто доведе таблицю дільників до 1000000. Як блискучий обчислювач і укладач таблиць простих чисел до ста мільйонів увійшов в історію математики професор Празького університету Я. Кулік (народився у Львові, навчався в Львівському університеті).

Праці «Великий канон дільників усіх чисел, які не діляться на 2, 3 і 5, і простих чисел між ними до 100330201» (а це 4212 сторінок!) автор численних математичних праць присвятив 20 років життя. Удосконалив решето Ератосфена індійський студент Сундарам (1934), склавши таблицю з безлічі арифметичних прогресій, у яких кожний член першої прогресії 4, 7, 10, 13, 16,… починає нову прогресію.

Різницями прогресій є всі непарні числа, починаючи з 3.

Якщо число n є в цій таблиці, то 2n 1 - складене число (у таблиці є n 4, 2 4 1 9 - число складене). Якщо n у таблиці немає, то 2n 1 - число просте (немає n 2, отже, 2 2 1 5 - число просте). Так можна знайти всі прості числа, крім найменшого - 2.

Російський учитель В. Голубєв (1939) для спрощення складання таблиці простих чисел розробив систему «трафаретів», за допомогою яких він майже безпомилково виділив найменші прості дільники всіх чисел одинадцятого мільйона, а у 1941 р. - дванадцятого мільйона. Решето Аткіна - осучаснена версія решета Ератосфена - швидкий алгоритм знаходження всіх простих чисел до деякого цілого числа, створений А. Аткіним і Д. Бернштейном (1990, США) і виконує деяку попередню роботу, а тоді викреслює числа, кратні квадрату простих чисел.

Формула Муавра.

Англійський математик А. Муавр юнаком, у зв'язку з переслідуванням гугенотів (так називалась з XVI ст. релігійна конфесія французських протестантів), втік до Англії. Вчений успішно займався комбінаторикою, теорією рядів, терією ймовірностей (довів важливу теорему, названу його ім'ям).

В теорії комплексних чисел А. Муавр (1707) вивів правила піднесення до степеня й добування кореня n-го степеня з комплексних чисел.

Формула Муавра і п (е) і(п) е, де n - довільне ціле число, широко застосовується в тригонометрії і алгебрі при розв'язуванні двочленних рівнянь. Інший запис формули (у сучасній символіці подана Ейлером у 1722 р.):

(cos i sin ) n cos n i sin n.

Біном Ньютона.

Формула, названа біномом Ньютона, для натуральних n була відома (частково) в Індії ще в ІІ ст. до н. е. Персидському вченому Омар Хайяму біноміальна формула була відома для будь-якого п (1100), тому послідовність біноміальних коефіцієнтів в Ірані називають трикутником Хайяма. Коефіцієнти бінома до n 8 подано в трактаті китайського математика Чжу Ші-цзе «Дзеркало чотирьох елементів» (1303).

У «Арифметиці» (1527) німецького вченого П. Апіана подано трикутну послідовність біноміальних коефіцієнтів до п=9. М. Штіфель ввів правило утворення біноміальних коефіцієнтів і склав їх таблиці до вісімнадцятого степеня (1544).

Праця Н. Тартальї «Загальний трактат про число і міру» (1556) містила таблицю коефіцієнтів, записаних у вигляді трикутної числової таблиці, названої «арифметичним трикутником». У «Трактаті про арифметичний трикутник» (1665) Б. Паскаль подав спосіб обчислення біноміальних коефіцієнтів за таблицею коефіцієнтів розкладу n (a b) для різних показників степеня n, розміщених у вигляді трикутника, який назвали трикутником Паскаля.

Ці коефіцієнти (число комбінацій з n елементів по m), утворені за допомогою повної математичної індукції, Паскаль вперше (разом з Ферма) використав у теорії ймовірностей для обчислення ймовірності події і розподілу ставок між гравцями.

Шотландський математик і астроном Дж. Грегорі майже одночасно з І. Ньютоном і незалежно від нього довів теорему про розклад бінома. Ньютон зробив першу спробу (1669, надруковано в 1711 р.) узагальненого доведення відомої формули бінома для цілого додатного n, узагальнивши її на дробові і від'ємні значення n.

Норвезький математик Н. Абель (1826) строго довів формули і обґрунтував справедливість узагальненої формули для ірраціональних і уявних значень показника n (за певних умов).

2. Формування поняття «функція» у молодших школярів на уроках математики

теорема математика педагогічний шкільний

З історії виникнення поняття «функція».

Поняття «функція» - одне з найважливіших понять математики. Як і інші поняття, воно висвітлювалося досить тривалий період у працях багатьох учених.

Розглядаючи матеріальну єдність світу, можна встановити взаємозв'язки та взаємообумовленості різних явищ і процесів, що відбуваються в природі, помітити залежності одних величин від інших. Наприклад, залежність шляху від часу, залежність кількості купленого товару на певну суму від ціни, залежність між площею круга і його радіусом.

Необхідність вивчення на практиці залежностей між змінними величинами в природі привела до поняття «функція» в математиці.

Ідея функціональної залежності має витоки з давнини. Вона уявно присутня вже в перших математичних виразах, співвідношеннях між величинами, в перших діях над числами, в перших формулах для знаходження площі та об'ємів тіл, або інших фігур.

Поняття «функція» виникло разом з поняттям змінної величини, введеної французькими математиками Рене Декартом і П'єром Ферма.

Вавілонські вчені, які 4-5 тисяч років назад знайшли для площі круга наближену формулу S =3R2 тим самим показали, що площа круга є функцією від його радіуса. Таблиці квадратів та кубів чисел, складені вавілонянами були першими прикладами табличного способу задання функції.

Таким же прикладом можуть бути таблиці значень тригонометричних функцій, складання яких почалося задовго до початку нашої ери. Однак, дійсне застосування поняття функції і систематичне вивчення функціональної залежності беруть свій початок в XVII ст.. в зв'язку з проникнення ідеї змінних величин в математику. В роботах Рене Декарта, П'єра Ферма, Ісаака Ньютона і Готфріда Вільгельма Лейбніца поняття функції носило, по суті, інтуїтивний характер і було пов'язано або з геометричними, або з механічними уявленнями: ординати точок кривих - функції від абсцис (х); шлях і швидкість - функції змінної від часу (t) і т.п.

Чіткого означення поняття функції в XVII столітті ще не було, але шлях до першого означення функції проклав Рене Декарт, який розглядав в своїй «Геометрії» лише ті криві, які можна точно описати за допомогою рівнянь, причому переважно алгебраїчних. Поступово поняття функції стало ототожнюватись з поняттям виразу - формули.

Термін «функція» (від латинського function - здійснення виконання) -Готфрід Вільгельм Лейбніц (1.07.1946 - 1.07.1716) ввів з 1673 році, як величину, що виконує те або інше завдання. Як термін в сучасному понятті слово «функція» стало вживатись Лейбніцем починаючи з 1698 року. Лейбніц також ввів терміни «змінна» та«константа» (постійна) для величин.

Означення функції було вперше дано в 1718 році одним із учнів і співробітників Лейбніца видатним швейцарським математиком Іоганном Бернуллі, який визначив, що «функцією змінної величини називають сукупність, утворену будь-яким способом із змінної величини, або сукупність постійних величин». Для позначення довільної функції Бернуллі застосував символ х..

У 1748 році Леонард Ейлер у «Вступі до аналізу» підтримує свого учителя І. Бернуллі та дещо уточнює означення. На його думку поняття «функції» можна визначити так: «Функція змінної кількості є аналітичний вираз, тобто формула, складена будь-яким чином із сукупності чисел, або постійних величин».

Так розуміли функцію на протязі майже всього XVIII ст., як французькі математики Рене Даламбер та Лагранж, так і інші видатні математики. Сам Леонард Ейлер не завжди притримувався вище вказаного визначення. В його роботах поняття «функції» піддавалось подальшому розвитку в відповідності з запитами математичного аналізу.

В деяких своїх працях Леонард Ейлер надає іншого змісту поняттю «функції», розуміючи її як криву, накреслену «вільним рухом руки». В зв'язку з такими поглядами Леонарда Ейлера на функцію між ним і його сучасниками, в першу чергу його постійним суперником великим французьким математиком Рене Даламбером, виникали полеміки навколо питань щодо можливості існування аналітичного виразу, який описує довільну криву та про те, яке із двох понять (крива чи формула) слід вважати більш ширшим.

Однак, як пізніше вияснилось, дякуючи роботам французьких математиків П'єра Фурьє (1768- 1830) і Огюстена Луї Коші (1789-1857), будь-яка крива незалежно від того із скількох та яких різнорідних частин вона складається, може бути записана в вигляді єдиного аналітичного виразу, і є також розривні функції, які записуються різними аналітичними виразами.

В своєму «Диференціальному численні», яке вийшло в світ в 1755 році, Леонард Ейлер дає більш загальне означення функції: «Якщо деяка величина залежить від іншої таким чином, що при зміні останньої, а саме ця величина підлягає зміні, то перша називається функцією. Ця назва має надзвичайно широкий зміст, вона охоплює всі способи, якими одна величина визначається за допомогою інших».

В 1834 році М.І. Лобачевський (1792-1856), розвиваючи це означення Л.Ейлера, писав, що загальні поняття математики вимагають, щоб «функцією від х називалося число, яке знаходиться для кожного х і разом із поступовою зміною х. Значення функції може бути заданим або входити до аналітичного виразу, або знаходитися з умови, яка описує спосіб перебору всіх чисел; або, нарешті, залежність може існувати, але залишатись невідомою».

В 1837 році німецьким математик Петер Густав Лежен Діріхле (1805-1059) дає загальне означення функції: « є функцією змінної Х, якщо кожному значенню х відповідає цілком визначене значення у, причому немає значення яким чином встановлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею, або навіть просто словами».

Таким чином, приблизно в середині XIX столітті після тривалої боротьби думок поняття «функції» звільнилося від рамок аналітичного виразу. Головний наголос в новому загальному визначенні поняття функції став робитися на ідею «відповідності». В основі сучасного визначення числової функції є визначення, сформульоване німецьким математиком Діріхле Петером Густавом Леженом.

Подальший розвиток математичної науки в XIX столітті та поняття «функції» йшов по шляху його узагальнення і поширення на елементи х і у довільної природи множин (не обов'язково числової). Це сприяло створення теорії множин німецьким математиком Георгом Кантором (1845-1918). Свій вплив на визначення поняття «функції», мали і фізики, що зіткнулася з явищами і проблемами, що зажадали нового погляду на поняття «функція».

Остаточне визначення «функції» як поняття було вперше сформульоване у 1718 році швейцарським математиком Якобом Бернуллі (1759--1789). За його визначенням, «функцією змінної величини називають кількість утворену яким завгодно способом з цієї змінної величини з сталих».

У наступні роки зміст поняття «функції» уточнювалося та розвививалося в працях інших учених-математиків. Нові відкриття далі вимагали розширення цих понять. Досліджуючи властивості функцій, маємо можливість ґрунтовніше пізнати реальний світ.

Формування уявлень учнів про функціональну залежність між величинами на уроках математики у початковій школі.

Функціональна змістова лінія стала однією з основних у шкільному кypci «Математики». Осмислення її ролі в реалізації сучасних підходів до навчання, їх компетентністного, розвиваючого та дослідницького аспектів, є актуальним методичним завданням.

Зміст освітньої галузі формується за принципом наступності між початковою, основною і старшою школою, враховуючи математичну підготовку учнів початкової школи за змістовими лініями освітньої галузі "Математика». Одним із алгебраїчних понять, які подаються у початкових класах, є поняття змінна, залежність. Ці поняття стосуються термінів аргумент і функція, які вивчаються у 7-11 класах. Незважаючи на те, що у початковій школі навіть не вживається правильної термінології щодо поняття функції, підготовчу роботу до вивчення функцій вчитель повинен проводити, хоча і в неявній формі. Адже функціональний зміст є присутній у багатьох текстових задачах і вправах чинних підручників з математики для початкової школи. Правильним і ефективним буде трактування цього функціонального змісту, закладеного у вправах, лише за тієї умови, що вчитель сам достеменно розуміє теоретичні основи і методику здійснення функціональної пропедевтики.

Поняття функції розтлумачено в різних математичних словниках, підручниках, посібниках; широко описана методика вивчення цього поняття в старших класах школи. Сучасне означення функції подається через відношення між множинами Х та У, за якого кожному елементу х множини Х відповідає не більше одного елемента у множини У. З цього означення випливає, що у символічному записі у = f (х) функцією названо не змінну f(х), а відношення f.

Однак у плані функціональної пропедевтики функцію будемо тлумачити у вужчому розумінні - як «зв`язок між змінними величинами». Проблемами функціональної пропедевтики у різний час займались М.В. Богданович [4, с.12], Г.П. Лишенко [6, с.20], Я.А. Король [5, с.202], Т.Й. Мельничук [11, с.68] та ін.

Проаналізувавши можливості застосування усіх способів визначення функціональної залежності між величинами, можна визначити орієнтовний алгоритм здійснення функціональної пропедевтики у початковому курсі математики. У дослідженні М. Богдановича, Г. Лишенка та О. Хіман [6,с.20] чотири виділяються чотири ключових питання, які забезпечують функціональну пропедевтику у початковій школі та 5-6 класах основної школи:

Незалежні та залежні величини. Уявлення про характер змін величин: зростання і спадання величин, рівномірне зростання і спадання величин.

Використання вправ і задач для постановки запитань про лінійну залежність величин. Зміна результатів дій першого ступеня залежно від зміни одного з компонентів дії. Спеціальні вправи на формування уявлень про лінійну залежність.

Використання вправ і задач для постановки запитань про прямо і обернено пропорційну залежність величин. Зміна результатів дій другого ступеня залежно від зміни одного з компонентів дії. Спеціальні вправи на формування уявлень про пропорційну залежність.

Приклади на лінійну і непропорційну залежність величин.

У початкових класах та 5-6 класах основної школи учні ознайомлюються з вимірюванням деяких величин (довжина, площа, маса, час), встановлюють зв`язки між величинами під час розв'язування текстових задач [2, с.14]: ціна, кількість і вартість; маса одного предмета, кількість предметів і загальна маса; швидкість, шлях і час при рівномірному русі тіла тощо. Учні також спостерігають, як змінюється результат арифметичної дії залежно від зміни компонентів.

Якщо названі величини брати попарно, то вже на цьому етапі можна виділити наступні види залежностей між величинами:

- прямо пропорційну залежність (вартість і ціна, добуток і множник);

- обернено пропорційну залежність (кількість і ціна, дільник і частка);

- лінійну залежність (сума і доданок, маса товару з тарою і маса самого товару);

- квадратичну залежність (площа квадрата і довжина його сторони).

Задати функцію - означає встановити закон, за яким значення у обчислюється за даним значенням х. Розглянемо основні способи, якими може бути виражено цей закон при вивченні математики в середній школі. У шкільному курсі « Математики» розрізняють такі способи задання функціональної залежності між величинами: табличний, аналітичний, словесний, графічний.

На прикладі практичних задач розглянемо, як можна задати функціональну залежність при вивченні математики у початкових класах та 5-6 класах основної школи деякими цими способами.

Табличний спосіб задання функціональної залежності між величинами.

Приклад 1. Візьмемо бідон і поставимо його на терези. Його маса становить 2 кг. Наливаючи воду у бідон, ми будемо спостерігати, що маса бідона з водою змінюється. У нашому досліді маса бідона залишається незмінною (сталою), а маса води і маса бідона з водою є змінні величини. В таких випадках кажуть, що маса води - це незалежна змінна, а маса бідона з водою - це залежна змінна.

Приклад 2. Задамо цю функціональну залежність таблицею. Для цього треба записати масу води і до кожного із цих значень додати 2 кг (масу бідона), а результат записати під відповідним значенням.

Табл. 1

Маса води	1 кг	2 кг	3 кг	4 кг	5 кг	6 кг
Маса бідона з водою	3 кг	4 кг	5 кг	6 кг	7 кг	8 кг

Наведені міркування достатньо засвідчують доступність для учнів табличного способу задання функціональної залежності. Але його ефективність залежить від доцільної постановки запитань учителем.

Отже, табличний спосіб задання функцій - дуже зручний, коли область визначення складається із скінченого числа точок. Тоді функцію задають за допомогою таблиці, в якій в одному рядку (чи стовпчику) записують всі значення аргументу, а в другому - відповідні значення функції. Щоб знайти значення функції в певній точці, треба знайти цю точку у верхньому рядку таблиці і прочитати під нею значення функції.

Приклад 3.

Табл. 2

х	1	2	3	4
у	1	4	9	16

Перевага табличного способу задання функції полягає в тому, що він дає можливість визначити ті чи інші конкретні значення функції одразу, без додаткових вимірювань та обчислень. Недоліком цього способу задання функції є те, що він визначає функцію не повністю, а тільки для деяких значень аргументу, він не дає наочного зображення характеру зміни функції із зміною аргументу.

Аналітичний спосіб задання функціональної залежності між величинами.

Цей спосіб задання функції полягає в тому, що у виражається через х за допомогою формули, яка містить загальновідомі символи операцій та символи деяких функцій. Цей спосіб дає можливість обчислити значення функції при довільному значенні аргументу, при якому вона визначена. Він найзагальніший, але його незручність полягає в тому, що дані про функцію формула містить у прихованому вигляді і у випадку складних формул досить важко виявити її властивості.

За чинною програмою початкового курсу «Математики» задання залежностей між величинами за допомогою формули не є обов'язковою вимогою. Формули розглядаються в порядку ознайомлення і використовуються здебільшого не для розв`язування задач, а саме для ілюстрації залежності.

Приклад 4. Задамо дану функціональну залежність формулою. Для цього позначимо масу води буквою х, а масу бідона з водою - у. Тоді запишемо масу бідона з водою з попереднього прикладу через масу води так: у = х + 2.

Словесний спосіб задання функціональної залежності між величинами.

Цей спосіб задання функції полягає в тому, що закон, за яким залежно від х обчислюється значення у, виражається словами. Оскільки будь-які символи і числа можна записати словами, то табличний і аналітичний способи задання функції зводяться до словесного задання функції. Цей спосіб використовується під час розв`язування задач, в яких розглядаються взаємопов`язані величини. Словесне пояснення залежності супроводжує також і застосування інших способів задання функціональної залежності.

Приклад 5. У склянки з чаєм розклали 12 грудочок цукру, по 2 грудки в кожну. На скільки склянок вистачило цього цукру?

Коментар:

Намалюємо 12 кружечків (грудочок цукру) і підкреслимо у першому випадку кожні дві, у другому - кожні три, у третьому - кожні чотири кружечки.

Запишемо розв'язання задачі:

1. ОО ОО ОО ОО ОО ОО 12 : 2 = 6 (склянок).

2. ООО ООО ООО ООО 12 : 3 = 4 (склянки).

3. ОООО ОООО ОООО 12 : 3 = 4 (склянки).

Розглянемо малюнки ще раз. Коли розкладали по дві грудочки цукру - склянок було 6, по три грудочки - склянок 4, а по чотири грудочки - склянок 3.

У якому випадку склянок було менше?

Відповідь. В останньому, бо тут розкладали по 4 грудочки цукру.

Висновок. Чим більше кладемо грудочок цукру у кожну склянку, тим менше треба склянок.

Графічний спосіб задання функціональної залежності між величинами.

Цей спосіб задання функції через графік найбільш точно і наочно вказує на залежність між аргументом х і значенням функції у, тобто графік дає уявлення про якісну поведінку функції. У початкових класах та у 5-6 класах основної школи графічний спосіб задання функціональної залежності безпосередньо не застосовується. Винятком може бути подання умови задачі у вигляді стрічкової діаграми. Але в умовах диференційованого навчання є достатньо підстав, щоб ознайомити з ним сильніших учнів.

Тому в першу чергу важливо навчити учнів розрізняти типи залежностей між величинами. Порівняємо два приклади з метою їх з`ясування.

Приклад 6. Два хлопчики працювали на збиранні помідорів і разом заробили 100 грн. Скільки грошей зароблять три хлопчики за тих самих умов праці і оплати?

Приклад 7. Два хлопчики йшли і на дорозі знайшли 100 грн. Скільки грошей знайдуть три хлопчики, якщо підуть тією ж дорогою?

Коментар:

У першому завданні відповідь - 150 грн. Заробітна плата усіх працюючих залежить від кількості працюючих.

Неважко передбачити і відповідь другого завдання. Найімовірніше три хлопчики на тій дорозі вже не знайдуть жодної гривні.

Висновок. У першому завданні бачимо, що між величинами існує певна залежність. У другому завданні перша величина (число хлопчиків) незалежна від величини знайдених грошей.

Отже, як показують приведені приклади, функціональну пропедевтику у початкових класах та 5-6 класах основної школи слід здійснювати за допомогою різноманітних методичних засобів, серед яких:

- розв'язування текстових задач (на лінійну, прямо та обернено пропорційну залежності між величинами);

- складання задачі за поданою в таблиці короткою умовою;

- складання обернених задач та заміна однієї з величин задачі;

- використання вчителем допоміжних запитань, узагальнень та висновків щодо опрацьованого матеріалу;

- розвиток в учнів уміння розпізнавати залежні і незалежні величини і оперувати з ними.

Пропедевтика функціональної підготовки при вивченні математики у 5-6 класах основної школи

Основними завданнями реалізації змісту освітньої галузі в основній школі є формування уявлення про функцію як математичну модель. У пояснюючій записці до «Програми для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 класи».[12,с 24] відзначається, що «важливе значення для підготовки учнів для систематичного вивчення алгебри, геометрії та інших предметів мають початкові відомості про метод координат, зображення чисел на координатній прямій, прямокутну систему координат на площині, виконання відповідних побудов. які дістають учні 5-6 класів».

Активне формування функціональної змістової лінії у шкільному кypci математики за дослідженнями Е.Бореля [3,с.14], Б.П. Бичкової [8,с.14] відбувалося протягом століття. В резолюціях I i II Всеросійських з'їздів викладачів математики, які проходили в 1911-1912 i 1913-1914pp, підкреслювалась необхідність проведення через весь курс математики середньої школи ідеї функціональної залежності [3,с.32]. Як відзначає автор, значення цієї лінії, її зміст змінювалися «хвилеподібно», але завжди залишалася надія, що з часом ця лінія стане стрижнем для всього курсу математики.

Можна навести багато аргументів на користь цього сподівання. Головний з них пов'язаний з тим, що встановлення зв'язок між різними характеристиками пpoцесів i явищ, дослідження їx властивостей є одним з найважливіших шляхів пізнання на різних його рівнях, у різних сферах діяльності. Функції та інструментарій їх дослідження є найбільш зручним i корисним засобом для цього.

Нe випадково, що введення у XVII століття поняття функції i створення апарату для її дослідження стало революцією не тільки в математиці, але i в багатьох сферах діяльності людини i на багато років визначило напрямок розвитку як математики, так i її застосувань.

Актуальним та доцільним є впровадження функціональної змістової лінії до шкільного курсу геометрії. Насамперед, це пов'язано з повноцінним поданням у геометрії геометричних перетворень та їx застосувань. Спроби зробити це у 70-тi роки минулого століття виявилися невдалими. У цьому нічого дивного немає, адже функції в геометрії, тобто геометричні перетворення, з'явилися значно пізніше, ніж числові функції.

Повноцінна реалізація функціональної лінії можлива лише за умови усвідомлення особливостей функціонального мислення, характерних для нього дій i прийомів діяльності як iз загальнокультурного погляду, так i з прикладного. У пpoгpaмi з математики для 12-річної школи [12,с.34] зроблено суттєвий крок на шляху посилення функціональної змістової лінії.

Певною мірою це спостерігається проектування пропедевтичного навчання до курсу «Математики» 5-6 класів. Більш відчутно це в кypci «Алгебри» для 7-9 класів, де функціональна змістова лiнiя є наскрізною. Вона розпочинається з вивчення теми «Функція» у 7 класі і підтримується вивченням окремих класів функцій у 8-9 класах.

Після вивчення курсу «Математики» повинні бути сформовані прийоми математичної діяльності та основні поняття, які є основою функціональної змістової лінії та визначаються Державним стандартом математичної освіти.

Згідно останніх документів учні 5-6 класів повинні:

- володіти буквеною символікою;

- обчислювати значення виразів при заданих значеннях букв;

- володіти правилами складання числових i буквених виразів;

- виконувати обчислення за формулами;

- складати формули для запису правил, властивостей, залежностей;

- встановлювати зв'язки між величинами: ціною, кількістю i вартістю; швидкістю, часом i відстанню при рівномірному pyci; масою одного предмета, кількістю предметів i загальною масою і т. д.;

- визначати, як змінюється результат арифметичної дії при зміні компонентів;

- користуватися табличною формою представлення інформації;

- зображувати числа на координатному промені i координатній прямій;

- вміти зображувати на прямокутній системі координат залежності між реальними величинами (температурою повітря i часом доби, росту певної дитини та її віком і т.д.), читати графік залежностей, зображених у системі координат;

- розрізняти пряму і обернену пропорційні залежності, застосовувати їх для моделювання залежностей між величинами.

Для відпрацювання перелічених прийомів діяльності учнів та формування їх навичок у шкільних підручниках [10,17] можна виділити наступні типові завдання:

Завдання, що формують оволодіння буквеною символікою:

Знайдіть хоча б три значення а, за яких найбільшим спільним дільником чисел 18 і а є число 6.

Порівняйте значення виразів а й якщо а = 7; а = 14; а = Який висновок можна зробити?

Який знай має добуток ав, якщо: а> 0; в>0; а> 0; в<0; а< 0; в<0; а< 0; в>0; а< 0; в=0; а= 0; в>0.

Про чотири числа а, в, с, і d відомо, що ав>0, вс<0, сd >0. Знайдіть знак добутку аd.

Завдання, що формують уміння обчисленнь значення виразів при заданих значеннях букв:

Перевірте правильність рівності:

(а+в)+с=а+(в+с) для чисел а =, в=, с =.

а - (в + с) = (а - в) - с для чисел а = , в = , с =.

Знайдіть значення виразу а - в +, якщо а = , в =

Завдання, що формують оволодіння правилами складання числових i буквених виразів:

Знайдіть: -т, якщо т = 3; т = -4; т = -1,5; т = 0.

к, якщо -к = 2; -к = -30; -к = -4,1; -к = 5,24

-(-в), якщо в = -8; в = 0,45; в = 0

Спростіть вираз: а - в +(в - с) + 1,8 і знайдіть його значення, якщо а = 0,2;

в = -0,35; с = -3.

Завдання, що формують навички складання формули для запису правил, властивостей, залежностей:

Додайте:- до суми чисел -10 і -15 число 21;

- число -1,2 до суми чисел -5 і 17;

- до суми чисел -11.2 і 7,3 суму чисел 12 і -5,3.

Дано числа 7; -5,1; -1,9; -1,6; +3,7; +0,3.Знайдіть:

- модуль суми даних чисел і суму їх модулів;

- модуль суми додатних чисел і суму їх модулів;

- модуль суми від'ємних чисел і суму їх модулів.

У якому випадку модуль суми дорівнює сумі модулів.

Запишіть суму двох виразів і спростіть її:

- -5,6 + а і -а - 0,8;

- 14,2 і в - (21 - в)

До добутку чисел -1,2 і 2 додайте частку чисел 24 і -1,2.

Завдання, що формують уміння виконання обчислення за формулами:

Планер пролетів 4 рази по колу, радіус якого дорівнює 25 м. Скільки метрів пролетів планер?

Знайдіть площу круга радіус якого дорівнює 1см, 10 см.

Довжина кола дорівнює 12,56 дм. Знайдіть площу круга обмеженого цим колом.

Довжина кола дорівнює 18,84см. Знайдіть площу круга, радіус якого вдвічі більший від радіуса даного кола.

Завдання, що формують навички складання формули для запису правил, властивостей, залежностей:

Автомобіль рухається із швидкістю 80 км/год. Який шлях проїде автомобіль за 0,5 год; 1 год; 2 год; 2,5 год? За якою формулою можна обчислити шлях s (у км), пройдений автомобілем за час t (у год)?

Площа прямокутника дорівнює 18 см2. Чому дорівнює сторона прямокутника, якщо інша його сторона дорівнює 3 см; 6 см; 36 см? За якою формулою можна обчислити сторону в (у см) прямокутника, знаючи довжину а (у см) іншої його сторони?

Турист рухається зі швидкістю 4 км/год. Запишіть формулу для обчислення шляху s у км, який пройде турист за t годин; користуючись формулою заповніть таблицю:

Табл. 3

t годин	0,5	1	1,5	2	3	3,5	4
s км

- побудуйте графік залежності шляху s від часу t

Один кг яблук коштує 3 грн. Запишіть формулу для обчислення вартості Р (у грн..) к кілограмів яблук. Користуючись формулою заповніть таблицю:

Табл. 4

к кг	0,5	1	2	2,5	3	3,5	4
Р грн..

Побудуйте графік залежності вартості Р від маси к.

Завдання, що формують навички встановлення зв'язків між величинами: ціною, кількістю i вартістю; швидкістю, часом i відстанню при рівномірному pyci; масою одного предмета, кількістю предметів i загальною масою і т. д.;

Швидкість літака дорівнює 600 км/год. Який шлях пролетить літка за год; год?

Площа квадрата дорівнює 25 см2. Чому дорівнює площа квадрата, сторона якого удвічі більша від сторони даного квадрата?

Довжина кола збільшилась від 157 см до 226,08 см. На скільки збільшився радіус кола?

Довжина кола дорівнює 157 см. На скільки збільшиться довжина кола, якщо його радіус збільшити на 10 см?

Завдання, що формують уміння використання табличної форми представлення інформації:

Правильний дріб збільшиться, якщо до його чисельника і займенника додати одне й те ж натуральне число. Перевірте це для дробу , додаючи число 2. Чи правильне це твердження для неправильного дробу? Перевірте на конкретному прикладі.

Заповніть таблицю. Результати округліть до 0,1%. Побудуйте стовпчасту та кругову діаграми розподілу площі Світового океану між чотирма океанами.

Табл. 5

Назва океану	Площа, млн. кв. км	Площа %
Тихий	179,7
Атлантичний	93,4
Індійський	74,9
Північний Льодовитий	13,0
Світовий океан	361,0

Завдання, що формують навички та вміння зображення чисел на координатному промені i координатній прямій:

Запишіть які-небудь три числа, які лежать на координатній прямій:

а) ліворуч від числа 5;

б)праворуч від числа - -7;

в) ліворуч від числа - - 180;

г) праворуч від числа 5,6.

Точку В(3,5) перемістили ліворуч на 5 одиниць і одержали точку С. Яка координата точки С?

Які координати мають точки, віддалені від точки С(-3) на:

а) 2 одиниці; б) 3 одиниці; в) 5 одиниць?

На координатній площині позначте точки, координати яких задовольняють умову:

а) -2 х 2; б) -2, 5 х -1; в) |х|1,5

На координатній прямій точка А відповідає числу а + 1, а точка В - числу

а - 3. Якому числу відповідає середина відрізка АВ?

Завдання, що формують уміння використання прямокутної системи координат для зображення на ній залежностей між реальними величинами:

Запишіть координати трьох точок, які:

А) належать осі абсцис;

Б) належать осі ординат;

В) мають ординату 3;

Г) мають абсцису -2.

Один метр тканини коштує 4 грн. Побудуйте графік залежності вартості тканини Р (у гривнях, від її довжини m (у метрах).

Позначте на координатній площині точки А(-2;3)4, В(4;3) і С(4; -1). Знайдіть координати точки D, яка є четвертою вершиною прямокутника АВСD. Знайдіть периметр і площу цього прямокутника.

Завдання, що формують поняття прямої і оберненої пропорційних залежностей та уміння застосування їх для моделювання залежностей між величинами:

На платформу завезли корм, якого вистачило б качкам на 30 днів, а гусям - на 45 днів. На скільки днів вистачить привезеного корму, якщо годувати і качок і гусей разом?

Маса 4 однакових деталей дорівнює 21,6 кг. Яка маса 15 таких же деталей?

Із 200 кг цукрових буряків виходить 37 кг цукру. Скільки потрібно буряків, щоб одержати 185 кг цукру?

Периметр трикутника дорівнює 90 см. Чому дорівнюють його сторони, якщо їх відношення дорівнює 3 : 3 : 4?

Як показує аналіз практичного змісту підручників [5,6], існує проблема достатності змісту для реалізації програмних вимог. Наприклад, у діючих підручниках недостатня кількість завдань практичного характеру, завдань на орієнтацію на координатному промені.

Бажано було б різноманітити завдання на складання формул, на інтерпретацію формул. Йдеться про завдання на зразок:

Кілограм шоколадних цукерок коштує а грн., кілограм карамелі - в грн.

а)Що було куплено, якщо вартість покупки складає 2а + в грн.?

б)Який зміст виразу а- в?

На координатній прямій точкам відповідають послідовні цілі числа. Одне з них позначено буквою n. Підпишіть відповідні числа під іншими точками.

Фірма видає напрокат велосипеди. Плата за прокат велосипеда встановлюється в такий спосіб: за кожний день прокату береться 30 грн. і за оформлення замовлення ще 50 грн.

а) Позначте вартість прокату буквою А і запишіть формулу для обчислення вартості прокату велосипеда за n днів.

б) Обчисліть вартість прокату велосипеда за 9 днів.

Складіть формулу для визначення кількості квартир у будинку, якщо відома кількість квартир на одній площадці, кількість поверхів і кількість під'їздів. Виразіть одну зі сторін прямокутника через його периметр і другу сторону.

У газеті надрукована таблиця з розцінками на публікацію реклами.

Табл. 6

Вартість реклами (грн.)	Термін здачі реклами
	За 3-7 днів	за 8-14 днів	за 15-30 днів	за 31 день і більше
1 друкований знак	48	45	42	39
1 см2 площі	600	500	450	400

Надбавка за престижне місце в газеті: перша сторінка -200 % від вартості реклами, остання сторінка -32 % від вартості реклами.

Підрахуйте вартість публікації реклами, текст якої зображено на малюнку. За бажанням замовника вона має займати площу 4х5 см. Реклама здана в газету за 20 днів до її публікації, і замовник просить її помістити на першій сторінці.

3. Особливості формування функціонального мислення школярів

Методичні особливості функціональної змістової лінії в курсі «Алгебри» основної школи.

У сьомому класі вводиться одне з фундаментальних математичних понять - поняття функції. Тут же розглядається лінійна функція та її графік. Згодом ці відомості використовуються для графічної ілюстрації розв'язування лінійного рівняння з однією змінною, а також системи двох лінійних рівнянь з двома змінними. Інші види функцій розглядаються у зв'язку з вивченням відповідного матеріалу, що стосується решти змістових ліній курсу. Зокрема, у 8 класі в темах “Раціональні вирази” та “Квадратні корені” учні ознайомлюються з функціями та і їх властивостями. У 9 класі розглядається квадратична функція. Вивчення її властивостей пов'язується з розв'язуванням квадратних нерівностей.

Таким чином, функціональна лінія пронизує весь курс алгебри основної школи і розвивається у тісному зв'язку з тотожними перетвореннями, рівняннями і нерівностями. Властивості функцій встановлюються за їх графіками, тобто на основі наочних уявлень, і лише деякі властивості обґрунтовуються аналітично. В міру оволодіння учнями теоретичним матеріалом кількість властивостей, що підлягають вивченню, поступово збільшується. Під час вивчення функцій чільне місце відводиться формуванню умінь будувати і читати графіки функцій, характеризувати за графіками функцій процеси, які вони описують.

Прикладна спрямованість вивчення функцій, рівнянь, нерівностей та іншого матеріалу доповнюється окремими аспектами, пов'язаними з ознайомленням учнів з відсотковими розрахунками, початковими елементарними поняттями теорії ймовірностей і статистики.

Завдання вчителя математики масової загальноосвітньої школи полягає не тільки в реалізації базової математичної освіти всіх учнів, але і в розвитку творчих здібностей особливо обдарованих дітей, які не мають змоги вивчити курс математики на поглибленому рівні.

Мета цієї методичної розробки полягає в наданні методичної допомоги вчителю по визначенню завдань, які слід розв'язувати для:

- формування поняття функції та застосування цих понять для встановлення зв'язків між різними характеристиками процесів і явищ;

- для кращої підготовки до здачі державної підсумкової атестації в 9 класі:

- вивчення інших предметів природничого циклу.

Основні вимоги до рівня навчальних досягнень учнів 7 класу з теми «Функція» визначені програмами та Державним стандартом.

Учні повинні знати:

- способи задання функції:

- описувати побудову графіка функції, заданої табличним або аналітичним способом.

Учні повинні уміти розв'язувати вправи, що передбачають:

- знаходження області визначення функції;

- знаходження значень функції за даним значенням аргументу;

- побудову графіка лінійної функції;

- з'ясування окремих характеристик функції за її графіком;

- знаходити додатні значення, від'ємні значення, нулі) [12,с.41].

Для формування поняття функції та застосування цих понять для встановлення зв'язків між різними характеристиками процесів і явищ у підручнику «Алгебра-7» автор О.С. Істер пропонує вправи.

Приклад 6. Учень купив альбом для марок за 5 грн. і кілька зошитів по 2 грн. Задайте залежність кількості гривень у які витратив учень, від кількості куплених зошитів х. Чи є ця залежність лінійною функцією? Якою є область визначення цієї функції?

Приклад 7. Мотоцикліст рухається зі швидкістю 65км/год. Задайте формулою залежність пройденого шляху s (у кілометрах) від часу t (у годинах). Чи є ця залежність прямою пропорційністю?

Приклад 8. Напишіть формули, що виражають залежність довжини кола С від його радіуса r і площі круга s обмеженого цим колом від радіуса r. Яка з цих залежностей є прямою пропорційністю?

Приклад 9. Із села до міста, віддаленого на відстані 48 км вирушив велосипедист зі швидкістю 14 км/год. Задайте формулою залежність змінної s від змінної, t де s - відстань велосипедиста до міста (у км), t - час його руху(у год). Знайдіть за формулою: 1) s, якщо t = 1,5; 2)t, якщо s =3.

Для формування уміння описувати побудову графіка функції, заданої табличним або аналітичним способом в підручнику підібрані такі типові вправи:

Приклад 10. Побудуйте графік функції у =х- 3, де -2 ? х ? 5, склавши таблицю для цілих значень аргументу. Чи належить графіку функції точка А (3;0); точка В (-1;2)? Знайдіть за графіком значення функції, якщо х = 2; х = 4. Знайдіть за графіком значення аргументу, якому відповідає значення функції у = -3; у = 2.

Приклад 11. Заповніть таблицю у зошиті і побудуйте графік лінійної функції

у = -х + 2; у = 2х - 3

Приклад 12. Не будуючи графіка функції у = -3х + 7, з'ясуйте, чи проходить цей графік через точку: А(1; -4), В(0; 7), С(-1; 10), D(10; -37)

Приклад 13. Використовуючи графік функції заповніть таблицю.

Табл. 7

х	-2	0	1	3
у					-5	-1	5

Рис. 3

Приклад 14. Точка А(0,7; 70) належить графіку функції, яка є прямою пропорційністю. Запишіть формулою цю пропорційність.

Приклад 15. На малюнку зображено графіки функцій у = 3х; у = -3х; у = х + 3.

Яка формула відповідає кожному з них?

Рис. 4

Наступні типові завдання дозволяють відпрацювати навички знаходження області визначення функції та значення функції за даним значенням аргументу.

Приклад 16.За графіком на малюнку знайдіть:

Якою була температура повітря в 0 год; о 2 год; о 9 год; о 12 год; о 18 год?

О котрій годині температура повітря була -6; -2; 1; 3?

Якою була найнижча температура і о котрій годині?

Якою була найвища температура і о котрій годині?

Протягом якого часу температура підвищувалась?

Протягом якого часу температура знижувалась?

Протягом якого часу температура

повітря була нижча від 0?

Протягом якого часу температура

повітря була вища від 0?

Приклад 17. За графіком на малюнку знайдіть:

значення у, якщо х = -3; -2; -0,5; 1,5; 4;

значення х, яким відповідає у = -2,5; -1,5; 1;

нулі функції;

значення аргументу при яких функція набуває додатних значень;

значення аргументу, при яких функція набуває від'ємних значень.

3. Подубуйте графік функції у = 1,5х - 3. Знайдіть за графіком:

яке значення у відповідає х =-2; 0; 4;

якому значенню х відповідає у = -3; 0; 6;

нулі функції;

значення аргументу при яких функція

набуває додатних значень;

значення аргументу при яких функція набуває від'ємних значень;

точки перетину з осями координат.

Рис. 5

Рис. 6

На цьому вивчення лінійної функції та пряма пропорційність в шкільному курсі закінчується. а в завданнях «Збірника завдань для державної підсумкової атестації у 9 класі» пропонуються такі тестові задачі на зворотну дію:

Приклад 18. На якому рисунку зображено графік функції у = х - 3?

Рис. 7

Приклад 19. Графік якої функції зображено на рисунку?

Рис. 8

А) у = ; В) у = 5х;

Б) у = х + 5; Г) у = -х - 5.

Приклад 20. На рисунку зображено графік лінійної функції у = кх + в.

Які знаки мають коефіцієнти к і в?

Рис. 9

А) к>0, в>0; В) к<0, в>0;

Б) к > 0, в <0; Г) к<0, в<0.

Подібні завдання у підручнику «Алгебра-7», тому в 7 класі для кращої підготовки до державної підсумкової атестації пропоную розв'язати завдання такого типу:

Приклад 21. Записати в таблицю відповідність номерів графіків функції та їх формул