Вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу

78

ДИПЛОМНА РОБОТА

"Вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу"

Вступ

Дитина дуже рано починає орієнтуватися в оточуючому її реальному, а потім і уявному просторі з урахуванням положення власного тіла. В дослідженнях А.Я. Колодної, Б.Г. Ананьєва, А.А. Люблінської, А.Н. Сорокіна і багато інших показано, що перші просторові образи у дітей виникають при усвідомленні ними схеми свого тіла, залежно від розпізнавання правої і лівої руки (ноги). Всі предмети в просторі вони сприймають з урахуванням його вертикального положення (вгорі - внизу, спереду - ззаду, збоку, справа - зліва і т. д.). Ця природна позиція служить для створення різноманітних і адекватних просторових образів. Орієнтація по схемі тіла є ведучою не тільки при практичному оволодінні простором, але і при переході від реального (фізичного) до уявного (геометричного) простору.

Про це красномовно свідчать дитячі малюнки. Починаючи малювати, діти намагаються перш за все відтворити в малюнку себе або інших «чоловічків». Відтворюючи умовними засобами себе в малюнку, вони стараються на цій основі зробити композиційну побудову малюнка, тобто здійснити просторове розміщення всіх об'єктів. В молодших класах на уроках малювання учні малюють спочатку фігури на площині, але деякі з них вже стараються надавати їм об'ємного вигляду. Пізніше ці фігури зображають в просторі, не знаючи при цьому, що таке трьохвимірний простір. Діти ліплять об'ємні фігури з пластиліну та роблять їх з інших підручних матеріалів. У старших класах вивчення просторових фігур відбувається на уроках стереометрії.

Просторове мислення виникає в надрах практичної потреби орієнтації на місцевості, серед об'єктів матеріального світу. Особливість просторових зв'язків, як підкреслював Ананьєв, полягає в тому, що це є один з видів віддзеркалення відношень між об'єктами. Це означає, що просторові властивості не дані у всьому своєму різноманітті в окремих статичних, ізольованих предметах, застиглих геометричних формах. Вони можуть бути виявлені, вивчені, використані лише в ході активної перетворюючої діяльності суб'єкта, направленої на трансформацію, видозміну об'єктів, в ході якої тільки і можуть бути виділені (знайдені) просторові властивості і відношення.

Розвиток просторового мисленнями дітей відбувається і в процесі навчання. Як відомо, якнайповніше просторові властивості і відношення досліджуються в математиці. З одної сторони, розвиток просторового мислення школярів є необхідним для розвитку у них здібностей до уявлення взагалі, а з другої - це необхідна умова для свідомого засвоєння курсу стереометрії. Формування просторового мислення є одним із найважливіших завдань геометрії. Багато математиків працювали над тим, як покращити процес вивчення геометрії, щоб максимально розвинути просторове мислення учнів.

В даний час ведеться серйозна робота по удосконаленню змісту освіти і шляхів навчання з метою максимального їх наближення до сучасного рівня наукових знань і методів дослідження. В зв'язку з цим розробляються психолого-дидактичні принципи відбору навчального матеріалу з урахуванням досягнень науки і техніки, визначаються оптимальні способи його засвоєння.

На етапі розбудови системи національної освіти та інтеграції її в світову важливим є питання відповідності змісту базової математичної освіти вимогам суспільства, розвитку науки, сучасним потребам особи.

Основна школа в Україні згідно з Законом України «Про освіту» повинна забезпечити базову загальну середню освіту, тобто дати випускникам чітко окреслене коло знань, практичних навичок та умінь, потрібних для роботи в умовах сучасного виробництва, а також для здобуття повної загальної середньої освіти в старшій школі та продовження неперервної освіти.

Специфіка і структура шкільного курсу математики відкривають широкі можливості для розвитку творчих здібностей учнів, формування прийомів розумової діяльності, інтелекту.

У вирішенні цих питань важливе місце належить геометрії, оскільки геометричні знання і вміння є одним із вагомих факторів, що забезпечують, насамперед, готовність людини до неперервної освіти та трудової діяльності.

Оскільки повна загальна середня освіта в Україні є обов'язковою і її можна здобувати у різних типах навчальних закладів освіти, то частина учнів після 9 класу продовжує навчання в загальноосвітній школі, інші вступають до різних училищ, технікумів, ПТУ. Для більшості з тих, хто не продовжує далі навчання в середній школі, стереометрія викладається в меншому обсязі, тому залишаються майже незнайомими властивості просторових фігур, хоча саме вони є необхідними людині в повсякденному житті. Учні професійних навчально-виховних закладів зазнавали труднощів при вивченні спеціальних дисциплін та під час виробничої практики, тому що згідно з діючою раніше програмою в 7-9 класах вони вивчали геометрію на площині, тоді як стереометричні знання та уміння формувалися лише в старшій школі.

Виходячи з цього, виникає необхідність деякого перерозподілу геометричного матеріалу порівняно з діючими програмами. Це стосується, насамперед, вивчення в курсі геометрії основної школи на наочно-інтуїтивному рівні таких понять стереометрії, як паралельність і перпендикулярність прямих і площин, прямокутний паралелепіпед, пряма призма, піраміда, циліндр, конус, куля. Поряд з цим мають формуватися практичні вміння обчислювати площі поверхонь і об'єми основних геометричних тіл, зображати просторові фігури на площині, будувати їх розгортки, «читати» рисунки.

Саме тому у 2003 році, з метою систематизації деяких знань зі стереометрії у школярів основної школи та підготовки їх до вивчення цього курсу у старших класах, у програму з математики для дев'ятого класу введено розділ «Початкові відомості зі стереометрії».

На даний час практично немає розроблених методичних матеріалів, систем задач, які б відповідали нововведенню. Виникла потреба в створенні методики вивчення елементів стереометрії у дев'ятому класі. Тому тема «Про вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії дев'ятого класу» є на сьогодні актуальною.

Розкриття цієї теми потребує розв'язання таких задач:

1. Вивчити програму з математики для дев'ятого класу, а особливо розділ «Початкові відомості зі стереометрії»; упорядкувати робочу програму вивчення цього матеріалу в дев'ятому класі.

2. Скласти систему задач до цього розділу.

3. Розробити методичні рекомендації до вивчення елементів стереометрії у дев'ятому класі.

4. Показати дидактичні можливості використання ППЗ GRAN-3D при вивченні елементів стереометрії у 9 класі.

Робота складається з вступу, двох розділів, висновків, списку літературних джерел і додатків.

У першому розділі увага зосереджена на меті і завданні введенню елементів стереометрії у курсі математики основної школи. Також він присвячений для з'ясування, яка роль і місце елементів стереометрії у розвитку просторового мислення школярів.

У другому розділі розглядаються методичні рекомендації вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу з врахуванням особливостей нових шкільних підручників з геометрії.

1. Елементи стереометрії у шкільному курсі математики

1.1 Мета і завдання введення елементів стереометрії у курсі математики основної школи.

Вирішальне значення для системи шкільної освіти має формуючий вплив предмета математики на розвиток логічного мислення, просторових уявлень і уяви, алгоритмічної і інформаційної культури, уваги, пам'яті.

Характеристика геометрії як науки становить методологічну основу для проектування шкільного предмета геометрії і, природно, ведуть до основних завдань навчання геометрії в школі:

1. розвиток образного, зокрема просторового, мислення, розвиток логічного мислення;

2. формування розуміння відношень між геометричними об'єктами і об'єктами реального світу;

3. вміння застосовувати геометрію для розв'язування практичних задач.

Вказана вище триєдина мета навчання геометрії є загальновизнаною. Однак її реалізація на практиці викликає значні труднощі. Безумовно, переважна частина цих труднощів має об'єктивну природу: складність предмета та складність видів діяльності, які мають опанувати учні.

Розділ «Початкові відомості зі стереометрії» є новим у програмі геометрії в 9-х класах і має на меті, щоб учні, які не будуть продовжувати вивчення геометрії в старших класах, мали уявлення про просторові фігури, про обчислення площ поверхонь та об'ємів простіших геометричних тіл. Інше призначення цього розділу - пропедевтична підготовка до вивчення геометрії в 10 і 11 класах. Основна мета - повторити, привести в систему і розширити відомості про геометричні фігури в просторі та навчити обчислювати площі поверхонь і об'єм розглянутих тіл.

Однією з основних ідей розбудови математичної освіти, що записані в «Концепції шкільної математичної освіти», є ідея гармонійного розвитку особистості, виховання творчих здібностей людини, здатної вирішувати найскладніші життєві проблеми. При цьому перед геометрією ставляться важливі завдання з формування мислення, розвитку уяви, просторових уявлень, практичних навичок і умінь, оскільки вони є вагомими компонентами загальнолюдської культури взагалі. Діюча система шкільної геометричної освіти не може забезпечити належне виконання цих завдань. Це обумовлено, насамперед, її будовою.

Курс математики 5-6-х класів вважається пропедевтичним у питаннях вивчення геометрії. Він має за мету сформувати в учнів елементарні знання про основні геометричні фігури перед вивченням систематичного курсу геометрії. Таке попереднє вивчення на рівні ознайомлення істотно полегшує наступне розгортання логічної системи знань з дотриманням строгості доведення. Однак геометрична частина настільки скорочена, що не дає змоги досягти поставленої мети навіть за умови, що молодший підлітковий вік є сприятливим для розвитку образного мислення, просторових уявлень та уяви, вкрай необхідних для орієнтації в середовищі, що нас оточує, для цілісного, багатогранного сприймання дійсності.

Систематичний курс геометрії у 7-11-х класах чітко розмежований. У підручнику О.В. Погорєлова «Геометрія 7-11», за яким донині навчали геометрії в переважній більшості шкіл України, розділи «Планіметрія» та «Стереометрія» подаються окремо, причому перша частина «Планіметрія» елементів стереометрії не містить. Така штучна й тривала ізоляція психіки дитини від співвідношень реального тривимірного світу завдає значної шкоди природному розвитку її просторової уяви. Актуальною є потреба перегляду шкільних програм з математики, зокрема з геометрії. Слід зазначити, що у цьому напрямку вже намітилися певні зрушення.

Так, нові програми з математики для основної та профільної старшої школи побудовані з урахуванням вимог Державного стандарту базової і повної середньої освіти, яким передбачено вивчення математики за методом фузіонізму. Зокрема, курс геометрії основної школи пропонується будувати так, щоб елементи стереометрії тісно перепліталися з відповідним планіметричним матеріалом, що значно полегшить створення в систематичному курсі стереометрії цілісних і міцних знань, стійких до збереження в пам'яті, сприятиме розвитку просторових уявлень та уяви учнів. Часті переходи від двовимірної площини до тривимірного простору сприятимуть розвитку інтуїції школяра. Позитивною рисою також є підвищена увага до питань пропедевтики геометрії, особливо в 5-6-х кл-х (див. додаток А).

Одночасно з підручником геометрії О.В. Погорєлова в 7-9-х класах використовується підручник геометрії авторського колективу на чолі з Г.П. Бевзом. Він у 9-му класі завершується розділом «Елементи стереометрії». У цьому розділі учнів ознайомлюють з прямими та площинами в просторі, вводять поняття многогранників, фігур обертання, а також пропонують формули площ поверхонь та об'ємів геометричних тіл. Вивчення даного розділу передбачає виконання практичних завдань з виготовлення моделей многогранників, фігур обертання, розв'язування вправ на обчислення їх площ поверхонь та об'ємів.

Як бачимо, зрушення щодо введення питань стереометрії в курс математики основної школи є. Однак питання визначення змісту і обсягу стереометричного матеріалу в курсі математики основної школи, його місця в програмі, вимог до підготовки учнів під час диференційованого навчання залишаються розв'язаними недостатньо. Недостатньо розроблена також методика його вивчення та не створена система задач, яка забезпечує це вивчення.

Виходячи з цілей і завдань вивчення математики, рекомендованого змісту питань геометрії, шкільний курс геометричної освіти доцільно будувати так.

5-6-ті класи - курс наочної геометрії, який по суті має бути пропедевтичним перед вивченням систематичних курсів планіметрії та стереометрії. Саме в цьому полягає одна з його основних цілей. Не менш важливим є озброєння учнів практичними знаннями з геометрії, які потрібні їм під час вивчення географії, фізики, креслення, трудового навчання та інших суміжних дисциплін.

Пріоритетними завданнями мають бути розвиток просторових уявлень та уяви, систематизація емпіричного геометричного матеріалу, накопиченого в дошкільному віці та в початкових класах; формування уявлень про певні класи геометричних фігур на площині та в просторі; формування навичок використання формул площ та об'ємів геометричних фігур під розв'язування задач прикладної спрямованості.

Реалізація цих завдань має здійснюватися через спостереження геометричних фігур (зокрема й просторових) в оточуючому середовищі, виділення їх з цього середовища та маніпулювання ними; використання моделей плоских і просторових фігур та їх виготовлення; вимірювання та обчислення за готовими формулами певних геометричних величин; дослідне встановлення деяких властивостей фігур, що розглядаються.

Спираючись на Державні стандарти базової та повної середньої освіти, доцільно в зміст даного курсу разом з наявним геометричним матеріалом включити питання стереометрії.

Зміст геометричного матеріалу та вимоги до підготовки учнів подано у таблиці 1 (див. додаток Б).

7-9-й класи - систематичний курс планіметрії, який має будуватися на основі фузіонізму, тобто стереометричний матеріал має органічно поєднуватися з відповідними поняттями та фактами планіметрії без суттєвих змін внутрішньої логічної структури самого курсу. При цьому планіметрія вивчається на систематичному рівні в межах існуючих державних програм, з відповідними обґрунтуваннями та доведеннями розглядуваних фактів, стереометрія - на рівні пропедевтики.

Стереометричний матеріал, що вивчається у 7-9-х класах, за назвами дещо збігається із запропонованим у 5-6-х класах, проте зміст понять поступово наповнюється новими логіко-математичними властивостями, а сформовані образи перетворюються у математичні поняття, яким потім даються чіткі означення.

До завдань, що стосуються вивчення стереометричної частини курсу, належать такі: формування понять про певні класи многогранників, тіл обертання та вивчення деяких їх властивостей; формування вмінь застосовувати формули площ поверхонь та об'ємів тіл до розв'язування прикладних задач; формування конструктивних умінь учнів, їх графічної культури.

Питання стереометрії мають рівномірно розглядати у 7-9-х класах, що забезпечить безперервність їх вивчення. Для міцного та свідомого засвоєння понять стереометрії слід якомога ширше використовувати моделі, таблиці, рисунки.

Зміст стереометричного матеріалу в 7-9-х класах та вимоги до підготовки учнів подано у таблиці 2 (див. додаток Б).

10-11-й класи - систематичний курс стереометрії, завдання якого - систематичне вивчення стереометричного матеріалу на глибшому теоретичному рівні з повним обґрунтуванням тверджень, що доводяться.

1.2 Роль і місце елементів стереометрії у розвитку просторового мислення школярів

1.2.1 Психолого-педагогічні особливості вивчення елементів стереометрії

Навчання - складний і багатогранний процес. Його основною метою є прагнення дати (або отримати) цілісне уявлення про оточуючий матеріальний світ. Для досягнення цієї мети необхідно враховувати фізіологічні, психологічні та педагогічні особливості цього процесу.

Просторове мислення, як відомо, є складовою частиною чуттєво-образного мислення і не є апріорі визначеним, запрограмованим від народження. Воно формується в процесі індивідуального розвитку людини. Для правильного його формування слід спиратися насамперед на здобутки в галузі фізіології та психології, зокрема на відкриття явища асиметрії півкуль головного мозку. Ще порівняно недавно існувала думка про їх рівноправність щодо деяких функцій. Проте досліди Р. Сперрі та його послідовників, а також досягнення вітчизняної науки переконливо свідчать про функціональні відмінності півкуль головного мозку у сприйнятті образів реального світу, формуванні мислення.

Відомо, що ліва півкуля керує роботою правої частини людського тіла, а права відповідає за рух лівих кінцівок і чуттєвість його лівої частини. Крім того, у лівій півкулі локалізовані центри мови, хоча не можна повністю виключати здатність правої півкулі розуміти мову. Дослідження Р. Сперрі показали, що при відокремленні півкуль ліва рука, керована правою півкулею, здатна відтворити показаний рисунок або зобразити куб у трьох вимірах, тоді як права не може виконати жодну з цих вправ. З цих досліджень було зроблено припущення, що ліва півкуля спеціалізована на оперуванні словами та іншими умовними знаками, права ж оперує образами реальних об'єктів, відповідає за орієнтацію в просторі.

За допомогою «лівопівкульної» стратегії будь-який матеріал організується так, що створюється однозначний контекст, який розуміється всіма однаково та необхідний для успішного спілкування між людьми. Відмінною ж особливістю «правопівкульної» стратегії є формування багатозначного контексту, який не піддається вичерпному поясненню у традиційній системі спілкування.

Тому просторово-образне мислення забезпечує сприйняття реальності в усій її багатогранності, дає можливість орієнтуватись у просторі багатьох вимірів, зокрема в реальному тривимірному просторі. Стратегія лівої півкулі полягає у здатності серед багатогранності зв'язків між предметами та явищами відібрати основні, найістотніші.

Сучасна система освіти, зокрема й геометричної (коли у школі вивчаються два розмежовані курси «Планіметрія» та «Стереометрія»), спрямована, переважно, на розвиток формально-логічного мислення, на оволодіння способами побудови однозначного контексту. Можливо, з точки зору дидактики, таке розділення й доцільне, але цим самим «закріпачується» образне мислення. Тривалий час плоскі фігури розглядаються відірвано від аналогічних їм просторових, що створює штучне обмеження мислення двовимірним простором і призводить до послаблення просторової інтуїції, просторових уявлень, стримує розвиток інтелектуальних і розумових здібностей учнів. І чим більше зусиль прикладається для того, щоб логіко-знакове мислення було домінуючим, тим складніше зламати цей стереотип потім. Набагато корисніше та ефективніше було б спочатку спрямувати більше зусиль на формування образного мислення, а потім, під час формування формально-логічного, на певне обмеження потенційних можливостей першого, на його впорядкування. Так само штучне розмежування геометрії на два предмети замінити систематичним вивченням в основній школі курсу планіметрії та елементів стереометрії.

Формування образного мислення в усій повноті та своєрідності його функцій - необхідна умова ефективного засвоєння знань. Разом з тим це один із важливих засобів розвитку особистості.

Дитина не народжується з уже сформованою тією чи іншою системою мислення. Його логічна та образна складові розвиваються в процесі навчання, виховання залежно від того, у якому напрямку цей розвиток спрямовано. Щоб створити сприятливі умови такого розвитку, найперше, мають бути враховані вікові особливості дитини.

Психологи Б.Г. Ананьєв, Є.Ф. Рибалко, В.І. Зикова, Е.А. Фарапонова стверджують: сприйняття простору дітьми вже у дошкільному віці набуває певного розвитку. У них формуються елементарні вміння орієнтуватися в навколишньому світі, утворюються системи зв'язків між зоровим, слуховим і руховим аналізаторами. Так, уже на третьому році життя у дитини складається системний механізм просторової орієнтації. З її розвитком цей процес збагачується новими відношеннями та складовими.

Значно якісніше це сприйняття простору відбувається у молодшому шкільному віці, оскільки програмується навчанням і керується вчителем. Переважна більшість молодших школярів здатна «уявити» геометричні тіла (куля, куб, прямокутний паралелепіпед, конус тощо) як реальні об'єкти, що їм відповідають (м'яч, цеглина, пенал, лійка тощо). Діти спроможні розпізнати ці тіла на готових моделях, малюнках, назвати їх. У них рано формується сприймання зображень просторових фігур.

І.СЯкиманська, аналізуючи вікові відмінності учнів, що проявляються під час розв'язування задач на просторові перетворення, виділяє таку особливість: просторові образи молодших школярів досить рухомі та динамічні. У навчальній діяльності діти ознайомлюються не тільки з такими ознаками об'єктів, як колір, маса, форма тощо, а й з властивостями, що визначають положення цих об'єктів у тривимірному просторі.

Крім того, за належного навчання діти легко справляються з завданнями на перетворення елементів зображення, добре розрізняють геометричні форми, з бажанням, залюбки складають розгортки об'ємних предметів за їх наочним зображенням. Звідси випливає потреба у використанні наочності під час навчання дітей цього віку.

З переходом учнів до середніх класів (підлітковий вік) зміст їх навчальної діяльності ускладнюється, на основі чого відбувається дальший розвиток образного мислення. Глибше розуміння учнями властивостей предметів і явищ навколишнього світу проявляється тепер у формуванні абстрактних понять. З наочно-образного їх мислення поступово стає абстрактно-понятійним.

Підлітки, на відміну від молодших школярів, уже вміють розпізнавати та виділяти в предметах і явищах ті ознаки, які істотні для даного роду чи виду явищ. Проте варто зазначити, що формування абстрактних понять у цьому віці часто зводиться до формального засвоєння властивостей, їх відриву від конкретних об'єктів. Тому часто учні знають визначення, формули і добре оперують ними, та не можуть належно розкрити їх зміст і успішно застосовувати до розв'язування конкретних задач.

У процесі формального засвоєння знань природна здатність дітей до динамізму сприймання витісняється установкою на використання однієї, фіксованої позиції спостереження. Подолати це негативне явище можна включенням дітей в активну навчальну діяльність, залученням до виготовлення наочних посібників, зокрема моделей просторових фігур, їх розгорток з картону, різноманітного підручного матеріалу; вимірювання та обчислення їх розмірів, площ поверхонь, об'ємів. У ході такої роботи школярі не тільки оволодівають практичними навичками, а й глибше засвоюють зміст понять.

І.С. Якиманська, В.В. Давидов, Є.М. Кабанова-Меллер, Г.С. Костюк, Н.А. Менчинська, І.Є. Унтта та ін. зазначають, що для розвитку просторового мислення недостатньо враховувати лише вікові особливості учнів, необхідно брати до уваги їх індивідуальні відмінності.

Учні одного й того самого віку помітно відрізняються один від одного за своїми здібностями до просторового мислення. В одних під впливом певних факторів (інтерес до техніки, робота з «конструкторами», домашнє навчання і виховання та ін.) здатність до просторового мислення формуються ще до початку систематичного вивчення предметів, які висувають до нього спеціальні вимоги. Учитель, який працює з такими учнями, спираючись на наявні здібності, має забезпечити подальший розвиток просторового мислення, добираючи завдання відповідно до індивідуальних відмінностей. Є учні, які з певних причин до цього часу не досягли такого рівня. Тому перед учителем постає інша задача - формувати здібності учнів до просторового мислення. Зрозуміло, що учні, у яких така здібність не сформована, не можуть засвоювати знання на однаковому рівні з іншими. Тому слід диференціювати та індивідиалізувати роботу щодо розвитку наявних здібностей і щодо їх формування.

В учнів, які приступають до вивчення систематичного курсу геометрії, просторові (тривимірні) уявлення розвиненіші більше, ніж двовимірні, що недостатньо враховано під час складання програми з математики 5-9-х класів, особливо з курсу геометрії. Багатий досвід дітей, накопичений ними у практиці оперування реальними предметами, не знаходить свого безпосереднього застосування та подальшого удосконалення, оскільки, вивчаючи планіметрією, школярі оперують лише площинними зображеннями, тоді як тривимірні образи відходять на другий план.

Проведені нами дослідження переконливо вказують на наявність в учнів середніх класів уявлень про площину (поверхня столу, класної дошки, підлоги, вікна), паралелепіпед (сірникова коробка, цеглина), циліндр (склянка), конус (лійка), кулю (м'яч, глобус), призму (шестигранний олівець, намет). Діти намагаються дати наочне зображення таких фігур, проте не можуть цього зробити, тому що у них недостатньо сформовані просторові уявлення, відсутні відповідні навички та вміння. Основна причина названого явища очевидна. Вона полягає в тому, що під час вивчення планіметрії учнів привчили мислити «плоскими» образами.

Викладені вище міркування приводять до загальних висновків:

1) існують як фізіологічні, так і психологічні передумови вивчення елементів стереометрії в курсі математики основної школи, що не враховує сучасна система шкільної геометричної освіти, яка, будучи бездоганною з дидактичної точки зору, не відповідає періодам розвитку геометрії як науки (принцип історизму) і, певною мірою, гальмує розвиток мислення учнів;

2) є потреба у вивченні стереометричного матеріалу в основній школі, яке доцільно здійснювати на наочно-оперативному рівні в систематичних курсах математики (5-6-й класи) і планіметрії (7-9-й класи);

3) таке вивчення вимагає розробки відповідного методичного забезпечення (програми, дидактичні матеріали, інформаційні технології тощо).

1.2.2 Місце стереометричного матеріалу в курсі математики основної школи та вимоги до його засвоєння

Структурування навчального матеріалу з геометрії доцільно здійснити на основі таких принципів:

а) у курсі математики в 5-6-х класах треба ознайомити учнів з основними поняттями геометрії площини та простору на наочно-інтуїтивному та оперативному рівнях, формулами для обчислення площ поверхонь та об'ємів геометричних тіл, готувати учнів до вивчення систематичного курсу геометрії, суміжних дисциплін;

б) систематичне вивчення геометрії має починатися з 7-го класу курсом планіметрії, який містить дещо розширену порівняно з 5-6-м класами стереометричну частину;

в) стереометричний матеріал має органічно поєднуватися з аналогічним планіметричним матеріалом; властивості плоских фігур треба демонструвати на відповідних елементах стереометричних фігур, розкриваючи тим самим певні властивості останніх;

г) вивчення стереометричного матеріалу в основній школі має носити практичний характер, базуватися переважно на дослідах, інтуїції, експерименті; тим самим буде сформовано необхідний запас просторових уявлень як основи для вивчення систематичного курсу стереометрії в 10-11-х класах на науково-теоретичному рівні;

ґ) курс планіметрії треба завершити узагальнюючим розділом «Елементи стереометрії».

Уявлення про місце стереометричного матеріалу в курсі математики основної школи та його структурування дає таблиця 3 (див. додаток В).

Передбачається вивчення геометричного матеріалу з різним ступенем обґрунтованості та повноти. Мінімальний рівень підготовки описаний за допомогою завдань відповідно до класу та навчального матеріалу.

Обовязкові результати навчання

5-6-й класи

1. Точка, пряма, площина, промінь, відрізок.

Позначте точку і проведіть через неї три прямі.

Проведіть пряму і позначте на ній точки A, B, C. Назвіть відрізки, що утворилися.

Розгляньте рис. 1.

Рис. 1 Рис. 2

Які фігури зображено на ньому? Назвіть: три відрізки; три промені. Скільки прямих зображено на рисунку?

Назвіть відрізки і точки, зображені на рисунку прямокутного паралелепіпеда (рис. 2).

2. Довжина відрізка.

1. Накресліть пряму і позначте на ній точки A та B. Виміряйте відрізок АВ. Запишіть, чому дорівнює його довжина.

2. Накресліть відрізки AB та BC, якщо AB=5 см, BC=4 см 3 мм.

3. Виберіть серед запропонованих моделей модель куба. Виміряйте та запишіть довжину його ребра в сантиметрах (з точністю до десятих).

4. Виміряйте та запишіть довжини ребер сірникової коробки в сантиметрах (з точністю до десятих).

3. Кут та його елементи. Види кутів.

Позначте точку О. Проведіть промені ОА та ОВ. Яка фігура утворилася? Назвіть її елементи.

Серед оточуючих предметів назвіть ті, які містять прямий кут.

На рис. 3 зображено кути. Назвіть:

а) гострі кути;

б) прямі кути;

в) тупі кути; Рис. 3

г) розгорнуті кути.

4. Побудуйте прямий, гострий і тупий кути. Який з цих кутів найбільший (найменший)?

5. За допомогою косинця накресліть дві прямі, які при перетині утворюють прямі кути. На скільки частин вони ділять площину? Скільки розгорнутих кутів на рисунку?

4. Міра кута.

Виміряйте кути, зображені на рис. 3; запишіть результати вимірювань.

Накресліть кут, градусна міра якого: а) 65°; б) 115°.

Які з кутів гострі, а які тупі, якщо = 67°, =175°, =92°, =3°?

5. Паралельні та перпендикулярні прямі.

1. На рис. 4 зображено прямі. Які з них:

а) перетинаються; б) перпендикулярні; в) паралельні?

Рис. 4 Рис. 5

2. На оточуючих предметах назвіть (покажіть) елементи, які містять паралельні та перпендикулярні прямі.

3. Накресліть пряму. Поза прямою позначте точку та проведіть через неї за допомогою косинця пряму, перпендикулярну до даної прямої.

Назвіть у кубі, зображеному на рис. 5:

а) відрізки паралельних прямих;

б) відрізки перпендикулярних прямих.

6. Трикутник і його елементи.

1. Накресліть трикутник. Назвіть вершини, сторони, кути трикутника.

2. Назвіть трикутники, зображені на рис. 6.

Рис. 6 Рис. 7

3. Назвіть кілька предметів, що вас оточують, які мають форму трикутника.

4. Накресліть прямокутний, гострокутний, тупокутний трикутники.

5. Накресліть рівносторонній, рівнобедрений, рівносторонній трикутники.

6. Серед трикутників, зображених на рис. 7, назвіть:

а) гострокутні, прямокутні, тупокутні;

б) різносторонні, рівнобедрені, рівносторонні.

Накресліть гострокутний, прямокутний і тупокутний трикутники та проведіть усі їх висоти.

Накресліть довільний трикутник і виміряйте його кути. Знайдіть суму цих кутів.

7. Чотирикутники. Види чотирикутників. Прямокутник, квадрат, паралелограм, ромб. Висота паралелограма.

1. Які із зображених на рис. 8 фігур мають форму чотирикутника?

Рис. 8 Рис. 9

2. Серед зображених на рис. 9 фігур назвіть: а) прямокутник; б) паралелограм.

3. Назвіть кілька предметів, що мають форму прямокутника, квадрата.

4. Накресліть за допомогою косинця та лінійки паралелограм ABCD. За допомогою косинця проведіть його висоти з вершини A до сторони CD та з вершини B до сторони AC.

8. Коло. Круг. Кругові діаграми.

Накресліть коло. Позначте точкою О його центр. Проведіть радіуси ОА та ОВ. Як називають частину кола між точками A та B? Як називають частину круга між радіусами ОА та ОВ?

Назвіть кілька предметів, що мають форму: а) кола; б) круга.

За допомогою циркуля накресліть коло радіусом 3 см. Проведіть діаметр цього кола. Яка його довжина?

9. Довжина кола. Число .

Обчисліть довжину кола, радіус якого 2,5 см, вважаючи, що 3,14. Результат округліть до десятих.

Накресліть довільне коло. Виміряйте його радіус і обчисліть довжину кола.

Довжина діаметра земного екватора дорівнює 12756 км. Знайдіть довжину екватора, якщо 3,14. Відповідь округліть до десятків кілометрів.

10. Прямі призми: прямокутний паралелепіпед, куб, трикутна призма, прямий паралелепіпед.

1. Серед моделей геометричних тіл знайдіть:

а) прямий паралелепіпед; б) трикутну призму.

Серед оточуючих предметів назвіть ті, що мають форму прямокутного паралелепіпеда. Скільки граней має прямокутний паралелепіпед?

Серед оточуючих предметів назвіть ті, що мають форму прямої трикутної призми.

Виготовіть за готовими розгортками (рис. 10) відповідні фігури.

Рис. 10 Рис. 11

Які фігури зображено на рис. 11?

11. Піраміда та її елементи.

Серед даних моделей пірамід знайдіть:

а) трикутні піраміди; б) чотирикутні піраміди.

Які геометричні фігури є бічними гранями піраміди?

Скільки бічних граней має трикутна, чотирикутна, п'ятикутна піраміди?

5. Дано модель піраміди. Покажіть:

а) основу піраміди;

б) бічні грані піраміди;

в) вершину піраміди.

6. Яку фігуру зображено на рис. 12? Назвіть:

а) основу зображеної фігури;

б) вершину зображеної фігури;

в) бічні грані цієї фігури;

г) її бічні ребра.

12. Циліндр, конус, куля та їх елементи.

Серед даних моделей знайдіть: а) циліндр; б) конус; в) кулю.

Назвіть кілька предметів, що мають форму: а) циліндра; б) конуса; в) кулі.

Розгляньте модель циліндра. Що є його основами? Яка фігура є бічною поверхнею циліндра?

На моделі конуса покажіть його основу, вершину, бічну поверхню.

5. Яку фігуру зображено на рис. 13? Назвіть:

а) основи фігури; б) її твірну.

6. Назвіть основу, вершину, висоту, твірну зображеної на рис. 14 фігури.

Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14

7. Серед даних розгорток (рис. 15) знайдіть: а) розгортку циліндра; б) розгортку конуса.

Рис. 15

13. Площа. Одиниці вимірювання площі.

1. Площа одного квадрата, зображеного на рис. 16, дорівнює 1 см². Яка площа кожної фігури, зображеної на рисунку?

Рис. 16

2. На прямокутній ділянці зі сторонами 110 м і 75 м скосили траву. З якої площі скошено траву?

Знайдіть площу паралелограма з основою 16 дм і висотою 7 дм, опущеною на цю основу.

Знайдіть площу круга радіуса 54 см, вважаючи, що 3,14. Результат округліть до десятих.

Діаметр арени цирку 13,6 м. Яку площу має арена цирку (3,14)? Результат округліть до одиниць.

14. Об'єм. Одиниці вимірювання об'єму.

1. Фігури на рис. 17 складені з кубів, об'єм кожного з яких 1 см³. Знайдіть об'єм кожної фігури.

Рис. 17

2. Знайдіть об'єм прямокутного паралелепіпеда, якщо його виміри дорівнюють 7 см, 4 см, 3 см.

Виміряйте на моделі прямокутного паралелепіпеда його довжину, ширину та висоту. Обчисліть його об'єм.

Знайдіть об'єм кімнати, якщо її довжина 5 м, ширина 4 м, висота 3 м.

Знайдіть об'єм ями, що має форму куба, якщо її глибина 3 м.

Знайдіть об'єм призми, основою якої є прямокутний трикутник з катетами 5 дм і 6 дм. Висота призми дорівнює 8,5 дм.

Обчисліть об'єм піраміди, основою якої є квадрат зі стороною 7 см. Висота піраміди 11 см.

Знайдіть об'єм труби, що має форму циліндра, якщо її радіус 3 дм, а довжина 50 дм.

Знайдіть об'єм води, що вміщує лійка у вигляді конуса, якщо її діаметр 40 см, а висота 30 см.

10. Знайдіть об'єм кулі, радіус якої 8 см.

15. Поверхня геометричного тіла. Площа поверхні геометричного тіла.

Знайдіть площу поверхні куба, якщо довжина його ребра дорівнює 8 см.

Основою прямої призми є рівносторонній трикутник зі стороною 8 см; висота призми 13 см. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

Скільки потрібно жерсті, щоб покрити дах у вигляді піраміди, основою якої є квадрат зі стороною 7 м, а висота її бічної грані 4 м?

Знайдіть площу повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює 5 см, а висота 14 см.

Знайдіть площу повної поверхні конуса, якщо висота конуса 18 см, а радіус основи 5 см.

Знайдіть площу поверхні кулі, радіус якої 8 см.

7-9-й класи

Елементи стереометрії

1. Прямі на площині та в просторі. Паралельність і перпендикулярність прямих на площині та в просторі.

1. На моделі прямокутного паралелепіпеда (або на його зображенні) покажіть по дві пари:

а) паралельних прямих; б) перпендикулярних прямих; в) мимобіжних прямих.

На каркасній моделі піраміди покажіть прямі, шо не перетинаються.

На моделі трикутної піраміди покажіть:

а) дві мимобіжні прямі; б) дві прямі, що перетинаються.

4. На зображенні прямої призми покажіть:

а) дві паралельні прямі; б) дві перпендикулярні прямі; в) дві мимобіжні прямі.

На зображенні чотирикутної піраміди покажіть дві мимобіжні прямі.

На зображенні куба покажіть дві прямі, паралельні третій.

2. Рівність трикутників.

На зображенні трикутної призми назвіть і покажіть рівні трикутники.

Основою піраміди PABCD є прямокутник ABCD. ЇЇ бічні ребра РА, РВ, PC, PD рівні. Для кожної її трикутної грані назвіть рівну їй грань.

У чотирикутній піраміді SABCD всі ребра рівні. Встановіть вид трикутників SAB, SAC, BSD.

У призмі ABCA₁B₁C₁ бічні грані ABB₁A₁ та ВСС₁В₁ рівні. Доведіть, що в трикутнику ABC, який є основою призми, кути А та С рівні.

3. Коло.

1. На моделі або зображенні циліндра покажіть коло, його центр, радіус.

На зображенні конуса проведіть діаметр та хорду кола основи.

На каркасній моделі кулі покажіть її центр, радіус, діаметр.

4. Чотирикутники.

На моделі прямої призми, основою якої є паралелограм, покажіть рівні грані.

Основою прямої призми є ромб. Доведіть, що її бічні грані - рівні прямокутники.

3. На моделі прямої призми, основою якої є рівнобічна трапеції, покажіть:

а) рівні бічні грані; б) паралельні прямі; в) перпендикулярні прямі.

На зображенні піраміди, основою якої є прямокутник, проведіть діагоналі основи та позначте точку їх перетину.

Основою піраміди є прямокутник. Бічні ребра піраміди рівні. Доведіть рівність трикутників, що містять вершину піраміди та діагоналі основи.

5. Теорема Піфагора.

Ребро куба дорівнює a. Знайдіть довжину діагоналі його грані.

Ребро куба дорівнює a. Знайдіть довжину його діагоналі.

Дано зображення прямокутного паралелепіпеда. Знайдіть довжини діагоналей паралелепіпеда, якщо довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 2 дм, 3 дм, 6 дм.

Обчисліть діагональ бічної грані прямої призми, основою якої є ромб зі стороною 6 см, а бічне ребро дорівнює 8 см.

Обчисліть висоту бічної грані піраміди, основою якої є квадрат зі стороною 10 см. Довжина кожного бічного ребра 13 см.

Розв'язування трикутників.

Основа прямого паралелепіпеда - ромб зі стороною 6 см і кутом 60°. Висота паралелепіпеда дорівнює 8 см. За готовим зображенням знайдіть довжину меншої діагоналі паралелепіпеда.

За готовим зображенням обчисліть діагоналі прямої призми, основою якої є паралелограм зі сторонами 2 см і 3 см та гострим кутом 45°. Висота призми 4 см.

Основою піраміди SABCD є прямокутник ABCD. O - точка перетину його діагоналей; 50 - висота піраміди. Обчисліть довжину бічного ребра піраміди, якщо її висота дорівнює 14 см, а кут між діагоналлю основи та бічним ребром 60°. Скористайтесь готовим рисунком.

Висота прямої призми, основою якої є квадрат, дорівнює h, а діагональ призми утворює з діагоналлю основи кут . Знайдіть:

а) діагональ призми; б) діагональ основи призми.

5. Діагональ осьового перерізу циліндра d нахилена до площини його основи під кутом . Знайдіть: а) висоту циліндра; б) діаметр основи.

7. Прямі та площини в просторі.

1. На моделі прямої трикутної призми покажіть:

а) паралельні пряму та площину; б) перпендикулярні площини.

На моделі трикутної піраміди покажіть дві площини, що перетинаються.

Зобразіть площину , що проходить через пряму b.

Зобразіть площину і пряму с, які перетинаються у точці N.

Зобразіть площини та , що перетинаються по прямій m.

8. Многогранники. Тіла обертання.

Накресліть прямокутний паралелепіпед. Зобразіть діагоналі основи.

Накресліть многогранник, який має 4 грані. Скільки він має ребер, вершин?

Накресліть циліндр. Зобразіть його висоту, твірну.

Висота циліндра дорівнює 6 см, а радіус його основи 5 см. Знайдіть площу осьового перерізу.

Обчисліть діагональ осьового перерізу циліндра, твірна якого дорівнює 3,5 см, а радіус основи 2 см.

Накресліть конус. Зобразіть його висоту, твірну. Покажіть його вершину, основу.

Обчисліть площу осьового перерізу конуса, радіус основи якого дорівнює 15 мм, а твірна 30 мм.

Накресліть кулю. Зобразіть її радіус. Зобразіть переріз кулі площиною. Яка фігура утворилася в перерізі?

У кулі радіуса 26 см на відстані 10 см від центра проведено січну площину. Знайдіть площу перерізу.

9. Об'єм і поверхня геометричного тіла.

1. Знайдіть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, у якого діагональ дорівнює 13 дм, висота 12 дм, а одне з ребер основи 4 дм.

2. Основою прямої призми є трикутник, у якого сторони довжиною 5 см і 6 см утворюють кут 30°. Бічне ребро призми дорівнює 4 см. Знайдіть об'єм призми.

3. У прямій призмі основа - прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Бічне ребро призми дорівнює 12 см. Знайдіть площу повної поверхні призми.

4. Знайдіть площу поверхні піраміди, основою якої є квадрат. Кожне ребро піраміди дорівнює 3 дм.

5. Сторони прямокутника дорівнюють 4 см і 5 см. Знайдіть площу повної поверхні тіла, утвореного обертанням цього прямокутника навколо меншої сторони.

6. Осьовий переріз циліндра - прямокутник зі сторонами 12 см і 26 см. Знайдіть об'єм циліндра, якщо його висота дорівнює меншій стороні осьового перерізу.

7. Твірна та радіус основи конуса дорівнюють відповідно 5 м і 2 м. Знайдіть площу поверхні конуса.

8. Покрівля силосної башти має форму конуса. Висота покрівлі 2 м, діаметр башти 6 м. Знайдіть площу поверхні покрівлі.

2. Методичні основи вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу

2.1 Аналіз змісту і методів вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу за новими підручниками з геометрії

У зв'язку з введенням у школах нових навчальних планів і програм з математики постала гостра потреба у підручниках, які б відповідали вимогам нових програм.

Навчання математики у 9 класах загальноосвітніх навчальних закладів здійснюється за новими підручниками: «Геометрія. 9 клас» (автори А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір) видавництва «Гімназія», «Геометрія. 9 клас» (автори Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.) видавництва «Зодіак - ЕКО», «Геометрія. 9 клас» (автори А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршова) видавництва «Ранок».

Ці підручники створено відповідно до Державного стандарту та нових програм з алгебри та геометрії для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Однією з основних проблем шкільних підручників геометрії - оптимальне поєднання науковості й доступності викладення матеріалу. Складністю вирішення цієї проблеми пояснюється те, що українські школи мають обмаль підручників, за якими справді хотілося б навчати учнів. Та з іншого боку, це дало поштовх до педагогічної творчості чималій кількості небайдужих вчителів.

Розглянемо, як висвітлений розділ «Початкові відомості зі стереометрії» у цих підручниках.

У підручнику «Геометрія, 9» М.І. Бурди, Н.А. Тарасенкової розділ розпочинається переліком передбачуваних пізнавальних результатів («У розділі дізнаєтесь…»), а завершується рубрикою «Перевірте, як засвоїли матеріал розділу». Тут подано контрольні запитання узагальнюючого характеру і тестові завдання. У кожному параграфі є: основний навчальний матеріал; додаткові відомості (рубрика «Дізнайтеся більше»); запитання для повторення вивченого (рубрика «Згадайте головне»); система задач, диференційована за складністю (рубрика «Розв'яжіть задачі»), яку завершує окремий блок завдань «Застосуйте на практиці».

Науковість змісту розділу забезпечена в першу чергу логічно послідовним розміщенням навчального матеріалу, коректним формулюванням означень понять, достатнім рівнем строгості. Логічне упорядкування і послідовність навчального матеріалу розділу відповідають вимогам дидактики і математики як науки. Термінологія сучасна, предметна й однозначна. Поняття і властивості геометричних фігур сформульовані коректною математичною мовою. Чітко розмежовується зміст понять (перераховуються всі суттєві ознаки) і їх обсяг (вказується множина об'єктів, де застосовується поняття). При цьому зміст понять розкривається за допомогою означень, а їх обсяг - із залученням класифікацій (поділу понять за певною ознакою). З одного боку, це покращить засвоєння і застосування понятійного апарату даної теми, а з другого - посилить його зорове сприймання. Заслуговує на увагу і те, що поряд з означеннями понять через найближчий рід і видову відмінність, сприймання яких вимагає складнішої розумової діяльності, використовуються і конструктивні означення, які дають змогу учневі усвідомити сам процес створення (побудови) відповідного стереометричного об'єкта. Тому означення поняття нерідко спирається або на малюнок, або побудову відповідної геометричної фігури, або на розгляд життєвої ситуації. Учням пропонується спочатку самостійно дати означення поняттю, а потім порівняти його з наведеним у підручнику.

Вивчення геометричних фактів, як правило, розпочинається з аналізу учнем емпіричного досвіду (відповідних прикладів із довкілля, моделей чи малюнків), або з опису практичних дій. Це дає змогу проводити невеликі дослідження, з'ясовувати суттєві ознаки понять, властивості геометричних фігур і на основі цього самостійно формулювати відповідні твердження. Самостійно оволодіти навчальним матеріалом допоможе і підкріплення його малюнками, які виконують не лише ілюстративну, а й евристичну роль - на малюнках кольором виділено дані і шукані величини, допоміжні побудови тощо. Кольорові фотографії та ілюстрації також несуть ретельно продумане дидактичне навантаження.

Задачі підручника мають чотири рівні складності - початковий, середній, достатній і високий. Усередині набору кожного рівня складності задачі згруповані за порядком вивчення теоретичних відомостей. Як правило, набори початкового і середнього рівнів складності розпочинаються із задач за готовими малюнками. Хоча вони не є винятком і серед більш складних задач. Окремі найбільш важливі задачі-теореми виділені чорним шрифтом. Учням доцільно запам'ятати їх формулювання. Ці геометричні твердження можна застосовувати у розв'язуванні інших задач. Особливістю задач є те, що задачі високого рівня складності включають елементи задач середнього і достатнього рівнів, а останній - елементи задач початкового рівня.

Особливістю розділу є прикладна спрямованість змісту. Автори намагалися, де це можливо, не лише показати виникнення геометричного факту із практичної ситуації, а й проілюструвати застосування його на практиці. З цією метою в окремо виділеному блоці завдань «Застосуйте на практиці» подано типові практичні ситуації, де потрібно застосувати вивчений матеріал.

У підручнику «Геометрія, 9» А.П.Єршової, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановського, С.В.Єршова зазначено, що цей розділ «своєрідний стислий огляд курсу геометрії 10-12 класів». Тема «Початкові відомості зі стереометрії» передбачає ознайомлення учнів з фігурами в просторі і є пропедевтичним вступом до курсу стереометрії, що вивчатиметься у старших класах. Разом із цим, у порівнянні з попередніми підручниками, з'являються нові дидактичні акценти, пов'язані зі специфікою «геометрії методів», розширюються і поглиблюються окремі питання щодо властивостей геометричних фігур, методики розв'язування задач тощо.

Структура, обсяг і співвідносність розділів навчального матеріалу повністю відповідають діючій програмі. Однак порівняно з традиційними підходами до розгляду відповідного навчального матеріалу запропоновано декілька важливих інновацій. Це дає можливість спростити низку доведень. Найбільш складні з точки зору обґрунтування теореми супроводжуються в основному тексті зрозумілими для пересічного учня загальними схемами міркувань, а відповідні строгі доведення подаються в «Додатках».

У тексті виділено основний зміст (означення, теореми й наслідки з них), доповнення та приклади розв'язування задач. До кожної теореми подано її назву. Наприкінці розділу міститься підсумковий огляд його змісту у вигляді таблиці, які наочно ілюструють змістовно-логічні та структурно-функціональні зв'язки між елементами навчального матеріалу.

Крім того, наприкінці розділу пропонуються контрольні запитання і типові задачі для підготовки до контрольної роботи. Наявність цих матеріалів дає змогу учневі самостійно оцінити рівень своєї математичної підготовки; запитання і задачі мають діагностичну цінність і сприяють корекції знань. Додаткові задачі до розділу призначені для організації інтегрованого повторення і узагальнення вивченої теми, встановлення внутрішніх взаємозв'язків між окремими фрагментами теми. Окремо після розділу виділено задачі підвищеної складності. Така організація матеріалу дає змогу забезпечити опанування учнем програмового змісту як під керівництвом учителя, так і самостійно.

Теоретичний матеріал побудовано за схемою «означення основних понять - аксіоми й теореми - наслідки - приклади застосування». Окреме місце відводиться опорним задачам, які містять додаткові теоретичні відомості, на які учні далі можуть посилатися без доведення. Такі задачі подаються як в основному тексті параграфів, так і в задачному матеріалі. Задачі до кожного параграфа розподілено на чотири групи. Першу групу складають усні вправи - завдання теоретичного плану, розгляд яких є проміжним етапом між вивченням теорії і розв'язуванням письмових задач. Наявність таких задач дає змогу використовувати на уроці інтерактивні форми роботи. Друга група завдань - графічні вправи, які учні можуть виконувати як власноруч у зошиті, так і за допомогою комп'ютера. Ці вправи дають наочне уявлення про базові геометричні конфігурації, що вивчаються, сприяють розвитку початкових креслярських умінь і навичок роботи з графічними комп'ютерними програмами. Наступну групу складають письмові задачі, згруповані за трьома рівнями складності. Зазначимо, що на кожному рівні завдання диференційовано за змістом навчальної діяльності - задачі на обчислення, доведення, побудову тощо. Нарешті, наприкінці кожного параграфа виділено теоретичний матеріал, який необхідно повторити для свідомого засвоєння наступної теми, і подано задачі для повторення.

Розв'язувати всі задачі розділу не обов'язково (а з урахуванням наявного навчального часу і неможливо). Задачі до кожної теми свідомо подано в надлишковій кількості, щоб розширити творчі можливості вчителя, сприяти організації особистісно-орієнтованого навчання, диференціації роботи учнів у класі та вдома з урахуванням їхніх індивідуальних можливостей і рівня математичної підготовки.