Осознавать архаичность и непродуктивность школьной идентичности студент начинает уже на 1-м курсе, чему способствует общение со старшекурсниками и более продвинутыми товарищами по группе, усвоение требований преподавателей вуза и другие средства вхождения в новую социальную роль. Преодоление школьной идентичности затрудняется из-за отсутствия у студента адекватной Я-концепции, реальных представлений о жизни и деятельности студенчества и т.д. К концу 2-го курса у студентов накапливается “критическая масса” опыта студенческой жизни, что позволяет ему окончательно преодолеть школьную идентичность и ощутить себя студентом. Становление студенческой идентичности в основном завершается к 3-му курсу, что с формирования системы профессиональной деятельности сопровождается ростом большинства самооценочных показателей, фиксацией социального статуса индивида в группе и стиля студенческой жизнедеятельности.

На 3-м курсе окончательно складывается личность студента как субъекта учебно-академической деятельности. Иначе говоря, на 3-м курсе индивид становится настоящим студентом и по делам, и по мировоззрению, по отношению к себе и к учебе, системе ценностей и интересов, способу одеваться, общаться, проводить свободное время и т.д.

Однако на 4-5 курсах (в зависимости от типа вуза) под влиянием производственной (педагогической) практики и все большей ориентации студентов на послевузовскую жизнь у них начинает складываться собственно профессиональная идентичность. Об этом свидетельствует, в частности, изменение отношения студентов к учебным предметам. Читаемые курсы, отдельные их разделы студенты все в большей и большей степени оценивают с профессиональной точки зрения, т.е. пригодятся они или нет в будущей работе. В это же время студент принимает окончательное решение о том, связывать ли свою дальнейшую судьбу со школой или нет [32].

Формирование профессиональной идентичности к концу обучения в вузе у большинства студентов не завершается, поэтому многие студенты - пятикурсники не верят в себя как в профессионалов и не считают себя таковыми. Это состояние они переживают как неготовность к самостоятельной деятельности, как ощущение страха перед будущим вообще и профессиональными перспективами в частности. Возможно, именно по этой причине у студентов 5-го курса профессиональная самооценка существенно снижается. Завершение формирования ПИ происходит в период самостоятельной профессиональной деятельности в школе.

Итак, выделяются следующие этапы становления ПИ: школьная идентичность-мораторий (поиски новых форм идентичности) - студенческая идентичность-мораторий (уточнение старых и поиск новых форм идентичности) - учебно-профессиональная идентичность - профессиональная идентичность [25].

Развитие профессиональной направленности. Профессиональное развитие студентов связано также с формированием и преобразование структуры мотивов, которые как внутренние источники активности личности определяют процесс ее профессионального становления. В целом основу детерминации данного процесса составляет комплекс как внешних, так и внутренних по отношению к индивиду факторов, которые образуют социальную ситуацию профессионального развития.

Установлено, что профессиональное развитие студента определяется тремя группами мотивов: учебно-познавательными, профессиональными и мотивами жизненного пути, которые действуют на всех этапах обучения в вузе, образуя единый комплекс, но удельный вес каждой группы мотивов в общей структуре мотивации деятельности студента может изменяться [32].

Так, на 1-м курсе ведущая роль отводится мотивации жизненного пути, поскольку высокий уровень удовлетворенности студента собой, профессией и учебой нельзя объяснить результативностью обучения (она низкая), стабильностью положения в группе (она недостаточная), определенностью своего положения в плане точности профессионального выбора. Причина этого заключается в росте уважения студента к себе как субъекту жизненного пути, впервые решившему важную жизненную проблему-выбор профессии и поступление в вуз. Студент осознает, что далеко не всем удалось решить данную проблему, и эта “избранность” порождает особого рода эйфорию, которая проявляется в росте самооценок и удовлетворенности собой.

Возможно, что рост самоуважения и возникающее на его основе состояние “эмоционального благодушия” маскируют реальные проблемы учебной деятельности, вследствие чего замедляется процесс становления адекватных форм учебной деятельности, и откладывается на более позднее время обретение студентами академической идентичности.

В конечном счете все возрастающие учебно-академические требования и невысокие результаты обучения при больших затратах сил и времени заставляют студента обратить внимание на проблемы своего профессионального развития. Это приводит к тому, что учебно-познавательная мотивация начинает доминировать и именно она “запускает” процессы поиска и освоения новых форм учебной деятельности, процессы осознания и принятия себя в качестве студента вуза. Результаты “включения” данной формы мотивации не заставляют себя долго ждать: уже в конце 2-го - начале 3-го курса обнаруживается резкий рост успеваемости, обученности, показатели удовлетворенности и учебно-профессиональных самооценок [28].

Относительно резкое падение академической успеваемости у студентов 4-го курса не является результатом снижения их обученности и обучаемости. Главная причина заключается в смене ведущей мотивации у студентов: под влиянием педагогической практики у них начинает меняться отношение к осваиваемым в вузе предметам, так как они понимают, что фундаментальные, теоретические и практические знания, которые им преподают в вузе, - необходимое, но недостаточное условие для решения задач профессиональной деятельности.

В ходе практики студенты убеждаются в том, что далеко не все знания, получаемые ими в вузе, нужны в реальной практической деятельности, а если и нужны, то не в той форме, в какой они усваиваются в процессе обучения. Эти “открытия” существенно повышают учебную избирательность студентов при освоении отдельных предметов, “запускают” механизмы преобразования академических знаний и умений в собственно профессиональные. Иначе говоря, начиная с 4-го курса, большинство студентов осмысливает процесс обучения в вузе с позиций требований профессиональной деятельности, что, несомненно, означает актуализацию собственно профессиональной мотивации, превращение ее в ведущий фактор внутренней активности личности.

Относительно отношения внешних и внутренних факторов детерминации профессионального развития студентов можно сказать следующее. Несмотря на важную роль мотивов как внутренних источников активности личности, ведущая роль в структуре детерминации профессионального развития студентов все-таки отводится внешним факторам, т.е. меняющимся учебно-профессиональным требованиям; именно они динамизируют и проблематизируют ситуацию, стимулируют процесс обучения и задают основные его ориентиры. Студенты активно относятся к предъявляемым требованиям; демонстрируют разнообразные способы их усвоения, которые определяются индивидуальными возможностями студентов, их познавательными потребностями и опытом. Однако творчество студентов не входит за рамки данных требований, а лишь обеспечивает максимально возможное их освоение и приспособление к ним [32].

Ведущая роль мотивации в процессе профессионального развития в полной мере проявляется только после окончания вуза, на начальных этапах самостоятельного трудового пути специалиста, когда основные нормативные требования усвоены.

Периодизация профессионального развития. С учетом объективного содержания социальной ситуации профессионального развития (ССПР) процесс профессионального развития в педагогическом вузе, преподавание в котором ведется по традиционной для нашей страны пятилетней модели, делится на два периода:

1. Учебно-академический, охватывающий 1-3-й курсы; его специфика заключается в том, что она в прямой или косвенной форме предъявляет требования к уровню фундаментальной подготовки студентов, к способу учебно-познавательной деятельности, к качествам личности студента. Новообразованиями данного периода являются становление личности студента, преодоление школьной и обретение студенческой идентичности; формирование академической формы учебной деятельности и структуры познавательных способностей, необходимых для ее реализации;

2. Учебно-профессинальный, включающий конец 3-го, а также 4-й и 5-й курсы, когда ССПР предъявляет к личности и деятельности студента в основном профессиональные требования. Ведущими новообразованиями этого периода являются актуализация профессиональной мотивации, становление элементов системы профессионально-педагогической деятельности и переориентация учебно-академической деятельности на ее формирования, обретение элементов профессиональной идентичности, становление структуры профессионального интеллекта.

Каждый из выделенных периодов делится на ряд фаз, анализ содержания которых раскрывает нормативную специфику принятия ССПР и особенности профессионального развития студентов [32].

Учебно-академический период.

Фаза 1 (охватывает в основном 1-й курс обучения в вузе). Для данной фазы характерны самая низкая академическая успеваемость и практически самые высокие показатели идентичности. Преобладают школьная идентичность и школьные формы учебной деятельности. Реальные проблемы профессионального развития маскируются состоянием эйфории, вызванной высоким уровнем самоуважения в связи с поступлением в вуз. Реальная ССПР осознается студентами слабо и фактически не принимается как руководство к действию.

Фаза 2 (2-й курс). Студент принимает реальную ССПР и скорее всего осознает необходимость изменения своей идентичности и способов учебной деятельности. Этому способствует кризис профессионального развития, который возникает в конце 1-го - начале 2-го курса и свидетельствует об осознании студентами реальных противоречий развития данного периода. Внимание студентов обращено на совершенствование самого себя, что и объясняет невысокую успеваемость и обученность, которая ниже, чем на 1-м курсе.

Фаза 3(3-й курс). Все требования ССПР учебно-академического периода студентами в основном реализуется, о чем свидетельствует резкий рост успеваемости и идентичности. Кризис профессионального развития завершается, студент обретает адекватную идентичность, у него формируется система учебно-академической деятельности, складывается соответствующая структура интеллекта. Можно считать, что 3-м курсе заканчивается формирование личности студента как субъекта учебно-академической деятельности [32].

Учебно-профессиональный период.

Фаза 1 (конец 3-го - 4-й курс). Происходит смена ССПР, но благодаря накопленному опыту и сильной обратной связи в ходе педагогической практики она осознается и принимается студентами достаточно быстро. Во время этой фазы студент переживает второй кризис профессионального развития, острота которого существенно зависит от степени преемственности фундаментальной и профессионально-методической подготовки. Студент вновь обращается к решению задач саморазвития, поиску элементов профессиональной идентичности, формированию системы профессиональной деятельности, перестройке фундаментальных знаний, встраиванию учебно-академической деятельности в структуру профессиональной и т.д. Резкое снижение успеваемости студентов является одним из главных показателей их направленности на саморазвитие.

Фаза 2 (5-й курс). Кризис профессионального развития завершается. У студентов складываются основы профессиональной идентичности, начинает профессионализироваться интеллект, формируется система учебно-профессиональной деятельности, которая в дальнейшем преобразуется в профессиональную. Вместе с тем происходит активация мотивации жизненного пути, которая способствует росту тревожности в связи с неопределенностью будущей профессиональной деятельности. Формируется профессиональная готовность, начинается внутренняя работа по подготовке к вступлению в самостоятельную профессиональную жизнь [32].

3.2 Методические рекомендации по проведению лекционных занятий с применением информационных технологий

Лекционный материал по теме «Тройные интегралы» приходится на конец 2-го курса и создает теоретическую основу для всех видов учебной деятельности по математическому анализу. К концу 2-го курса у студентов накапливается “критическая масса” опыта студенческой жизни, что позволяет ему окончательно преодолеть школьную идентичность и ощутить себя студентом. Контроль усвоения студентами части лекционного материала обеспечивают коллоквиумы.

Резкое сокращение аудиторного времени на изучение курса «Математический анализ» ставит задачу усиления самостоятельной работы студентов по проработке важнейших разделов курса. На лекции преподаватель может успеть лишь в тезисной форме изложить основные вопросы курса. Все остальное изучение материала ложится на плечи студентов в виде их самостоятельной работы. Становление новой учебно-академической формы учебной деятельности завершается в конце 2-го курса, что и приводит к резкому скачку академической успеваемости и обученности на 3-м курсе. Процесс профессионального развития в педагогическом вузе делится на два периода, один из них - учебно-академический, охватывающий 1-3-й курсы; его специфика заключается в том, что она в прямой или косвенной форме предъявляет требования к уровню фундаментальной подготовки студентов, к способу учебно-познавательной деятельности, к качествам личности студента. Новообразованиями данного периода являются становление личности студента, преодоление школьной и обретение студенческой идентичности; формирование академической формы учебной деятельности и структуры познавательных способностей, необходимых для ее реализации. Поэтому возникает возможность использования самостоятельной работы студентов [32].

В процессе изучения курса предусматриваются следующие виды самостоятельной работы студентов над изучаемым материалом:

1) проработка и осмысление лекционного материала;

2) работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу;

3) подготовка к практическим занятиям по рекомендуемой литературе;

4) работа с обучающее-контролирующей программой по теме «Тройные интегралы».

Ряд тем и вопросов курса отведены для самостоятельной проработки студентами. Количество и содержание этих вопросов зависит от степени усвояемости студентами лекционного материала. Если лектор чувствует, что материал лекции хорошо понимается и усваивается аудиторией достаточно, то сложность лекции можно повысить, а темп чтения можно ускорить, чтобы дать студентам больше интересного материала, что может несколько сократить объем самостоятельной работы.

С другой стороны у лектора появляется возможность расширить круг изучаемых проблем, дать на самостоятельную проработку новые интересные вопросы. Ориентировочный перечень самостоятельно рассматриваемых студентами вопросов приводится в «Методических указаниях к самостоятельной проработке теоретического материала»[25]. Там же приводится перечень рекомендуемой литературы, которую необходимо использовать для усвоения отмеченных вопросов. Студент должен разобраться в указанной литературе и письменно изложить кратко и доступно для себя основное содержание материала. Преподаватель проверяет качество усвоения самостоятельно проработанных вопросов на практических занятиях, контрольных работах, коллоквиумах и во время экзамена. Затем корректирует изложение материала и нагрузку на студентов.

Таким образом, использование самостоятельной работы студентов дает возможность значительно активизировать их работу над материалом курса и повысить уровень их усвоения.

Содержание учебного материала по теме:

“Тройные интегралы ”

- Определение тройного интеграла;

-Свойства тройного интеграла;

-Вычисление тройного интеграла;

-Криволинейная система координат (КСК);

-Цилиндрическая система координат (ЦСК);

-Сферическая система координат (ССК);

-Замена переменных в тройных интегралах;

-Объем в криволинейных и сферических координатах [24].

Тематическое планирование учебного материала

Тема "Тройные интегралы и их приложения ” входит в четвертый раздел математического анализа ”Интегральное исчисление для функции нескольких переменных”, включающего:

- Кратные интегралы;

- Криволинейные интегралы;

- Приложения криволинейных и кратных интегралов.

Примерный тематический план по теме “ Интегральное исчисление для функции нескольких переменных ”

4 семестр	Всего часов	В том числе аудиторных	Самостоят. работа
		Всего	Лекции	Практические занятия	Котрольная работа
Кратные интегралы	25	12,5	8	4	0,5	12,5
Криволинейные интегралы	20,5	10,25	8	2	0,25	10,25
Приложения криволинейных и кратных интегралов	12,5	6,25	2	4	0,25	6,25

Тематический план по теме

”Тройные интегралы”

Всего часов	3,25
Лекции	2
Практические занятия	1
Контрольная работа	0,25

Тематическое планирование по теме:

”Тройные интегралы”

ВИД ЗАНЯТИЯ	ТЕМА	НОМЕР ЗАНЯТИЯ
Лекция №1	Определение тройного интеграла. Свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла. Криволинейная система координат.	1
Лекция №2	Цилиндрическая система координат. Сферическая система координат. Замена переменных в тройном интеграле. Объем в цилиндрических и сферических координатах.	2

Для успешного формирования теоретических знаний, было создано электронное пособие по теме «Тройные интегралы ». Оно включает в себя не только теоретический минимум в виде фондовых лекций, но расширенное изучение темы [24].

Бурное развитие компьютерных технологий в современном мире охватило практически все сферы жизнедеятельности общества, в том числе и образования. Благодаря этому персональный компьютер превратился в мощное средство образования. Однако это вовсе не означает, что компьютер, берущий на себя часть функций педагога, способен вытеснить его из процесса обучения. Наоборот, умелое сотрудничество человека и персонального компьютера в образовании позволит сделать процесс обучения более эффективным [33].

По сравнению с традиционным для вузов уроком-лекцией, когда преподаватель излагает тему, а студенты слушают, смотрят, запоминают или конспектируют учебный материал, лекция, построенная по предлагаемой методике, имеет важное преимущество - интерактивность. Интерактивность дает студентам возможность активно вмешиваться в процесс обучения: задавать вопросы, получать более подробные и доступные пояснения по неясным для них разделам и фрагментам излагаемого преподавателем учебного материала [32].

Сочетание комментариев преподавателя с информацией подаваемой с помощью компьютера значительно активизирует внимание студентов к содержанию излагаемого преподавателем учебного материала и повышает интерес к новой теме. Обучение становится занимательным и эмоциональным, принося эстетическое удовлетворение студентам и повышая качество излагаемой преподавателем информации. При этом существенно изменяется его роль в учебном процессе. Преподаватель эффективнее использует учебное время лекции, сосредоточив внимание на обсуждении наиболее сложных фрагментов учебного материала.

Интерактивная лекция сочетает в себе преимущества традиционного способа обучения под руководством педагога и индивидуального компьютерного обучения. Компьютер из «учителя» превращается в активного помощника преподавателя. Наряду с информационно-познавательным содержанием интерактивная лекция имеет эмоциональную окраску благодаря использованию в процессе ее изложения компьютерных рисунков [33].

Значительно повышаются требования к квалификации преподавателя. Он должен обладать необходимым уровнем знания компьютерной техники и владеть навыками работы с программным обеспечением.

Важным условием проведения интерактивной лекции является также наличие специализированной аудитории, оснащенной компьютерной техникой и современными средствами публичной демонстрации визуального и звукового учебного материала.

В процессе изложения лекции преподаватель эпизодически представляет информацию на слайдах в качестве иллюстрации. Это способствует лучшему усвоению учебного материала студентами.

Таким образом, участие в процессе обучения одновременно педагога и компьютера значительно улучшает качество образования. Использование предложенной методики активизирует процесс преподавания, повышает интерес студентов к изучаемой дисциплине и эффективность учебного процесса, позволяет достичь большей глубины понимания учебного материала. С одной стороны, сотрудничество преподавателя и компьютера делает учебную дисциплину более доступной для понимания различными категориями студентов, улучшает качество ее усвоения. С другой - оно предъявляет более высокие требования к уровню подготовки преподавателя и его квалификации, который должен уже не только владеть традиционными методиками преподавания, но и уметь модернизировать их в соответствии со спецификой обучаемых, используя современные достижения науки и техники [32].

Некоторые советы преподавателю по использованию технических средств в учебном процессе

Как известно, работа с техническими средствами в большей степени, чем другие виды педагогической деятельности зависит не только от субъективных усилий преподавателя, но и от совокупности внешних условий его деятельности - наличия специально оборудованных помещений, технического персонала, позиции руководства в вопросах использования ТСО в учебном процессе, подготовленности студентов к использованию технических средств и т.п.

Особенно ответственным и часто вызывающим разного рода непредвиденные осложнения является использование ТСО в лекционной работе. В то же время опыт показывает, что при хорошей подготовке и исключении «накладок» использование в лекции даже простых технических средств предъявления информации может существенно повысить ее привлекательность для студентов, дидактическую эффективность, а также снизить нагрузку на голосовой аппарат преподавателя [28].

Можно привести несколько простых советов, не основанных на глубоких научных изысканиях, но позволяющих помочь преподавателю предотвратить почти неизбежные осложнения в его «общении» с техникой на лекциях. Часто можно наблюдать такую картину, когда преподаватель, сталкиваясь с теми или иными неполадками, как бы дистанцируется от самой техники и обслуживающего ее персонала. Типичные реплики в такой ситуации: «Видите, в каких условиях нам приходится работать», «Как всегда ничего не работает», «В этом институте даже нормальных мела и тряпки не бывает», «Такие у нас инженеры» и т.п. А вместе с тем вина за сложившуюся неприятную ситуацию во многом лежит и на преподавателе, не проверившем, не предупредившем, не ... и т.д.

Следует поступать так.

1. До начала семестра необходимо узнать, какие аудитории и в каком учебном корпусе оснащены ТСО, в каком состоянии они находятся, кто ведает их обслуживанием, часто ли ими пользуются другие преподаватели. Полезно вместе с ответственными за техническое состояние оборудования опробовать его, продемонстрировать свою заинтересованность в том, чтобы эти средства были приведены в рабочее состояние и хорошо отрегулированы. Очень полезно проявить здесь настойчивость и сделать тех, от кого это зависит, своими заинтересованными партнерами.

2. Не пользоваться ненадежно работающей или плохо отрегулированной аппаратурой. Следует убедиться перед занятием в ее работоспособности лично, не доверяя это никому другому. Если какими-то материалами приходится пользоваться впервые, предварительно просмотреть и прослушать их именно в данной аудитории, убедиться, что они хорошо просматриваются или прослушиваются из любого места в аудитории. Если при этом обнаружатся сбои или выявится неудовлетворительное качество дидактических материалов, необходимо воздержаться от их демонстрации: каждый сбой резко нарушает нормальную работу во время лекции, а при частых сбоях дискредитируется сама идея использования ТСО.

3. Лекцию опасней перегрузить, чем «недогрузить» демонстрациями, ибо лектор всегда должен оставаться в центре событий, сохраняя за собой позицию основного источника информации. Лектор ни в коем случае не должен превращаться в простого комментатора того, что предъявляется. Все должно обстоять как раз наоборот: привлекаемые материалы призваны иллюстрировать речь, пояснять высказанные мысли и идеи.

4. При подготовке дидактических материалов желательно максимально учитывать психологические законы восприятия и эргономические требования. При необходимости следует посоветоваться по этому вопросу со специалистами из соответствующих подразделений вуза [30].

Главное в том, чтобы использование технических средств не выступало «принудиловкой», навязанной кем-то обязанностью - в этом случае уж точно ничего хорошего не получится. Только если поверить в их полезность, вложить в работу с ними не только свой ум, но и кусочек сердца, успех будет гарантирован.

Апробация лекционных занятий

Разработанная методика проведения лекционных занятий была апробирована на втором курсе факультета математики и информатики СГПИ в феврале 2003 - 2004 учебного года.

Для проведения лекций использовался компьютер с TV - кодером и телевизор с диагональю экрана 71 см. Текст лекции, увеличенный до 32 шрифта, с гибкомагнитного диска подавался на экран и озвучивался лектором.

Просмотр конспектов у всего потока студентов показал, что их качество возросло, это свидетельствует о целесообразности проведения лекции с применением новых информационных технологий. Кроме того, в 1,5 раза возросла скорость подачи материала.

При хорошей подготовки и исключении «накладок» использование в лекции даже простых технических средств предъявления информации может существенно повысить ее привлекательность для студентов, дидактическую эффективность, а также снизить нагрузку на голосовой аппарат преподавателя.

3.3 Разработка лекционных занятий

Определение тройного интеграла

1.Рассмотрим систему трех уравнений

,

где - множество упорядоченных пар . Когда точка пробегает область , точка с координатами опишет некоторую поверхность в .

Это множество принято называть поверхностью в и обозначать , а систему трех уравнений называют ее параметрическим представлением, и - параметры, принадлежащие области .

2.Пусть граница этой поверхности обозначается .

3.Пусть в замкнутой 3-х мерной области задана некоторая функция .

4.Разобьем эту область кусочно-гладкими поверхностями на конечное число измеримых областей , [3].



5.Обозначим через диаметр , максимальное расстояние между точками, а - наибольший из всех диаметров частичной области , , -ранг разбиения области на частичные области .

6.Выберем в каждой частичной области произвольную точку .

7.Составим интегральную сумму вида:

,

где - мера объема (мера Жордано).

Определение: Если при , интегральная сумма стремиться к конечному пределу, причем он не зависит от способа разбиения тела на подобласти и выбора точек , то функция называется интегрируемой по области , а сам предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается

 [2].

Свойства тройного интеграла

1. Если функция интегрируема по области , то она ограничена на указанной области.

2. Если функция непрерывна по области , то она интегрируема на указанной области.

3. Если область разбита на две, то тройной интеграл равен сумме тройных интегралов, т.е. если , то

.

Существование интегралов в правой части обеспечивает существование интеграла в левой части и наоборот.

4. Если - некоторое действительное число (), то константу можно выносить из под знака интеграла . Если f - интегрируема, то и функция интегрируема, если . Из существования интеграла в левой части вытекает существование интеграла в правой части.

5. Справедлива формула:

.

Существование интегралов в правой части влечет существование интеграла в левой части.

6. Если и они интегрируемы на , то

.

7. Если f интегрируема на (т.е. есть предел частичных сумм), то и модуль от нее интегрируем и справедлива формула

[1].

8. Теорема о среднем: Если на и f - интегрируема, то , m- наименьшее значение, M- наибольшее по области _, где - мера Жордано.

Следствия 8 свойства:

1.Обе части разделим на, получим , где .

2.Если кроме указанных условий теоремы о среднем функция непрерывна в любой точке области , то справедливо утверждение

,

где точка .

3. Если, то [2].

Вычисление тройного интеграла

1 случай. Область имеет следующий вид:

В данном случае считают, что - измеряемое сечение, функция определена на и интегрируема на нем. При таких условиях тройной интеграл будет определяться по формуле:

.

Замечание: Считается, что - измеримая область с гладкой границей.

2 случай. Задана на непрерывная функция .

При таких условиях .

3 случай. Если область имеет специальный вид (дополнение ко второму случаю).

Тройной интеграл будет определяться по формуле:

.

4 случай. Объем тела вращения. В плоскости Oxy задан график функции . Его вращением относительно оси Ox получается тело вращения .

1. Воспользуемся формулой .

2. Так как .

Криволинейная система координат в R³

1.Рассмотрим 2 пространства и , содержится в , содержится в (рис.12 - 13).

2.Пусть векторное поле осуществляет преобразование пространства

3.Пусть это векторное поле удовлетворяет всем необходимым условиям преобразования областей, т.е.

а) непрерывно дифференцируемо в области , а это значит, что функции , , , непрерывно дифференцируемы в области .

б) Поле устанавливает взаимно однозначные соответствия между и между .

в) Функциональный определитель или якобиан поля отличен от нуля в области , т.е. сохраняет свой знак в указанной области

в области .

При таких условиях векторное поле осуществляет преобразование областей .

Теорема: Если векторное поле представляет собой преобразование областей , то кусочно-гладкая поверхность, лежащая в области преобразуется в кусочно-гладкую поверхность, лежащую в области .

1. Как и в случае двух переменных эта теорема позволяет трактовать преобразование как переход от ПДСК к КСК.

2. Криволинейные координаты в трехмерном пространстве будут уже являться криволинейными координатными поверхностями.

3. И сетка будет задаваться криволинейными поверхностями [1].

4. Координатные поверхности в КСК могут быть заданы параметрически следующим образом:

а) зафиксируем , тогда пространство будет задаваться

где , а является параметром при создании этой кривой поверхности.

б)

где , а является параметром.

в)

где , а является параметром.

5.Уравнение связи из ПДСК в КСК имеет вид:

.

Аналогично записывается уравнение связи из КСК в ПДСК [2].

Цилиндрическая система координат

1. Векторное поле в данном случае задается

где , , .

2. Пусть дана точка .

3. Спроектируем ее на плоскость , т.е. найдем .

4. называется полярным радиусом, - полярный угол.

5.Для получения взаимно однозначного соответствия между ЦСК и ПДСК нужно вырезать ось : .

6. Уравнение связи ЦСК с ПДСК имеет вид: . Такая система координат называется цилиндрической, т.к. одна из ее координатных поверхностей является цилиндром.

7. Координатные поверхности в ЦСК:

- цилиндры, - полуплоскости, - плоскости.

8. Функциональный определитель в ЦСК имеет вид:

, [3].

Сферическая система координат

1.Векторное поле в данном случае задается

где , , .

2.ССК организована в пространстве .

3.Уравнение связи ССК с ПДСК имеет вид: .

4.Координатные поверхности в ЦСК:

- сфера, - круговой конус, - полуплоскость.

5.Функциональный определитель в ССК имеет вид:

,

[3].

Замена переменных в тройном интеграле

1.Пусть непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2.Пусть векторное поле осуществляет преобразование пространства

, в котором содержится в , а содержится в и - кусочно-гладкая граница одного поля, - другого.

3.Пусть области и - ограниченные области, т.е. они будут измеримы по Жордано - кубируемы (имеют объемы).

4.При всех указанных условиях будет справедлива формула:

.

Доказательство:

1.Разобьем область на подобласти кусочно-гладкими поверхностями .

2.Тогда область разобьется кусочно-гладкими границами на частичные области , .

3.Составим интегральную сумму такого рода

,

так как

и на основании справедливы формулы

.

Интегральную сумму можно переписать в таком виде

4..

5.Если перейти к пределу при от левой части формулы п.3 и от правой части п.4, то получится требуемое выражение, ч.т.д [2].

Объем в ЦСК и ССК

1.В ЦСК объем вычисляется по формуле:

.

2. В ССК объем вычисляется по формуле:

[1].

3.4 Методические рекомендации по проведению практических занятий

тройной интеграл педагогический студент

При изучении курса «Математический анализ» студенты часть материала должны проработать самостоятельно. Роль самостоятельной работы велика.

Планирование самостоятельной работы студентов по курсу «Математический анализ» необходимо проводить в соответствии с уровнем подготовки студентов к изучаемому курсу. Самостоятельная работа студентов распадается на два самостоятельных направления: на изучение и освоение теоретического лекционного материала, и на освоение методики решения задач по математическому анализу [24].

В помощь студенту здесь могут быть рекомендованы фондовые лекции, которые разрабатывает ведущий преподаватель курса. Фондовые лекции представлены в распечатанном и набраны в электронном видах. При всех формах самостоятельной работы студент может получить разъяснения по непонятным вопросам у преподавателя на индивидуальных консультациях в соответствии с графиком консультаций. Студент может также обратиться к рекомендуемым преподавателем учебникам, учебным пособиям и обучающе - контролирующей программе (см. глава 2, §7), в которых теоретические вопросы изложены более широко и подробно, чем на лекциях и с достаточным обоснованием.

Консультация - активная форма учебной деятельности в педагогическом вузе. Консультацию предваряет самостоятельное изучение студентом литературы по определенной теме. Качество консультации зависит от степени подготовки студентов и остроты поставленных перед преподавателем вопросов.

Основной частью самостоятельной работы студента является его систематическая подготовка к практическим занятиям. Студенты должны быть нацелены на важность качественной подготовки к таким занятиям. При подготовке к практическим занятиям студенты могут пользоваться разработанными «Методическими рекомендациями к практическим занятиям» по курсу «Математический анализ» и задачниками. Кроме того, можно воспользоваться электронным пособием по теме “Тройные интегралы” (раздел ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ). Планы практических занятий и заданий к ним приведены в «Методических рекомендациях к практическим занятиям»[23].

При подготовке к практическим занятиям студенты должны освоить вначале теоретический материал по новой теме занятия, с тем, чтобы использовать эти знания при решении задач. Затем просмотреть объяснения решения примеров, задач, сделанные преподавателем на предыдущем практическом занятии, разобраться с примерами, приведенными лектором по этой же теме. Решить заданные примеры. Если некоторые задания вызвали затруднения при решении, попросить объяснить преподавателя на очередном практическом занятии или консультации.

Темы практических занятий и задания к ним сообщаются студенту заблаговременно для самостоятельной подготовки.

Для того, чтобы учебный процесс проходил наиболее эффективно, студентам необходимо вырабатывать и развивать у себя систему знаний и умений, которые отражают меру интеллектуального развития:

в конкретном видеть общее;

из общего выделять конкретное;

видеть внутри - и межпредметные связи относительно различных научных понятий, методов и т.д.;

осознание единства и целостности научной картины мира;

умение соотносить научные категории с объективной реальностью;

понимание относительного характера знаний и необходимости уточнять их путем систематического познания;

умение анализировать и обобщать;

гибкость мыслительной деятельности, осознанная устойчивость и самостоятельность мышления;

прочность имеющихся знаний, умений и навыков, их восстанавливаемость [24].

Для реализации приведенной системы знаний студентам предлагаются различные средства. В частности, «Методические рекомендации к практическим занятиям и самостоятельной работе», «Сборник задач по математическому анализу».

Данные методические пособия помогают студентам организовать свою работу как на практических занятиях, так и при работе во внеаудиторное время.

Сборники задач и методические рекомендации к практическим занятиям предусматривают разбиение учебного материала на темы, изучение которых предусмотрено Государственным стандартом и учебной программой по математическому анализу. Каждое практическое занятие разбито на ряд вопросов, помогающих студентам самостоятельно работать при подготовке к практическим занятиям и лекциям. Это такие вопросы как:

План занятия. Здесь более подробно обозначены вопросы, изучаемые в данной теме.

Задания. Первая группа заданий подготавливает студентов к восприятию нового материала. Вторая группа - это задания по усвоению и закреплению изученного.

Вопросы для самоконтроля. Этап самооценки и самоконтроля является очень важным в процессе самообразовательной деятельности. Поэтому наличие этого пункта дает возможность студентам оценить результаты своей работы, соотнести их с базовым уровнем, а так же позволяет усваивать не только материал практического плана (т.е. методы математического анализа), но и теоретические аспекты этих методов, т. е. способствует фундаментализации знаний.

Знания и умения, которые формируются у студентов в ходе изучения математического анализа, достигают наибольшего эффекта при следующих основных условиях, эти условия могут быть созданы только при непосредственном участии и работе самих студентов.

Четкое определение цели деятельности в смысле результата действий и цели упражнений (т.е. каких показателей действий надо достичь в процессе упражнений).

Ясное представление техники выполнения действий, т.е. образца, которого следует достичь.

Понимание правил и последовательности выполнения действий направленных на достижение целей.

Постоянный самоконтроль качества действий путем сличения их результатов со сложившимися в представлении или по зрительно воспринимаемым образцам.

Своевременное обнаружение отклонений, ошибок и брака в действиях при следующих повторениях этих действий.

Правильная самооценка успехов в достижении конкретной деятельности и цели упражнений в смысле совершенствования осваиваемых действий.

Следовательно, нужны, во - первых, система и последовательность упражнений; во-вторых, разумное их распределение во времени; в - третьих, необходима постоянная актуализация в самообразовательной деятельности студентов по переносу знаний и умений в новую ситуацию; в - четвертых, активизация опыта по решению задач и преобразования ранее усвоенных способов деятельности и др.

Организационно - управленческие умения, которые необходимы студентам для самостоятельной деятельности по математическому анализу, особенно во внеучебное время, и которые повышают готовность к самообразованию:

умение намечать и принимать к исполнению задачи, основные пути поиска и усвоения учебного материала;

навыки планирования учебного труда, распределения усилий и времени для решения этих задач;

умения оценивать достигнутые результаты и ставить новые задачи [24].

Содержание практических занятий по теме: “Тройные интегралы”

- Определение тройного интеграла;

- Вычисление тройного интеграла;

- Замена переменных в тройных интегралах;

- Тройной интеграл в сферических и цилиндрических координатах;

- Геометрические приложения тройного интеграла: вычисление объемов тел, координат центра тяжести [24].

Тематическое планирование практических занятий по теме:”Тройные интегралы”

Практическое занятие №11	Определение тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройных интегралах. Тройной интеграл в сферических и цилиндрических координатах. Геометрические приложения тройного интеграла: вычисление объемов тел.

Практическое занятие №11

Тема: Тройной интеграл и его геометрические приложения

План занятия

Определение и вычисление тройного интеграла.

Тройной интеграл в сферических и цилиндрических координатах.

Геометрические приложения тройного интеграла: вычисление объемов тел. Примеры: №№ 937(стр.42,23);№№1, 2 (стр.349,17); №№98,99,100 (стр.24,21); №1 (стр.121,3)

Задания

Подготовиться по теме «Криволинейные интегралы I и II родов».

Решить примеры: №№ 933,934,948,949(стр.41-43, 23)

Вопросы для самоконтроля

Дайте определение тройного интеграла.

Напишите формулы преобразования тройного интеграла к сферическим и цилиндрическим координатам.

Изобразите сферическую и цилиндрическую системы координат [23].

Апробация разработанного практического занятия

На факультете математики и информатики Славянского - на - Кубани государственного педагогического института была проведена апробация разработанного практического занятия на втором курсе в группах 2002 - м - 1 и 2002 - м - 2 в марте 2003 - 2004 учебного года. Представим таблицу с полученными результатами при проведении самостоятельной работы.

Группа	«5»	«4»	«3»	«2»	Качественный показатель	Абсолютный показатель
М - 1	11%	30%	37%	22%	41%	78%
М - 2	19%	39%	30%	12%	58%	89%

3.5 Разработка практического занятия

Практическое занятие №11

Тема: Тройной интеграл и его геометрические приложения

Тип занятия - практикум, форма занятия представляет собой комбинированную между коллективной и фронтальной.

Средствами обучения на данном практическом занятии являются: сборник задач по математическому анализу, рисунки на доске, методические рекомендации по проведению практических занятий.

При проведении занятия использовались следующие методы обучения - словесные, наглядные, по дидактической цели - познавательные, по характеру познавательной деятельности - проблемные.

Цель: при решении упражнений закрепить знания, умения и навыки, полученные на лекции в области вычисления тройных интегралов по любой области, с помощью замены переменных, вычисления объемов тел, координат центра тяжести.

Ход занятия:

I. Организационная часть

Студентам сообщается тема практического занятия, его цель, проводится проверка присутствующих.

II. Основная часть

В начале занятия проводится фронтальный опрос с целью проверки теоретических знаний по изученной теме. Студентам предлагается ответить на следующие вопросы у доски, выполняя необходимые при ответе записи (у доски работают 4 студента одновременно).

Вопрос 1. Сформулируйте определение тройного интеграла.

Ответ: Если при интегральная сумма

стремиться к конечному пределу, причем он не зависит от способа разбиения на подобласти и выбора точки , то функция называется интегрируемой по области , а сам предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается

.

Вопрос 2. Написать формулы вычисления тройного интеграла: для 1 и 2 случаев.

Ответ:

1.случай. Область имеет следующий вид:

В данном случае считают, что - измеряемое сечение, функция определена на и интегрируема на нем. При таких условиях тройной интеграл будет определяться по формуле:

.

Замечание: Считается, что - измеримая область с гладкой границей.

2 случай. Задана на непрерывная функция .

При таких условиях

.

Вопрос 3. Написать формулы вычисления тройного интеграла: 3 и 4 случай.

Ответ: 3 случай. Если область имеет специальный вид (дополнение ко второму случаю).

Тройной интеграл будет определяться по формуле:

.

4 случай. Объем тела вращения. В плоскости Oxz задан график функции . Его вращением относительно оси Ox получается тело вращения .



1. Воспользуемся формулой

.

2. Так как

.

Вопрос 4. Записать формулу преобразования тройного интеграла к цилиндрическим координатам.

Ответ:

, , ,

Вопрос 5. Записать формулу преобразования тройного интеграла к сферическим координатам.

Ответ: , , ,

Вопрос 6. Написать формулы вычисления объема.

Ответ: , в ЦСК: ,

в ССК: .

Преподаватель: Итак, а теперь перейдем непосредственно к выполнению упражнений.

При объяснении нового материала преподаватель проводит на доске подробное решение (с пояснениями) разных упражнений по изучаемой теме.

№1 (Преподаватель у доски) Вычислить , где область - параллелепипед, ограниченный плоскостями , , , , , [23].

Решение:

По формуле вычисления тройного интеграла (случай 3) имеем

.

№2. (Студент с помощью преподавателя) Вычислить

,

где - пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями , , [17].

Решение:

Для построения пирамиды найдем проекции на плоскости , , . На плоскость :,

На плоскость :,

На плоскость :,

Область проектируется на в треугольник , ограниченный прямыми , , .



По формуле вычисления тройного интеграла (случай 3) имеем

.

№3. (Студент самостоятельно) Вычислить тройной интеграл

,

где - пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями, , [17].

Решение:

Найдем проекцию области на плоскость , то есть :, .

На плоскость :, .

На плоскость :, .

Проекцией тела на плоскость служит треугольник , образованный прямыми , и .

Границами изменения служат числа 0 и 1, а при постоянном переменная изменяется от 0 до .

Если же фиксированы и , и , то пределами изменения будут 0 и . По формуле

 получаем

[17].

Первичное закрепление материала проводится при решении студентами у доски упражнений, подобных рассмотренным. Остальные решают на месте, сверяя свое решение с решением у доски.

№4.(Преподаватель у доски) Вычислить тройной интеграл , если - шар [21].

Решение:

Перейдем к сферическим координатам , , , . В области координаты , , изменяются так: , ,

.

№5. Вычислить тройной интеграл , если область ограничена цилиндром и плоскостями , и [22].

Решение:

Перейдем к цилиндрическим координатам: , , , .

Уравнение цилиндра в этих координатах примет вид:

или , т.е. .

Следовательно, в области координаты , и изменяются так:

, , .

Поэтому

.

Студент у доски, остальные работают самостоятельно, в конце решения сравнивают полученный результат

№6. Вычислить , если область - верхняя половина шара [17].

Решение:

Введем сферические координаты , , , .

Новые переменные изменяются в пределах , , .

Таким образом,

.

№7(Преподаватель у доски) Вычислить объем тела, ограниченного сферой и параболоидом [3].

Решение:

Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость . Для этого достаточно из системы уравнений , исключить переменную . В результате получим: или , откуда и - корни квадратного уравнения.

Следовательно, уравнением проекции будет окружность .

В силу симметрии достаточно вычислить объем тела находящегося в 1 октанте, и результат умножить на 4. Тогда согласно формуле: для искомого объема получим

Так как проекция данного тела на плоскость есть круг , то для вычисления последнего интеграла целесообразно перейти к цилинричиским координатам.

После преобразования по формулам: , , уравнения окружности , параболоида и сферы , соответственно принимают вид: , и . Из рисунка видно, что в области интегрирования угол изменяется от до , - от до , - от до . Поэтому

.

Преподаватель: Итак, подведем итог: на сегодняшнем занятии мы с вами познакомились с тройным интегралом, вычислением его по любой области, научились вычислять тройной интеграл путем преобразования декартовых координат к цилиндрическим и сферическим координатам, находить объем тела. Для окончательного закрепления изученной темы на дом будут заданы аналогичные примеры [23].

Домашнее задание: сборник задач по математическому анализу для студентов второго курса факультета математики-информатики. Ч.4.: №933, 934, 949 (стр. 41-43, 23). Ниже приведены решенные номера домашнего задания.

№933. Вычислить , где область определяется неравенствами , , [21].

Решение:



.

№934. Вычислить интеграл , если область ограничена плоскостями ,, , [27].

Решение:

Область ограничена сверху плоскостью , а снизу плоскостью . Проекцией тела на плоскость служит треугольник, образованный прямыми , , .

Следовательно, по формуле вычисления тройного интеграла

получаем

.

№949. Вычислить , где область - шар [16].

Решение:



Перейдем к сферическим координатам , , , , , , .

.

3.6 Методические рекомендации по использованию информационных технологий на практических занятиях

Осуществление компьютерного обучения на базе новых информационных технологий является одним из важных направлений совершенствования профессиональной подготовки будущих педагогов.

Информационная технология, которая используется при изучении курса «Математический анализ» включает программированное обучение, экспертные системы.

Обучающие системы, которые включены в процессе изучения математического анализа построены в виде электронных учебников и характеризуются следующими параметрами:

- структурная сложность;