Элективный курс "Геометрические построения на плоскости" для учащихся 8-9 классов общеобразовательной школы

В процессе исследования учащиеся упражняются в практическом применении диалектического метода мышления. Они видят, что изменение данных задачи вызывает изменение искомой фигуры. Мы имеем дело не с “закостенелыми”, а с изменяющимися геометрическими образами, изменение одних величин обусловлено изменением других.

Для правильного проведения исследования нужно обладать хорошо развитым логическим мышлением. Значит, с другой стороны, исследование задач на построение является хорошим материалом для развития логического мышления учащихся.

Несмотря на необходимость и целесообразность исследования при решении задач на построение, этому этапу и в школе, и в методической литературе уделяется недостаточно внимания. Большое внимание уделяется обычно отысканию решения - анализу. Анализ - основной этап при решении задач на построение: не найдя решения, нельзя провести ни построения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполнения исследование является не менее сложным этапом. Наибольшее количество ошибок допускается именно при исследовании. Усвоение учащимися общей схемы решения задач на построение имеет большое значение. Анализ, построение, доказательство и исследование точно соответствуют этапам любого логического рассуждения. При введении данных понятий следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, - настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.

Методы решения задач на построение

К основным методам решения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:

1) Метод геометрических мест.

2) Методы геометрических преобразований:

а) метод центральной симметрии;

б) метод осевой симметрии;

в) метод параллельного переноса;

г) метод поворота;

д) метод подобия;

3) Алгебраический метод.

Перечисленные методы являются одним из видов применения на практике соответствующих геометрических понятий, которые составляют основу каждого из методов. Поэтому без хорошего знания этих понятий учениками не может быть никакой речи об успешном усвоении соответствующих методов. Но, с другой стороны, в силах учителя подобрать такую систему задач на построение и так построить обучение, чтобы решаемые задачи углубляли представление и увеличивали знания школьников о данном понятии, раскрывая его с разных сторон. Задачи при изучении конкретного метода должны подбираться так, чтобы в них как можно более ярко проявлялась суть изучаемого метода, особенно на первоначальном этапе его изучения. При этом если задача решается несколькими методами, то изучаемый метод должен позволять решить задачу наиболее экономно и красиво.

Методические рекомендации к применению метода геометрических мест точек к решению задач на построение

Понятие геометрического места точек (ГМТ), обладающих некоторым свойством, лучше ввести на примере ГМТ, равноудаленных от двух данных точек. А затем, когда будут изучены признаки равенства прямоугольных треугольников, при решении задачи о нахождения точки, равноудаленной от двух данных точек А и В, необходимо дать определение ГМТ, обладающих некоторым свойством, как множество всех точек, обладающих этим свойством.

Уже в 7 классе встречаются некоторые задачи, решение которых можно было бы рассматривать как использование метода геометрических мест (например, задача на построение треугольника по трем сторонам). Однако само упоминание о методе и его изучение должно быть отнесено к 8 классу.

В каком же месте курса 8 класса следует знакомить учащихся с методом геометрических мест? Несомненно, что это должно быть сделано по возможности ранее. Наиболее подходящим для этого временем был бы тот момент, когда учащиеся в конце темы “Четырехугольники” ознакомились с достаточным числом геометрических мест.

Учитель начинает с того, что показывает учащимся, какое значение имеет идея геометрического места при решении хорошо известной им задачи, скажем при построении треугольника по трем сторонам. Пусть основание треугольника АВ уже построено; остается определить положение третей вершины С. Выясняется, что для определения положения точки С в задаче остаются два условия: длина сторон АС и ВС. Проводя дугу окружности с центром в точке А и радиусом В, мы строим геометрическое место точек, расстояние которых от точки А равно В; аналогично для второй дуги, и т. д. Вслед за этим может быть предложен как в классе, так и для решения дома, ряд других несложных задач, близких по содержанию к предыдущей, например:

1) построить треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию и боковой стороне;

2) построить треугольник по основанию, боковой стороне и высоте, опущенной на основание.

Целесообразно в качестве одной из первых задач на метод геометрических мест дать и такую задачу, где искомая фигура определялась бы не только по своей форме и размерам, но и по положению на плоскости. Примером может служить следующая задача:

3) построить равнобедренный треугольник, у которого основанием служит данный отрезок АВ, а вершина лежит на данной окружности [49].

В дальнейшей работе по геометрии в 8 классе задачи на метод геометрических мест должны предлагаться систематически до конца учебного года вместе с задачами на вычисление. Наряду с этим применение метода геометрических мест должно быть отчетливо выяснено учащимся и в тех вопросах теоретического курса, где это уместно. Сюда относятся такие вопросы, как проведение окружности через три точки, построение касательной к окружности из данной точки, построение вписанных и описанных окружностей (при решении этой задачи особенно полезным будет рассмотрение геометрического места точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, вместо геометрического места точек, равноудаленных от сторон данного угла).

Задачи на построение, решаемые методом геометрических мест, могут быть весьма разнообразными. Не следует ставить себе целью дать какую-либо формальную их классификацию - она не имела бы большой ценности ни с научной, ни с методической стороны. Точно также не следует ставить цель указать некий стандартный список задач этого рода для средней школы. Это просто помощь преподавателю в подборе, а также и в составлении вновь задач такого рода, указав те точки зрения, которых при этом необходимо было бы придерживаться.

Различные задачи на построение, разрешаемые методом геометрических мест, отличаются одна от другой, прежде всего, характером тех геометрических мест, с помощью которых определяется положение искомой точки. Отбирая задачи на построение для решения с каждым классом, следует подумать о том, чтобы в этих задачах встречались, по возможности, разнообразные сочетания этих основных геометрических мест. Тем самым будет обеспечено достаточное разнообразие разрешаемых задач по существу, по той идее, которая лежит в их основе.

Список литературы, который учителя и ученики могут использовать в своей работе:

1. Александров, А.Д. Основание геометрии: Учеб. пособие для вузов по спец. «Математика». - М.: Наука, 1987. - 288 с.

2. Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. Пособие. Изд. 19-е, - М.: УЧПЕДГИЗ, 1954. - 176 с.

3. Аргунов, Б.И. Геометрические построения на плоскости. Пособие. / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: УЧПЕДГИЗ, 1955. - 268 с.

4. Блудов, В.В. К изучению темы «Геометрические построения» (в школе) / В.в. Блудов // Математика в школе. - 1994 - №4 - с. 14-15.

5. Боженкова, Л.И. Алгоритмический подход к задачам на построение методом подобия / Л.И. Боженкова // Математика в школе. - 1991 - №2 - с. 23-25.

6. Варданян, С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. / под ред. В.А. Гусева. - М.: Просвещение, 1989.

7. Варданян, С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. / под ред. В.А. Гусева. - М.: Просвещение, 1989.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы над исследованием нами были решены следующие задачи:

1. Выделены несколько типологий элективных курсов: «по связи с предметом», по содержанию, по разрешаемым задачам.

2. Сформулированы основные требования к отбору задач для элективных курсов: преемственность, контрастность, полнота.

3. Разработаны методические рекомендации по проведению элективных курсов (отбор содержания, формы занятий, контроль знаний и др.).

4. Разработан и практически реализован в общеобразовательной школе п. Приморска Балахтинского района Красноярского края, элективный курс для учащихся 8-9 классов "Геометрические построения на плоскости", позволяющий продемонстрировать необходимость глубины изучения задач на построение в курсе геометрии.

5. Обоснована целесообразность изучения методов решения задач на построение, применение интерактивной среды в обучении.

Таким образом, цель, поставленная на начало исследования, на наш взгляд, достигнута.

Материалы данной дипломной работы на наш взгляд будут полезны любому учителю, желающему разработать свой элективный курс или воспользоваться уже предложенным.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аксёнова Э.А. Профильное образование школьников / Э.А. Аксёнова // Образование в Сибири. - 2002. - №1. - С. 2-5.

2. Артёмова Л.К. Профильное обучение: опыт, проблемы, пути решения / Л.К. Артёмова // Школьные технологии. - 2003. - №4. - С. 22-32.

3. Артюхова И. С. Проблема выбора профиля обучения в старшей школе / И.С. Артюхова // Педагогика. - 2004. - №2. - С. 28-33.

4. Атанасян Л. С. Геометрия. Учебник для 7,8,9 классов / Л. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.

5. Бабичева Л. Школа будущего / Л. Бабичева// Лидеры образования. -2003.-№6.-С. 18-21.

6. Балк М. Геометрия масс / М. Балк, В. Болтянский. - М.: Наука, 1987. -94с.

7. Безденежных Т. Профильное обучение: реальный опыт и сомнительные нововведения / Т. Безденежных, В. Шмелёв. // Директор школы. - 2003. - №1. - С. 7-12.

8. Болотов В.А. Перспективы перехода школы на профильное обучение / В.А. Болотов // Воспитание школьников. - 2004. - №1. - С. 2-8.

9. Болотов В.А. Образование на старшей ступени во всех развитых странах является профильным / В.А. Болотов // Математика в школе. -2003.-№9.-С. 4-8.

10. Ю.Гузеев И. С. Содержание образования и профильное обучение в старшей школе /И.С. Гузеев // Народное образование. - 2002. - №9. - С. 113-123.

11. Еременко С. В. Элементы геометрии в задачах / С. В. Еременко, А. М. Сохет, В. Г. Ушаков. - М.: МЦНМО, 2003. - 168 с.

12. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника / Д. Ефремов. - Одесса, 1902.-208 с.

13. 3етелъ С.И. Новая геометрия треугольника / С.И. Зетель. М.: Учпедгиз, 1962.-351 с.

14. Киселёв А.П. Геометрия / А.П. Киселёв. - физматлист, 2004. - 325с.

15. Коксетер Г.С.М. Новые встречи с геометрией / Г.С.М. Коксетер. - М.: Наука, 1978.-222 с.

16. Колосов В. Углублённое математическое образование / В.Колосов// Математика. - 2004. - №4. - С. 2-7.

17. Калягин Ю.М. Профильная дифференциация обучения математике / Ю.М. Колягин // Математика в школе. - 1990. - №4. - С. 21-27.

18. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года // Нормативные документы в образовании. - 2003. - №2. - С. 2-21.

19. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования // Официальные документы в образовании. - 2002.- №27.-С. 3-12.

20. Концепция развития школьного математического образования// Математика в школе. - 1990. - №1. - С. 2-13.

21. Крысин Л.П. Толковый словарь иноязычных слов. Русский язык / Л.П. Крысин. - М.: Просвещение, 1998. - 568 с.

22. Кузнецов А.А. Базовые и профильные курсы: цели, функции, содержание / А.А. Кузнецов // Педагогика. - 2004. - №2. - С. 28-33.

23. Куланин Е.Д. Геометрия треугольника в задачах / Е. Д. Куланин, С. Н.Федин. - М.: Либроком, 2009. - 208 с.

24. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников,/В.А. Крутецкий. -М.: Просвещение, 1968. - 431 с.

25. Мякишев А.Г. О некоторых преобразованиях, связанных с треугольником / А.Г. Мякишев // Математическое образование. - 1999 -№1.-С. 11-27.

26. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника / А.Г. Мякишев. -М.: МЦНМО, 2002. - 32 с.

27. Погорелов А. В. Геометрия 7-11 / А. В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2001.-453 с.

28. Т.Прасолов В.В. Задачи по планиметрии / В.В. Прасолов. - М.: МЦНМО, 2004. - 622 с.

29. Прасолов В.В. Точки Брокара и изогональное сопряжение / В.В.Прасолов. - М.: МЦНМО, 2000. - 24 с.

30. Романовская М. Профильная школа / Романовская и др. // Директор школы. - 2003. - №7. - С. 12-21.

31. Российское образование - 2020: модель образования для инновационной экономики // Вопросы образования. - 2008. - №1. - С. 32-64.

32. Симонова ИМ. Профильная модель обучения математике / И.М. Симонова // Математика в школе. - 1997. - №1. - С. 32-36.

33. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: книга для учителя / Н.А. Терешин. - М.: Просвещение, 1990.-112 с.

34. Тумашева О.В. Обучение математике в профильных классах / О.В. Тумашева. - Красноярск: КГПУ им. В.П.Астафьева, 2009. - 124 с.

35. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии (планиметрия) / И. Ф. Шарыгин. -М.: Наука, 1982. - 160 с.

36. Шестакова Л.Г. Математика в гуманитарных классах / Л.Г. Шестакова // Математика в школе. - 1996. - №1. - С. 10-13.

37. Крутихина М.В. Элективные курсы по математике: учебно-методические рекомендации / М.В. Крутихина, З.В. Шилова. - Киров: ВятГГУ, 2006.-40 с.

38. Элективные курсы в профильном обучении / А. В. Баранников // Первсент. - 2004. - №102. - С. 1-2.

39. Элективные курсы в профильном обучении / Национальный фонд подготовки кадров. - М.: Вита-Пресс, 2004. - 144 с.

40. Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область "Технология" /МО РФ; Национальный фонд подготовки кадров. - М.: Бита-Пресс, 2004. - 48 с.

41. Позднякова Е.В Организация учебных исследований школьников на основе компьютерной программы «Живая геометрия» [Электронный ресурс] / Е.В. Позднякова, Н.А. Жучкова // Современные проблемы науки и образования. - 2005. - №1. - С. 46-51.

42. Корянов А. Компьютерные программы по математике [Электронный ресурс] / А. Корянов // персональный сайт. -http://pcmath.ru/?parent=1&page=1

43. Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями / И.И.Александров. - М.: Учпедгиз,1954.

44. Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия: учеб. пособие для пед. ин-тов / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Просвещение, 1966.

45. Белошистая, А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии / А. В. Белошистая // Математика в школе. - 2002. - №9. - С. 47-50.

46. Геометрия: доп.главы к шк.учеб.8 кл.: учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1996.

47. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992.

48. Изучение личности школьника / под. ред. Л.И. Белозеровой. - Киров, Информационный центр, 1991.

49. Коновалова, В.С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике: сборник статей. Вып.9. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. - С. 59-69.

50. Мазаник, А.А. Задачи на построение по геометрии в восьмилетней школе. Пособие для учителей / А.А.Мазаник. - Минск: Народная асвета, 1967.

51. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Сайтком, 2000.

52. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Сайтком, 2000.

53. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. - М.: Просвещение, 1994.

54. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. - М.: Дрофа, 1998.

55. Мисюркеев, И.В. Геометрические построения. Пособие для учителей / И.В.Мисюркеев. - М: Учпедгиз, 1950.

56. Общая психология: учеб. для студентов пед. ин-тов / под ред. А. В. Петровского. - М.: Просвещение, 1986.

57. Перепелкин, Д.И. Геометрические построения в средней школе / Д.И. Перепелкин. - М.: Издательство академии педагогических наук РСФСР,1947.

58. Понарин, Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. - Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости / Я.П.Понарин. - М.: МЦНМО, 2004.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ГМТ. Метод ГМТ

Суть метода ГМТ заключается в следующем: сводят задачу к нахождению некоторой точки, которая определяется двумя условиями, вытекающими из требования задачи.

Допустим, геометрическим местом точек, удовлетворяющих первому условию, есть фигура F₁, а геометрическим местом точек, удовлетворяющих второму условию, есть фигура F₂. Тогда каждая точка пересечения этих двух геометрических мест удовлетворяет требованиям задачи. Например, построение треугольника по трем сторонам.

Таким образом, задача не будет иметь решений, если эти ГМТ не пересекаются. И будет иметь столько решений, сколько имеющихся точек пересечения указанных мест.

Простейшие ГМТ

1) Геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (окружность).

2) Геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной прямой (пара параллельных прямых).

3) Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (серединный перпендикуляр к отрезку)

4) Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных а) пересекающихся, б) параллельных прямых (пара перпендикулярных прямых в первом случае, прямая линия - во втором)

Более сложные ГМТ:

1) Геометрическое место вершин С треугольников, имеющих общее основание АВ, у которых боковая сторона АС равна данному отрезку.

2) Геометрическое место вершин С треугольников с общим основанием АВ, у которых медиана, проведенная к основанию, равна данному отрезку.

3) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

4) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности (внешним образом, внутренним образом).

5) Геометрическое место вершин треугольников с общим основанием, у которых высота, опущенная на это основание, равна данному отрезку.

6) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой.

7) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, отсекающих на данной прямой хорду данной длины.

8) Геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой.

9) Геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с общим основанием.

10) Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

11) Геометрическое место центров окружностей, описанных около всех треугольников с общим основанием.

12) Геометрическое место центров окружностей, касающихся внешним образом (внутренним образом) двух равных окружностей.

13) Геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных (пересекающихся, параллельных) прямых.

14) Геометрическое место вершин прямоугольных треугольников с общей гипотенузой.

Примеры задач с применением ГМТ

1. Построить циркулем и линейкой треугольник по трем сторонам. Точный смысл: построить треугольник так, чтобы три его стороны были равны трем данным отрезкам. Условие задачи не предусматривает определенного расположения искомой фигуры относительно данных фигур.



По нашей договоренности решение такой задачи ищется с точностью до равенства. Так как все треугольники по трем сторонам равны, то задача имеет одно решение, если сумма любых двух сторон больше третьей, и не имеет решения, если это условие не выполнено.

2. Построить циркулем и линейкой треугольник так, чтобы одной его стороной служил данный отрезок АВ, а две другие его стороны были равны двум данным отрезкам а и в.

В этом случае условие задачи предусматривает определенное расположение искомого ?АВС относительно данных фигур. В соответствии с нашим соглашением равные треугольники, удовлетворяющие условию задачи, но отличающиеся расположением, будем считать разными решениями этой задачи.

3. Построить треугольник, если известны: длина основания а, угол при основании б и разность двух других сторон d.

Заметим, что в условии задачи не указаны инструменты. B таких случаях, будем полагать, что задачу надо решить с помощью линейки и циркуля.

Анализ: Поиск решения задачи проведем, полагая задачу решенной. Пусть ?ABC - искомый треугольник: AB = a, AC-BC = AD=d, = б. Замечаем, что ?АВD = определен по двум сторонам и углу между ними.

Третья вершина С искомого треугольника может быть найдена как точка пересечения луча АD и прямой l - серединного перпендикуляра отрезка ВD). Иначе говоря план решения найден, отроим треугольник ?АВD, а затем и третью вершину С.

Построение: В этом пункте реализуем план решения.

Строим последовательно:

1)

2) l, l - серединный перпендикуляр отрезка BD;

3) C, C = [AD) ? l. Треугольник АВС - искомый.

Доказательство: Действительно, ?АВС удовлетворяет всем условиям задачи, т.к. по построению АВ = а, АС - ВС = АD = d, BAD = <б.

Исследование: Проверим каждый шаг построения на осуществимость и единственность. Первый шаг возможен и единственен тогда и только тогда, когда 0<б<р. Второй шаг возможен и единственен всегда. Третий шаг возможен и единственен тогда и только тогда, когда б< а cos б. Действительно, если d < a cos б, то прямая l пересекает луч AD. Если же d = a cos б, то l и AD, поэтому треугольника, удовлетворяющего условию задачи, не существует. В том случае, когда d < a cos б, прямая l пересекает луч DА. В этом случае также задача не имеет решения.

Но вернемся к анализу. У нас задача решена, предполагая, что б лежит против меньшей из двух боковых сторон. Если б лежит против большей стороны, то предыдущий метод построения не проходит. Как быть? По теории мы должны и для этого случая дать решение. Нетрудно убедиться, что ДABF определен (a,d и угол р - б). Построение, доказательство и исследование провoдятcя так же, как и выше.

Необходимо еще выяснить: все ли решения найдены. Да, все, так как если бы каким-то способом построить треугольник по a, d и б то этот треугольник был бы равен одному из указанных треугольников (это легко доказать через признаки равенства треугольников).

4. Рассмотрим решение и исследование задачи: “Построить окружность, касающуюся данной прямой PQ и данной окружности (О; ОА) в заданной на ней точке А”.

Решение. Решаем эту задачу методом геометрических мест. Проводим прямую ОА (рис. 2). В точке А строим касательную АВ к данной окружности, а затем - биссектрисы углов РВА и ABQ. Точки пересечения прямой ОА с прямыми ВМ и BN и будут центрами искомых окружностей.

Проводя исследование по построению, легко обнаруживаем, что наше решение не применимо, если OAPQ. Для такого случая рассматриваем решение задачи отдельно. В результате получим, что если ОА не перпендикулярна PQ, то задача имеет два решения, за исключением случая, когда окружность (О; ОА) пересекает PQ в точке А, так как тогда прямые ВМ, ВN и ОА пересекутся в точке А, и окружности не получим. Если же OAPQ, но А не лежит на PQ, то получаем одну окружность с центром на ОА и радиусом, равным половине расстояния от точки А до данной прямой PQ. Если же при этом А лежит на PQ, то задача неопределенная.

Таким образом, для задачи имеются лишь 4 характерные конфигурации исходных данных:

1) ОА не перпендикулярна PQ и А не принадлежит PQ - 2 решения;

2) OA не перпендикулярна PQ и A принадлежит PQ - нет решений;

3) OAPQ, но A не принадлежит PQ - 1 решение;

4) OAPQ и А принадлежит PQ - бесконечное множество решений.

Задачи:

1) Построить треугольник по основанию, боковой стороне и медиане, проведенной к основанию.

2) Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.

3) Построить окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

4) Построить равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне.

5) Постройте ромб так, чтобы две противолежащие его вершины были в двух данных точках А и В и третья на данной окружности О.

6) Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них - в данной точке.

7) Построить треугольник, если известны: длина основания а, угол при вершине b и отношение боковых сторон k, k ? 1.

8) Дан треугольник АВС. Постройте треугольник, стороны которого вдвое меньше сторон треугольника АВС.

9) Даны две точки А и В и прямая a, проходящая через точку А. Постройте окружность, которая касается прямой a в точке А и проходит через точку В.

10) Дан треугольник АВС. Постройте треугольник АВМ с углами при вершинах А и В, вдвое меньшими соответствующих углов треугольника АВС.

11) Даны три точки А, В, С. Постройте окружность, проходящую через точки А и В, центр которой находится на данном расстоянии d от точки С.

12) Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе второго угла прилежащего к данной стороне.

13) Даны параллельные прямые a и b и точка В на прямой b. Постройте окружность, которая касается прямой b в точке В и прямой a.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Метод центральной симметрии

Симметрия в переводе с греческого означает соразмерность. Под симметрией принято понимать свойство геометрической фигуры, расположенной в пространстве или на плоскости, заключающееся в закономерном повторении равных ее частей. Изучение видов симметрии имеет большое практическое и теоретическое значение для различных областей науки и техники и, особенно, при изучении строения кристаллических веществ.

Существует множество различных видов симметрии. К простейшим из них относятся:

а) симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия);

б) симметрия относительно точки (центральная симметрия);

в) симметрия относительно прямой (осевая симметрия);

г) симметрия вращения;

д) цилиндрическая симметрия;

е) сферическая симметрия.

Вспомогательные образы (плоскости, точки, прямые и т.д.), с помощью которых устанавливается симметрия, называются элементами симметрии.

Можно дать такое определение:

Центральная симметрия с центром в точке O - это такое отображение плоскости, при котором любой точке X сопоставляется такая точка X', что точка O является серединой отрезка XX'.

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X'. Тогда угол XOX'=180 градусов, как развернутый, и XO=OX', следовательно, такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением.

Симметрией относительно точки О (центральной симметрией) Z₀ пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М₁, что точка О является серединой отрезка ММ₁.

Данный метод применим к тем задачам, в условии которых в той или иной форме указана точка, являющаяся центром симметрии искомой или вспомогательной фигуры.

Так, при изучении центральной симметрии учащимся целесообразно предложить задачу следующего вида

Отрезок AB' является образом отрезка АВ при симметрии, центр которой не указан

Как построить образ точки К при симметрии, отображающей отрезок АВ на отрезок А'В' с помощью а) циркуля, б) транспортира и линейки ?

В данном случае учитель должен дать некоторые указания к решению задачи:

а) воспользоваться тем, что центральная симметрия сохраняет расстояние между фигурами;

б) использовать свойство центральной симметрии не изменять ориентацию фигуры.



Рассмотрим задачу: Через данную точку А провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данных прямой и окружности делился точкой пополам.

Решение. Пусть m и б - данные прямая и окружность, CD -искомый отрезок, Сm, Dа (рис. 3). Тогда Z_A(C) = D. Если Z_A(m) = m₁, то Dm₁ и, следовательно, Dаm₁. Отсюда вытекает такое построение: строим образ m₁ прямой m при симметрии Z_A, точки D и Е пересечения прямой m₁ с данной окружностью б определяют вместе с точкой А искомые прямые DA и ЕА.

Задачи:

1. Даны точки A и B. Постройте точку B', симметричную точке B относительно точки A.

2. При симметрии относительно некоторой точки точка X переходит в точку X'. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка Y.

3. Чему равны координаты точки, симметричной точке (4; -3) относительно 1) начала координат; 2) точки (3;3) ?

4. Даны точка O и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром O.

5. Даны точка O и треугольник ABC. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник ABC при центральной симметрии с центром O. Что представляет собой фигура F?

6. Даны точки А и В. Постройте точку С, симметричную точке В относительно точки А.

7. Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка С, не лежащая на них. Постройте фигуры, в которые переходят прямые а и b при симметрии относительно точки С.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Метод осевой симметрии

Симметрией пространства относительно данной прямой l (осевой симметрией) S_l называется преобразование, которое каждую точку прямой l отображает на себя, а любую другую точку М пространства отображает на такую точку М₁, что прямая l служит серединным перпендикуляром к отрезку ММ₁. Прямая l называется осью симметрии.

Трудно указать общие признаки задач, решаемых методом осевой симметрии. В более сложных задачах метод осевой симметрии, нередко спрямляющий ломаные линии в прямые, может быть применим, если в условиях содержится сумма или разность частей некоторой ломаной линии. Можно ограничится указанием, что метод осевой симметрии применим для задач, в условии которых указана прямая, являющаяся осью симметрии части элементов фигуры. Такую прямую легко установить по свойствам фигур. Применение осевой симметрии целесообразно для задач, которые легко решаются, если часть данных расположена по одну сторону некоторой прямой, а остальные - по другую.

Поиску различных вариантов решения способствуют задачи следующего вида:

Отрезки АВ и A₁B₁ симметричны относительно прямой р. Построить точку, симметричную точку К, К принадлежит АВ относительно оси р.

Учащиеся могут предложить такие варианты решения данной задачи:

1) через точку провести прямую, перпендикулярную прямой s. Точка пересечения этой прямой с отрезком А₁B₁ является искомой;

2) на отрезке A₁B₁ от точки А₁ отложить отрезок А₁К₁ равный отрезку АК. Точка К₁ является искомой.

Рассмотрим задачу: Построить ромб так, чтобы одна из его диагоналей была равна данному отрезку r и лежала на данной прямой а, а остальные две вершины ромба лежали соответственно на данных прямых b и с.

Анализ. Пусть (рис.4) ABDC - искомый ромб, AD = r. Замечаем, что задача о построении ромба сводится к построению одной какой-либо из его вершин, например вершины С. По свойствам ромба точки В и С симметричны относительно прямой а. Поэтому при осевой симметрии относительно прямой а точка В преобразуется в точку С, а, следовательно, прямая b - в некоторую прямую b', проходящую через точку С. Таким образом, точка С может быть построена как точка пересечения прямых с и b', из которых одна дана, а другая легко строится.

Построение. Строим последовательно: прямую b', симметричную с прямой b относительно прямой а; точку С, общую для прямых с и b'; прямую ВС; точку О ВС а; точки А и D на прямой а, отстоящие от точки О на расстоянии ; ABCD - искомый ромб.

Доказательство ввиду его простоты опустим.

Исследование. Возможны следующие случаи: 1) с || b', решений нет; 2) с b', решений бесконечно много; 3) прямые с и b' пересекаются вне прямой а, одно решение; 4) прямые с и b' пересекаются на прямой а, решений нет.

Задачи:

1. Постройте точки А' и B' симметричные данным точкам А и В относительно оси р. Постройте точку, симметричную точке С. (рис.1)

2. Постройте отрезки A'B', A'C' и B'С' симметричные данным отрезкам АВ, АС и ВС относительно оси p. (рис.2) Воспользуйтесь предыдущей задачей.

3. Постройте фигуру F' симметричную F относительно оси р. Отметьте две точки на сторонах данной фигуры, соедините их и постройте отрезок, симметричный данному относительно оси p.(рис.3)

4. Даны точки A, B, C. Постройте точку C', симметричную точке С относительно прямой AB.

5. Чему равны координаты точки, симметричной точке (-2;6) относительно: 1) оси x; 2) оси y;

6. Даны две прямые a и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью a.

7. Даны прямая a и четырехугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью a. Что представляет собой фигура F?

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Задачи для самостоятельного исследования:

1. Геометрическое место вершин С треугольников, имеющих общее основание АВ, у которых боковая сторона АС равна данному отрезку.

2. Геометрическое место вершин С треугольников с общим основанием АВ, у которых медиана, проведенная к основанию, равна данному отрезку.

3. Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

4. Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности (внешним образом, внутренним образом).

5. Геометрическое место вершин треугольников с общим основанием, у которых высота, опущенная на это основание, равна данному отрезку.

6. Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой.

7. Геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с общим основанием.

8. Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

9. Геометрическое место центров окружностей, описанных около всех треугольников с общим основанием.

10. Чему равны координаты точки, симметричной точке (-3; 4) относительно: 1) оси x; 2) оси y; 3) начала координат?

11. 1) Постройте точку А₁, в которую переходит точка А при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке. 2) Постройте фигуру, в которую переходит отрезок АВ при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке.

12. Постройте фигуру, в которую переходит треугольник АВС при повороте его около вершины С на угол 60°.

13. Даны точки А, В, С. Постройте точку С', в которую переходит точка С при параллельном переносе, переводящем точку А в В.

14. Параллельный перенос задается формулами х' = х + 1, у' = у - 1. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки (0;0), (1;0),(0;2)?

15. Найдите величины a и b в формулах параллельного переноса х' = х + а, у' = у + b, если известно, что: 1) точка (1; 2) переходит в точку (3; 4); 2) точка (2; -3) - в точку (-1; 5); 3) точка (-1; -3) - в точку (0; -2).

16. Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур параллельным переносом на данный вектор а

17. Постройте отрезок A1B1, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°.

18. Может ли четырехугольник иметь центр симметрии и когда? Ответ объясните.

19. Дан параллелограмм АВСD. Постройте точку, симметричную точке А относительно прямой ВС.

20. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр параллелограмма, делит его на две равные части.

21. Постройте образ A1B1 хорды АВ при ее повороте вокруг центра окружности на 45° против часовой стрелки. Сравните длины А1B1 и АВ.

22. Докажите, что при вращении правильного шестиугольника вокруг его центра на 120° он отображается сам на себя.

23. Начертите прямую а и отметьте точку О вне ее. Постройте образ прямой а при повороте вокруг точки О на 45° против часовой стрелки.

24. Постройте образ угла АВС, полученный поворотом вокруг центра О на 60° по часовой стрелке.(рис 1)



25. Прямоугольник ABCD при повороте на 170° против часовой стрелки вокруг центра D отображается на прямоугольник A₁B₁C₁D₁, АС > А₁С₁, Чему равен острый угол между этими прямыми.

26. При параллельном переносе точка А переходит в точку А₁, а точка В - в точку B1. Чему равна длина отрезка A₁B₁, если АВ = 7см? Объясните ответ.

27. Докажите, что при параллельном переносе прямоугольник переходит в прямоугольник.

28. При параллельном переносе точки А и В переходят соответственно в точки А₁ и B₁, не лежащие на прямой АВ. Пересекаются ли прямые АА₁ и BB₁?

29. Существует ли параллельный перенос, при котором точка (4;2) переходит в точку (2;4), а точка (1;0) в точку (0;1)?

30. Начертите параллелограмм АВСD и отметьте на стороне ВС произвольную точку М.Постройте образ этого параллелограмма при переносе на вектор АМ.

31. Докажите, что при симметрии относительно точки прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

32. Прямые а и b пересекаются под углом а. При некотором движении а a₁ и b->b₁. Чему равен угол между прямыми а₁ и b₁?

33. Даны две прямые х = 4 и у = 3. Укажите координаты точки на оси Оу, при повороте вокруг которой одна прямая отображается на другую.

34. Докажите, что при движении параллельные прямые переходят в параллельные, пересекающиеся - в пересекающиеся.

35. Восстановите фигуру по сохранившимся частям и осям симметрии.(рис.2)

а) б) в)

36. Постройте прямую (ось симметрии), относительно которой симметричны две данные фигуры.

а) б)

в) г)

37. Дана произвольная фигура F и прямая а. Постройте фигуру, симметричную данной, относительно прямой а.

38. Восстановите фигуру по сохранившимся частям и центру симметрии.(рис 4)



а) б)

38.Постройте точку (центр симметрии), относительно которой симметричны две данные фигуры. (рис. 5)

39. Постройте произвольную геометрическую фигуру. Отметьте на плоскости точку О. Постройте фигуру центрально-симметричную данной, взяв за центр симметрии отмеченную точку О.

40. Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди остались два столба на параллельных сторонах участка и столб в центре квадрата. Требуется восстановить границу участка.

41. Даны две окружности R я S и отрезок МN. Постройте отрезок, равный и параллельный отрезку MN, концы которого лежат на данных окружностях. (рис 6)

42. Отрезок данной длины перемещается параллельно самому себе так, что один его конец скользит по окружности О (r). Докажите, что другой конец отрезка описывает при этом окружность, равную данной. (рис 7)

43. Определите, какие буквы русского алфавита симметричны относительно горизонтальной оси симметрии, проходящей через центр буквы:

1)А, М, В; 2) Е, К, Ц; 3) З, Г, Т

44. Определите, какие буквы русского алфавита симметричны относительно горизонтальной оси симметрии, проходящей через центр буквы:

1) П, О, Б; 2) Д, Л, Ц; 3) Ж, Н, Ф?

Размещено на Allbest.ru