Методические особенности изучения темы "Уравнения и неравенства с параметром" на профильном уровне

Размещено на Allbest.ru

Содержание

Введение

Глава 1. Методические рекомендации по изучению уравнений и неравенств с параметром в курсе математики средней школы

1.1 Начало изучения задач с параметрами

1.2 Уравнения и неравенства с параметром в 7-9 классах

1.3 Уравнения и неравенства с параметром в профильном курсе математики 10-11 классов

Глава 2. Задания с параметром в ОГЭ, ЕГЭ, и математических олимпиадах

2.1 Задания с параметром в ОГЭ и ЕГЭ

2.2 Методика подготовки к олимпиадным заданиям с параметром

Заключение

Список литературы

Введение

изучение уравнение неравенство параметр

Математика в школе призвана развить в ученике логическое мышление, умение анализировать и систематизировать данные, научить его мыслить абстрактно. Многие упражнения в школе можно спроектировать на реальную жизнь, однако не все из них мы используем постоянно. Задача с параметром - одно из тех упражнений, которое присутствует в реальной жизни регулярно, но многие просто не замечают это: когда мы выбираем себе новый телефон, размышляем куда поехать на отдых и при этом потратить минимум денег, и многое другое.

Уравнения и неравенства с параметром - одни из самых сложных заданий в школьной программе. К сожалению, в обычных школах им уделяется слишком мало внимания или же не уделяется совсем. Это происходит по нескольким причинам, таким как нехватка количества уроков в неделю (в некоторых школах всего 4-5 уроков в неделю отводится на освоение и геометрии и алгебры), психологическая неподготовленность учеников воспринять такую задачу и многие другие. Однако умение решать такие задания пригодится во взрослой жизни, ведь как говорил нобелевский лауреат Бернард Шоу: «Умение мыслить математически - одна из благороднейших способностей человека».

Объектом моей курсовой работы станет процесс изучения уравнений и неравенств с параметром в профильных классах.

Предмет исследования: методика изучения темы «уравнения и неравенства с параметром» в профильных классах.

Цель данной курсовой работы состоит в том, чтобы выделить методические рекомендации, которые помогут школьникам в освоении темы уравнений и неравенств с параметром.

Чтобы достигнуть поставленной цели, необходимо решить следующие задачи:

Проанализировать математическую литературу по данной теме.

Разобрать примеры и предложить способы решения основных типов задач в разных классах.

Рассмотреть методические особенности преподавания этой темы в школе.

Исследовать варианты уравнений и неравенств с параметрами, предлагаемые в итоговых экзаменах и на олимпиадах.

Уравнения и неравенства с параметрами тесно связаны практически со всеми областями алгебры, которые изучают в школе. При решении могут потребоваться и умение решать уравнения различных степеней, и понимание графиков функций, и исследование области допустимых значений, а также многих других, поэтому подготовка ученика должна начинаться прежде всего с изучения этих тем.

Глава 1. Методические рекомендации по изучению уравнений и неравенств с параметром в курсе математики средней школы

1.1 Начало изучения задач с параметрами

В задачах по подготовке выпускников основной школы сказано, что «в результате изучения математики ученик должен уметь решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы; решать линейные, квадратные неравенства с одной переменной и их системы»[4]. Способов решения уравнений и неравенств с параметром нет ни в энциклопедии элементарной математики, ни в государственном образовательном стандарте, более того, там даже нет понятия «уравнение (неравенство) с параметром».

В отличие от общеобразовательного уровня в классах с уклоном на математику задачам с параметром выделяется отдельное место. Когда же учащиеся начинают сталкиваться с ними?

Например, идея параметра начинает проглядывать при начале изучения графика линейной функции в 7 классе y = kx + b (x и y - переменные, а вот k и b - параметры), далее в том же 7 классе представляют модель линейного уравнения ax + b = 0 (здесь x - переменная, а a и b - параметры). И если в общеобразовательных учреждениях эти параметры сразу даны, и ученики не видят саму идею параметра, то в профильных классах можно увидеть задачи такого типа (задачи взяты из пособия Ершовой за 7 класс) :

1) Определите, при каких значениях параметра а

а) уравнение |x| = a-2 имеет один корень

б) уравнение |x|=a2-9 не имеет корней

2) Решите уравнения с параметром а:

а) ax = 5

б) (а - 3) x = -1

в) (a + 1) x = a + 1

Добавить параметр можно практически в любое задание, таким образом можно разделить все уравнения и неравенства на две разновидности: с параметром и без.

Исходя из идеи заданий этого типа, их решение - это полное обобщение и анализ учебного опыта ученика на более высоком продуктивном этапе деятельности. Поэтому процесс решения задач с параметрами должен быть показан в каждой взаимосвязанной теме, четко описан, должны быть разобраны образцы, приведена система решений.

Учащиеся под определением уравнения (неравенства) с параметром должны понимать следующее:

Уравнение (неравенство) с параметром - это семейство уравнений (неравенств) одного вида при одних значениях параметра, других видов - при других значениях параметра, при каких-то значениях параметра в это семейство входят верные или неверные тождества (числовые неравенства).

При решении задач с параметрами школьники сталкиваются со следующими сложностями:

- даже элементарные уравнения и неравенства, сводятся к тому, что приходится разделять все значения параметров на отдельные части, и в каждом случае решение возможно будет разным;

- необходимо постоянно следить за равносильностью получаемых уравнений или неравенств, при этом ещё и учитывать область определений данных выражений;

- нужно учитывать выполнимость используемых операций;

- возможность решения одного и того же уравнения (неравенства), включающего параметр, различными способами.

Во многих профильных школах для того, чтобы помочь ученику избежать этих трудностей знакомство с параметрами начинается уже в 5 классе при изучении темы «Действия с обыкновенными дробями». Начинать можно с решения простейших задач:

Задание 1. На экскурсию поехали 18 человек - из них а девочек, а другие мальчики. Какую часть составляют девочки? Ответ а/17

Задание 2. За один час автобус проходит 1/а расстояния. За какое время автобус пройдёт всё расстояние? Ответ: за а часов.

Задание 3. Даны дроби: b/2b; 3с/2с; 4с/2с; a/b. Какие из них являются правильными? Ответ: b/2b; а/b при а<b.

Данные примеры показывают, что понятие параметра появляется тогда, когда мы начинаем использовать буквы как числа. Далее можно привести историю происхождения термина «параметр» и дать его историческое определение.

Задачи с параметрами появляются в математике всякий раз, когда мы имеем дело с буквенными обозначениями чисел. Термин «параметр» происходит от греческого слова рбсбмефспн - отмеривающий. Параметр - величина, входящая в формулы и выражения, (которыми задаются некоторые множества), значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи. Для определенного значения параметра мы получаем вполне определенный элемент заданного множества. Таким образом, параметрами называют величины, значения которых служат для различения между собой элементов некоторого множества, класса или семейства.

На данном (пропедевтическом) уровне необходимо сформировать у учащихся понимание параметра как специальной переменной, имеющей фиксированное значение. Задачами пропедевтического этапа являются:

довести до понимания учеников, что задания с параметрами, вовсе не что-то невозможное, чтобы у них не было предвзятого отношения к таким задачам; продемонстрировать не только их трудность, но и полезность.

дать учащимся возможность привыкнуть к введенному понятию, освоить фактически другую терминологию.

Не нужно сразу решать сложные задачи с параметром, нужно приучать учащихся к использованию термина через специально подобранные или разработанные задания, например:

Заменить параметр а на число, чтобы получилось верное равенство:

а/100=3/20.

В темах «Приведение дробей к общему знаменателю», «Сравнение дробей», «Сложение дробей», «Вычитание дробей», «Умножение дробей» и «Деление дробей» полезно предлагать учащимся задания, в которых приходится оперировать с буквами (параметрами). Приведём примеры таких заданий.

Задание 4. Приведите дроби к общему знаменателю:

а) 13а/16 и 19а/24;

б) 8/15а и 7/20;

в) 7x/15 и 12/25c;

г) 1/5a и 1/25 и a/625.

Задание 5. Найдите значение разности:

14/15 - а, если а = 4/5; ѕ; 11/12; 14/15.

В результате еще до решения основных параметрических задач, учащиеся прочно овладевают достаточно большим набором фактов, которые помогут им в дальнейшем.

Программа шестого класса менее направлена на работу с буквенными выражениями, однако и в ней можно отыскать возможности пропедевтики линии «параметров». Например, при объяснении темы «Пропорция. Основное свойство пропорции» приходится в общем виде давать алгоритмы нахождения крайнего/среднего члена пропорции, при этом используя буквы. Нужно обратить внимание учеников на эти алгоритмы, напомнив им, что такое параметр.

1.2 Уравнения и неравенства с параметрами в 7-9 классах

Настоящее знакомство с параметрами начинается в 7 классе, например при решении линейных уравнений с параметром вида ax + b = 0 и ввода первой функции - линейной.

При освоении линейной функции и ее основных свойств, можно поставить новую для семиклассников задачу на сообразительность: исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить геометрический смысл параметров.

Для закрепления материала можно представить следующие задания:

Задание 6. Найдите значение параметра u, при котором графики линейных функций у=2х+6 и у=uх-3 будут параллельны.

Задание 7. Найдите значение параметра b, при котором графики линейных функций у=12х+2 и у=bх-3 будут пересекаться.

Задание 8. Найдите значение параметра m, при котором графики функций у=4х+m и у=4х-m совпадут.

С самого начала освоения термина параметра учащимся желательно давать задания, которые предполагают различные нестандартные варианты решения. Такие задания можно найти либо в школьных учебниках, либо в пособиях по этой теме, либо разработать самостоятельно.

Изучение уравнений с параметром правильно начинать с решения простых уравнений без ветвлений:

Задание 9. Решите уравнение: х - а = 0. Ответ. х = а при а Ѓё (-?; +?).

Задание 10. Решите уравнение: 5х = а. Ответ. х = а/5 при любом а.

Задание 11. Найдите все значения переменной при любом значении параметра х/4= а. Ответ. х = 4а при всех а.

Такие задания помогают «привыкнуть к параметру», к необычному виду ответов при нахождении корней уравнений.

В качестве второго шага на пути изучения уравнений с параметром необходимо рассмотреть решение простейших уравнений с небольшим количеством угадываемых ветвлений.

Задание 12. Решите уравнение а•х=35. Ответ. х=35/а при а?0; уравнение не имеет корней при а=0.

Задание 13. Найдите корни уравнения 0•х=а. Ответ. Уравнение не имеет корней при а?0; х - любое число при а=0.

Уравнения с параметром, в процессе решения которых требуется дополнительная проверка ограничений из области определения функции, составляют следующий шаг в изучении уравнений с параметром.

Задание 14. Решите уравнение а/ (х-4) =1. Ответ. Уравнение не имеет корней при а=0; х=а+4 при а?0.

Задание 15. Найдите значения переменной х в уравнении х/ (х+1) =а. Ответ: х =а/ (а-1) при а?1. Уравнение не имеет корней при а=1.

Таким образом, ученики усваивают некоторые способы решения простейших задач с параметрами.

Решение систем уравнений с параметрами - относительно сложный материал для семиклассников, но для того, чтобы продемонстрировать, что такие задачи существуют и дать некоторое представление об их решении можно предложить учащимся задания следующего вида.

Задание 16. Дана система уравнений

bx + y = 70

4x + dy = 54

Найдите, при каких значениях параметров пара чисел (5; 6) является её решением.

Математическая роль и идея понятия «параметр» раскрывается в программе по математике в 8 классе при решении задач с параметрами, в которых параметры легко узнаваемы или явно указаны и играют главную роль в решении. Например, рассматривается задача решения квадратного уравнения ax2+bx+c=0, a?0, которая является задачей с параметрами, ведь мы должны найти значения x в зависимости от параметров a, b, с и указать, когда они существуют. Заметим, что зачастую именно уравнения второй степени используются в итоговых и конкурсных работах.

На мой взгляд, при постоянной работе в конце 8 класса у учеников должно быть чёткое понимание того, что «решить уравнение с параметром», означает:

- изучить, при каких значениях параметра уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметра;

- найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметра, при которых это выражение определяет корень уравнения.

Ответ к задаче «решить уравнение с параметром» должен выглядеть следующим образом:

1) при таких-то значениях параметра (ов) a (a, b, …) корни определяются равенством x=ц (a) (x=ц (a, b,..)) ;

2) при таких-то значениях параметра (ов) - равенством x=ш (a) (x=ш (a, b, …)) ;

3) при иных значениях параметра (ов) - корней нет.

Целесообразно предлагать учащимся выполнять задания на составление уравнений с параметром.

Составьте уравнение с параметром а такое, чтобы каждому значению параметра соответствовало единственное значение х.

Составьте уравнение с параметром а, которое при любом значение параметра не имеет корней.

Составьте уравнение с параметром а, которое не имеет корней при всех а ? 0.

Задание 17. Составьте уравнение с параметром а такое, чтобы при каком-то одном значении параметра корнем уравнения было любое действительное число, а при всех остальных значениях параметра уравнение корней не имело.

Задания с параметрами необходимо предлагать учащимся при изучении квадратных и дробно-рациональных уравнений, линейных неравенств.

Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры - один из труднейших разделов школьной математики, так как это тема, на которой проверяется степень понимания учащимся изучаемого материала.

Когда ученики освоят тему «Квадратные уравнения», хорошо научатся решать уравнения второй степени, можно закрепить изучение этой темы, предложив следующие задания с параметром:

Решите квадратное уравнение с параметром сx2-4х+1=0.

Докажите, что при любом значении параметра а уравнение 3x2-ах-2=0 имеет два корня.

При изучении этой и последующих тем отдельно следует выделить задачи, в которых, благодаря параметрам, на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два решения, бесконечно много решений, ни одного решения; уравнение имеет два различных корня, положительные корни и т. д.

При каких значениях параметра а квадратное уравнение x2 - (2a+1) x+a2+a-6=0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Ответ: а) а Ѓё (2; + ?) ; б) а Ѓё (-?; - 3) ; в) а Ѓё (- 3; 2).

В учебнике Мордковича для профильных учреждений в 9 классе есть отдельная глава, посвященная задачам с параметрами. В частности геометрическому смыслу параметра при решении квадратных уравнений:

При каких значениях параметра a следующее квадратное уравнение x2 + (a + 3) + a - 1 имеет корни разных знаков?

При каких значениях параметра а уравнение -x2 + ax + 2a2-a+1=0 имеет один из корней больше 3, а второй меньше 3?

Для решения таких заданий необходимо четко представлять себе, как отображается функция y=ax2+bx+c на координатной плоскости, как его строить, а также свойства этой функции.

В том случае если учащиеся регулярно решают подобные задания из года в год, то в последствие даже задачи повышенной сложности будут для них простыми, а в ряде случаев и интересные, например такое задание имеет очень красивое решение, но без должной подготовки решить его сможет не каждый:

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых больший корень уравнения x2- (14a-1) x + 49a2 - 7a = 0 в пять раз больше, чем его меньший корень.

В учебной литературе практически не уделяется внимание неравенствам с параметрами, однако это очень важная часть темы «Задания с параметрами», с которой нужно познакомить учеников.

Начать изучение данного раздела можно с рассмотрения алгоритма решения линейного неравенства общего вида, и далее, по аналогии с уравнениями, задания на решение неравенств с параметрами нужно рассматривать по нарастанию сложности: от простых (с мало разветвлённым решением) к сложным (с сильным ветвлением в решении).

Неравенство с параметрами - это стандартное неравенство, осложненное одним или несколькими параметрами. В общем школьном курсе математики я не встречал неравенств с несколькими параметрами, хотя возможно в некоторых олимпиадных упражнениях они и могут встречаться. Как при решении уравнения, так и при решении неравенства требуется найти и «перебрать» все те значения неизвестного параметра, для каждого из которых указанное соотношение оказывается верным.

Отличием же неравенств от уравнений с параметром будет логическая интерпретация самого решения. Именно поэтому важно начинать решать задачи с параметром только после освоения учеником решения стандартных неравенств.

Решение неравенства может включать в себя несколько методов решения, соответствующих каждому виду уравнения при определенных значениях параметра. Например, при каком-то значении параметра неравенство линейное, поэтому решаем его аналитически тождественными преобразованиями; при остальных значениях параметра неравенство квадратичное - решаем его функционально-графическим способом.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров типичных неравенств с параметром.

Таблица 1

Основные методы решения неравенств, содержащих параметр

Название метода	Пример	Метод решения
Аналитический метод	? x2 + ax, при каких а неравенство считается верным?	Учитывая ОДЗ избавляемся от корня и решаем полученную систему неравенств.
Свойства функций в задачах, содержащих параметр. Функциональный подход.	x2+ (a+1) x+a-3>0	Оцениваем параболу, составляем систему критериев и решаем относительно параметра a.
Графический метод. Координатная плоскость (x; y).	x2+3ax+5a> 3x+1	Строим график и оцениваем в каком случае парабола всегда будет находиться выше линейной функции.
Графический метод. Координатная плоскость (x; a).	-ax2 + 3ax - 5a<a2	Заменяем параметром а зависимую переменную y и строим обычной график параболы.

1.3 Уравнения и неравенства с параметром в профильном курсе математики 10-11 классов

В средних классах не всегда даже в учебниках профильного уровня есть отдельные задания с параметром, поэтому подготовка к этой теме остается на совести учителя. Однако в старших классах с углубленным изучением курса математики есть обязательные главы посвященные этим упражнениям (например, Н. Я. Виленкина, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд «Алгебра и математический анализ для 10 и 11 классов»). Мордкович в своем учебнике для 11 класса профильного уровня в конце учебника достаточно серьезно подошел к теме заданий с параметрами. Начинаются они с решения уравнений двух переменных, которые подразумевают графическое решение, которые в свою очередь подводят к классическим исследованиям уравнений и неравенств с параметром.

Мордкович определяет уравнение с параметром так:

«Если дано уравнений f (x; a) = 0, которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой a обозначено произвольное действительное число, то f (x; a) = 0 называют уравнением с параметром а»[13].

Однако лишь присутствие этой темы в учебнике не дает полной гарантии на освоение заданий с параметрами, ведь за два-три урока их не изучишь. Некоторые учителя используют время элективных уроков, для изучения этой сложной темы, конечно же в случае если до этого параметрам уделялось мало внимания, придется начинать с самого начала. На мой взгляд это несколько неправильно, ведь время элективных курсов можно было бы потратить для подготовки непосредственно к ЕГЭ и провести его с большей пользой для учеников. Тем более, что 10-11 классы самые сложные для понимания, здесь и стереометрия, и сложный для понимания математический анализ, другими словами школьникам и без того хватает математических проблем.

В случае же, если учитель подошел ответственно к своей работе, и сумел подготовить класс к сложным параметрическим задачам, то ему стоит лишь регулярно во время прохождения нового раздела алгебры, предлагать учащимся дополнительные задания познавательного характера, связанные с параметром.

Например, при прохождении тригонометрии можно разобрать некоторые уравнения и неравенства, в которые входят тригонометрические функции. Следует показать, что такие упражнения не особенно сложнее тех, к которым все уже успели привыкнуть, разница состоит лишь в понимании самой сути этих функций. Можно попытаться разобрать следующие задания:

1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение cos (4x) - (a + 2) cos (2x) - (a + 3) = 0 имеет решение.

2. При каких значениях параметра а выражение 2 + cos x (3cos x + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х?

Несложно заметить, что эти задания сводятся к замене тригонометрических функций на переменные и затем к обратной замене, а ход решения практически такой же. Тоже самое необходимо сделать и при прохождении темы логарифмов.

Таким образом, опытный педагог сумеет сделать так, что ученики при прохождении темы параметров будут говорить, что они все это уже умеют решать, а не смотреть в учебник с глазами полными ужаса.

Глава 2. Задания с параметром в ОГЭ, ЕГЭ и математических олимпиадах

2.1 Задания с параметром в ОГЭ и ЕГЭ

Задания с параметром присутствуют в заключительных экзаменах ОГЭ и ЕГЭ. И хотя можно заметить ежегодную тенденцию к существенному усложнению экзаменов, в 9 классе пока что эти задания остаются несложными и доступными для среднего ученика.

В ОГЭ задания с параметром могут встретиться в номерах связанных с упрощением алгебраических выражений, в частности это номер 21 из второй части, а также в 23 задании, которое требует понимания функций и их свойств.

Эти задания не отличаются разнообразием и, уделив небольшое внимание схеме решения, смекалистый ученик сможет решить подобные упражнения на экзамене.

Вот несколько примеров номера 21, взятые с официального сайта «Решу ОГЭ»:

Найдите значение выражения

7a/6c - (49a2 + 36c2) /42ac + (6c-49a) /7a, при a = 71, с = 87. В ответ запишите найденное значение.

Найдите значение выражения

P (a) /p (6 - a), если p (a) = a (6-a) / (a-3)

Ход решения сводится к упрощению выражения и подстановки значений параметров. Из собственной педагогической практики, большинство учеников понимают суть решения с первого раза. Конечно же, следует вначале повторить с учащимися законы простейших арифметических действий, а также свойства степеней.

Условия 23 номеров также не отличаются разнообразием, однако ход решения несколько сложнее. Здесь требуется четкое владение знаниями о функциях и координатной плоскости. Приведем классический пример задания 23:

При каком значении p прямая y = -2x + p имеет с параболой y = x2 + 2x ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.

Решение заключается в правильном построении графика данной функции, и рассмотрении различных вариантов расположения линейной функции.

При подготовке к обучению этим номерам следует вспомнить известные графики, а также способы их построения, также следует напомнить о роли ОДЗ на координатной плоскости.

В заключительном экзамене по математике ЕГЭ существует отдельный тип заданий, который относят к одним из самых сложных, если не самому сложному, ведь такое задание решают единицы!

Это задание номер 18 - уравнения и неравенства с параметром. На мой взгляд этот номер один из самых разнообразных и интересных. Ведь с параметрами всегда можно придумать что-нибудь неординарное и новое, а для решения, практически всегда необходимо проявить фантазию, в отличие от элементарных и скучных заданий первой части, в которых нужно просто зазубрить формулы и посчитать пример. Удивительно, что составители ЕГЭ до сих пор находят какие-то новые задания для первой части.

Рассмотрим, какие же элементы школьной математики проверяются при решении 18 задания:

Таблица 2

Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору)

№	Код	Расшифровка
18	2. 1, 2. 2, 3. 2, 3. 3	2. 1 - умение решать разнообразные уравнения; 2. 2 - умение решать неравенства; 3. 2 - элементарное исследование функций; 3. 3 - основные элементарные функции

Обратимся к таблице со средними баллами одиннадцатиклассников, сдававших ЕГЭ:

Таблица 3

Средний балл по ЕГЭ

Год	Средний балл
2018	49, 8
2017	47, 1
2016	46, 3
2015	45, 6

Несомненно, что за последние годы средний балл подрос, говорит о позитивной тенденции, однако средний балл даже ниже 50 баллов, и это при том, что за первую часть дают сразу 62 балла, очевидно, что большинство дальше и не заглядывают.

Тем не менее, в профильных классах многие приступают к решению второй части, а в случае если регулярно изучать упражнения с параметрами, то возможно им будет под силу справиться и с 18 заданием. Давайте рассмотрим основные типы заданий, предлагаемых разработчиками ЕГЭ в 2019 году (информация взята с официального сайта РЕШУ ЕГЭ) :

1) Комбинация «кривых»

2) Комбинация прямых

3) Координаты (x, a)

4) Кусочное построение графика функции

5) Левая и правая части в качестве отдельных графиков

6) Перебор случаев

7) Подвижная галочка

8) Расстояние между точками

9) Симметрия в решениях

10) Уравнение окружности

11) Функции, зависящие от параметра

12) Уравнения с параметром

13) Расположение корней квадратного трехчлена

14) Использование симметрий, оценок, монотонности

Итак, к решению предлагают 14 типов заданий, однако если рассмотреть их все, можно заметить, что решения многих из них схожи между собой, так например большинство заданий, связанных с функциями, сводятся к геометрическому смыслу параметров, то есть графическому методу решения, другие сводятся к решению с помощью выявления ОДЗ и решения уравнения или неравенства путем рассмотрения нескольких случаев или аналитическому методу решения.

Но ведь это как раз те случаи, которые начинают разбирать ещё в далеком 7 классе! Некоторые из таких заданий можно уже пробовать решить даже в 9 классе. Да, многие из них усложнены новыми терминами, такими как логарифмы, или тригонометрические функции, которые изучаются в 10-11 классах, однако суть решения от этого практически не меняется. Нужно лишь из года в год готовить учеников к таким заданиям, дать им привыкнуть к таким упражнениям, научить их понимать что параметр - это всего лишь постоянный коэффициент, а не какая-то непонятная буква, которую невозможно найти.

Однако знания учеников - это лишь одна из проблем с этим заданием. Другая же, и на мой взгляд основная - это нежелание учителей обращать повышенное внимание на эти задания. Из моего личного опыта, даже в профильных классах, некоторые учителя просто пропускают эти задания, считая их не важными в 8-9 классе, косвенно влияя на то, что в 11 классе при подготовке к ЕГЭ ученик будет заранее готов к тому, что 18 номер ему не одолеть. Проблема уровня подготовки учителей на сегодняшний день, к сожалению, актуальна как никогда, ведь ещё можно понять, когда учитель просто не успевает объяснить тему из-за нехватки занятий, постоянного напряжения на работе, связанного с бумажной работой, которую каждый год обещают свести к минимуму, и старается объяснить то, что пригодится в ближайшее время и то, что сможет осилить большинство, но бывает и такое, что учитель сам не понимает как решать такие задания, а с уравнениями с параметром это далеко не редкий случай.

2.2 Методика подготовки к олимпиадным заданиям с параметром

Задания с параметром предоставляют обширное поле для фантазии при составлении нестандартных задач, которые чаще всего дают на олимпиадах, а школьные программы, в которых не выделяют эти уравнения как нечто, требующее особого внимания, лишний раз подсказывают добавить этот номер на олимпиаду и не зря: параметры - камень преткновения многих школьников.

Эти номера требуют особой подготовки от ученика. Зачастую у учителей нет возможности разобрать все трудности с заданиями с параметрами на уроках со всем классом. Поэтому нередко родители сами приводят своих детей к репетитору, если видят в нем интерес к математике, и не зря, ведь хороший репетитор сможет не просто научить ребенка складывать и умножать, но и развить его всесторонне, найти особый подход, благодаря которому, даже самые сложные задачи в конце концов станут решаемы. Таким репетитором может стать и школьный учитель, ведь для учителей умный ученик, это не только интерес к работе с ним, но и неплохая надбавка к зарплате.

И хотя олимпиадные задачи считаются очень сложными, и порой невыполнимыми даже для ученика профильного уровня, задачи с параметрами при хорошей подготовке решить все-таки можно, нужно лишь как и в обычных школьных упражнениях двигаться от простого к сложному, дать возможность ученику свыкнуться с новой темой.

Составим таблицу примеров заданий для разных классов и необходимых знаний, чтобы суметь решить такие задания (задачи взяты из учебника Эдуарда Николаевича Балаяна «Олимпиадные задачи для 7-11 класса) :

Таблица 4

Примеры заданий с параметрами на олимпиадах

Класс	Пример	Необходимые знания
7	2a4 + 2b4 необходимо представить в виде суммы квадратов двух двучленов. Существуют ли такие натуральные числа a и b, что ab (a - b) = 1001?	Знание формул квадрата суммы и квадрата разности. Умение раскладывать число на простые множители
8	Доказать, что если ab и a+b делятся на c, то a3+b3 делится на c2 =ИВА	Знание формула разложения суммы кубов. Задачи такого типа встречаются ещё в 5 классе, в 8 добавляется дополнительная сложность - понимание квадратного корня.
9	Доказать, что если x1 и х2 - действительные корни уравнения х2+2ах - 1/8а2=0, где а Ѓё R, то x14+x24?2+v2 При каких значениях параметра a система неравенств x2 + 2х+а ? 0 х2 - 4х - 6а ? 0 имеет единственное решение?	Знание теоремы Виета. Понимание геометрического смысла параметра.
10	Доказать, что если ab и a + b делится на c, то a6 + b6 делится на c3	Знание формул разложения квадрата суммы и суммы кубов
11	В зависимости от значения параметра а решить уравнение х5-5х3+5х=а5+1/а5	Типовое 18 задание из ЕГЭ, можно решить это уравнение рассмотрением нескольких случаев.

Как видно из таблицы, даже в книге профессора Балаяна, славящегося задачами для школьников, намного опережающими стандартный школьный уровень, присутствуют задачи с параметрами, которые обычный школьник имеет возможность решить, обладая лишь стандартными школьными знаниями. Однако это не значит, что при случае он это сможет решить, ведь для этого нужно уделить этим заданиям внимание, и прорешать хотя бы несколько заданий такого типа.

Заключение

Уравнения и неравенства с параметром - одни из самых сложных заданий в школьной программе, требующие особого внимания прежде всего учителей. Очень важно начинать изучать эти задачи с ранних классов, для того чтобы учащиеся смогли привыкнуть и не бояться таких упражнений. Не нужно спешить давать сложные номера, ведь это может сформировать убеждения у школьника в том, что ему такие задания не под силу.

В то же время такие упражнения являются одними из самых интересных, ведь это не просто скучный счет, а прежде всего логическое размышление и умение представлять решение с помощью силы воображения.

Разнообразие видов уравнений и неравенств с параметрами, а также множество способов их решения дает обширное поле для фантазии при составлении упражнений.

Уравнения и неравенства с параметром присутствуют также и в итоговых экзаменах ОГЭ и ЕГЭ. Эти номера решают немногие и их вполне рационально поместили во вторую часть КИМа. Школьникам придется постараться, чтобы набраться дополнительные баллы на экзамене.

Задания с параметром встречаются также и на олимпиадах и если учитель подберет правильный подход, то в классе наверняка найдутся люди, которые смогут удивить и решить их правильно.

Методически было бы правильно каждый пройденный раздел, в котором можно применить параметр, завершать задачами с его использованием. Прежде всего, школьнику тяжело привыкнуть к параметру за пару занятий - нужно время; также, решение таких упражнений улучшает закрепление изученной темы; более того, такие задания способствуют развитию его математического и логического мышления, а также увеличению интереса к математике, поскольку предлагают ему новые методы и возможности для самостоятельного поиска.

В курсовой работе была проанализирована некоторая математическая литература по этой теме, разобраны основные варианты упражнений, предложены определенные методические рекомендации к преподаванию этой темы, а также рассмотрены задания предлагаемые на итоговых экзаменах и математических олимпиадах.

Список использованной литературы

Дорофеев Г. В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс\ Г. В. Дорофеев, Г. К. Муравин, Е. А. Седова. - М. : Дрофа, 2005.

А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. С. Ершова. Учебник Алгебра 7 класс, Дрофа, 2013.

Э. Н. Балаян. Олимпиадные задачи по математике для 7-11 классов. Феникс, 2018.

Денищева Л. О. Единый государственный экзамен 2002: Контрол. измерит. материалы: Математика / Л. О. Денищева, Е. М. Бойченко, Ю. А. Глазков и др. - 2-е изд. - М. : Просвещение, 2003.

Математика: Учеб. Для 7 кл. сред. шк. / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - М. : «Русское слово», «Фарм-инвест», 1995.

Учебник Алгебра 9 класс А. Г. Мордкович Дрофа, 2010.

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами”. Издательство “Асар”. Москва 1996 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд «Алгебра и математический анализ для 10 и 11 классов», издательство «Дрофа», 2003

А. Г. Мордкович, П. В. Семенов Учебник Алгебра 11 класс часть 1, издательство «Мнемозина», 2014 г.

Мирошин В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика: Учебное пособие /. - М. : Экзамен, 2009.

Крамор В. С. Задачи с параметром и методы их решения: Учебное пособие /- М. : Оникс; Мир и Образование, 2007

Алгебра. 8 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / К. С. Муравин, Г. К. Муравин, Г. В. Дорофеев. - М. : Дрофа, 2012.

Размещено на Allbest.ru