С первых дней пребывания в школе дети сталкиваются с различными числовыми выражениями и учатся находить их числовое значение. Значительно меньше в школе уделяется внимание числовым равенствам и неравенствам, их свойствам, что сказывается при их обучении в старших классах. Поэтому учитель должен предлагать учащимся достаточное количество упражнений следующих видов.

1. Являются ли данные равенства верными:

10-3*2=2*2; 5+2*3=6+4?

2. Являются ли данные неравенства верными:

8-3 * 2<3 +4; 14: (5 + 2) >2 + 3 ?

3. Зная, что 2 + 3 = 10 : 2 и 4 +7 > & + 2, поставьте вместо звездочки знак " - ", " > ", " < ", не вычисляя значения числовых выражений, стоящих в правой и левой частях числовых равенств и неравенств:

(2 + 3) + 4 * 10 : 2 + 4 ; (2 + 3) - 4 *10 : 2 - 4 ;

(2 + 3) * 3 * (10 : 2) * 3 ; 4+7-3*8+2-3;

(4 + 7) * 2 * (8 + 2) * 2 .

VII. Выражение с переменными, его область определения

Если числовое выражение содержит и буквы, то мы имеем выражение с переменными. Например, 2а - 3 ; За + 2b с + 8 .

Выражение с переменными обычно обозначают так: f(х); А(b;с); В(х;у) Если в выражение с переменными подставить вместо букв их значения, то получится числовое выражение.Те значения переменной, при которых выражение с переменной имеет числовое значение, называется областью определения выражения с переменной. Например, областью определения выражения с переменной 2а - 3 на множестве действительных чисел является все множество действительных чисел, а на множестве натуральных чисел - натуральные числа, начиная с двух (если а = 1 , то 2 * 1 - 3 не является натуральным числом).

В начальных классах учитель обязан сформировать понятие о выражении с переменной и его области определения. Покажем на примерах, как это можно сделать.

Пример 1. Цель; сформировать у детей понимание необходимости введения в числовое выражение букв и представление об области определения выражения с переменной.

Учитель записывает на доске несколько числовых выражений: 1 + 2; 2+2; 3+2; 4+2. Затем он обращает внимание на то, что первое слагаемое меняется, а второе - нет. Поэтому, чтобы не продолжать ряд,

можно все эти выражения заменить одним П+ 2, где в окошечко можно подставить любое натуральное число. Учитель предлагает в окошечко подставить числа 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 и найти значение получившихся числовых выражений. Здесь область определения задана учителем.

Пример 2. Цель: научить учащихся самим находить область определения выражения с переменной.

Учитель спрашивает, какие числа можно подставить в следующие выражения: 8 - П; 3-2; П : 2; 5 - П : 3; П : 5 - 7. Дети подбором находят область определения каждого выражения с переменной.

Пример 3. Цель: научить учащихся находить область определения выражения с переменной в задачах.

Учитель предлагает следующую задачу. Сколько килограммов сахара, расфасованного в пакеты, принесли Коля и Оля, если в каждом пакете по два килограмма сахара?

Ученики записывают задачу в виде выражения 2а + 2b (или 2 * (а + b)), где а - количество пакетов, которые принес Коля, и b - количество пакетов, которые принесла Оля. Затем в ходе анализа задачи дети делают вывод, что Коля может нести не более 8 кг (от одного до четырех пакетов), а Оля - не более 6 кг (от одного до трех пакетов). Таким образом, ае{1;2;3;4} и

b е { 1; 2; 3}.

Задача имеет 12 решений, если перебрать все варианты наборов а и b .

VIII. Уравнения и неравенства, область определения, множество решений. Свойства уравнений и неравенств

Равенство (неравенство), содержащее неизвестное, называется уравнением (неравенством). Множество, элементы которого можно подставить в уравнение (неравенство) вместо неизвестного, называется областью определения уравнения (неравенства).

Те значения неизвестного из области определения, при которых уравнение (неравенство) обращается в верное числовое равенство (неравенство), называется корнями уравнения (множеством решения неравенств).

Если область определения уравнения (неравенства) не задана, то она совпадает с областью определения выражений, входящих в данное уравнение (неравенство). Например, областью определения уравнения (3 х2): х * 2 = 4 является множество (- °о; 0) U(0;оо).

Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если у них совпадают области определения и множества решений.

Например, уравнения (3 х2 ) : х - 2 = 4 (1) и 3 х - 2=4 (2) не равносильны, так как их области определения не совпадают. Уравнения Корень (2х - 1) 2 = х (3) и 2 х - 1 = х2 (4) не равносильны, хотя их области определения и совпадают, так как уравнение (3) имеет один корень (х = 1), а уравнение (4) - два корня (х = 1 ; х = 1).

При решении любого уравнения (неравенства) его заменяют более простым равносильным уравнением (неравенством). В начальных классах формируется следующие два основных свойства равносильных преобразований.

1. Если к обеим частям уравнения (неравенства) прибавить (вычесть) выражение, имеющее ту же область определения, что и данное уравнение (неравенство), то получим уравнение (неравенство) равносильное данному.

Например, уравнения Зх=2х+4 и 3х- 2х=4 равносильны.

2 а. Если обе части уравнения умножить на выражение, имеющее ту же область определения, и которое не обращается в нуль на этой области определения, то получим уравнение, равносильное данному.

Например уравнения (3 х - 1) * (х2 + 1) = 5 (х2 + 1) и 3х - 1=5 равносильны, а (3 х 1)* (х + 1) = 5 (х + 1) и 3 х - 1=5 не равносильны.

2 б. Если обе части неравенства умножить на выражение, имеющее ту же область определения и большее нуля на этой области определения, то получим неравенство, равносильное данному.

Например, неравенства (3 х - 1) * (х2 I) > (5 х2 1) и (3 х - 1) > 5 равносильны.

В начальных классах формируется понятие об уравнении и неравенстве, их области определения, множестве решений, равносильных преобразованиях. Покажем на примерах, как можно построить обучение по их формированию.

Пример 1. Ученикам предлагается записать с помощью уравнения решение такой задачи. Сколько детей взяло яблоки, если в вазе лежало 10 яблок и каждый из детей взял по 2 яблока и осталось в вазе два яблока?

Ученики записывают 10 - 2 х == 2 и определяют, что вместо "х" можно подставить числа 1, 2, 3, 4, 5 (находят область определения). Подбором они убеждаются, что х == 4 является корнем уравнения.

Пример 1. Для отработки умений находить область определения и множество решений неравенства учащимся можно предложить ответить на вопрос: "Какие числа можно подставить в неравенство 8 - х < 3 вместо "х" и при каких из них неравенство превращается в верное числовое неравенство?" (Вместо "х" можно взять любое число, которое меньше 9; при х = б ; 7 ; 8 получается верное числовое неравенство).

Пример 3. Для формирования понятий о равносильных уравнениях (неравенствах) и их свойствах ученикам можно предложить следующее задание.

Найдите область определения и множество решений неравенства 8 - х < 3 (1), Пользуясь неравенством (1), не решая неравенства 8-х+ 4 < 3 + 4 (2) и (8 - х) * 2 < 3 * 2 (3), найдите их области определения и множество решений.

IX. Функция: область определения, область значений, способы заданий.

Определение. Функцией называется такая зависимость переменной у от переменной X , при которой каждому значению х соответствует единственное значение у . Значения, которые может принимать х называются областью определения функции. Значения, которые принимает у называются областью значений функции.

Если функциональное соответствие задается на числовом множестве, то мы имеем числовую функцию.

Числовую функцию, как и любую другую, можно задать аналитически, парами, таблицей, графом, графиком на координатной плоскости. Например, функция у =2х-1 задана аналитически.

В начальных классах функция чаще всего задается словесно (в виде текста задачи) таблицей, выражением, парами.

В начальных классах учитель должен формировать у учащихся понятие об области определения функции, области значений функции, однозначности соответствия, способах задания функции.

Пример. Детям предлагается записать в виде выражения решение следующей задачи.

Сколько килограммов крупы, расфасованной в пакеты по 2 кг осталось перенести детям, если было 20 пакетов, и каждый ребенок берет один пакет?

Дети, записывая 20 - 2 X, учатся задавать функцию аналитически.

Для отработки умений находить область определения учитель предлагает найти наибольшее количество детей, которое необходимо для переноса крупы.

Для отработки умений находить область значений функции учитель предлагает ответить на вопрос задачи, если х = 1; 2; 3; ... ; 10. При этом ученики учатся задавать функцию парами и таблицей:

х	1	2	3		10
20-2х	18'	16	14		0

Для формирования понятия об однозначности функционального соответствия учитель задает вопрос: "Может ли остаться 10 кг крупы, если ее переносили трое ребят, шестеро ребят? "Аналогичная работа должна проводиться не только при решении различных задач, в том числе и задач на прямую и обратную пропорциональность, но и при изучении выражений с переменными.

2.3. Реализация основных положений опытно-экспериментальной методики.

Экспериментальная проверка основных положений данного исследования проводилась на базе учебно-воспитательного комплекса «Евпаторийская средняя общеобразовательная физико-математическая школа I - III ступеней № 6 - дошкольное учебное учреждение № 31 1-В (26 человек) и 1-Г(26 человек) классы. Во время экспериментального исследования анализировались полученные результаты, вносились необходимые коррективы.

Объект исследования - процесс формирования математических понятий у учащихся начальных классов.

Предмет исследования - организация учебной деятельности по формированию математических понятий с использованием умственного приема классификации у младших школьников.

Гипотеза исследования базируется на предположении о том, что систематическое и целенаправленное формирование и использование приема умственной деятельности классификации будет способствовать более глубокому и сознательному усвоению математических понятий младшими школьниками.

Цель исследования - заключается в обосновании и реализации методики формирования системы математических понятий у младших школьников с использованием приема классификации.

Экспериментальное исследование состояло из констатирующего, аналитико-поискового, формирующего и заключительного этапов.

Цель констатирующего этапа эксперимента состояла в выяснении уровня сформированности математических понятий у младших школьников.

Для реализации методики были подготовлены соответствующие дидактические материалы и методические указания.

На констатирующем этапе исследования в экспериментальном 1-В и контрольном 1 - Г классах с целью определения уровня сформированности понятий у младших школьников было проведено тестирование, по переработанной методике Л. С. Выготского.

По методике Л. С. Выготского

Тест № 1

Задание состоит в следующем: школьнику показывали одну фигуру (№5) красного цвета, определенной формы (экспериментальное понятие гацун), и просили ее запомнить. После этого фигура - образец убиралась, и перед ребенком выкладывался набор из 16 фигур (см. Приложение А рис.1) отличающихся по форме (2 вида), по цвету (красный и зеленый), по величине (2 варианта), и ребенку предлагалось выбрать ту фигуру, которую ему показывали. Время проведения - 5 минут.

В правильности ответа ученик мог убедиться, перевернув фигуру (отмечена +), при неправильном ответе он должен объяснить, почему это не та фигура.

Тест № 2

«Найди прямоугольник»

Задание состоит в следующем: на столе выкладываются четырехугольники (см. Приложение А, рис. 3), ученик должен выбрать из них все прямоугольники (подвести под понятие прямоугольник), которые для сложности были разных вариантов: в форме полоски, положены на высоту, а так же в том виде, к которому школьники уже привыкли. Время - проведения 5 минут.

Эти экспериментальные задания помогали изучить такие особенности учащихся, как умение отвлекаться от несущественных признаков единичных предметов, одновременный анализ предметов по нескольким признакам (основаниям), умение соблюсти координацию объема и содержания классифицируемых классов объектов, удерживать в сознании определение понятия (как совокупность существенных признаков).

По результатам методики были определены три уровня сформированности у детей математических понятий: низкий, средний и высокий.

Первый (самый низкий) уровень выполнения подведения под понятие опирается на односторонний элементарный анализ, на классификацию, или носящую глобально-недифференцированный характер, или опирающуюся только на один признак, не могут определить даже два признака для экспериментального понятия, и поэтому делают множество ошибочных выборов, попеременно ориентируясь то на цвет, то на форму. Эти дети не удерживают положительное и отрицательное подкрепление, в результате чего не могут осуществить классификацию по заданным признакам, подвести под понятие.

Для второго уровня характерно то, что подведение под понятие проходит с опорой на классификацию, которая уже дифференцирована, но осуществляется не сразу, а в результате упражнений. Ученики на этом уровне не способны увидеть связь между подкрепленными признаками, анализ ведется то по одному (форма), то по другому (цвет) признаку, они возвращаются к неподкрепленным признакам и не могут удержать все подкрепленные. Между подкрепленными признаками не могут установить связь. Эти дети способны осуществить классификацию, подвести под понятие, но лишь допустив несколько ошибочных выборов.

Третий уровень основывается на всестороннем анализе и синтезе, классификация проходит по всем заданным основаниям, ученики устанавливают как положительные, так и отрицательные связи, прочно удерживают подкрепленные признаки и отбрасывают неподкрепленные, не возвращаясь к ним, таким образом, подводят под понятие. Характерно то, что при выборе фигурок ученики с этим уровнем владения приемом классификация пытаются формулировать в словах те признаки (основания), на которые надо опираться при подведении под понятие. За выполнение задания на третьем уровне начислялось 2 балла, на втором - 1 балл, на первом - баллов не начислялось.

Результаты эксперимента приведены в таблице (табл. 2.1 и 2.2), они дают основание считать, что для каждого ученика характерен определенный уровень сформированности математических понятий и приема классификации, а также необходимости работы по их формированию.

Таблица 2.1

Результаты констатирующего эксперимента (1 - Г).

№	Фамилия, имя учащихся	Уровень сформированности понятий
1	Андронова Анастасия	II
2	Андросюк Дмитрий	II
3	Атемов Разим	I
4	Бабешко Татьяна	I
5	Боймистрюк Роман	I
6	Болик Георг	III
7	Васильева Людмила	II
8	Вашкевич Наталья	II
9	Воропаев Вова	II
10	Данилов Никита	II
11	Дашкова Валентина	I
12	Дорогин Иван	II
13	Андронова Анастасия	II
14	Андросюк Дмитрий	II
15	Атемов Разим	I
16	Бабешко Татьяна	I
17	Боймистрюк Роман	I
18	Болик Георг	III
19	Васильева Людмила	II
20	Вашкевич Наталья	II
21	Воропаев Вова	II
22	Данилов Никита	II
23	Дашкова Валентина	I
24	Дорогин Иван	II
25	Дубровина Оксана	I
26	Яблоненко Саша	I

Из 26 учащихся в контрольном классе низкий уровень сформированности понятий показало 10 учеников (39 %), средний - 12 (46 %), высокий - 4 (15 %) .

Таблица 2.2

Результаты констатирующего эксперимента (1 - В).

№	Фамилия, имя учащихся	Уровень сформированности понятий
1	Абляметова Эльнара	II
2	Аджи-Аметов Эскандер	II
3	Алексеева Валерия	II
4	Боков Ахмед	III
5	Боков Тимур	I
6	Бутенко Сергей	II
7	Васильев Михаил	III
8	Галкина Татьяна	II
9	Голуб Дарья	I
10	Загоруй Алексей	I
11	Иванщик Ирина	II
12	Кириченко Александр	II
13	Кенджаев Элемдар	III
14	Корягин Всеволод	II
15	Котеленец Вячеслав	I
16 17	Никитин Никита Незамаев Иван	I I
18	Мартыненко Тамила	I
20	Маслюк Дарья	II
20	Салмина Ксения	II
21	Соловьев Юрий	II
22	Сейдаметова Кериме	III
23	Таранщук Илья	III
24	Толосиенко Тимофей	I
25	Яблонева Виктория	I
26	Яценко Станислав	II

Из 26 учащихся в экспериментальном классе низкий уровень сформированности понятий показало 9 учеников (35 %), средний - 12 (46 %), высокий - 5 (19 %).

Своеобразие выполнения задания на первом уровне можно раскрыть на примере Тамила М.

После показа образца Тамила берет первую зеленую фигуру, по форме соответствующую образцу, выделив, таким образом, первый существенный признак - форму. Увидев после перевертывания фигурки, что знака «+» на ней нет (т. е. получив отрицательное подкрепление), девочка выбирает фигурку другой формы зеленого цвета. После этого она случайно взяла нужную фигурку (гацун), но при следующем выборе опять-таки приняла во внимание только один признак (цвет) - выбрала красную фигурку, которая по форме была похожа на образец.

И в дальнейшем Тамила не могла объединить два признака, характерные фигуре-образцу, и в силу этого делала множество ошибочных выборов, попеременно ориентируясь то на цвет, то на форму. Результаты выполнения задания Тамила выглядели в виде выбора следующих фигурок: № 6, 8, 5, 11, 9, 14,2, 10, 15, 1, 12, 13, 3. Процесс выбора у Тамилы затянулся потому, что она не реагировала на положительное и отрицательное подкрепление, не удерживала их памяти в процессе решения задачи. В результате Тамила не смогла подвести под понятие гацун.

При выполнении задания теста «Найди прямоугольник» Таня правильно определила, что такое прямоугольник, однако не руководствовалась этим определением, а фактически опиралась на общее впечатление от формы фигур.

В результате вместо 12 прямоугольников эта ученица выбрала только 7, она не выбирала прямоугольники, которые по соотношению сторон резко отличались от прямоугольных фигур, обычно демонстрируемых в классе ( она не взяла прямоугольные фигурки, узкие, длинные и короткие). В то же время Таня ошибочно отнесла к группе прямоугольников 4 квадрата и ромб, опять руководствуясь общим впечатлением от внешнего вида.

Таковы особенности выполнения заданий, на основании которых был установлен первый уровень сформированности понятий.

Типичным представителем группы учащихся, обнаруживших при прохождении теста второй уровень сформированности понятий, является Сережа Б.

Сначала Сереже выбрал фигурку зеленого цвета, имеющую форму образца, затем красную, но другой формы. Не получив подкрепления, Сережа продолжил поиски, и следующую фигурку он выбрал фигуру-образец (гацун), однако не увидел связи между подкрепленными признаками, а поэтому анализ продолжал вести то по одному (форма), то по другому (цвет) основанию, возвращаюсь к неподкрепленным признакам и удерживая не все подкрепленные.

На пятой пробе он выбрал зеленую фигурку формы-образца и снова, получив отрицательное подкрепление, стал анализировать выбранные фигурки: «Последняя не та фигура, потому что она зеленая, четвертая не та фигура, потому что она без крыши, а третья та. А, я знаю - это должна быть фигурка красного цвета и с крышей». Выполнил Сережа задание так: №10, 7, 5, 11, 12,9 (см. рис. 2).

Можно сказать, что этот ученик сумел подвести под понятие, однако допустил несколько ошибочных выборов, так как не сразу установил основания классификации.

Задание теста «Найди прямоугольник» Сереже выполнил более успешно, чем Тамила. Он руководствовался не только общим впечатлением от формы фигур, но и существенными признаками (наличие 4 прямых углов, и правильное соотношение сторон). Однако Сережа не увидел существенные признаки в узких и длинных прямоугольниках: «Эти фигурки как полоски, они не прямоугольники», - заявил Сережа. Из 12 прямоугольников он выбрал 10, не взяв при этом ни одной сходной фигуры (квадрат, ромб).

Своеобразие выполнения задания на третьем уровне можно раскрыть на примере Кериме С.

Приступив к выполнению задания, Кериме прежде всего отметила, что есть фигурки разные по форме, по цвету и величине. Первую фигуру она взяла гацун, но приняла во внимание, по-видимому, не все основания по которым должно проходить подведение под понятие, так как вторую фигурку точно такой же формы и величины, но зеленого цвета.

Получив отрицательное подкрепление (не гацун), Кериме задумалась и стала сравнивать выбранные фигурки по трем признакам (форме, величине и цвету): «Формой они одинаковые, как домики, величиной тоже, только цветом разные, знак «+» поставлен на красной фигурке, значит, надо выбирать красные. Ой, я теперь знаю, это фигуры красные с крышечкой, разные по величине». После этого она уверенно выбрала все нужные фигурки. Результат решения у Кериме выглядел так: №5, 12, 4, 8, 10.

Таким образом, Кериме самостоятельно сформулировала экспериментальное понятие «галун», подчиняя процесс мышления поставленной задаче.

При выполнении задания теста «Найди прямоугольник» Кериме успешно применила определение понятия «прямоугольник», это было обусловлено, умением Кериме удерживать комплекс существенных признаков прямоугольника (данных в определении) и при выборе конкретной фигур она ими руководствовалась. Она отвлекалась от несущественных признаков (величины, соотношения длины и стороны сторон). Дав определение, она быстро и правильно отобрала все прямоугольники, при чем неодинаковый внешний вид не мешал процессу подведения под понятие.

По результатам данной диагностики можно сделать вывод о необходимости и значимости формирования у младших школьников математических понятий с использованием умственного приема классификации, разработки системы заданий, как средства организации учебно-познавательной деятельности школьников, направленных на формирование математических понятий.

На аналитико-поисковом этапе эксперимента была изучена педагогическая, методическая литература по проблеме формирования математических понятий у младших школьников, обобщен опыт, внесены коррективы.

На следующем этапе исследования проводился формирующий эксперимент, цель которого - установить влияние умственного приема классификации на формирование математических понятий у младших школьников.

При этом мы исходим из общей рабочей гипотезы исследования, которая заключается в том, что систематическое и целенаправленное формирование и использование приема умственной деятельности классификации будет способствовать более глубокому и сознательному усвоению математических понятий младшими школьниками. Основными задачами работы по формированию математических понятий у младших школьников является выявить влияние обучения школьников умственному приему классификации на формирование математических понятий; определить условия эффективного формирования математических понятий в процессе решения заданий с применением умственного приема классификации.

Формирующий эксперимент осуществлялся на базе учебно-воспитательного комплекса «Евпаторийская средняя общеобразовательная физико-математическая школа I - III ступеней № 6 - дошкольное учебное учреждение № 31 в период прохождения преддипломной практики с14 января по 5 марта 2004 года.

При формировании у младших школьников математических понятий с опорой на умственный прием классификации были выявлены трудности, которые необходимо учитывать. Они состояли в следующем:

- овладение умственным приемом классификации требует выработки определенных действий (определение цели классификации, выбор основания, деление по этому основанию множества понятий на непересекающиеся подмножества);

овладение математическими понятиями требует не только воспроизведения определения, но применения его на практике. Для успешного усвоения математических понятий ученик должен пройти все необходимые этапы усвоения:

- мотивационный (постановка проблемы);

- составления схемы (показ процесса решения);

- наглядная фиксация (составление схем, опор);

- работа по схемам (работа с моделями, предметами);

- работа с описаниями.

Ученики далеко не всегда смогут сразу запом-нить все звенья введенных знаний и все условия для подведение объекта под понятие. Вот почему их работа должна сопровождаться внешней, наглядной фиксацией зна-ний и формируемой деятельности.

1. Признаки прямоугольника:

1) четырех угольник;

2) параллельные стороны равны;

3) прямой угол.

2. Логическое правило работы с признаками:

1) Если все признаки «+», ответ «+».

+

+ +

+

2) Если хотя бы один признак «-», ответ «-».

а) 1. + б) 1. ?

2. + ? 2. - -

3. - 3. +

3) Если хотя бы один признак «?» и нет признаков «-», ответ будет «?».

+

? ?

+

3. Предписание по выполнению задания:

Прочтите задание.

Выделите условие и вопрос задания.

Прочтите первый признак понятия.

Проверьте, есть ли он у данного объекта.

Отметьте результат с помощью знаков «+», «-», «?».

Проделайте то же самое с последующими призна-ками.

Сравните полученные результаты с логическим правилом.

8) Запишите ответ с помощью «+», «-», «?».

При этом важно, чтобы все используемые характеристики были зафиксированы, четко выделены и в дальнейшем находи-лись в распоряжении учащихся. Для этого используется доска, различные таблицы, памятки. Например:

Таблица 2.3

Существенные признаки фигур	Понятия
	Бат	Дек	Роц	Муп
Площадь основания
Высота

Логическая схема распознавания

Таблица 2.4

Площадь основания	+	+	-	-	+	?	-	?	?
Высота	+	-	+	-	?	+	?	-	?
Ответ	+	-	-	-	?	*	-	-	?

В результате работы над этими заданиями учащиеся не только запомнят без специального заучивания признаки понятия и логическое правило подведения под понятие, но и научатся правильно применять то и другое, т.е. освоят один из логических приемов работы с понятиями. Дети сразу усваивают целую систему понятий, в данном случае - искусственных (бат, дек, роц, муп), которые были рассмотрены нами при анализе обобщенности действия. Каждое понятие характеризуется двумя существенными признаками: величина площади основания и высоты. Дети имеют мерки, по которым определяют, большая или маленькая площадь (высота). Меркой для площади служит монетка. Если фигурка умещается на монетку, значит, «донышко» (основание) маленькое, если не умещается - «донышко» большое. Эталоном высоты служит спичка: если «рост» меньше или равен спичке -фигурка низкая, у нее «маленький рост»; если высота превосходит спичку - высокая, у нее «большой рост».

Во второй таблице представлено логическое правило распознавания в развернутом виде, где предусмотрены все сочетания признаков, с которыми встретится ребенок в процессе работы.

Слишком долго задерживать учащихся на этапе внешних практических действий не следует. Как только они научились их выполнять правильно, надо действия переводить в теоретическую форму: учить обучаемых оперировать признаками понятия и логическим правилом без опоры на внешние предметы. Теперь ученики называют признаки по памяти. Для анализа им теперь уже даются не предметы и модели, а их описания. Так, если мы продолжим работу с понятием прямоугольник, то на этапе внешнеречевых действий учащимся можно предложить задания такого типа: «Дан четырехугольник с равными параллельными сторонами. Будет ли эта фигура прямоугольником?» К задаче не дается ни чертежа, ни модели. Учащиеся учатся теперь анализировать словесные условия. Они читают (или слушают) и выделяют то, что касается первого признака. Если задание дано в письменном виде, то учащиеся должны подчеркнуть слово «четырехугольник» и поставить знак того, что первый признак имеется: «1. +». Таким же образом идет работа со вторым признаком. После этого учащиеся определяют, что же у них получилось: первый признак есть, второй признак так же известен, «2. +». Третий признак не известен. «3. ?»

Результаты работы с признаками фиксируются обычно на бумаге, но могут и просто называться. Для оценки полученных результатов учащиеся теперь уже вспоминают логическое правило подведения, доказывают верность своего ответа. При этом они все время опираются именно на те свойства предметов, которые существенны для понятия. При таком обучении у всех учащихся формируется умение выделять в предметах существенные свойства и на их основе решать, подходят предметы под данное понятие или не подходят.

Для эффективного формирования математических понятий необходима специально организованная работа над умственным приемом классификации, которая составляет внутреннюю структуру понятия, его механизм, это позволит обеспечить успешность овладения ими.

Цель итогового эксперимента: исследовать влияние предложенной системы работы на уровень сформированности математических понятий с использованием умственного приема классификации в экспериментальном (1-В) и контрольном (1-Г) классе.

С целью выявления уровня сформированности математических понятий учащимся 1-В (экспериментального) и 1-Г (контрольного) классов была предложена методика Л. С. Выготского с измененными заданиями.

Тест № 1

Задание состоит в следующем: школьнику показывали одну фигуру (№6) зеленого цвета, определенной формы (экспериментальное понятие нат), и просили ее запомнить. После этого фигура - образец убиралась, и перед ребенком выкладывался набор из 16 фигур (см. Приложение А рис.1) отличающихся по форме (2 вида), по цвету (красный и зеленый), по величине (2 варианта), и ребенку предлагалось выбрать ту фигуру, которую ему показывали. Время проведения - 5 минут.

В правильности ответа ученик мог убедиться, перевернув фигуру (отмечена +), при неправильном ответе он должен объяснить, почему это не та фигура.

Тест № 2

«Найди прямоугольник»

Задание состоит в следующем: на столе выкладываются четырехугольники (см. Приложение А рис. 2), ученик должен выбрать из них все квадраты(подвести под понятие квадрат), которые для сложности были разных вариантов: разного цвета, размера. Время - проведения 5 минут.

Результаты эксперимента приведены в таблицах 2.5 и 2.6.

Таблица 2.5

Результаты итогового эксперимента (1 - Г).

№	Фамилия, имя учащихся	Уровень сформированности понятий
1	Андронова Анастасия	II
2	Андросюк Дмитрий	II
3	Атемов Разим	I
4	Бабешко Татьяна	II
5	Боймистрюк Роман	I
6	Болик Георг	III
7	Васильева Людмила	II
8	Вашкевич Наталья	II
9	Воропаев Владимир	II
10	Данилов Никита	II
11	Дашкова Валентина	I
12	Дорогин Иван	II
13	Дубровина Оксана	I
14	Злобин Сергей	III
15	Калинина Дарья	II
16	Красик Алла	II
17	Колмыкова Алена	III
18	Лысак Юрий	I
19	Ляшок Дарья	II
20	Менаджиева Венера	I
21	Сосько Рита	II
22	Сейдаметова Ленара	II
23	Филлипова Софья	II
24	Эмиросанов Эльдар	I
25	Эмирометова Фарида	I
26	Яблоненко Александр	I

Таблица 2.6

Результаты итогового эксперимента (1 - В).

№	Фамилия, имя учащихся	Уровень сформированности понятий
1	Абляметова Эльнара	II
2	Аджи-Аметов Эскандер	II
3	Алексеева Валерия	II
4	Боков Ахмед	III
5	Боков Тимур	I
6	Бутенко Сергей	III
7	Васильев Михаил	II
8	Галкина татьяна	II
9	Голуб Дарья	I
10	Загоруй Алексей	II
11	Иванщик Ирина	II
12	Кириченко Александр	II
13	Кенджаев Элемдар	III
14	Корягин Всеволод	III
15	Котеленец Вячеслав	I
16	Никитин Никита	II
17	Незамаев Иван	II
18	Мартыненко Тамила	II
19	Маслюк Дарья	II
20	Салмина Ксения	II
21	Соловьев Юрий	III
22	Сейдаметова Кериме	III
23	Таранщук Илья	I
24	Толосиенко Тимофей	I
25	Яблонева Виктория	II
26	Яценко Станислав	II

В результате было установлено, что уровень сформированности математических понятий в 1-В (экспериментальный) классе следующий: низкий уровень показало 6 учеников (23 %), средний - 14 (54%), высокий - 6 (23 %); в 1 - Г (контрольный) классе: низкий уровень сформированности понятий показало 9 учеников (35 %), средний - 13 (50 %), высокий - 4 (15 %).Таким образом, проанализировав полученные результаты в контрольном и экспериментальном классах, мы можем убедиться в эффективности предложенной системы. Полученные данные наглядно представлены и в графиках 2.1. - 2.3., они позволяют судить о динамике формирования математических понятий с использованием умственного приема классификации.

ЗАКЛЮЧЕНИЯ И ВЫВОДЫ

1. Во время работы над дипломным проектом было изучено состояние данной проблемы и выявлено следующее: в психолого-педагогической теории большое внимание уделяется математическим понятиям и приемам умственной деятельности, однако конкретной программы работы над умственными приемами, которые должны быть сформированы при изучении данного предмета нет, поэтому работа над развитием логического мышления школьников идет без знания системы необходимых приемов. Образование и становление понятий - сложный процесс, в котором применяются такие приемы умственной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, абстрагирование. Таким образом, эти приемы составляют внутреннюю структуру понятия, его механизм и не овладев ими учащиеся испытывают трудности в усвоении системы математических понятий.

2. В начальных классах впервые каждое понятие вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического оперирования. Учитель опирается на знание и опыт детей, которые они приобрели еще в дошкольном возрасте. Ознакомления с математическими понятиями фиксируется с помощью термина или термина и символа. Математические понятия служат опорным моментом в познании действительности и являются своеобразным итогом познания. Поэтому понятия являются одной из главных составляющих в со-держании любого учебного предмета начальной школы, в том числе - и математики. Понятийное мышление формируется в начальных классах и раскрывается, совершенствуется в течение всей жизни.

3. При формировании математических понятий у младших школьников необходимо соблюдать следующие методические требования:

работа должна вестись целенаправленно и осознанно, в основе которой должны лежать принципы системности и последовательности;

необходим учет характера изучаемого материала и сравниваемых объектов;

учет возрастных, индивидуальных особенностей учеников, уровня их развития.

4. Понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях. В организации учебной деятельности младших школьников в процессе формирования математических понятий особую роль играет прием классификации. Этот прием умственной деятельности является средством упорядочения изучаемых объектов, установления закономерных связей между ними. Именно в этом случае классификация выявляет существенные сходства и различия между предметами. Классификация основывается на способности видеть общее в каждом конкретном единичном случае и преследует цель уточнить, обобщить знание о связях и отношениях между изучаемыми объектами. Применение приема классификация на уроках позволяет существенно расширить имеющиеся в практике приемы работы.

5. Было выявлено три уровня владения младшими школьниками математическими понятиями: низкий, средний и высокий. В процессе опытно-экспериментальной части было установлено, что систематическое и целенаправленное формирование и использование приема умственной деятельности классификации способствует глубокому и сознательному усвоению математических понятий младшими школьниками.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Державна національна доктрина. Затв. Указом Президента України від 17 квітня 2002 р. № 347 // Освіта, - 2002. - № 26.

2. Державна національна програма «Освіта. Україна XXI століття”. Затв. постановою Кабінету Міністрів України від 3 грудня 1993, № 896 // Освіта, - 1993. - № 44-46.

3. Державний стандарт початкової загальної освіти. Затв. постановою Кабінету Міністрів України від 16.11.2000р. №1717// Поч. школа. - 2001. - № 1. - С. 28.

4. Слєпкань З.І., Шкіль М.І., Дороговцев А.Я. та ін. Концепція базової математичної освіти в Україні.- К.: Мін. осв. України, Інститут системних досліджень, 1993. - 31 с.

5. Аверьянов А.Н. Системное познание мира: Методологические проблемы. - М.: Политиздат, 1985. - 263 с.

6. Актуальные проблемы начального обучения математики в начальных классах / Моро М.И., Пышкало А.М. и др. - М.: Педагогика, 1977.- 247 с.

7. Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса. - М.: Просвещение, 1982. - 192 с.

8. Бертон В.А. Принципы обучения и его организация. - М.:Учпедгиз, 1934с.

9. Белоколонна Н. В. Iнтелактуальний розвиток школярiв на уроках мови. // Початкова школа - 1998. - № 1 .

10. Богданович М. Определение математических понятий //«Початкова школа» 2001 № 4.

11. Богоявленский Д.Б., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - 347 с.

12. Бирюкова Л.А. Прием классификации при обучении математике. //Начальная школа 1998 № 5.

13. Богданович М.В. Методика розв'язування задач у початковій школі: Навч. посібник.-К.: Вища школа, 1990. - 183 с.

14. Богданович М.В., Кочина Л.П. Математика: Підручник для 1 кл. чотирирічної школи. - К.: Освіта, 1997.- 216 с.

15. Богданович М.В., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики в початкових класах: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 1998.- 352 с.

16. Богданович М.В. Математика: Підручник для 3 кл. трирічної і 4 кл. чотирирічної початкової школи. - К.: Освіта, 1998.- 240 с.

17. Богданович М.В. Математика: Підручник для 1 кл. трирічної і 2 кл. чотирирічної початкової школи. - К.: Освіта, 1999.- 208 с.

18. Богданович М.В. Математика: Підручник для 2 кл. трирічної і 3 кл. чотирирічної початкової школи. - К.: Освіта, 1999.- 224 с.

19. Богданович М.В. Определение математических понятий //Начальная школа 2001. - № 4 .

20. Васильева М.И. Математика и конструирование // Начальная школа. - 2000. - № 7.

21. Выготский Л.С. Умственное развитие детей в процессе обучения: Сборник статей. - М.-Л.: Гос. учеб.-пед. изд., 1935. - 133 с.

22. Глузман Н. А. Формирование обобщенных приемов умственной деятельности у младших школьников. - Ялта: КГГИ, 2001. - 34 с.

23. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. - М.: Изд-во МГУ, 1985. - 45 с.

24. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. - М. Педагогика 1986 - 240 с.

25. Возрастная и педагогическая психология: Учебник для студентов педагогических институтов // Под ред. Петровского А.В. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Просвещение, 1979. - 288 с.

26. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. - М.: Педагогика, 1972. - 423 с.

27. Дрозд В.Л. Урбан М.А. От маленьких проблем - к большим открытиям. //Начальная школа. - 2000. - № 5.

28. Дубровська Д. М. Основи психологii. - Львiв: Спалах. - 2001.-324 с.

29. Жабо Т. О. Iнтелектуальний розвиток молодших школярiв в процессi навчання математики. // Початкова школа - 1998. - № 7 .

30. Закон України «Про внесення змін і доповнень до Закону Української РСР «Про освіту». - К.: Генеза. - 1996.

31. Иванова Л.Г. Овладение обобщенными образами и использование их учащимися в решении учебных задач // Вопросы психологии. - 1980.-№ 2.-С.118-121.

32. Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах: Пособие для учителей. М. - Просвещение 1985 - 65с.

33. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений. - 2-е изд., испр. - М.: Академия, 1998. - 288 с.

34. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. - М.: Просвещение, 1968. - 288 с.

35. Концепція загальної середньої освіти як базової в єдиній системі неперервної освіти. - К.: МО України, 1992. - 177 с.

36. Кочина Л.П. Математика в 1 кл. 4-х лет. нач. шк.: Методич. пособие. - К.: Рад. школа, 1986. - 144 с.

37. Кочина Л.П. Математика во 2 кл. 4-х лет. нач. шк.: Методич. пособие. - К.: Рад. школа, 1986. - 173 с.

38. Кочина Л. П. Математика: Підручник для 1кл. трьорічної почат.школи.- К.: Спалах ЛТД, 1996. - 192 с.

39. Краткий психологический словарь// Сост Карпенко Л. А.; Под общ. ред Петровского А. В., Ярошевского М. Г. - М.: Политиздат, 1985. - 431 с.

40. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968. - 431 с.

41. Логачевська С. В., Каганець Т. Р. Iндивiдуалiзацiя заданiй на етапi закрiплення знань по математицi //Початкова школа - 1998. - № 4. - с.17.

42. Логика: Курс лекций //Ерышев А. А., Лукашевич Н. П., Сластенко Е. Ф. - 3-е изд., перераб. и доп. - К.: МАУП, 2000. - 184 с.]

43. Немов Р. С. Психология: Учеб. для студ. пед. вузов: В 3 кн. - 3-е изд. - М.: Гуманит. изд. Центр ВЛАДОС,1999. - Кн. 1.

44. Немов Р. С. Психология: Учеб. для студ. пед. вузов: В 3 кн. - 3-е изд. - М.: Гуманит. изд. Центр ВЛАДОС,1999. - Кн. 3.

45. Максименко С. Д. Общая психология. - К. : Вакляр 2001. - 235с.

46. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в школе. Кн. для учителей. - М.: Просвещение, 1977. - 240 с.

47. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника: Избранные психологические труды - М.: Педагогика, 1989. - 224 с.

48. Митник О. К. Математична логiка як навчальний предмет // Початкова школа. - 1998. - № 2 .

49. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах: Пособие для учителя. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1978. - 336 с.

50. Моро М.И. и др. Математика: Учебник для 1 кл. трехлет. нач. шк./Моро М.И., Бантова М.А., Бетлюкова Г.В. -М.: Просвещение, 1990. - 176 с.

51. Осинская В.Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике: Кн. для учителя. - К.: Рад. школа, 1989. - 192 с. Паламарчук В.Ф. Школа учит мыслить. - 2-е изд., доп. и перераб.- М.: Просвещение, 1987. - 20.

52. Подгорецкая Н.А. Изучение приемов логического мышления у взрослых. - М.: Изд-во МГУ, 1980. - 147 с.

53. Практическая логика: Учебное пособие / Ивин А. А. - М.: ФАИР - ПРЕСС, 2002. - 288с

54. Рубинштейн С.А. О мышлении и путях его исследования. - М.: Изд - во АН СССР, 1958. - 148 с.

55. Рубиншнейн С.Л. Проблемы общей психологии. - М.: Педагогика, 1973. - 369 с.

56. Рубиншнейн С.Л. Основы общей психологии. - Санкт-Петербург -2000. - 348с.

57. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. - К.: Радянська школа, 1983. - 193 с.

58. Столяр А.А. Методика начального обучения математики.- Минск: Высшая школа, 1986. - 253 с.

59. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология: Учеб. для студентов сред. пед. учеб. заведения. - 2-е изд., стереотип. - М.: Академия, 1998. - 288 с.

60. Трофимова Ю. Л. Психология. -К.: Либидь, 2001. - 325с.

61. Философский словарь //Под ред. И. Т. Фролов. - 5-е изд. - М.: Политиздат, 1987. -590 с.

62. Фокина С.Л. Формирование обобщенных познавательных умений и их влияние на развитие познавательных интересов учащихся: Автореф. дис... канд. пед. наук / ЛГУ. - Л., 1977. - 20 с.

63. Якиманская И.С. Знания и мышление школьника. - М.: Знание, 1985. - 80 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Раздаточный материал к методике.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Тесты на сформированность математических понятий.

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Игры на формирование у учащихся начальных классов математических понятий и умственного приема классификация.

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Комплекс заданий на формирование математических понятий и умственного приема классификации.

ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Статья по проблеме исследования

ПРИЛОЖЕНИЕ Е. Самостоятельная работа

Приложение А

Раздаточный материал к методике

К тесту № 1

1 2 3 4

5 6 7 8

8 9 10 11

12 13 14 15

Рис. 1

К тесту № 2

Рис. 2

Приложение Б

Методика «Классификация понятий»

Выявляются такие особенности мышления, как способность выделять существенные признаки (для объединения карточек в группы) и уровень обобщения доступный школьнику.

Ход выполнения задания.

Задание проходит в три этапа с тремя последовательными инструкциями. Испытуемому дается набор карточек с напечатанными на них словами.

Первый этап процедуры начинается при так называемой «глухой» инструкции: «Разложи карточки так, чтобы слова, которые подходят друг другу, оказались в одной группе». Количество возможных групп не оговаривается. В случае, если испытуемый задает вопросы, прежде чем приступить к выполнению задания, ему говорят: «Начинай, дальше увидишь сам».

После того, как испытуемый самостоятельно сформировал несколько мелких групп карточек, у него спрашивают, почему, те или иные, карточки помещаются вместе и какое название им дается. Затем происходит период переход ко второму этапу.

Инструкция на втором этапе звучит так: «Ты верно объединил карточки в группы. Дай теперь этим группам короткие названия. Продолжай работать таким же образом».

После того, как все карточки оказались помещенными в группы и всем группам даны короткие названия, экспериментатор переходит к третьему этапу методики. Дается следующая инструкция: «Точно так же, как ты объединял карточку с карточкой, объедини теперь группу с группой, не перекладывая отдельных карточек. Они также должны иметь короткие названия». Если испытуемый на этом этапе формирует больше, чем три группы, ему предлагается сформировать из оставшихся две - три основные. В протоколе фиксируются этапы выполнения работы, названия групп и карточки в них, а также ответы и вопросы испытуемого.

При анализе результатов большое значение имеет то, на каком этапе допущены те или иные ошибки; отстаивал ли он свои принципы объединения карточек в группы, использовал ли помощь экспериментатора, какие еще особенности мышления проявлял в классификации. Так, если испытуемый на втором этапе сформировал отдельные группы диких, домашних, водоплавающих, летающих животных и отказался объединить эти группы в одну, то это свидетельствует о степени использования конкретных, детализированных признаков в направленности его мышления. Если подобные объединения проходили легко, самостоятельно, без указания экспериментатора на необходимость укрупнения групп, то это можно квалифицировать как достигнутый уровень обобщения мышления, способности испытуемого ориентироваться не только на существенные признаки, но учитывать их иерархии, то есть использовать существенные связи между понятиями. Показателем этого является степень затруднений или легкости в поиске обобщающих понятий, которые фиксируют основания классификации карточек в группы.

Если на третьем этапе выполнения методики испытуемый легко объединял группы и адекватно называл обобщающие признаки, то есть основание считать, что мышление его характеризуется использованием обобщенных ориентиров и протекает на категориальном уровне.

Кроме того, анализ поведения школьника в ходе исследования позволяет говорить о наличии или отсутствии у него внушаемости, эмоциональной устойчивости. Эти предположения проверяются с помощью навязывания испытуемому неадекватных оснований для объединения групп, дискретизации экспериментатором тактики работы испытуемого или похвалы при ошибках.

Материал к методике.

Телевизор, рубль, яблоня, светлячок, прожектор, свеча, керосиновая лампа, электролампа, фонарь, сантиметр, весы, часы, грузовик, самолет, термометр, радиоприемник, лев, тигр, слон, скворец, карп, голубь, гусь, ласточка, муравей, муха пианино, скрипка, кит, клоп, огурец, капуста, свекла, лук, лимон, груша, яблоко, примус, велосипед, платье, кукла, тюльпан, компас, ботинки, тетрадь, пароход, телега, барабан, мяч, портфель, глобус, электродуховка, колесо, сазан (рыба), книга, кровать, овощехранилище, щипцы, топор, ножницы, молоток, пила, моряк, уборщица, доктор, ребенок, футболист, солнце, медведь, луна, электроплита, град, подушка, шкаф, одеяло, буфет, дождь, роза, матрац, стакан, сосна, шапка, снег, юла, ложка, вилка, тарелка.

Образец протокола.

Испытуемый Дата

Инструкция экспериментатора	Действия испытуемого	Высказывания испытуемого
I этап
II этап
III этап

Методика «Формирование понятий»

Методика представляет набор плоскостных фигур - квадратов, треугольников, кругов - трех разных цветов (красный, синий, желтый) и трех различных размеров (рис.3). Признаки этих фигур: форма, цвет и величина - вместе образуют трехбуквенные искусственные понятия, не имеющие смысла на родном языке. В данном эксперименте использованы следующие искусственные понятия:

Понятия с одним признаком:

Биг - круглый, каб - большой, сур - красный, цен - треугольный, бос - квадратный, див - средний, лаг - зеленый, гур - маленький.

Понятия с двумя признаками: Дис - красный и большой, буд - зеленый и большой, вар - желтый и маленький, роз желтый и большой, веч - зеленый и маленький, кир - красный и средний по размеру, зум - желтый и средний по размеру, куд - зеленый и средний по размеру, сим - красный и маленький.

Понятия с тремя признаками:

Мук - красный, треугольный маленький, чар - красный, круглый, средний, бек - красный, квадратный, большой, вич - зеленый треугольный, маленький, сев - зеленый, круглый, средний, бал - зеленый, квадратный, большой, нур - желтый, треугольный, маленький, гон - желтый, круглый, средний, сов - желтый, средний, круглый.

Как видно из приведенных выше списков, в предложенные искусственные понятия входят от одного до трех различных при-знаков. Фигуры соответствующего размера, формы и цвета (все-го 27 фигур с разными признаками) вырезаются из цветной бу-маги и наклеиваются на квадратные картонные карточки размером 8 х 8 см.

Перед ребенком в произвольном порядке рядом друг с дру-гом раскладываются карточки с цветными фигурами на них та-ким образом, чтобы все эти карточки ребенок мог одновременно видеть и изучать. Карточки можно разложить в три ряда по семь карточек в каждом, поместив шесть из них в неполный ряд.



Рис 3.

По команде экспериментатора испытуемый в соответствии с полученным от экспериментатора заданием начинает искать задуманное им понятие. Делая первый шаг на этом пути, ан отбирает одну из карточек и кладет ее отдельно от других. Экспериментатор подтверждает или отрицает наличие искомого Признака (признаков) понятия на отобранный испытуемым карточке, и тот продолжает поиск дальше, до тех пор и пока не будут отобраны карточки, содержащие в себе все признаки искомого понятия. После того как экспериментатор подтвердит испытуемому данный факт, испытуемый должен дать определения соответствующему понятию, т.е. сказать, какие конкретные признаки в него входят.

Экспериментатор в начале исследования задумывает понятие, содержащее только один признак, затем - понятие, включающее два признака, и, наконец, понятие, содержащее в себе сразу три признака. Задумав понятие, экспериментатор сообщается испытуемому трехбуквенное название данного понятия и количества признаков, которое оно содержит. Испытуемому предлагается самостоятельно, найти эти признаки, отобрав из предложенного набора карточек с фигурами те, которые содержат эти признаки, и назвать само понятие, определив его через найденные признаки.

Понятие, содержащее в себе только один из признаков - цвет, форму или величину, отбирается экспериментаторам произвольно из верхнего списка; понятие, включающее два признака, - из среднего списка; понятие, включающее три признака, - из нижнего списка.

На решение испытуемым каждой из трех задач (поиск трех понятий, включающих в себя от одного до трех признаков) отводится по 3 минуты. Если за это время испытуемый не справится самостоятельно с задачей, то экспериментатор дает ему подсказку: сам отбирает одну из карточек, которая содержит искомый признак, и говорит: «На этой карточке есть нужный признак» (ребенок должен обнаружить этот признак и назвать его без дальнейшей подсказки). Еще через минуту, если ребенок по-прежнему не справляется с заданием, экспериментатор предлагает ему вторую подсказку: показывает еще одну карточку, содержащую искомый признак (или признаки). Наконец, если спустя 5 минут после начала выполнения очередного задания ребенок так и не нашел все признаки и не дал словесное определение искомому понятию, то ему предлагается следующая задача того же самого типа. Если и с ней не справится, то эксперимент прекращается.