Основні методи геометричних перетворень

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Розділ 1. Геометричні перетворення в шкільному курсі планіметрії

1.1 Загальна характеристика матеріалу

1.2 Методика ознайомлення учнів з основними поняттями теми та властивостями геометричних перетворень

1.3 Методика вивчення подібності довільних фігур

Розділ 2. Методичні розробки з теми дослідження

2.1 Конспект уроку геометрії у 9 класі на тему "Дослідження планети Земля"

2.2 Конспект відкритого уроку - лекції "Симетрія навколо нас. Таємниця дзеркального світу"

2.3 Метод геометричних перетворень і можливості його застосування при розв'язуванні задач

Висновки

Література



Вступ

Геометричні перетворення - дуже важливий розділ курсу геометрії. У геометрії Евкліда, яку ми вивчаємо в шкільному курсі математики, переважно досліджуються ті властивості геометричних фігур, що не змінюються при їх русі (образно кажучи, кожну геометричну фігуру можна розглядати як "тверду", наприклад, вирізану з картону), - симетрія та поворот, а також ті, де відбувається перетворення подібності - гомотетія.

Метод геометричних перетворень є досить продуктивним методом розв'язування геометричних задач. Математична теорія симетрії, симетрія у живій та неживій природі, мистецтві, архітектурі, інженерії отримали спільне підґрунтя у геометричних перетвореннях.

В геометрії розглядають деякі функції, які мають різні значення, вони кожній точці ставлять у відповідність точку. Ці функції називаються геометричними перетвореннями.

Геометричні перетворення мають велике значення в геометрії. За їх допомогою визначають такі важливі геометричні поняття, як рівність та подібність фігур. В дипломній роботі річ піде о таких перетвореннях, як рух та подібність, будуть розглянуті їх властивості та вирішені деякі задачі.

Мета: розглянути основні геометричні перетворення, вивчити їх сутність і властивості. Розібрати методи геометричних перетворень та за допомогою їх навчитись вирішувати задачі методами геометричних перетворень.

Актуальність цієї теми полягає у вирішенні задач на побудову, для цього потрібно знати основні методи геометричних перетворень. Це дуже важливо для учнів середньої школи, вирішення задач на побудову сприяє розвитку математичного та логічного мислення учнів, присвоєнню вмінь та навичок аналізувати та застосовувати знання в інших математичних прикладах та задачах.

Завдання:

· Розглянути деякі геометричні перетворення

· Їх властивості

· Дослідити методи геометричних перетворень

· Вирішити декілька задач на побудову.

Уявіть собі, що ви жбурляєте камінець у гладінь тихого ставка і по воді колами розбігаються брижі, причому центр кожного кола розміщений саме там, де камінець торкнувся води. А тепер підніміть переднє колесо велосипеда і покрутіть його - колесо не зрушить із місця, але його спиці закружляють у шаленому танці.

Станьте перед дзеркалом, тримаючи в правій руці олівець - і дзеркало "перетворить" вас на лівшу, адже ваш двійник триматиме олівець у лівій руці. У шухляді вашого столу лежить косинець: ви трохи висунули шухляду - і косинець перемістився разом із нею. Так чи інакше, в кожному з цих випадків фігури, про які йдеться, зазнають певних змін, перетворень.

Ідея перетворень є однією з провідних ідей сучасної математики. За її допомогою з успіхом доводять скаладні твердження з різних розділів геометрії, які виходять далеко за межі шкільного курсу. За допомогою геометричних перетворень і комп'ютерної графіки кінематографісти бентежать уяву глядача дивовижними образами і незвичайними перевтіленнями на екрані.

Перетворення допомагають художникам правильно будувати композиції картин, а хімікам - досліджувати структуру кристалів.

Теорія геометричних перетворень виникла у зв'язку з пізнанням законів зображення предметів на площині. Спроби правильно відобразити на плоскому рисунку природні форми предметів здійснювалися задовго до виникнення писемності - люди малювали на стінах печер, скелях, посуді різноманітні рослини, тварин тощо.

Тривала практика підказувала митцям, як передати на рисунку зображуваний предмет - так зароджувалося вчення про відповідності й перетворення. Раніше за інші були встановлені й вивчені закони перспективи. Стародавні греки дотримувалися їх уже в V - IV ст. до н.е.

В епоху Відродження з'явилися перші фундаментальні дослідження з теорії перспективи, зокрема роботи видатних художників Леонардо да Вінчі і Альбрехта Дюрера. Розробником математичних основ теорії проективних перетворень(теорії перспективи)став французький інженер і архітектор Жерар Дезарг.

Завдяки теорії перспективи вдалося досягнути достатньої наочності зображень, однак технічний прогрес вимагав точного відтворення об'єктів із дотриманням розмірів. Багато талановитих учених доклали зусиль до створення теорії взаємно однозначних відповідностей на площинні й у просторі. Серед них був, зокрема, французький математик Мішель Шаль, який довів фундаментальну теорему про геометричні перетворення (нині відому як теорема Шаля).

Підсумував наукові пошуки в галузі геометричних перетворень французький геометр Гаспар Монж, створивши новий розділ геометрії - нарисну геометрію.

Пізніше на основі розподілу геометричних перетворень на групи було виділено ще декілька розділів геометрії - афінна, проективна та інші. Здобутки вчених у вивченні перетворень склали математичну основу для розвитку багатьох галузей сучасної техніки.

Ідея перетворень є однією з провідних у сучасній математичній науці і в різних галузях її застосувань. Вона тісно пов'язана з ідеями функції, відображень, які широко використовуються в практиці.

У прийнятій 1968р. програмі шкільного курсу геометричні перетворення вважалися однією з провідних змістових ліній геометрії і апаратів для доведення теорем та розв'язування задач.

Цей погляд на геометричні перетворення було реалізовано у навчальних посібниках за редакцією А. М. Колмогорова (планіметрія) та З. О. Скопця (стереометрія). Слід зазначити, що спроба в цих посібниках трактувати геометричні перетворення як відображення площини(простору) на себе з широким використанням термінології і символіки множин призвела до надмірної заформалізованості навчального матеріалу і як результат - до труднощів у його сприйманні.



Розділ 1. Геометричні перетворення в шкільному курсі планіметрії

1.1 Загальна характеристика матеріалу

планіметрія геометричний перетворення фігура

Під час вивчення геометрії учні впевнюються, що не завжди можна дістати відповідь на поставлене запитання внаслідок безпосереднього аналізу заданої фігури або конфігурації. Часто доводиться виконувати деякі перетворення фігури. Це дає змогу зблизити окремі елементи, дістати відрізки або кути, які відповідають даним умови. Такі перетворення фігур невипадкові. Це окремі випадки застосування так званих геометричних перетворень. Програма передбачає ознайомлення учнів як з поняттям про геометричні перетворення взагалі, так і з властивостями та застосуванням окремих видів цих перетворень. Зокрема, вивчаються властивості паралельного перенесення, центральної та осьової симетрії, обертання навколо точки, гомотетії, подібність фігур

Застосування перетворень (зокрема, рухів) до установлених геометричних фактів зв'язують з іменем Фалеса Мілетського. Фалес за допомогою перегинів і поворотів рисунка показав справедливість таких фактів, як рівність вертикальних кутів, рівність вписаного кута, що спирається на діаметр кола, прямому куту тощо.

Потужний поштовх розвитку ідеї геометричних перетворень, дав німецький математик Фелікс Клейн в своїй Єрлангенской програмі. За Клейном предмет геометрія складається з теорії інваріантів деякої групи геометричних перетворень, кожної з яких відповідає своя гілка геометрії. З цих позицій геометрія, визначена групою перетворень подібності, і являється предметом вивчення в середній школі.

Вперше значну увагу цьому матеріалу було приділено відомим вітчизняним математиком і методистом А.Н.Колмогоровим. В його курсі геометрії (1968 - 1980) перетворення займали центральне місце та слугували основою доведення багатьох теорем. В підручниках Погорєлова А. В. й Атанасяна Л. С. рух та перетворення подібності стали розглядатися скоріш як об'єкт вивчення, ніж універсальний апарат для розв'язування задач.

Основна мета вивчення геометричних перетворень - ознайомити учнів з різними видами рухів (симетрія відносно точки і прямої, поворот, паралельне перенесення) та подібністю і гомотетією, їх властивостями, ввести загальне поняття про рівність і подібність фігур, показати застосування окремих видів перетворень та властивостей площ подібних фігур до розв'язування задач.

Роль матеріалу:

1) Введення в шкільний курс лінії геометричних перетворень дозволило дати "апаратне", "робоче" тлумачення рівності та подібності фігур. Якщо в діючих підручниках спочатку вводяться рівні трикутники через рівні елементи або суміщення (накладання), то аналогічне означення рівності (подібності) для довільних фігур ввести важко - потрібні геометричні перетворення.

2) Геометричні перетворення дозволяють ввести в шкільний курс динаміку, подолати деяку статичність традиційного синтетичного підходу. При цьому з'являється можливість приділити достатньо уваги розвитку певних сторін просторової уяви учнів.

3) Геометричні перетворення дають новий ефективний метод розв'язування задач, який дозволяє у певних випадках полегшити доведення теорем і розв'язування задач.

4) Геометричні перетворення сприяють реалізації внутрішньо предметних зв'язків з алгеброю (функціональна залежність, перетворення графіків функцій), міжпредметних - з фізикою (механічний поступальний рух тощо), зауважимо, що в фізиці досліджується в основному сам процес руху, в геометрії фіксоване положення фігури, що зазнала руху (початкове, кінцеве, а інколи проміжне).

5) Геометричні перетворення додають шкільній математиці естетику, витонченість. Ідея симетрії - орнаменти, сніжинки, архітектурні споруди являються втіленням цієї ідеї, що є одним з найважливіших засобів гуманітаризації навчання математики.

Теорія геометричних перетворень в школі може бути побудована традиційним - синтетичним, а також аналітичним методами. Найбільшого розповсюдження отримав змішаний: аналітико - синтетичний підхід, що використовується в діючих підручниках. Це дозволяє спростити викладання, а також формувати в учнів представлення про можливість використання різних способів завдання геометричних перетворень.

В діючих підручниках матеріал представлений у вигляді двох окремих тем: "Подібність трикутників" (8 клас) і "Геометричні перетворення" (9клас).

1.2 Методика ознайомлення учнів з основними поняттями теми та властивостями геометричних перетворень

У діючих підручниках поняття "геометричне перетворення" вводиться по різному. Деякі автори наводять повне означення, тобто безпосередньо дається саме поняття, а в інших за допомогою розгляду певних нескладних прикладів, а також через наочний опис.

Наприклад, в підручнику [Мерзляк А. Г.] немає означення геометричного перетворення фігур, а є його наглядний опис на прикладах.

Приклад 1: На рисунку 1 зображено відрізок АВ, пряму а і точку О, яка не належить ні прямій а, ні прямій АВ. Кожній точці Х відрізка АВ поставимо у відповідність точку Х₁ прямої а так, щоб точки О, Х і Х₁ лежали на одній прямій. Точці А відповідатиме точка А₁, точці В - точка В₁. Зрозуміло, що всі такі точки Х₁ утворюють відрізок А₁В₁.



рис.1

Ми вказали правило, за допомогою якого кожній точці Х відрізка АВ поставлено у відповідність єдина точка Х₁ відрізка А₁В₁. У цьому разі кажуть, що відрізок А₁В₁ отримано в результаті перетворення відрізка АВ

Приклад 2: На рисунку 2 зображено півколо АВ і пряму а, паралельну діаметру АВ. Кожній точці Х півкола поставимо у відповідність точку Х₁ прямої так, щоб пряма ХХ₁ була перпендикулярна до прямої а. Зрозуміло, що всі такі точки Х₁ утворюють відрізок А₁В₁. Говоритимемо, що відрізок А₁В₁ отримано в результаті перетворення півкола АВ.

рис. 2

В підручнику [Єршова А. П.] введення поняття геометричне перетворення здійснюється за допомогою приклада, але окрім цього дається чітке означення.

Означення: перетворенням фігури F у фігуру F? називається така відповідність, при якій:

1) кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F?;

2) кожній точці фігури F? відповідає деяка точка фігури F;

3) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F?.

Фігура F? називається образом фігури F для даного перетворення. Автор [Мерзляк А. Г.] вводить поняття також поняття "фігура F називається прообразом фігури F?".

У шкільному курсі геометрії розглядатимуться геометричні перетворення, які не змінюють форми даної фігури. В окремий вид виділяються перетворення, які залишають незмінними і розміри фігури - рух (переміщення).

Означення: Переміщенням (або рухом) називається перетворення фігури, внаслідок якого збігаються відстані між точками даної фігури.

Зауважимо, що поняття переміщення (руху) зустрічається і у фізиці, але там воно має інший зміст. Фізичний рух характеризується траєкторією, швидкість тощо. Натомість у геометрії мають значення лише початкове й кінцеве положення фігури.

Без доведень вводяться властивості руху:

- образом прямої є пряма;

- образом відрізка є відрізок, рівний даному;

- образом кута є кут, рівний даному;

- образом трикутника є трикутник, рівний даному;

- образом многокутника є многокутник, рівновеликий даному.

Кожна з властивостей розглядається при вивченні окремого виду переміщення.

Після розгляду загального поняття руху переходимо до поняття "рівність фігур". З цим поняттям учні в певній мірі знайомі: до 7-го класу питання про рівність фігур вирішувався накладанням, в 7-му класі дано означення рівних відрізків, кутів, трикутників.

Тепер необхідно дати загальне означення для довільних фігур. Вводимо його абстрактно-дедуктивним способом.

Означення: Дві фігури називаються рівними, якщо існує рух, при якому одна з даних фігур є образом іншої (або іншими словами, якщо вони суміщаються переміщенням).

Вчитель пояснює учням, що дане означення не суперечить означенням рівних відрізків, кутів і трикутників, яке вивчалося в попередні роки. На відміну від підручника [Погорєлова], в якому поняття рівності фігур розглядалося після вивчення всіх видів рухів, за сучасною програмою вчитель вводить твердження "будь-яке накладання є переміщенням, і навпаки: будь-яке переміщення є накладанням" без обґрунтування, але на свій розсуд може повернутися до цього питання після вивчення рухів.

В шкільному курсі геометрії розглядається такі геометричні перетворення:

1) центральна симетрія;

2) осьова симетрія;

3) поворот;

4) паралельне перенесення;

5) гомотетія, перетворення подібності.

Класифікацію поняття геометричне перетворення можна представити наступним чином, за допомогою схеми:

Розгляд окремих видів геометричних перетворень здійснюється за приблизним наступним планом:

1. Виконується побудова і одночасно проговорюється означення того чи іншого виду перетворення (конструктивне означення).

2. Пропонується завдання на побудову фігур, отриманих шляхом дії руху (перетворення подібності) на дані фігури: геометричне перетворення вводиться для точки, відрізка, трикутника, довільної фігури.

3. Неявно вводиться тотожне перетворення як перетворення, що переводить фігуру саму в себе (в підручнику [Мерзляк] сформульовано означення).

4. Завдання на розпізнавання.

5. Доведення того, що дане перетворення є переміщенням (перетворенням подібності) зазвичай передбачується задачею на побудову із послідовним вимірюванням або обчисленням відстаней.

6. Доведення специфічних властивостей даного виду перетворень.

Розглянемо введення окремих видів переміщень.

Центральна симетрія (Симетрія відносно точки)

1. Нехай О - фіксована точка, Х - довільна точка площини (рис. 3).

Відкладемо на промені ХО відрізок ОХ?, який дорівнює ХО. Ми отримали точку Х?, симетричну точці Х відносно точки О.

Означення: Точки Х і Х? називаються симетричними відносно точки О, якщо точка О - середина відрізка ХХ?.

Очевидно, що точкою, симетричною точці Х? відносно точки О, є точка Х.

2. Розглянемо довільний відрізок АВ, центр симетрії - точка О (рис. 4)

3. Розглядаємо довільний трикутник (рис. 5)

4. Розглядаємо довільну фігуру (рис. 6)



Перетворення симетрії (симетрією) відносно точки О називають таке перетворення фігури F у фігуру F?, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х? фігури F?, симетричну точці Х відносно точки О (рис. 6) При цьому фігури F і F? називають симетричними відносно точки О. Симетрію відносно точки називають також центральною симетрією.

Розглянемо довільний паралелограм, проводимо діагоналі, точка О - центр симетрії (рис. 7). Побудуємо образ паралелограма з центром симетрії - О.

рис. 7 Х? - образ точки Х.

Даємо загальне означення центрально-симетричної фігури: Якщо перетворення симетрії відносно точки О перетворить фігуру F у себе, то така фігура називається центрально - симетричною, а точка О - центром симетрії фігури F.

Необхідно раз граничити поняття: фігура, симетрична іншій фігурі відносно даного центру і центральносиметрична фігура, навести необхідну кількість прикладів.

Осьова симетрія (Симетрія відносно прямої)

Нехай на площі зафіксовано пряму l і позначено довільну точку Х (рис.8). Опустимо з точки Х перпендикуляр ХО до прямої l і відкладемо на промені ХО відрізок ОХ?, який дорівнює ХО. Ми отримали точку Х?, симетричну точці Х відносно прямої l.

Означення: Точки Х і Х? називаються симетричними відносно прямої l, якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка ХХ? і проходить через його середину.

Очевидно, що точкою, симетричною точці Х? відносно прямої l, є точка Х. Точки прямої l вважаються симетричними самі собі. Пряма l є серединним перпендикуляром до відрізка ХХ? і називається віссю симетрії.

Далі показуємо симетрію відрізка, трикутника і довільної фігури відносно прямої.

Перетворенням симетрії (симетрією) відносно прямої l називають таке перетворення фігуру F у фігуру F?, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точки Х? фігури F? симетричну Х відносно прямої l (рис.9). При цьому фігуру F і F? називають симетричними відносно прямої l.

Симетрію відносно прямої називають також осьовою симетрією.

Якщо перетворення симетрії відносно прямої l переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої l, а сама пряма l - віссю симетрії фігури F.

Наприклад, віссю симетрією рівнобедреного трикутника АВС є пряма, що проходить через вершину В перпендикулярно до основи АС (рис.10), оскільки симетрія відносно цієї прямої переводить даний трикутник у себе.



рис. 10

Поворот

Зафіксуємо на площині точку О й оберемо точку Х (рис.11). Відкладемо від променя ОХ у заданому напрямі кут із заданою градусною мірою б і позначимо на другій стороні кута точку Х? так, що ОХ?= ОХ. Такий перехід точки Х у точку Х? є поворотом навколо точки О на кут б.

Означення: Поворотом фігури F навколо точки О на кут б називається перетворення фігури F у фігуру F?, унаслідок якого кожна точка Х фігуру F переходить у точку Х фігури Fтак, що ОХ?=ОХ і кут ХОХ?= б.

Точку О називають центром повороту, а кут б - кутом повороту (У шкільному курсі геометрії розглядаються кути повороту в межах від 0є до 360є). Окрім центра і кута, поворот задається також напрямом - за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки.

Унаслідок повороту фігури F навколо точки О на кут б кожна точка Х даної фігури зміщується по дузі кола з центром О і радіусом ОХ (рис.12). Очевидно, що внаслідок будь-якого повороту положення центра повороту не змінюється.

Паралельне перенесення

Перед введенням означення паралельного перенесення вводяться означення понять: співнапрямлені (або однаково напрямлені) промені", "протилежно напрямлені промені".

Нехай на площині задано промінь ОА, причому довжина відрізка ОА дорівнює а (рис. 13). Виберемо довільну точку Х і побудуємо точку Х? так, щоб промені ХХ? і ОА були спів напрямлені і відрізок ХХ? дорівнював а. Таке перетворення точки Х у точку Х? є паралельним перенесенням в напрямі променя ОА на відстань а.

Означення: Паралельним перенесенням фігури F у напрямі променя ОА на відстань а називається перетворення фігури F у фігуру F?, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х? фігури F? так, що промені ХХ? і ОА співнапрямлені і ХХ?= а.

На рисунку 14 фігура F? отримана з фігури F унаслідок паралельного перенесення в напрямі променя ОА на відстань а.

Приклади такого геометричного перетворення вдало ілюструються у прямокутній системі координат, де паралельне перенесення - це рух, який переводить точку (х; у) у точку (х?; у?), заданий формулами:

х? = х + а, у? = у + b



Після розгляду всіх видів руху необхідно розв'язувати з учнями завдання, що направлені не тільки на виконання геометричних перетворень, а й на їх розпізнавання.

Наприклад: на яких рисунках дані фігури симетричні відносно центра симетрії або відносно прямої?

При розгляді всіх переміщень необхідно підкреслювати збереження відстані між точками даної фігури і відповідними точками отриманої фігури.

Властивості геометричних перетворень можливо оформити у вигляді таблиці, яка заповнюється поступово: властивості руху > властивості подібності.

При вивченні властивостей руху не обов'язково, щоб учні доводили ці властивості, головне, щоб вони вміли їх виконувати.



Після вивчення всіх видів рухів можна провести з учнями дослідницьку роботу з визначення чи не буде протиріччя нового означення рівності фігур попереднім. За допомогою таблиці властивостей рухів показуємо, що якщо відрізки, кути, трикутники рівні за новим означенням, то вони рівні й за попереднім, так як переміщення зберігає відстань між точками і градусні міри кутів.

Обернене твердження доводиться складніше. В підручнику [Єршової] показано обернене твердження для трикутника. Досвід показує, що це міркування в учні викликає складнощі. Можна проілюструвати ідею доведення на простішій фігурі - відрізку.

Нехай дано відрізки АВ і А?В?. АВ = А?В? за попереднім означенням. Покажемо, що АВ = А?В? за новим означенням.

1. Поєднаємо А і А?

2. l - серединний перпендикуляр до АА?

3. В?? - точка, симетрична відносно l, тобто А?В?? = АВ

4. А?В?В?? - рівнобедрений

5. k - серединний перпендикуляр до В?В??

6. В? і В?? - симетричні відносно k

Отже, шуканим переміщенням є послідовно виконані дві осьові симетрії, тобто відрізки рівні й за новим означенням.

Для фігур довільного вигляду в шкільному курсі математики є тільки один спосіб доведення їх рівності - знайти переміщення, яке переводе одну фігуру в іншу. Учні академічного профілю не розв'язують задачі такого виду.



1.3 Методика вивчення подібності довільних фігур

Чотири види геометричних перетворень, які розглядалися вище були різновидами переміщення, тобто зберігали відстань між точками.

Після вивчення руху розглядається геометричне перетворення, яке може змінювати відстань між точками, - перетворення подібності. Поняття подібності для трикутників вже знайоме з курсу 8 класу.

Можливі різні методичні підходи до вивчення теми "Подібність фігур".

1 підхід. Автори підручника [Єршова] пропонують ввести поняття подібності довільних фігур і розглянути гомотетію як окремий вид геометричного перетворення подібності.

2 підхід В підручнику ж [Мерзляк] розглядається гомотетія як вид геометричного перетворення і узагальнюється поняття подібності довільних фігур як результат композиції двох перетворень: гомотетії і руху.

Означення подібності для довільних фігур вводимо абстрактно-дедуктивним методом.

Означення [Єршова]: Перетворенням подібності (подібністю) називається таке перетворення фігури F у фігуру F?, унаслідок якого відстань між точками змінюється в тому самому відношенні (k > 0).

Означення [Мерзляк]: Дві фігури називають подібними, якщо одну з них можна отримати з іншої в результаті композиції двох перетворень: гомотетії і руху. Це означення ілюструє схема:

Запис F F1 означає, що фігури F i F? подібні. Також говорять, що фігура F? - образ фігури F при перетворенні подібності .

Число k > 0 називають коефіцієнтом подібності. Очевидно, що при k = 1 маємо Х?Y? = ХY, тобто відстані між точками фігури зберігаються це означає, що переміщення є окремим випадком подібності при k = 1.

Наочне уявлення про перетворення подібності учні мають: фотографії - це перетворення негатива в подібне зображення на фотопапері; переносячи до свого зошита рисунок, зроблений учителем на дошці, ви виконуєте перетворення подібності; зображення ділянки місцевості на плані, виконане в масштабі тощо. Масштаб у цьому випадку є коефіцієнтом подібності і вказує, у скільки разів реальні відстані між об'єктами відрізняються від відстаней на плані. Знання, що є в учнів необхідно систематизувати і узагальнити. З перетворення подібності в школі розглядається тільки гомотетія.

Означення гомотетії - конструктивне. Нехай на площині зафіксовано точку О, точка Х - довільна точка фігури F (рис.15). відкладемо на промені ОХ відрізок ОХ?, що дорівнює kОХ (k - фіксоване додатне число). Порівнявши такі побудови для кожної точки фігури F, дістанемо фігуру F?, яка є образом фігури F, отриманим унаслідок перетворення, що називається гомотетією.

рис.15

Означення[Єршова]: Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F?, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х? фігури F?, так що точка Х лежить на промені ОХ і ОХ? = kОХ (k - фіксоване додатне число).

У підручнику [Мерзляка] не дається строгого означення гомотетії, а вводиться при розгляданні конкретних прикладів в контексті.

Слід зазначити, що при k = -1 гомотетія є центральною симетрією відносно центра О (рис.16). якщо k = 1, то гомотетія є тотожним перетворенням.

рис.16

Потім розглядаються властивості подібності і заповнюється третя колонка таблиці. При гомотетії: образом прямої є пряма; образом відрізка є відрізок; образом кута є кут, який дорівнює даному; образом трикутника є трикутник, подібний даному; образом кола є коло.

З властивостей подібності, з означення подібності ясно, що фігура, що подібна многокутнику є многокутник з таким самим числом сторін, пропорційних даному, з такими самими кутами.

Важливою властивістю подібних фігур є наступна теорема.

Теорема: Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Доведення пропонуємо для окремого випадку - розглядаємо подібні трикутники.



Розділ 2. Методичні розробки з теми дослідження

2.1 Конспект уроку геометрії у 9 класі на тему "Дослідження планети Земля"

Мета уроку:

· Навчальна: - узагальнити і систематизувати знання учнів про види рухів фігур на площині;

- через поняття "симетрія " розкрити зв'язки математики з живою природою, діяльністю людини;

- навчити умінню застосовувати знання в новій ситуації.

· Виховна: - формування потреб у пізнавальній діяльності;

- сприяти розвитку культури мови,

- виховувати почуття відповідальності за навчальну працю.

· Розвивальна: - розвивати уміння виділяти головне, аналізувати і робити висновки;

- сприяти розвитку пам'яті, уваги, уяви.

Тип уроку: узагальнення і систематизація знань

Форма уроку: урок-дослідження з елементами гри

ТСО: Інтерактивна дошка

Хід уроку

I. Актуалізація опорних знань (14 хв.)

1) Перевірка готовності до уроку(слайд 1).

Психологічний настрій:

Сьогодні:

· Я - командир інопланетного космічного корабля

· Ви - астронавти-дослідники

· Наше завдання в експедиції - дослідити явище симетрії на планеті Земля

Отже, проведемо дослідження...

2) Фронтальне опитування

- Які види рухів ми вивчили на сьогоднішній момент? (учні відповідають)

- Всі види рухів можна об'єднати одним словом "симетрія", визначаючи її різні види, в залежності від способу руху (учні роблять спроби дати нові назви рухам) (слайд 2).

Команда: Зафіксувати в бортові журнали наступне (слайд 3)

Пора визначити тему нашого дослідження.- (Види симетрії)

- Ви вже вмієте виконувати побудову рухів різних фігур, а також їх комбінацій. Давайте перевіримо чи зможете ви визначити яким видом симетрії була перетворена фігура (по ходу демонстрації повторюються принципи побудови).(слайди 4-8)

- А зараз вам доведеться передати ваші результати дослідження в бортовий комп'ютер! Записи ваших ідей фіксувати в бортових журналах. Тобто, самим задавати рухи, використовуючи властивості даної фігури (робота по рисунку в зошитах, потім обговорення на екрані), (слайди 9-11).

II. Застосування знань, формування вмінь та навичок

1) Застосування знань у зміненій ситуації (10хв)

- Продовжимо заносити нові дані в комп'ютер, зафіксуємо властивості рухів, розв'язавши задачу №1

- Які види симетрій ми занесли в пам'ять ПК, а які ще ні?

- Доповнимо пам'ять ПК новими видами симетрії.

А молоді вчені отримують індивідуальне завдання для термінового розв'язання.

На дошці приготовлені три малюнка:



При виконанні №1 повторюються властивості рухів.

Сильні учні працюють по індивідуальним карткам: Гришин Н., Шабанов Е., Латфуллін А.

2) Закріплення вивченого

На стінах по кабінету розклеєні малюнки з геометричними фігурами

- Всім оголошується нове завдання:

- Вкажіть в навколишньому просторі фігури, що володіють внутрішньою:

· центральною симетрією;

· поворотною симетрією;

· осьовою симетрією;

· декількома видами симетрій (якими).

3) Контроль знань

- Настав час сканування ваших знань в центр досягнень нашого корабля, який визначить коефіцієнт вашої успішності.

Учням пропонується контрольний тест на тему "Рухи фігур"

Заповнити бланки, поставивши відмітки в потрібних клітинках

4) Задача практичного змісту зв'язок з життям (5 хв., слайди 12-19)

- Після напруженого моменту я пропоную вам ще раз подивитись результати нашої експедиції.

- Увага! Наш корабель завис над півостровом ЯМАЛ. Наш бортовий комп'ютер фіксує сигнал про допомогу з самої першої метеостанції в ЯНАО на горі РАЙ -ІЗ.

Інженери-гідрологи звернулись з проханням допомогти в розв'язанні проблеми побудови моста між містами №1і №2.

Але виставляються умови:

· міст повинен бути перпендикулярним течії річки(по технічним умовам)

· відстань між містами має бути найменшим

Розв'язання задачі (слайд 18)

- Досліджуючи планету Земля, наші астронавти нашли давні книги, в яких є захоплення такими дивовижними властивостями симетричного світу.

5) Домашнє завдання (5 хв., слайд 20)

- В бортові журнали зафіксувати завдання до наступної космічної конференції

Домашнє завдання творчого характеру:

· Знайти випадки симетрії в організмі людини

· Оформити розв'язання задачі про паралелограм "Аукціон ідей"

· Зробити планшетки з різними видами рухів

· Зробити слайди симетричних об'єктів навколо нас

- Кожен може вибрати одне або декілька завдань для дослідження

6) Рефлексія (3 хв., слайд 21,22)

- Отже, час підводити підсумки нашого дослідження симетричного світу планети Земля,

· Я дізнався…

• Я навчився…

• Я повторив…

• Мені було цікаво..

Всього найкращого!!!



Презентація до уроку "Дослідження планети Земля"

Слайд 1

Слайд 2



Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5



Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8



Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11



Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14



Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17



Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20



Слайд 21

Слайд 22

2.2 Конспект відкритого уроку - лекції "Симетрія навколо нас. Таємниця дзеркального світу"

Підготувала Шаповалова Ольга

Супровід до презентації на тему: "Симетрія навколо нас. "Таємниця дзеркального світу""

Дамо короткий опис кожного слайда. А надалі приведемо текст, який, на мою думку, необхідний для супроводу даної презентації.

Характеристика слайдів:

1. Титульний аркуш. Тут дана назва презентації; зазначені прізвище, ім'я.

2. Зміст. Наведений перелік основних пунктів, розглянутих у даній презентації.

3. Визначення слова "симетрія".

4. Невелика історія появи й розвитку такого поняття, як "симетрія".

5. Перераховані типи симетрії.

6. Короткий опис першого типу симетрії - математичної симетрії.

7. Види симетрій у математиці.

8. З 9 по 12 слайди наведені наочні приклади поступальної,

9. обертальної,

10. осьовий і

11. центральної симетрій, відповідно.

12. Види симетрій у біології. Аналогія із симетрією в математиці.

13. З 14 по 16 слайди наведені приклади кожного з видів симетрій у біології.

14. Короткий опис прояву симетрії в таких науках, як хімія й фізика.

15. 18 - 20 слайди - приклади симетрії в хімії.

16. Приклад прояву математичної симетрії у фізиці.

17. Математична симетрія в мистецтвах.

18. В 23 - 24 слайдах наведені приклади математичної симетрії в мистецтвах, архітектурі.

19.

20. Паліндром - прояв симетрії в літературі.

21. Приклади симетрії в літературі наведено на 26 - 27 слайдах.

22.

23. Другий тип симетрії - фізична симетрія. Її вистава.

24. Представлений приклад прояву фізичної симетрії.

25. Роль симетрії у світі. Наш світ без симетрії.

26. Висновок.

27. Література, використовувана для створення презентації.

У презентації присутня стандартний набір слайдів: титульний аркуш, зміст, вступ, висновок і література, використовувана для створення даної презентації.

Кожний слайд зв'язаний, як мінімум, з одним і більш кількістю слайдів. Без деяких, наприклад 28 - 29, не можна обійтися, тому що неможливо зрозуміти відмінності між математичною й фізичною симетріями. Деякі зі слайдів потрібні як наочні приклади для кращого (зорового) сприйняття слухачами.

Пропонуємо вашій увазі інформацію, супроводом до якої є дана презентація.

1 --- Симетрія навколо нас. "Таємниця дзеркального світу".

2 --- Для того, що б зрозуміти, що таке симетрія, нам необхідно познайомитися, по-перше, з визначенням симетрії. По-друге, звернутися до історії виникнення даного поняття. По-третє, розглянути типи симетрії, а саме, математичну й фізичну. Зрозуміти основну відмінність між двома цими поняттями. А також визначити роль симетрії в навколишньому нас світі. Прийти до певних висновків.

3 --- ПРО, симетрія! Гімн тобі співаю! Тебе всюди у світі довідаюся. Ти в Ейфелевої вежі, у малій мошці, Ти в ялинці, що в лісової доріжки. З тобою в дружбі й тюльпан, і троянда, И сніжний рій - утвір морозу!

4 --- А, що таке симетрія?

У стародавності слово "симетрія" уживалося як "гармонія", "краса". Дійсно, у перекладі із грецького воно означає "домірність, пропорційність, однаковість у розташуванні частин".

Напевно, при озвучуванні теми даної роботи, багато з вас задалися питанням: "А при чому тут "дзеркальний" світ?". Пояснення побудуємо на основі прикладу. Одного разу професор математики з Оксфорда доктор Доджсон розмовляв з маленькою дівчинкою, яка стояла перед дзеркалом. "У якій руці ти тримаєш апельсин? - запитав він. - У правій,- відповіла дівчинка. - А дівчинка в дзеркалі в якій руці тримає апельсин? - У лівій. - Як же це пояснити? - запитав доктор Доджсон. - Дуже просто, -- сказала дівчинка. - Адже якби я стояла за дзеркалом, апельсин був би в мого дзеркального відбиття в правій руці". Доктор Доджсон (а він був автором знаменитої книги "Аліса в країні чудес" під псевдонімом Льюис Кэрролл) прийшов у захват від цієї відповіді й написав іншу книгу -- "Алиса в Зазеркалье". Героїня так описує свій будинок, відбитий у Дзеркалі: " По-перше, там є от ця кімната, яка починається прямо за склом. Вона зовсім така ж, як наша вітальня, тільки там усі навпаки!.. А книжки там дуже схожі на наші, тільки слова написані задом наперед. Я це точно знаю, тому що я показала їм нашу книжку, а вони показали мені свою!"

5 --- Однак, як люди дійшли до такої складної й одночасно такої простої речі, як симетрія?

Цей термін ухммефсЯб, який зараз перейшов у російське слово "симетрія", увели стародавні греки. У прадавніх народів, таких як шумери і єгиптяни, у первісних племен, та й у декого в наш час симетрія асоціюється не тільки із красою й гармонією, але й, насамперед, з магією. Не даремно ж люди в епоху мегаліту для ритуальних цілей споруджували кромлехи у формі кола - "ідеально симетричної" геометричної фігури.

6 --- Симетрія буває двох типів:

1. Математична (може зустрічатися у всьому, що можна назвати об'єктом)

2. Фізична (може зустрічатися у всім тому, що не можна назвати об'єктом)

Однак це розмежування досить умовне, тому що коштує лише фізичне явище, що володіє фізичною симетрією, описати за допомогою математичних формул або графіка, як фізична симетрія негайно ж заміниться на математичну.

7 --- Зупинимося на математичній симетрії.

Математична симетрія зустрічається в багатьох науках. І часто в різних науках ідентичні один одному види симетрії називаються по різному.

8 --- Розглянемо прояв симетрії в різних науках. Почнемо з математики.

Симетрія в математику існує 4-х типів:

1. Поступальна. Це вид симетрії, коли об'єкт без яких-небудь інших перетворень переміщають (копіюють) будь-куди.

2. Обертальна. Це вид симетрії, коли об'єкт без яких-небудь інших перетворень повертають на заданий кут.

3. Осьова. Це вид симетрії, коли об'єкт відбивають без яких-небудь інших перетворень щодо осі симетрії, яка є прямою лінією.

4. Центральна. Це вид симетрії, коли об'єкт без яких-небудь інших перетворень відбивають щодо центру симетрії, який є крапкою.

9 --- Пропонуємо вашій увазі приклади поступальної,

10 --- обертальної,

11 --- осьовий

12 --- і центральної симетрій.

13 --- Тепер звернемося до симетрії в біології. У цій науці її підрозділяють на

1. променеву (радіальну) симетрію. Це вид симетрії, коли через тіло живого організму можна провести багато осей, а також і площин симетрії. Найчастіше такі організми мають форму кулі, а по радіусах у них розташовані різні органі.

2. двосторонню симетрію. Це вид симетрії, коли в живого організму можна провести одну вісь і одну площину симетрії, які ділять живий організм на дві схожі (але не однакові!!!) частини. Дана симетрія в біології має багато загального з осьовою симетрією в математику.

3. спіральну симетрію. Це вид симетрії, при якому частина живого організму "скопійована", а, що вийшли "копії" покладені по спіралі. Спіральна симетрія дуже схожа з поступальною симетрією в математику.

14 --- Подивитеся на наведені приклади променевий,

15 --- двосторонньої

16 --- і спіральної симетрій.

17 --- А зараз розглянемо прояв математичної симетрії в хімії й фізику.

У хімії й у фізику симетрія присутня, в основному, у геометричній конфігурації молекул, що позначається на специфіці фізичних і хімічних властивостей молекул в ізольованому стані, у зовнішньому полі й при взаємодії з іншими атомами й молекулами. Що ж до видів, те там вони такі ж, як і в математику. Однак у складних молекул, як правило, відсутня симетрія. Симетрія в будові атомів ставиться й до фізики й до хімії. Також математичною симетрією буде мати будь-яка модель (формула), що ілюструє фізичний закон, який має фізичну симетрію.

18 --- Наприклад, молекула аміаку NH3 має симетрію правильної трикутної піраміди.

19 --- А молекула метану CH4 має симетрію у вигляді тетраедра.

20 --- Також представляємо вашій увазі ще кілька прикладів прояву симетрії в хімії.

21 --- Як приклад симетрії у фізику можна розглянути звичайні сніжинки. Кожна з них - це маленький кристал замерзлої води. Їхня форма може бути дуже різноманітної, але всі вони мають симетрію.

22 --- Звернемося до мистецтва й спробуємо там відшукати присутність симетрії.

У пластичних мистецтвах симетрія проявляється, головним чином, у загальній симетрії зображеного, тому що для нашого ока, за результатами психологічних досліджень, приємніше бачити щось симетричне, ніж асиметричне.

У віршах рима (у музиці ритм) являє собою поступальну симетрію. Правда іноді ця симетрія не дотримується.

23 --- Приведемо приклади прояву симетрії в різних мистецтвах,

24 --- а також в архітектурі.

25 --- Важко представити, але навіть у літературі можна зустріти прояв симетрії.

У всіх мовах миру є слова й навіть фрази, які однаково читаються як в одну сторону, так і в іншу. Вони називаються паліндроми. Наприклад: "кок", "потоп", "а луна канула", "а роза упала на лапу Азора".

Паліндром - цей абсолютний прояв симетрії в літературі.

26 --- Перший паліндром був створений у Прадавньому Римі. Точніше, це "супер - паліндром", тому що фразу цю можна прочитати й читаючи спочатку перші букви всіх слів, потім другі, і т.д. От вона:

S A T O R

A R E P O

T E N E T

O P E R A

R O T A S

"Sator Arepo Tenet Opera Rotas", яка означає "Сівач Арепо із труднощами втримує колеса".

27 --- Приведемо ще один паліндром - паліндром Набокова:

Я ел мясо лося, млея...

Рвал Эол алоэ, лавр.

Те ему: "Ишь! И умеет

Рвать!"

Он им: "Я - минотавр!"

Зверніть увагу, що кожний рядок даного четверостишья являє собою паліндром.

28 --- Тепер розглянемо фізичну симетрію. До неї необхідно звернутися для того, що б чітко усвідомити яка симетрія називається математичної, а яка такий називатися не має права.

Фізика - єдина наука, де застосовується фізична симетрія (звідси частково й назва). Властиво, представляє вона собою систему "об'єкт - антиоб'єкт", "дія - антидія", у загальному говорячи, "щось - "антищось"", де "антищось" - щось, протилежне "щось".

Наприклад: дія - протидія, матерія - антиматерія і т.д. і т.п.

29 --- Найпростіший приклад прояву фізичної симетрії - дія дорівнює протидії.

30 --- На цьому закінчимо розгляд типів симетрії й задамося питаннями: "А властиво, як би нам жилося без симетрії? Точніше, яку роль відіграє симетрія в нашому світі? Невже вона лише прикрашає його?".

Симетрії, про яких ми розповіли, науковою мовою формулюються так: усі закони природи інваріантні щодо операції переносу в просторі й часу й щодо поворотів у просторі. Додамо: з дуже великою точністю.

Виявляється, що без симетрії наш мир виглядав би зовсім по-іншому. Адже це саме на симетрії засновано багато законів збереження. Наприклад, закони збереження енергії, імпульсу й моменту імпульсу є наслідками просторово-тимчасових симетрій, які є, як математичними, так і фізичними симетріями. І без цих симетрій не було б законів збережень, які багато в чому управляють нашим миром.

Так що симетрія - мабуть, одна з головних речей у Всесвіті.

31 --- У висновку свого оповідання хотілося б підбити підсумок.

Симетрія відіграє величезну роль в

ь науках: як в "точних", "природніх", так і в "гуманітарних";

ь мистецтві: архітектурі, поезії;

ь природі: у рослин і тварин;

ь техніці;

ь побуту й у багатьох інших сферах діяльності людину.

32 --- Дана інформація була взята з мережі Інтернет. Вашій увазі наведений Інтернет - адреса.



Презентація "Симетрія навколо нас. Таємниця дзеркального світу"

Слайд 1

Слайд 2



Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5



Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8



Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11



Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14



Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17



Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20



Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23



Слайд 24

Слайд 25

Слайд 26



Слайд 27

Слайд 28

Слайд 29



Слайд 30

Слайд 31

2.3 Метод геометричних перетворень і можливості його застосування при розв'язуванні задач

Ідея вирішення задач на побудову полягає в наступному. Дуже часто при проведенні аналізу ми стикаємося з тим, що шукані елементи розташовані незручно й встановити між ними зв'язок майже не можливо. І тоді в таких випадках може допомогти використання над елементами деяких геометричних перетворень так, щоб встановився між ними зв'язок .

В залежності від того, яке геометричне перетворення ми використовуємо (паралельний переніс, осьову симетрію, поворот) метод відповідно й називається методом "паралельного перенесення", методом "осьової симетрії", методом обертання. Тепер розглянемо деякі задачі на побудову, за допомогою методів геометричних перетворень, при чому такі задачі, які розглядаються у середній школі.

Суть методу геометричних перетворень полягає в розгляді поряд з даними фігурами їхніх образів, отриманих за допомогою певного перетворення.

Залежно від того, яке перетворення застосовується, розрізняють метод симетрії, повороту, паралельного перенесення і подібність(для трикутників він розглядався у 8 класі).

Метод симетрії заміну даної в умові фігури або її елементів симетричними їм відносно деякої точки або прямої.

Задача 1

У прямокутному трикутнику медіана, проведена до меншого катета, дорівнює m і утворює з більшим катетом кут 15. Знайти площу прямокутного трикутника.

рис.1

Розв'язання

Нехай у трикутнику АВС В=90, ВС<АВ, АМ = m - медіана рис.1Побудуємо точку М1, симетричну точці М відносно прямої АВ. Тоді трикутники МАС і М1АВ рівновеликі, оскільки мають спільну висоту АВ, а М1В = ВМ = МС за побудовою.

Отже,

SABC = SABM + SMAC = SABM + SM₁AB = SM₁AM

За побудовою трикутник М1АМ рівнобедрений з бічною стороною m і кутом між бічними сторонами 30. Таким чином,

SM₁AM = msіn30 =

Відповідь:

Метод симетрії часто використовується в задачах на знаходження найменших значень певних величин.

Задача 2

На сторонах АВ, ВС і СА гострокутного трикутника АВС знайдіть такі точки М, N і Р відповідно, щоб периметр трикутника МNP, був найменшим.

Розв'язання

Нехай Р - довільна точка відрізка АС трикутника АВС, Р1 і Р2 - її образи при симетрії відносно прямих АВ і ВС відповідно рис.2

рис.2

Пряма Р1Р2 перетинає сторони АВ і ВС відповідно в точках М N. У першому розділі ми показали, що периметр трикутника МNP є найменшим при фіксованому положенні точки Р. цей периметр дорівнює довжині відрізка Р₁Р₂.

Зауважимо,що пряма ЕF - середня лінія трикутника РР₁Р₂. Тоді ЕF = P₁P₂.

Оскільки ВЕР = ВFP = 180, то точки Р, Е, В, F лежать на одному колі з діаметром ВР. Звідси ЕF = ВР sіnВ. Отже, довжина відрізка ЕF буде найменшою при найменшій довжині відрізка ВР, тобто тоді, коли ВР - висота трикутника АВС.

На рис.3 відрізок ВР - висота трикутника АВС. Будуємо шуканий трикутник МNP за відомим алгоритмом. Із побудови випливає, що будь-який інший трикутник, вершини якого лежать на сторонах трикутника АВС, має периметр більший за периметр трикутника МNP. Тому шуканий трикутник є єдиним - це побудований трикутник МNP.

рис. 3

Цей самий трикутник можна отримати, провівши висоту з вершин А і С.

Отже, вершини шуканого трикутника - це основи висот даного трикутника АВС. Такий трикутник називають ортоцентричним

Метод симетрії частот використовується в задачах на знаходження найменших значень певних величин.

Задача 3

Точка О лежить в середині гострого кута АВ. Знайдіть на сторонах кута точки Х і Y так, щоб периметр трикутника ОХY був найменшим.

Розв'язання

рис.4

Аналіз : Припустимо, що трикутник ОХ1Y1 шуканий рис.4. Вершини Х₁ і Y₁, які необхідно побудувати, мають лежати на сторонах ВА і ВС кута АВС. Побудуємо точки О1 і О2 симетричні точці О відносно цих сторін. Тоді за побудовою ОХ1=О1 Х1, ОY1=O2Y1. Знайдемо периметр шуканого трикутника:

Р=ОХ₁+X1Y1+Y1O=O1X1+X1Y1+Y1O2,

тобто периметр дорівнює O1X1+X1Y1+Y1O2.

Ця сума буде найменшою, якщо точки О1, Х1, Y1 і О2 лежатимуть на одній прямій. Отже, шукані точки Х1, Y1 мають лежати на прямій О1О2, тобто на перетині цієї прямої зі сторонами кута АВС.

Побудова:

1. Побудуємо точки О1 і О2, симетричні точці О щодо прямих ВА і ВС відповідно.

2. Побудуємо пряму О1О2 і позначимо точки Х i Y - точки перетину цієї прямої зі сторонами кута АВС.

3. Сполучимо точки Х i Y з точкою О. Трикутник ОХY - шуканий.

Спираючись на властивості геометричних перетворень, використаних у процесі побудови, легко довести, що побудовані точки шукані й визначаються однозначно.

Метод повороту

Метод повороту доцільно використовувати в задачах, у яких задано фігури з рівними сторонами й відомими кутами - рівносторонні й рівнобедрені прямокутні трикутники, квадрати тощо. На практиці для повороту прямої а навколо точки О на даній прямій обирають дві точки і здійснюють їх поворот навколо точки О рис.5

рис.5

Задача 4

Побудуйте рівносторонній трикутник, вершини якого лежать на трьох даних паралельних прямих.

Розв'язання

Аналіз: Нехай рівносторонній трикутник АВС, вершини якого лежать на даних паралельних прямих а, в, с, побудовано рис.6