Розв'язування задач на побудову в 7-9 класах курсу планіметрії середньої загальноосвітньої школи

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

з методики навчання математики

Розв'язування задач на побудову в 7-9 класах курсу планіметрії середньої загальноосвітньої школи



ВСТУП

Активізація творчої особистості учнів в процесі оволодіння математикою найефективніше здійснюється через розв'язування задач. Зокрема, важливість задач на побудову обумовлюється особливостями наукової структури курсу геометрії 7-9 класів, провідним компонентом якої є конструктивізм: майже всі геометричні поняття означуються конструктивно; доведення всіх теорем спирається на використання фігур, реальне існування яких можна підтвердити побудовою. Тому задачі на побудову мають розвивати в учнів конструктивний підхід до осмислення всього комплексу геометричних знань, а не лише формувати конструктивні навички розв'язування задач.

Важливим є також те, що розв'язування задач на побудову - ефективний засіб підвищення алгоритмічної культури учнів. Адже особливістю цих задач є знаходження й наступне однозначне виконання ланцюга операцій - елементарних чи основних побудов, тобто знаходження деякого алгоритму, виконання якого приводить до розв'язування даної задачі.

Розв'язування задач на побудову сприяє правильному розумінню учнями геометрії як науки про властивості просторових форм, ґрунтовному засвоєнню програмного матеріалу з геометрії, виробленню вмінь практично застосовувати його, розвитку логічного мислення, просторової уяви.

Особливо важливо навчити учнів розв'язувати задачі на побудову в 7-9 класах, бо від цього значною мірою залежить не тільки якість навчання учнів з геометрії на даному етапі, а й результативність їх наступної навчальної й трудової діяльності.

Отже, тема курсової роботи «Розв'язування задач на побудову в 7-9 класах курсу планіметрії середньої загальноосвітньої школи» викликає безсумнівний інтерес у дослідників, що вивчають питання методики навчання математики курсу геометрії середньої загальноосвітньої школи.

Об'єктом дослідження є процес навчання геометрії в 7-9 класах середньої загальноосвітньої школи.

Предметом дослідження є методика навчання учнів розв'язувати задачі на побудову в 7-9 класах курсу планіметрії середньої загальноосвітньої школи.

Мета дослідження полягає у виявленні основних методичних особливостей вивчення геометричних побудов в шкільному курсі планіметрії.

Для досягнення мети визначаються наступні завдання дослідження:

1. Схарактеризувати основні методи розв'язування задач на побудову в 7-9 класах курсу планіметрії середньої загальноосвітньої школи.

2. Розробити плани-конспекти уроків геометрії в 7-9 класах середньої загальноосвітньої школи з ілюстрацією застосування різних методів геометричних побудов.

«Адже не знайдеться нікого, хто б не захоплювався

геометричними або оптичними чудесами,

а в разі дослідження їх - не захоплювався б

жадобою їх пізнати…»

Феофан Прокопович

Розділ І. Методика розв'язування задач на побудову в 7 класі

1.1 Основні задачі на побудову

Розв'язування задач на побудову в 7 класі полягає у знаходженні способу побудови геометричної фігури і доведенні того, що в результаті побудови дістаємо фігуру з потрібними властивостями. Найбільш складним є пошук способу побудови. Тому семикласників доцільно ознайомити з кількома прийомами, які допомагають в цьому пошуку.

Виконання фактичної побудови не обов'язкове для всіх задач (крім основних задач на побудову), а лише для типових, дібраних вчителем. При виконанні побудови слід приділити увагу підвищенню графічної культури учнів. Малюнок виконують з урахуванням прийомів користування креслярськими інструментами.

В учнів 7 класу немає ще потрібних знань для проведення дослідження. Необхідні теоретичні відомості для дослідження (співвідношеннями між сторонами і кутами в прямокутному і довільному трикутниках, нерівність трикутника, перетин прямої з колом) вивчаються в 8-9 класах. В 7 класі основне завдання - виховати в учнів потребу в дослідженні. Для цього довжини відрізків, радіуси кіл інколи добираємо так, щоб задача не розв'язувалась (не існувала шукана точка).

Основні задачі на побудову розглядаються в кожному курсі геометрії. Розв'язанню основних задач на побудову потрібно приділяти значну увагу. Адже вони відіграють важливу пропедевтичну роль для засвоєння учнями 7 класу методу геометричних місць.

Так в підручнику Г.П.Бевза «Геометрія - 7» подано шість основних задач на побудову:

1. Побудувати трикутник за даними сторонами .

2. Побудувати кут, що дорівнює даному куту.

3. Побудувати бісектрису даного кута.

4. Поділити даний відрізок пополам.

5. Через дану точку провести пряму, перпендикулярну до даної прямої.

6. Через дану точку, що не лежить на даній прямій, провести пряму, паралельну до даної прямої.

У процесі вивчення основних побудов та їх використанні при розв'язуванні складніших задач учні повинні оволодіти деякими прийомами знаходження способу побудови шуканої фігури, навчитися правильно будувати геометричні фігури циркулем і лінійкою та доводити правильність виконаної побудови.

Щоб учні могли самостійно знайти спосіб побудови, слід розробити і виконати з ними підготовчі вправи, а також повторити першу і другу ознаки рівності трикутників, оскільки на них посилаються при доведенні правильності виконаної побудови в усіх задачах. Виклад матеріалу здійснюється так, щоб у процесі розв'язування кожної основної задачі на побудову учень здобував додаткову інформацію, потрібну для розв'язування наступної задачі. Це сприяє виробленню вміння критично підходити до нової задачі, знаходити в ній відомі елементи.

1.2 Вивчення геометричних місць точок у 7 класі

У 7 класі рекомендується вивчити такі геометричні місця точок:

1) геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки;

2) геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок;

3) геометричне місце точок, кожна з яких лежить усередині даного кута і рівновіддалена від його сторін;

4) геометричне місце точок, рівновіддалених від даної прямої;

5) геометричне місце точок, з яких даний відрізок видно під прямим кутом.

Наведені геометричні місця точок є основними. Учні повинні знати формулювання і побудову кожного з них. Крім основних геометричних місць точок, є ще неосновні, які зводяться до основних. Наприклад, до першого основного геометричного місця точок зводяться такі неосновні: геометричне місце кінців дотичних даної довжини, проведених до даного кола; геометричне місце кінців взаємно перпендикулярних дотичних, проведених до даного кола; геометричне місце середин радіусів даного кола та інші. Аналогічні вправи можна дібрати і до інших основних геометричних місць точок.

Поняття геометричного місця точок семикласники засвоюють важко. Це пояснюється логічними труднощами (необхідність доведення прямого і оберненого тверджень), а також тим, що з цим поняттям учні вперше зустрічаються в кінці вивчення геометричного матеріалу 7 класу. Щоб полегшити сприймання цього матеріалу, доцільно наводити приклади геометричних місць точок без доведення раніше, ніж це передбачено програмою. Геометричне місце точок знаходимо побудовою за даною властивістю кількох точок і встановивши на основі цього закономірності їх розміщення на площині.

На першому уроці особливо важливо, щоб учні зрозуміли, що геометричним місцем точок є:

1) геометрична фігура;

2) вона складається з усіх точок площини, які мають певну властивість.

Щоб перевірити, як учні зрозуміли означення геометричного місця точок, можна запропонувати їм встановити, чи однаковий зміст мають такі висловлення, і пояснити відповідь: 1) усі семикласники йдуть на екскурсію; 2) тільки семикласники йдуть на екскурсію; 3) усі і тільки семикласники йдуть на екскурсію.

Для закріплення структури поняття геометричного місця точок можна розв'язати вправи на розпізнавання із стверджувальною і заперечною відповідями.

Після закріплення структури означення поняття слід розв'язати задачі на знаходження геометричних місць точок двох видів: задачі, в яких сукупність точок з даною властивістю утворює одну геометричну фігуру, і задачі, в яких шукане геометричне місце точок складається з двох фігур.

трикутник точка симетрія геометричний



Розділ II. Методика розв'язування задач на побудову в 8-9 класах

2.1 Поетапне розв'язування задач та пошук способу побудови

У 8-9 класах під час розв'язування задач на побудову корисно виділяти етапи розв'язування. З цією метою уточнюємо і поглиблюємо знання учнів про пошук способу побудови і доведення правильності виконаної побудови. Вивчивши тему «Перетин прямої з колом», вводимо новий для учнів етап розв'язування -- дослідження і закріплюємо його на кількох задачах. Важливо, щоб учні ознайомились з усіма етапами. Для цього час від часу доцільно пропонувати їм виконувати повне розв'язування задач і стисло записувати його в зошитах.

Дотримання етапів розв'язування задач на побудову робить міркування учнів більш цілеспрямованими і логічно послідовними, привчає до повноти розв'язування будь-яких математичних задач. Проте не слід прагнути проводити їх у кожній задачі на побудову. В одній задачі заслуговує на увагу аналіз, у другій -- цікава сама побудова, у третій -- повчальним є доведення або дослідження.

При знаходженні способу побудови слід користуватися різними формами міркувань.

Аналітична форма міркувань. Позначимо задачу (де X -- вимога задачі, А -- дані її умови).

Перший етап аналізу полягає в тому, що припускаємо шукану фігуру побудованою (X -- відомим) і всі умови задачі здійсненими. Це дає можливість зіставленням даних і шуканих елементів встановити зв'язки між ними. Якщо таке зіставлення безпосередньо не дає ключа для побудови фігури, то переформульовуємо задачу в допоміжну задачу , (де -- переформульовані дані умови, -- переформульована вимога), розв'язування якої повинно бути простішим і забезпечити розв'язування основної задачі. Якщо при цьому виявиться відомим спосіб побудови, то аналіз закінчуємо. Якщо ж спосіб побудови в допоміжній задачі залишається невідомим, то замінюємо її другою допоміжною задачею , розв'язування якої має забезпечити розв'язування задачі , а отже, і задачі . Так робимо доти, поки не приходимо до якоїсь задачі , побудова якої відома і забезпечує побудову в задачі .

Синтетична форма міркувань. При синтетичній формі міркувань, застосовуючи всю або частину умови задачі, складаємо і розв'язуємо першу допоміжну задачу . Потім, використовуючи результати розв'язування цієї задачі, складаємо і розв'язуємо другу допоміжну задачу і т. д., поки не буде розв'язано основну задачу .

Спосіб розв'язування задачі на побудову можна відшукувати, використовуючи як аналітичну, так і синтетичну форму міркувань. Проте, якщо задача складна, то при синтетичній формі міркувань немає критерію, з яких даних слід починати побудову, які допоміжні величини потрібно визначити, як вибрати наступні допоміжні задачі. Тому рекомендується при відшуканні способу розв'язування задачі надавати перевагу аналітичній формі міркувань, тобто аналітичному методу.

Пошук способу побудови починаємо з аналізу структури задачі, який включає насамперед осмислення даних і властивостей шуканої геометричної фігури. Важливим питанням при аналізі структури задачі є встановлення визначеності шуканої фігури -- достатності або недостатності даних елементів для її побудови. Шкільні задачі, в основному, визначені. Звикнувши до цього, учні намагаються розв'язувати і такі задачі, в яких дані не визначають фігуру або при яких фігура не існує.

У процесі розв'язування задач на побудову можна ознайомити учнів з тим, як встановлювати достатність даних для розв'язування задачі. Основну увагу приділяємо питанням: а) скільки кутових і лінійних елементів визначають фігуру; б) якими є ці елементи.

У вправах з неповною вхідною інформацією немає деяких даних, внаслідок чого виконати однозначно побудову неможливо, задача матиме безліч розв'язків. Побудову можна виконати, ввівши дані, яких не вистачає. А це можливо тоді, коли учень уміє виділяти елементи, достатні для існування заданих в умові фігур.

Перед розв'язуванням задач даного виду учням ставлять запитання: Чому не можна однозначно виконати побудову? Яких даних не вистачає?

Зустрічаються задачі, які містять зайву інформацію. Розв'язуючи їх, учень повинен вміти із сукупності даних в умові величин виділити ті, які утворюють систему відношень, необхідних і достатніх для розв'язування задачі, а також виділити зайві дані і пояснити, чому вони зайві.

Проаналізувавши структуру задачі, починаємо пошуки способу побудови. Тут важливо добути з даних фігур максимально корисну інформацію, вибрати потрібний прийом побудови, знайти аналогічну задачу. Цьому сприяє уміння узагальнено сприймати умову задачі, внаслідок чого учень виділяє ті зв'язки і відношення між даними і шуканими фігурами, які мають основне смислове математичне навантаження.

2.2 Методи геометричних перетворень

Розв'язування задач на побудову методами геометричних перетворень має велике методичне значення. Ці методи дають можливість знаходити плани розв'язування багатьох змістовних конструктивних задач, спрощувати побудови шуканих фігур і відшукувати деякі загальні способи їх побудови.

Залежно від виду перетворення при розв'язуванні задач на побудову використовуємо метод симетрії, метод повороту, метод паралельного перенесення та метод подібності. Ідея застосування методів перетворення до розв'язування задач на побудову така: якщо властивості шуканих елементів фігури, яку потрібно побудувати, неможливо знайти при безпосередньому вивченні малюнка-ескіза, то перетворюють геометрично або всю фігуру, або її елементи. Після цього легше виявити властивості шуканих елементів фігури і знайти спосіб побудови.

Засвоєння учнями методів геометричних перетворень значною мірою залежить від правильного добору тренувальних вправ.

Метод симетрії

Суть методу симетрії можна сформувати так:

1) на малюнку-ескізі дану фігуру (або один чи кілька її елементів) замінюють фігурою, яка симетрична даній відносно деякої точки або прямої;

2) задачу переформульовують у допоміжну, переносячи дані в умові вимоги, які стосуються даної фігури, на симетричну;

3) виконують побудову в допоміжній задачі та з'ясовують, в результаті яких побудов можна розв'язати дану задачу.

Метод повороту навколо точки

Метод повороту навколо точки застосовують для побудови трикутників з відомим кутом між рівними сторонами, наприклад рівносторонніх трикутників, рівнобедрених прямокутних трикутників. Цей метод застосовують і для побудови таких фігур, у яких можна виділити трикутник зазначеного типу. За центр повороту найчастіше обирають ту точку, положення якої визначено на площині. Усі задачі на побудову, пов'язані з поворотом навколо точки, належать до позиційних.

Метод подібності

При вивченні тем «Перетворення подібності», «Подібність фігур» розв'язуємо задачі на побудову методом подібності. Якщо дані геометричної задачі на побудову такі, що, опустивши одне з них, можна побудувати безліч фігур, подібних шуканій, а потім, враховуючи опущене дане, будують шукану фігуру. У цьому й полягає метод подібності.

Цей метод можна вводити як продовження методу геометричних місць, оскільки в ньому використовуємо ті самі операції, що й у методі геометричних місць.

Перед розв'язуванням задач на побудову методом подібності слід провести підготовчу роботу. Учні повинні знати, що в подібних трикутниках пропорційними є відповідні висоти, бісектриси й медіани, радіуси вписаних і описаних кіл.

Вказівки до розв'язання задач методом подібності:

1) виділити з умови задачі ті дані, які визначають форму шуканої фігури;

2) за цими даними побудувати допоміжну фігуру, яка подібна шуканій;

3) виконати подібне перетворення допоміжної фігури, використавши те дане з умови задачі, яке визначає розміри шуканої фігури.

Наведені вказівки застосовуємо при аналізі задач на побудову.

Метод паралельного перенесення

Під час розв'язування деяких задач часто виникають труднощі при побудові шуканої фігури тільки через те, що частини цієї фігури дуже віддалені одна від одної, і тому важко ввести в малюнок дані елементи. Такими, наприклад, є задачі на побудову многокутників (які не є трикутниками), де зближення даних і шуканих елементів дає можливість звести задачу до побудови деякого трикутника, в якого відомі три елементи. Зближення елементів фігур зручно здійснювати методом паралельного перенесення.

У 9 класі при вивченні теми «Паралельне перенесення» розв'язуємо задачі на побудову методом паралельного перенесення.

Спочатку повторюємо з курсу 8 класу розв'язування задачі на побудову трапеції за основами і бічними сторонами. На прикладі цієї задачі пояснюємо суть методу паралельного перенесення: при аналізі задачі яку-небудь частину фігури паралельно переносять на деяку відстань у певному напрямі, завдяки чому дістають допоміжну фігуру, яку легко побудувати. Побудувавши допоміжну фігуру, виконують паралельне перенесення в протилежному напрямі на таку саму відстань. Дістають шукану фігуру.



2.3 Алгебраїчний метод

Суть методу полягає в тому, що проводячи аналіз задачі на побудову, положення на площині шуканого елемента знаходимо за допомогою алгебри. Припустивши, що задачу розв'язано, виділяємо на малюнку-ескізі шуканий елемент, до визначення якого зводиться розв'язування задачі. На підставі умови задачі і геометричних теорем складаємо рівняння, розв'язуючи яке знаходимо для шуканого елемента алгебраїчний вираз. Побудувавши його за допомогою креслярських інструментів, знаходимо положення шуканого елемента, а отже, і спосіб розв'язування задачі.

Формули для визначення шуканого елемента дають можливість узагальнити і повніше дослідити знайдену відповідь.

Користуючись алгебраїчним методом, легше визначити умову можливості існування розв'язків даної задачі, виявити їх кількість і деякі характерні особливості кожного розв'язку. Крім того, можна зводити різні задачі геометричного характеру до розв'язування і дослідження алгебраїчних рівнянь, а це, в свою чергу, дає змогу з'ясувати властивості креслярських інструментів і можливості виконання ними тих чи інших побудов.

Знайдена після розв'язування рівняння формула часто вказує на спосіб її побудови.

Отже, алгебраїчний метод є найдійовішим у розв'язуванні питання про можливість виконати ту чи іншу побудову за допомогою циркуля й лінійки, і саме в цьому полягає його найважливіше теоретичне значення.

Проте алгебраїчний метод не розкриває геометричної суті розв'язування задачі. До того ж ми за необхідністю вводимо до малюнка допоміжні відрізки, кути, дуги, кола, чим затушовуємо геометричний зміст знайденого розв'язку.

Завершальним етапом розв'язування будь-якої геометричної задачі на побудову алгебраїчним методом є побудова виведеної алгебраїчної формули. Тому приділяємо увагу виробленню в учнів умінь будувати відрізки, задані найпростішими алгебраїчними формулами. Найпростіші формули, до яких зводиться побудова відрізків при розв'язуванні задач на побудову, такі:

Побудови 1) - 7) розглядаємо в 7-8 класах під час вивчення відповідного геометричного матеріалу та розв'язування задач.

Розділ III. Методичні розробки планів-конспектів уроків геометрії в 7-8 класах з ілюстрацією застосування різних методів геометричних побудов

Урок №1 (7 клас)

Тема: Метод геометричних місць

Цілі уроку:

* дидактична - домогтися засвоєння учнями схеми дій, що покладені в основу методу ГМТ при розв'язуванні задач на побудову;

* розвивальна - сприяти розвитку алгоритмічного мислення, просторової уяви, пам'яті, уваги, загальнонавчальних вмінь: аналізувати, синтезувати, узагальнювати;

* виховна - сприяти вихованню взаємодопомоги під час організації роботи в групах, графічної грамотності.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.

Способи організації навчально-пізнавальної діяльності учнів: групова, індивідуальна, фронтальна бесіда.

Основні методи навчання: конкретно-індуктивний, наочні методи, самостійна робота, розв'язування усних та письмових вправ.

Наочність та обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя, підручник.

Основна література: 1) Бевз Г.П. Геометрія: Підручник для 7 кл. загальноосвітн. навч. закладів. - К.: Вежа, 2007. - 208 с.: іл.; 2) Бабенко С.П. Уроки геометрії. 7 клас С.П. Бабенко. - Х.: Вид. група «Основа», 2007. 208 с.

Очікувані результати навчання: учні повинні знати визначення поняття геометричного місця точок, суть методу ГМТ, алгоритм його здійснення;

мати уявлення про основні задачі на побудову, які розв'язуються за допомогою методу ГМТ;

вміти використовувати метод ГМТ при розв'язуванні задач на побудову (відтворювати схему, що лежить в основі методу геометричних місць).

План уроку

I. Перевірка домашнього завдання ( 10 хв.)

II. Мотивація навчальної діяльності. Формування мети й завдань уроку ( 8 хв.)

III. Засвоєння нових знань (5 хв.)

IV. Первинне усвідомлення нового матеріалу (15 хв.)

V. Підсумки уроку (3 хв.)

VI. Домашнє завдання ( 4 хв.)

Хід уроку

I. Виконання усних вправ перевіряємо під час фронтальної бесіди (Що називається ГМТ? Як провести через дану точку О пряму, перпендикулярну даній прямій а? Скільки можливо випадків?), письмових вправ - за допомогою самоперевірки (розв'язування задачі вчитель заготовив на дошці).

II. Для мотивації пропонуємо учням виконати завдання:

1) знайдіть ГМТ, рівновіддалених від точок А і В;

2) знайдіть ГМТ, віддалених від точок А і В на певну відстань а;

3) знайдіть ГМТ, рівновіддалених від точок А, В, С (точки А, В, С не лежать на одній прямій).

Порівняння умов запропонованих завдань приводить до формулювання проблеми, яку треба розв'язати: як побудувати геометричне місце точок, які задовольняють одночасно дві (а не одну) умови?

Пошук відповіді на це питання і є основною дидактичною метою уроку.

III. Міркування, що лежать в основі методу геометричних місць є досить простими і зрозумілими учням. Викладення цих міркувань учитель може проводити індуктивним або дедуктивним методом, тобто на прикладі однієї із запропонованих на третьому етапі задач продемонструвати хід міркувань, а потім узагальнити ці міркування або навпаки - сформулювавши загальні твердження, потім розглянути приклади його застосування.

IV. Виконання письмових вправ.

В умовах наступних задач усно виділити дві умови, які повинні задовольняти шукане ГМТ.

1. Точки А, В, С не лежать на одній прямій. Побудуйте точку, рівновіддалену від точок А, В, С.

2. Дано точки А, В, С. Побудуйте точку, яка рівновіддалена від точок А і В і лежить на заданій відстані від точки С.

3. Побудуйте точку, рівновіддалену від сторін даного кута, яка лежить на відстані d від його вершини.

4. Точка А лежить на колі радіуса R. Побудуйте точки даного кола, віддалені від точки А на відстань R.

Після виконання такого аналізу умов задач, починаємо письмове розв'язання задач №1 і №3.

V. Питання для бесіди: що сьогодні нового ви дізналися? З якими ГМТ познайомилися? Які для цього ми використовували методи?

А тепер за рисунком сформулюйте задачу, розв'язком якої є точки А і В.

VI. Домашнє завдання (з коментарями)

1. Розв'язати задачі №2, 3 класної роботи. Задачу під №3 слід розв'язати наступним чином:

1) провести серединний перпендикуляр до відрізка AB;

2) провести серединний перпендикуляр до відрізка BC;

3) знайти точку перетину цих серединних перпендикулярів і зробити висновки щодо шуканого ГМТ.

2. Розв'язати методом геометричних місць задачу: знайдіть геометричне місце центрів кіл радіуса R, що проходить через дану точку А.

Урок №2 (8 клас)

Тема: Розв'язування задач на побудову.

Цілі уроку:

* дидактична - засвоїти навички розв'язування задач на побудову достатнього та варіативного рівня, спираючись на властивості й ознаки паралелограма та інших чотирикутників;

* розвивальна - сприяти розвитку вмінь учнів розв'язувати геометричні задачі на побудову методом геометричних перетворень;

* виховна - сприяти вихованню інтересу учнів до предмету шляхом створення ситуації успіху, сприяти самовихованню та самовдосконаленню учнів під час самостійної роботи, графічної грамотності.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.

Способи організації навчально-пізнавальної діяльності учнів: індивідуальна, групова.

Основні методи навчання: абстрактно-дедуктивний, метод доцільності задач, наочні методи, розв'язування усних та письмових вправ.

Наочність та обладнання: креслярське приладдя, карточки із завданнями, підручник.

Основна література: 1) Бевз Г.П. Геометрія: Підручник для 8 кл. загальноосвітн. навч. закладів. - К.: Вежа, 2007. - 256 с.: іл.; 2) Брославська Г.М. Навчання учнів проводити дослідження в задачах на побудову Математика в школах України. - 2005. - №30 (114). - С. 33-37; 3) Бурда М.І. Геометрія: Підручник для 8 класу загальноосвітн. навч. закладів. - К.: Зодіак ЕКО, 2008. - 240 с.

Очікувані результати навчання: учні повинні знати властивості й ознаки паралелограма та інших чотирикутників, суть методів геометричних перетворень;

мати уявлення про геометричні побудови чотирикутників, поетапне розв'язування конструктивних задач;

вміти використовувати знання про чотирикутники та застосовувати методи симетрії й паралельного перенесення при розв'язуванні задач на побудову.

План уроку

I. Актуалізація опорних знань учнів (21 хв.)

II. Засвоєння знань, умінь та навичок (20 хв.)

III. Підсумки уроку (2 хв.)

IV. Домашнє завдання (2 хв.)

Хід уроку

I. Буквений диктант.

Зараз вам я запропоную відповісти на питання, але результат ви не записуйте, а помітьте лише перші букви відповідей: якщо зробите все правильно, то в нас повинно з'явитися слово, якому слід дати означення.

1. Як називається кут в ? (Прямий)

2. Твердження, що приймається без доведення. (Аксіома)

3. В якому відношенню знаходяться й 0,5? (Рівному)

4. Як з точки зору української мови називаються слова: плюс - мінус, помножити - розділити? (Антоніми)

5. Вона буває й ломаною, й прямою, й кривою. (Лінія)

6. Шоста буква в означенні: «Найдовша сторона в прямокутному трикутнику». (Гіпотенуза - «е»)

7. Якою дією можна отримати п'яту частину від числа? Випишіть третю букву означення. (Ділення - «л»)

8. Як називається многокутник, якщо він лежить по один бік від кожної прямої, яка проходить через дві його сусідні вершини? (Опуклий)

9. Наука, яка в перекладі з грецької означає «землемірення». (Геометрія)

10.“Квадрат”, у якого кути попарно рівні: два гострих й два тупих. (Ромб)

11. Четверта літера в імені володаря штанів, у якого вони “во все стороны равны”. (Піфагор - «а»)

12. Відрізок, що сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони. (Медіана)

Отож, ми отримали слово «паралелограм».

А тепер дайте відповіді на питання: яке твердження не є істинним для всіх прямокутників:

1) протилежні сторони паралельні; 2) протилежні сторони рівні; 3) всі кути прямі; 4) діагоналі рівні; 5) діагоналі взаємно перпендикулярні.

Робота учнів з карточками.

Карточка № 1.

На малюнку зображено паралелограм й всередині нього заштриховано прямокутник. Чому дорівнює площа заштрихованого прямокутника?

Карточка №2

В С Дано: ABCD - трапеція,

АВ=5 см, ВС=2 см,

AD=6 см, BD=7 см.

Знайти: S трапеції.

А D

Карточка №3

Дано: АВСD - трапеція

АВ=СD=5 см, ВС=12 см,

АD=28 см,

Знайти: S трапеції.

Карточка № 4. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні і рівні 4 см й 10 см. Знайти площу цієї трапеції.

Карточка № 5. Побудуйте рівнобічну трапецію ABCD: за основою AD, кутом А и бічною стороною АВ.

Карточка № 6. Побудуйте рівнобедрену трапецію ABCD: за основою ВС, бічною стороною АВ й діагоналлю BD.

II. Скільки елементів визначає паралелограм?

Що в основному використано при побудові паралелограма: яка фігура?

За якими даними на запропонованих малюнках можна побудувати трапецію?

Як й при побудові паралелограма, побудова трапеції інколи починається з побудови допоміжного трикутника, який потім добудовується до трапеції.

На малюнку-ескізі може й не бути допоміжного трикутника з-за того, що дані розкидані (далеко знаходяться один від одного), і тому їх потрібно зблизити. Це можна здійснити за допомогою деяких додаткових побудов.

Наприклад, проведення прямої, що проходить через одну з вершин, паралельної одній з бічних сторін або одній з діагоналей трапеції.



Розв'яжемо випадки (г, д).

Який план побудови?

Дано

Побудувати трапецію ABCD (ВС||АD), так щоб AB=a, BC=b, AD=d.

1. Робимо малюнок-ескіз

2. ВС || АD

3. Допоміжний трикутник АВМ (AB=a, BM=c, AM=d-b)

4. ВС || АМ, ВС=b, CD || BM



Побудова

Доведення:

1) BC || AD, значить ABCD - трапеція.

2) AB = a, BC = b - за побудовою. МBСD - паралелограм, значить CD = BM=c, тоді AD = d-b+b=d.

Проаналізувати побудову випадку (д)

Висновок. Задача вважається розв'язаною, якщо вказаний спосіб побудови фігури й доведено, що в результаті виконання вказаних побудов отримується фігура з потрібними властивостями: «Розв'язування задачі заключається не стільки в побудові фігури, скільки в розв'язанні питання про те, як це зробити й у відповідному доведенні!»

III. Підсумки уроку

Ми сьогодні познайомилися з новими методами геометричних побудов. Якими саме? Що було використано в основному при побудові паралелограма? Яка задача вважається розв'язаною?

IV. Домашнє завдання (з коментарями)

Бевз Г.П.: № 397(а), № 398 й побудувати трапецію (випадок д). Випадок д ми щойно проаналізували.

Урок №3 (8 клас)

Тема уроку: Застосування подібності трикутників для розв'язування задач.

Цілі уроку:

* дидактична - узагальнити поняття «подібні трикутники», повторити ознаки подібності трикутників, навчити використовувати цей матеріал під час розв'язування задач;

* розвивальна - стимулювати самостійне узагальнення матеріалу, сприяти розвитку алгоритмічного мислення, розвивати в учнів конструктивний підхід до розв'язування задач;

* виховна - виховувати інтерес до предмету через створення ситуацій успіху, сприяти вихованню взаємодопомоги під час колективної роботи, графічної грамотності.

Тип уроку: узагальнення й систематизація знань.

Способи організації навчально-пізнавальної діяльності учнів: фронтальна, індивідуальна, колективна.

Основні методи навчання: метод вправ, метод збудження інтересу, розв'язування усних та письмових вправ.

Наочність та обладнання: карточки із самостійною роботою, підручник, креслярські інструменти.

Основна література: 1) Бевз Г.П. Геометрія: Підручник для 8 кл. загальноосвітн. навч. закладів. - К.: Вежа, 2007. - 256 с.: іл.; 2) Бурда М.І. Геометрія: Підручник для 8 класу загальноосвітн. навч. закладів. - К.: Зодіак ЕКО, 2008. - 240 с.; 3) Шарапа Валентина. Конструктивні задачі в 8 класі Математика в школах України. - 2003. - №1 (13). - С. 16-17.

Очікувані результати навчання: учні повинні знати визначення подібних трикутників, ознаки подібності, властивість бісектриси кута трикутника, суть методів алгебраїчних та геометричних перетворень (методу подібності);

мати уявлення про геометричні побудови на площині;

вміти застосовувати знання про подібні трикутники при розв'язування задач, а також методів алгебраїчних та геометричних перетворень при розв'язуванні конструктивних задач.

План уроку

I. Перевірка домашнього завдання (5 хв.)

II. Закріплення засвоєних навичок та вмінь учнів (33 хв.)

III. Підсумки уроку (5 хв.)

IV. Домашнє завдання (2 хв.)

Хід уроку

I. Опитування учнів. Викликаний до дошки учень розбирає розв'язання задачі за готовим рисунком.

Дано: АВС,

МР || АС, АС=16,

СВ=8, PB=5.

Знайти: MP

Виберіть правильні твердження

А) Б)В)

II. Розв'язування задач

Задача 1. В трикутнику із сторонами 3, 5 та 7 см проведена бісектриса найбільшого кута. Знайдіть довжини відрізків, на які розбиває протилежну сторону бісектриса.

Слід згадати: 1) який з кутів в трикутнику вважається найбільшим? Найменшим? Чому? 2) властивість бісектриси кута трикутника.

За умовою АВ=3 см, ВС=5 см, АС=7 см. Оскільки АС - найдовша сторона, то кут, що лежить навпроти неї, повинен бути найбільшим. Тому кут В - найбільший. Отже, проведено бісектрису ВД.

За властивістю бісектриси кута трикутника, знаходимо АД, позначивши її перед цим через х:

Звідси:

Оскільки АС=АД+ДС, то ДС=.

Задача 2. Дано рівносторонній трикутник АВС. Побудувати відрізок КР, перпендикулярний до АС, так, щоб один кінець, точка К, лежав на стороні АВ і виконувалась рівність ВК=АР.

Розв'язання

Припустимо, що відрізок КР побудовано. Позначимо сторону трикутника АВС через а і опустимо з вершини В перпендикуляр на АС. Для побудови відрізка КР потрібно встановити положення точок К і Р на сторонах АВ і АС. Ці точки задовольняють умови: лежать відповідно на відрізках АС і АВ та на колах з центром у точці А радіусом АР із центром в точці В і радіусом ВК. Відрізки АР і ВК невідомі. Позначимо їх через , тоді АР=ВК=. Оскільки КР || ВD, то ?, і тоді

(1)

Враховуючи позначення, рівність (1) перепишемо так:

, або . Звідси . Положення точок К і Р - відоме.

Побудова: будуємо відрізок , відрізки на сторонах АВ і АС від точок В і А, відрізок КР. Відрізок КР - шуканий.

Самостійна робота (слід роздати учням карточки із завданням самостійної роботи одного варіанту).

1. Три сторони одного трикутника пропорційні тьом сторонам другого трикутника. Знайти сторони другого трикутника, якщо його периметр дорівнює 72 см, а сторони першого - 4 см, 6 см і 8 см.

2. Побудувати прямокутний трикутник, подібний даному, так, щоб висота, проведена з вершини прямого кута, дорівнювала відрізку .

III. Запитання до класу:

які трикутники є подібними;

скільки існує ознак подібності трикутників;

назвіть їх;

яку властивість має бісектриса кута трикутника.

IV. Домашнє завдання (з коментарями)

Бурда М.І.: параграф 14, №612 (4) + задача.

Задача: Знайти поза даним колом таку точку, щоб дотична, проведена з неї до цього кола, була вдвічі меншою від січної, проведеної з тієї самої точки через центр.

Задачу слід розв'язати алгебраїчним методом. Звернути увагу на те, що відстань шуканої точки від центра кола позначити через х. Тоді довжина січної , а довжина дотичної .



ВИСНОВКИ

Геометричні побудови відіграють велику роль в математичній освіті учнів. Виконання тих чи інших побудов дає змогу конкретизувати в свідомості учнів окремі геометричні факти, допомагає краще засвоїти теоретичний матеріал, розвиває логічне мислення і конструктивні здібності, сприяє розвиткові просторових уявлень. В роботі було схарактеризовано основні методи розв'язування задач на побудову в курсі планіметрії середньої загальноосвітньої школи:

метод геометричних місць;

алгебраїчний метод;

методи елементарних геометричних перетворень.

В III розділі викладено методичні розробки планів-конспектів уроків геометрії в 7-8 класах з ілюстрацією застосування різних методів геометричних побудов. В основному це: метод ГМТ, алгебраїчних перетворень, подібності та паралельного перенесення. Отож, було виявлено основні методичні особливості вивчення геометричних побудов в курсі планіметрії середньої загальноосвітньої школи. Тому мета й завдання дослідження досягнуті. Й хоча майже всі вчителя, автори підручників з геометрії поділяють задачі на побудову за методами їх розв'язування, і причину цього неважко виявити. По-перше, знання методів значно полегшує відшукування планів розв'язання задачі; по-друге, ознайомлення з методами озброює нас теоретично й практично; по-третє, вивчення методів виробляє та підсилює творчі можливості вчителів й учнів у виборі найдосконаліших прийомів і правильній організації процесу розв'язування задачі. Відмічаючи таку важливу роль методів геометричних побудов для набуття міцних навичок у розв'язанні задач на побудову, разом з тим слід застерегти від механічного застосування цих методів як універсальних рецептів, бо це привчає користуватися шаблоном і значно ускладнює на практиці вибір того чи іншого методу розв'язування конкретної задачі.

ЛІТЕРАТУРА

1. Александров И. Геометрические задачи на построение и методы их решения. - М.: Учпедгиз, 1934. - 150 с.

2. Бабенко С.П. Уроки геометрії. 7 клас / С.П. Бабенко. - Х.: Вид. група «Основа», 2007. - 208 с.

3. Бевз Г.П. Геометрія: Підручник для 7 кл. загальноосвітн. навч. закладів. - К.: Вежа, 2010. - 208 с.: іл.

4. Бевз Г.П. Геометрія: Підручник для 8 кл. загальноосвітн. навч. закладів. К.: Вежа, 2007. - 256 с.: іл.

5. Брославська Г.М. Навчання учнів проводити дослідження в задачах на побудову // Математика в школах України. - 2005. - №30 (114). - С. 33-37.

6. Бурда М.І. Геометрія: Підручник для 8 класу загальноосвітн. навч. закладів. - К.: Зодіак - ЕКО, 2009. - 240 с.

7. Бурда М.І. Розв'язування задач на побудову в 6-8 класах: Методичний посібник. - К.: Радянська школа, 1986. - 112 с.

8. Висоцька А.М. Перетин прямої і кола // Математика в школах України. - 2011. - № 5 (53). - С. 15-16.

9. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач. - М.: Учпедгиз, 1961. - 136 с.

10. Карнацевич Л.С. Геометрія. 7 клас: Розробки уроків / Л.С. Карнацевич, С.П. Ільченко, Т.П. Тавшунська. - Х. - Веста: Видавництво «Ранок», 2007. - 240 с. - (Майстер-клас).+Додаток (16 с.).

11. Лоповок Л.М. Розв'язування геометричних задач у середній школі. - К.: Радянська школа, 1972. - 262 с.

12. Орленко М.И. Решение геометрических задач на построение. - Минск: Учпедгиз, 1958. - 438 с.

13. Перепелкин Д.И. Геометрические построения в средней школе. - М.: Учпедгиз, 2008. - 76 с.

14. Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підручник для 7-9 кл. серед. шк. К.: Освіта, 1994. - 238 с.

15. Тесленко І.Ф. Алгебраїчний метод розв'язування конструктивних задач. К.: Радянська школа, 2007. - 122 с.

16. Тесленко І.Ф. Геометричні побудови: Посібник для студентів-заочників фіз.-мат. факультету пед. інститутів. - К.: Радянська школа, 1956. - 140 с.

17. Тесленко І.Ф. Елементарна математика. Геометрія. Видання третє, перер. і доп. - К.: Вища школа, 1973. - 300 с.

18. Тесленко І.Ф. Особливості геометричних задач на побудову в планіметрії. К.: Радянська школа, 2010. - 138 с.

19. Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений: Учебное пособие для пед. институтов. - М.: Учпедгиз, 2009. - 148 с.

20. Шарапа Валентина. Конструктивні задачі в 8 класі // Математика в школах України. - 2009. - №1 (13). - С. 16-17.

Размещено на Allbest.ur