Когда автор определяет график линейной функции, он упоминает, что график линейного уравнения и график линейной функции тождественные объекты, поэтому никаких вопросов здесь не возникает. На схеме данная ситуация изображена сходящимися стрелочками.

Итак, схема, изображенная на рис.1.1, конкретизируется для программы А.Г. Мордковича так как показано на рис.1.2. Представление о функции, как о зависимости, вообще исключено из рассмотрения.

Попытаемся понять, каким образом выстроенная так редукция влияет на качество понятий.

Как мы уже отмечали, в логике программы А.Г. Мордковича прямая у=с, где с - некоторое число, не представляет собой линейную функциональную зависимость (линейную функцию) [22]. Это объясняется тем, что на коэффициент в определении линейной функции у=kx+m наложено условие k?0, что ограничило область действия линейного оператора. На самом же деле, у=с является линейной функцией. Отметим, что с помощью формулы линейной функции можно описать все прямые, кроме вертикальной х=а, поскольку одному значению х соответствует бесконечно много значений у [19].

Графиком линейного уравнения в данном подходе могут быть только прямые, непараллельные осям, поскольку коэффициенты линейного уравнения не должны быть равными нулю.

Таким образом, при внимательном прочтении текста учебника можно классифицировать множество прямых на плоскости по способу их описания. Существуют прямые, которые описываются:

а) с помощью линейных функций и линейных уравнений с двумя неизвестными - все наклонные прямые;

б) только при помощи линейных уравнений с одним неизвестным - все прямые параллельные осям координат.

Вопрос о том, как связаны линейное уравнение с одним неизвестным и линейная функция, в учебнике не обсуждается.

Подведем итог. Мы обнаружили следующие дефициты.

1) Определение линейного уравнения и линейной функции даются через фиксирование формы записи этих объектов, а не с точностью до тождественных преобразований.

Это даёт право учащимся не считать равенства типа ++=0 (a_i, b_j, c_v - константы, n, k, m N) линейными уравнениями. Аналогичная ситуация с линейными функциями.

Как следствие, у учащихся нет средств определить, какому графику сопоставляется выражение типа ay=kx+c.

2) Принятая логика изложения не дает учащимся средств для ответа на вопрос: Графиком какой функции является данная прямая на координатной плоскости?

3) Равенство у=с не является для учащихся функцией.

1.3 Введение понятия функции в программе С.Ф. Горбова "Алгебра 7"

В настоящее время на ФЭП МАРО активно апробируются экспериментальные материалы для 7 класса, разрабатываемые авторами программы по математике РО для начальной школы С.Ф. Горбова и др. В разрабатываемом авторами курсе делается попытка реализовать деятельностный подход к введению понятия функции.

Единицей организации содержания в курсе является блок, в котором вводится какое-либо понятие. В программе можно выделить три содержательные линии: формирование понятия переменной, аналитическое описание геометрических объектов (работа с алгебраическими и графическими моделями), функциональная линия. Эти линии не являются изолированными, в частности, учащиеся, находясь в ситуации затруднения в рамках одной линии, могут использовать знания и методы из другой содержательной линии.

Основным принципом при конструировании материала является рассмотрение отношений между геометрическим и алгебраическим языками [3]. При этом алгебраический язык представлен формулами, уравнениями, а геометрический - линейными и плоскостными чертежами, схемами, графиками уравнения, функции. Например, для того, чтобы записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на координатной плоскости, необходимо определить координаты точек, воспользоваться общим видом линейного уравнения и записать полученное уравнение, тем самым мы совершаем действие перехода от геометрического вида модели к алгебраической [3].

В этой же идеологии рассматриваются зависимости между переменными. В рамках поиска класса зависимостей, которые могут быть заданы формулой, различаются однозначные и неоднозначные зависимости.

Опишем общую логику введения понятия функции [9, 10, 11].

Понятие функции представлено как однозначная зависимость между переменными величинами, которая в аналитической форме может быть записана при помощи формулы вида у= f(x) с указанием области определения независимой переменной, а в графической - графиком зависимости - кривой на координатной плоскости. В этом понятии можно выделить три аспекта, нашедшие отражение в определении:

а) наличие зависимости между переменными;

б) однозначный характер этой зависимости;

в) наличие области определения, которая понимается как множество значений независимых переменных, на которых устанавливается данная зависимость [9].

В формировании понятия функции можно выделить пять этапов [9, 10].

I. Введение понятия зависимости

Первоначально идея зависимости возникает в связи с рассмотрением выражения как программы, устанавливающей соответствие между задаваемыми значениями переменных, входящих в выражение (независимых переменных), и значениями, принимаемыми выражением (зависимой переменной). В ходе рассмотрения подготовительного материала, связанного с преобразованием выражений, выясняется, что существуют выражения, различающиеся по составу и порядку действий, но принимающие одинаковые значения при любых одинаковых значениях переменных. Возникает понятие тождества и тождественных выражений. С точки зрения зависимости между переменными тождественные выражения - это выражения, описывающие одну и ту же зависимость.

Отметим, что описание зависимости с помощью формулы требует проведения соответствующих вычислений для каждого заданного значения независимой переменной.

II. График как средство моделирования зависимости

График является средством, позволяющим показать сразу всю зависимость, причем графический способ первоначально возникает как другое средство описания зависимости и в последствии становится самостоятельным способом существования зависимости. Таким образом, описание зависимостей также рассматривается с позиций двух языков - алгебраического и геометрического.

III. Однозначные и неоднозначные зависимости

Далее показывается, что для некоторых зависимостей возможны достаточно явные переходы от одного описания к другому, а для других - нет.

Выделяется класс зависимостей, для которых такие переходы возможны, а именно, зависимости определяемые формулами "у=выражение". Поскольку зависимая переменная y вводится в явном виде как "заместитель" переменной, представляющей собой собственно выражение, любая формула задает однозначную зависимость. Действительно, выражение в правой части представляет собой последовательность действий (программу), при заданных значениях переменных приводящую к однозначному результату - конкретному значению y. Однозначные зависимости и называют функциями.

IV. Область определения функции

Далее авторы вводят в рассмотрение область определения функции как некоторые "смысловые ограничения" на независимую переменную. Введение области определения позволяет завершить построение определения функции.

V. Введение функциональной символики

Вводится новый объект - кусочные функции, что позволяет рассмотреть общий способ описания зависимости и приводит к введению функциональной символики. Заметим, что общая функциональная символика используется далее для введения общего способа преобразования графиков функций f(x) + l, f(x + m).

Итак, мы выделили следующую логику введения понятия функции. Изначально рассматривается аналитический способ задания зависимостей между переменными величинами. Переход к графическому способу позволяет выделить два класса зависимостей: однозначные и неоднозначные. Однозначные зависимости называются функциями. Для полного описания функции вводится область определения. Таким образом, логика введения понятия функции в данном курсе подобна реконструированной нами логике исторического развития этого понятия.

Заметим, что, в отличие от программы А.Г. Мордковича, в данном курсе не рассматриваются задачи на возрастание и убывание функций, по-видимому, это связано с тем, что программа РО находится в стадии разработки. Однако в курсе С.Ф. Горбова также прослеживается тесная связь линейного уравнения и линейной функции как в графической так и в аналитической формах.

Применим схему, изображенную на рис 1.1 для анализа связи понятий линейной функции с линейным уравнением в курсе Горбова С. Ф. [8, 9, 10].

1. Линейное уравнение - это равенство, в которое неизвестные входят в первой степени, нет их произведения, и хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Линейная функция - зависимость между переменными, которая выражается формулой вида у=kx+m. Заметим, что ограничений на коэффициенты не вводятся. Содержательно понятия линейной функции и линейного уравнения отличаются, хотя по форме записи могут совпадать. Так, линейное уравнение вводится как "способ для описания геометрической фигуры на плоскости на языке алгебры" [8], тогда как линейная функция - это способ записи линейной зависимости [10]. Заметим, что в курсе нами не были обнаружены задания, посредством которых явно осуществлялся бы переход от линейного уравнения (канонического вида ax+by+c=0) к виду линейной функции. заданных аналитически. Этот переход осуществляется посредствам обращения к графику линейной функции и линейного уравнения, т.е. прямой на координатной плоскости, с помощью специально организованной ситуации затруднения. Таким образом, можно говорить, что связь ЛФ-ЛУ присутствует, но она не явная, поэтому на схеме этот переход обозначим символом "< - >".

2. В задачнике есть задачи, в которых необходимо описать прямую на алгебраическом языке и наоборот [8]. В курсе С.Ф. Горбова прямая интерпретируется как ГМТ на координатной плоскости, поэтому линейным уравнением можно описать любую прямую на координатной плоскости. Итак, связь ГЛУ -ЛУ восстанавливается полностью.

3. График линейной функции - это "способ представления зависимости, который позволяет для каждого значения х просто увидеть готовое значение у без всяких вычислений" [10]. График выступает в качестве геометрической модели зависимости, тогда как формула - алгебраическая модель. В курсе представлен переход от одного вида моделей к другому. Поскольку авторы говорят о неоднозначных зависимостях, то линейными функциями можно описать любые прямые, непараллельные оси ОY. На основании этого переход ГЛФ -ЛФ восстанавливаются однозначно.

Таким образом схема анализа способа введения понятия функции в курсе С.Ф. Горбова изображена на рис.1.3.

1.4 Выводы

Историческая реконструкция понятия функции, проведенная в §1 настоящей главы, позволила выделить этапы его развития: 1) этап становления понятия функции как зависимости рядов величин, а затем переменных; 2) разделение однозначных и неоднозначных зависимостей; 3) введение понятия области определения. При этом важную роль играл вопрос о соотнесении геометрического образа и аналитической формы задания функции.

В ходе восстановления логики программы мы выделили два объекта для введения понятия линейной функции: линейное уравнение с двумя неизвестными и его график. Логика изложения представлена четырьмя блоками: раскрытие связи линейного уравнения и его графика; оформление связи линейной функции с ее геометрической моделью; введение области определения функции и рассмотрение нового способа построения прямой. Последние два блока не имеют логических связок с предыдущими. Автор рассматривает функцию как частный случай уравнения, при этом, не раскрывая представление о функции как зависимости между переменными. Мы попытались установить логические связи между геометрическими и аналитическими интерпретациями линейной функций и линейного уравнения, и увидели, что связи не являются полными. Это приводит к математическим неточностям, например, к тому, что прямая у=с не является графиком линейной функции. Другие виды функций получаются путем обобщения формы записи линейной функции.

В программе МАРО понятие функции построено в соответствии с его историческим развитием, что позволяет авторам работать с отношением между аналитической и геометрической формами задания. Связи между понятиями линейное уравнение, линейная функция и их графики восстанавливаются практически полностью, отсутствуют лишь явные переходы между алгебраическими формами задания линейной функции и линейного уравнения. В данном курсе авторы работают с понятием зависимости вообще, с любыми видами функций, рассматриваются также и неоднозначные зависимости. В силу этого линейная функция представлена лишь как частный случай однозначной зависимости.

Глава 2. Представление об учебной задаче (на материале математики)

2.1 Представление об учебной задаче в начальной и подростковых школах

В настоящее время нет описаний учебной задачи в подростковой школе. Ее структура и содержание только обсуждаются разработчиками. Отметим, что представления об учебной задачи в подростковой школе мы получили из соотнесения следующих источников [2, 12, 31], анализа материалов экспериментального курса С.Ф. Горбова [8, 9,10,11] и личных бесед с автором.

Курс математики начальной школы в системе РО ставит своей целью формирование у школьников основ теоретического мышления. Он ориентирован, главным образом, на формирование научных (математических) понятий, а не только лишь на выработку практических навыков и умений, поэтому особой формой организации учебной деятельности выступает учебная задача. Она существенно отличается от многообразных частных задач в ТО, поскольку при ее решении школьники первоначально овладевают содержательным общим способом, а затем применяют его к каждой частной задаче. При этом знания не даются в готовом виде (в виде образцов, правил, алгоритмов), а добываются учащимися при решении учебной задачи, путем выполнения учебных действий [12].

Суть учебной задачи по математике заключается в том, чтобы преодолеть разрыв между необходимостью и возможностью выполнить действие, и тем, что имеющийся у учащихся способ этого не позволяет. Необходимость выполнения предметного действия обусловлена рамками задания. Возможность преодолеть затруднение заключается в том, что имеющийся способ применяется не на прямую, а посредствам его преобразования.

В начальной школе учебная задача одна, она направлена на формирование понятия числа. Учащиеся моделируют всеобщее отношение величин, получаемое в результате измерения одной величины с помощью другой, принятой в качестве мерки. Ситуации затруднения конструируются за счет того, что изменяются условия действия измерения величины заданной меркой, в результате чего возникает новый вид числа. При этом первоначальные действия измерения (отмеривания) учащимися выполняются с реальными предметами и повторяются с учетом характера новых условий [12]. Например, натуральное число получается в том случае, если мерка укладывается в величине целое число раз. В ситуации, когда исходная мерка не укладывается в измеряемой величине целое число раз, детям приходится изобретать новую мерку из основной. Разбиение мерки на равные части позволяет зафиксировать новый вид числа - обыкновенные дроби.

Авторы содержания программы МАРО, говорят о том, что на материале введение понятия функции нет подобной всеобщей задачи, посредствам которой у учащихся сформировалось бы представление о функциях. Нам удалось выделить структуру организации учебных задач на формирование понятия функции, но мы не обнаружили единой задачи [8, 9, 10,11]. Учебные задачи состоят из ситуаций затруднений, причем такие ситуации могут возникать на разных этапах ее решения. При этом можно говорить о том, что на материале введения понятия функции организована цепочка учебных задач. Нам не удалось увидеть системный характер связи между отдельными учебными задачами, об этом же говорит и сам автор курса.

Для примера опишем одну из четырех ситуация затруднений, которые предлагаются авторами [10]. Ситуация затруднения связана с выходом на графический способ представления зависимости, конструируется на этапе поставки учебной задачи. Учащимся предлагается задание, в котором требуется заполнить таблицу значений по заданной формуле зависимости (линейной функции). Значения подобраны и расположены так, что выполнение задания представляет весьма трудоемкий процесс. Учащиеся умеют вычислять значения зависимой переменной, используя формулу, строить график линейного уравнения, заданного в виде y=kx+b. Через некоторое время "угадывания значений" учащимся предлагается подумать, нельзя ли найти другой способ представления зависимости, который бы позволял находить значения зависимой переменной по заданному значению независимой. Учащиеся должны "вспомнить" о координатной плоскости и способе показывать решения линейного уравнения с двумя неизвестными (эта тема была пройдена учащимися). Таким образом, используя знания из другой "содержательной линии" учащиеся преодолевают возникшее затруднение, тем самым появляется новая интерпретация изученного объекта, который становится новым объектом изучения: график линейного уравнения теперь мыслится как график линейной зависимости. После обнаружения способа учитель предлагает координатную плоскость "удобного" масштаба, с помощью которой удается заполнить таблицу. Старый способ (построение прямой на плоскости как графика линейного уравнения) помог преодолеть затруднение и привел к обнаружению нового способа (построение прямой как графика зависимости). Таким образом, авторы курса организуют ситуацию переноса известного способа из другой содержательно-методической линии в новый контекст.

Учебная задача, которая предлагается школьникам в начальной школе учителем, требует от них: 1) анализа фактического материала с целью обнаружения в нем некоторого общего отношения, имеющего закономерную связь с разными проявлениями этого материала; 2) выделения на основе абстракций и обобщения частных отношений данного материала и их объединения в некоторый целостный объект, т.е. построения "клеточки" понятия и мысленного конкретного объекта; 3) овладения в этом аналитико-синтетическом процессе общим способом построения такого объекта.

В связи с этим В.В. Давыдов выделяет учебные действия решения учебной задачи [12]:

1) преобразование условий задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта;

2) моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме;

3) преобразование модели отношения для изучения его свойств в "чистом" виде;

4) построение системы частных задач, решаемых общим способом;

5) контроль за выполнением предыдущих действий;

6) оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи.

В отличие от младшей школы, где модель отношения строится после или в процессе манипуляции с предметами, в подростковой школе учащиеся выполняют действия с математическими моделями, которые становятся объектами исследования, т.е. перестают выполнять функции модели [3]. При этом изменяется характер действий, которые выполняют учащиеся, - это действие в рамках знаковых систем (алгебраической, геометрической).

Г. А. Цукерман приводит более мягкую структуру учебной задачи, которая не ориентирована на поиск всеобщего отношения, построения "клеточки" научного понятия. Так она выделяет следующие этапы решения учебной задачи: постановка, поиск новых средств и способов решения, решение системы частных задач с применением нового способа, контроль, оценка [31.c. 76-80]. Также предложенная структура не зависит от характера действий учащихся (построение модели, работа со знаковыми системами). На основании этого у нас появилось предположение, что структуру учебной задачи, предложенную Г.А. Цукерман можно использовать для выделения этапов решения учебной задачи в подростковой школе.

2.2 Цепочка учебных затруднений на формирование понятия функции в курсе алгебры С.Ф. Горбова

Как уже отмечалось, в курсе С.Ф. Горбова понятие функции вводится с помощью специально организованных авторами ситуаций затруднения. Они оформляются в заданиях. Остальные задачи, предлагаемые в задачнике, направлены на конкретизацию понятия или применение введенного способа. С.Ф. Горбов довольно часто предлагает учащимся рассматривать контрпримеры. Что позволяет учащимся обнаруживать новые аспекты понятия и оценивать полноту решения задачи [8, 9]. Таким образом организуется контроль и оценка введенного способа.

Теперь опишем четыре основных ситуации затруднения.

1. Ситуация затруднения связана с различением двух видов неизвестных

Учащиеся знают, что выражение задает программу действий, формула - утверждение об отношении, в котором находятся разные программы (выражения) с точки зрения полученным по ним результатам. Формулы бывают истинные и ложные.

Задание: Найди несколько значений переменных, для которых формула m=3a²+b² будет истинной. Опиши, как удобно находить такие "подходящие" значения переменных. Учащиеся сопоставляют значение выражения в правой части и значение переменной в левой, обнаруживают, что удобно находить значение выражения правой части и получившееся значение придавать переменной в левой. Таким образом, буква в левой части и выражение в правой представляют собой одну и ту же переменную, только значения переменных, входящих в состав выражения мы задаем произвольно, а значение буквы в левой части вычисляем. Например, в формуле m=3a²+b² существуют зависимые и независимые переменные, a и b - независимые переменные, а m - зависимая. Так различили два вида переменных.

Затруднение связано с тем, что учащимся необходимо применить имеющиеся знания в новом контексте условий.

2. Ситуация затруднения связана с выходом на графический способ представления зависимости (более подробно она описана в §1 настоящей главы)

Возникает при построении графика зависимости и связана с задачей изображения решения линейного уравнения, представленного в виде у=kx+m. Учащимся предлагается задание, в котором требуется заполнить таблицу значений по заданной формуле зависимости (линейной функции). Значения подобраны и расположены так, что выполнение задания представляет весьма трудоемкий процесс. Применяя умения вычислять значения зависимой переменной, используя формулу, учащиеся обнаруживают, что при выполнении задания эти способы не эффективны. Зато умение строить график линейного уравнения, заданного в виде y=kx+b, приводит их к новому способу представления зависимости, который позволяет обнаружить принцип нахождения значения зависимой переменной по заданному значению независимой.

Таким образом, используя способ из другой "содержательной линии" в новых условиях, учащиеся преодолевают возникшее затруднение.

3. Ситуация затруднения, посредствам которой учащиеся различают однозначную и неоднозначную зависимость. Учащимся предлагается заполнить таблицы значений зависимой переменной, используя заданные графики зависимостей. Несколько из предложенных зависимостей не являются однозначными, что учащиеся и обнаруживают, заметив несколько значений зависимой переменной при одном значении независимой.

Затруднение состоит в том, что необходимо сравнить два вида зависимостей. Средством, которое позволяет преодолеть его является знание об однозначных зависимостях. Таким образом, происходит конкретизация знаний о зависимостях. Фактически, учащиеся используют имеющиеся знания, но эти знания получены ими в этой же содержательной линии.

4. Ситуация затруднения связана с построением полного описания функции на алгебраическом языке. Затруднение вызывается тем, что необходимо записать возникшие ограничения. Способом преодолеть затруднение является обращение к способу записи числовых промежутков, т.е адаптации старого способа записи к новым условиям.

Нами выделены четыре ситуации затруднения, две из которых связаны с применением старого знания в новых условиях, а две с адаптацией старого способа в новом контексте условий. При этом системной связи между данными ситуациями выделить не удается.

2.3 Вывод

Итак, подведем итог. На основании проведенного анализа данных об учебной задаче в подростковой школе под учебной задачей мы будем понимать: разрыв какого-либо способа действования, который может возникнуть в ситуации затруднения.

В подростковой школе, в отличии от младшей, не удается выделить всеобщего способа, который позволил бы организовать формирование понятия функции. Первоначально мы предполагали, что в курсе С.Ф. Горбова удастся выделить систему учебных задач, но нам удалось обнаружить только цепочку (серию) учебных задач, каждая из которых основана на конструировании ситуации затруднения. Ситуации затруднения, в свою очередь, организуются по следующему принципу: открытие способа посредствам адаптации имеющегося способа (возможно из другой содержательной линии) в новых условиях. На месте способа может находиться знание. Представляет определенную трудность описание ситуации затруднения в языке способа (действия).

Учебная задача в подростковой школе направлена на преобразование имеющегося способа к новой ситуации, а не на поиск общего способа решения, как было в начальной школе. Учащиеся выполняют действия с моделями в рамках знаковых систем, а не моделируют отношение между объектами. По этим причинам мы предполагаем, что для описания структуры учебной задачи в подростковой школе можно использовать описание, предложенное Г. А. Цукерман [31].

Глава 3. Методика введения понятия функции через систему учебных задач

3.1 О возможности применения системы учебных задач в программе А.Г. Мордковича

В программе А.Г. Мордковича понятие функции вводится по принципу "от частного к общему". Базовой моделью для введения линейной функции является линейное уравнение с двумя неизвестными, которое появляется как модель практической ситуации (модель текстовой задачи). Автор осуществляет переход от линейного уравнения с двумя неизвестными к виду линейной функции. От линейной функции автор переходит к квадратичной, путем формального переноса структуры записи. Для каждого случая приводится свое определение, и предлагаются некоторые общие свойства функций. Формальное определение, которое заключается в обобщении рассмотренных ранее числовых функций, дается лишь в 9 классе [21].

Принцип введения понятия функции в программе С.Ф. Горбова можно обозначить как "от общего к частному". Поскольку в курсе рассматриваются три содержательные линии, то материал построен таким образом, что одна линия пересекается с другими. Например, линейное уравнение с двумя неизвестными и его график рассматриваются в отдельном блоке, что позволяет при рассмотрении зависимости осуществить переход от аналитической формы описания зависимости к графической. Ведущая задача курса С.Ф. Горбова об отношения двух видов моделей, алгебраической и геометрической, позволяет ввести представление о зависимости между переменными. Этот же принцип позволяет рассматривать зависимости с любым количеством неизвестных, но авторы ограничиваются тремя. Определение функции в ходе становления понятия дополняется [8, 9 ,10].

Заметим, что присутствует некоторое сходство введения понятия функции в рассматриваемых курсах "Алгебра 7". Сходство проявляется в:

1. Способе введения зависимости между зависимой и независимой переменными. С.Ф. Горбов рассматривает способ, который позволяет различить два вида переменных, на примере произвольного вида зависимости (фактически используя формулу вида s=g(t₁, t₂,…,t_n)). А.Г. Мордкович рассматривая линейную функцию, выделяет в ее записи зависимую и независимую переменные. В курсе А.Г. Мордковича, способ различения зависимых и независимых переменных переносится на квадратичную функцию, и т.д. Отличие методов заключается в том, что С.Ф. Горбов при введении конструирует одну из ситуаций затруднения, А.Г. Мордкович сам вводит два вида переменных, без рассмотрения примеров (не заостряя на этом моменте особого внимания).

2. Способе нахождения значений зависимой переменной. В обоих программах от равенства вида ax+by+c=0 переходят к уравнению y=kx+m, что позволяет явно находить значение зависимой переменной, и появляются основания для введения в дальнейшем записи y=f(x). С.Ф.Горбов посвящает рассмотрению этого материала блок "Координатный метод", где соотносит аналитическое и графическое представление двух видов записи. А.Г. Мордкович осуществляет этот переход с помощью формальных операций.

3. Способе введения графика зависимости. На примере линейной зависимости ставится вопрос о том, как показать все решения уравнения y=kx+m. Этот шаг приводит к появлению графика зависимости (в программе С.Ф. Горбова) и графику уравнения (в программе А.Г. Мордковича). В программе РО этот шаг построен в виде ситуаций затруднения, тогда как в программе ТО материал изложен в учебнике в теоретической форме.

4. Способе введения области определения функции. Область определения в программах РО и ТО вводится в ситуации смысловых ограничений на значения независимой переменной, возникающих при решении текстовой задачи. В программе РО введение области определения позволяет внести дополнения в формирующееся понятие функции. В обоих курсах благодаря введению области определения удается выделить новый класс зависимостей - кусочные, которые представлены в курсе на примерах.

Общую последовательность применения способов можно изобразить следующей схемой рис. 2.1:

Выделенные общие моменты позволили нам увидеть возможные места для конструирования ситуации затруднения для учащихся, обучающихся по программе А.Г. Мордковича.

Особым затруднением для нас было то, что в программах рассматриваются различные единицы содержания. Так в программе А.Г. Мордковича используются частные виды функциональных зависимостей, тогда как в курсе С.Ф. Горбова исследуется класс однозначных зависимостей. придерживаясь логики А.Г. Мордковича, мы разработали цепочку учебных задач, состоящую из 5 затруднений на введение понятия "Линейная функция".

3.2 Методика изучения темы "Линейная функция"

Существенным преобразованием в содержании А.Г. Мордковича стало то, что линейная функция вводится как зависимость между переменными. Это позволило "приспособить" ситуации затруднения, предложенные Горбовым С.Ф., связанные с введением области определения и аспекта однозначности в понятие функции. Первую ситуацию затруднения нам удалось сконструировать на подобие классической учебной задачи в начальной школе. Она представлена как развитие поиска нахождения способа решения линейного уравнения, открытый способ может быть перенесен на уравнения более высоких степеней. Первая учебная задача описана подробно, для остальных выделены принципы (приложения №1 - №4).

Перечислим основные ситуации затруднения, основания организации разрыва, этапы на которых они представлены.

1. Введение понятия функции как способа нахождения решений линейного уравнения с двумя неизвестными (по принципу классической учебной задачи, на этапе "Введения способа решения линейного уравнения с двумя неизвестными");

2. Введение понятия линейной функции как зависимости между переменными (ситуация разрыва в знаниях, на этапе "Выделение понятия функция "в чистом виде");

3. Введение графика линейной функции (ситуация разрыва в способе, на этапе "Соотнесение геометрического и аналитического способов задания линейной функции");

4. Введение области определения (ситуация разрыва в способе, на этапе "Конкретизация понятия линейная функция");

5. Введение неоднозначных зависимостей (ситуация разрыва в знаниях, на этапе "Конкретизация понятия линейная функция").

К началу формирования понятия функции у учащихся есть опыт преобразования буквенных выражений, нахождения их числовых значений, решения линейных уравнений с одним неизвестным (аналитически - указывая множество решений в виде х=а, у=b, и графически - с помощью построения прямой, параллельной соответствующей оси координат, на которой расположены все решения линейного уравнения с одним неизвестным), имеются интуитивные представления о линейном уравнении с двумя неизвестными, и его решениях.

Для введения понятия линейная функция нами были выделены следующие этапы:

Подготовительный этап: введение представления о решении линейного уравнения с двумя неизвестными

Введение способа решения уравнения с двумя неизвестными

I. Открытие способа нахождения решений линейного уравнения с двумя неизвестными

II. Оценка способа нахождения решений линейного уравнения с двумя неизвестными

Выделение понятия функция "в чистом виде"

I. Введение определения "линейная функция"

II. Уточнение понятия линейная функция

А. Выделение понятий зависимая, независимая переменные "в чистом виде"

Б. Выделение характеристик линейной формулы

III. Специфика понятия линейная функция

А. Линейная функции как средство для восстановления уравнения

Б. Линейная функция как способ нахождения решений класса линейных уравнений с двумя неизвестными

Соотнесение геометрического и аналитического способов задания линейной функции

I. Введение геометрического способа представления решений линейного уравнения с двумя неизвестными

II. Введение понятия графика функции

А. Введение представлений о графике функции

Б.Введение определения "график функции", и способа его представления

III. Введение представления о возрастающих и убывающих функциях

А. Введение алгебраического способа описания графика функции

Б. Оценка способов задания линейной функции

В. Введение представлений о возрастающих и убывающих функциях

Конкретизация понятия линейная функция

I. Введение полного описания линейной функции

А. Введение представлений о кусочно-линейных функциях

Б. Введение определения области определения функции, полного описания линейной функции на алгебраическом языке

II. Аспект однозначности в понятии "Функция"

Подготовительный этап

Введение представления о решении линейного уравнения с двумя неизвестными

Целью подготовительного этапа является введение представления о решении линейного уравнения с двумя неизвестными. Представления о решении линейных уравнений вводится до решения учебной задачи, возможно, традиционным объяснительно-иллюстративным способом. Эти первоначальные представления о том, что такое решение уравнения с двумя неизвестными и что означает решить его (указать способ нахождения всех решений) будут углублены. В процессе решения учебной задачи учащимся сообщается, что пара чисел (х, у) является решением линейного уравнения с двумя неизвестными, если после подстановки ее в это уравнение получается верное равенство. Ученикам так же объясняется термин "решить уравнение" - указать все возможные его решения.

После этого учащимся предлагается задание, для выполнения которого они должны применить введенные определения. В задании требуется решить линейное уравнение с двумя неизвестными в натуральных числах. Это дополнительное условие накладывается для того, чтобы количество решений было конечным, и все их можно получить перебором, с использованием свойств четности (нечетности) натуральных чисел. Средством оценить, верно ли решено уравнение, является подстановка полученной пары чисел в это уравнение и обращение его в тождество.

Таким образом, учащиеся научаться использовать обозначение для пары решений в виде (х, у), освоят способ нахождения решения линейного уравнения с двумя неизвестными при помощи подбора значений и способ проверки принадлежности пары (х, у) к множеству решений уравнения.

Введение способа нахождения решения линейного уравнения с двумя неизвестными

Начиная с этого этапа, учащиеся приступают к решению учебной задачи. Цель этапа: ввести понятие функции как способа нахождения решения линейного уравнения с двумя неизвестными.

Открытие способа нахождения решений линейного уравнения с двумя неизвестными

Перед учащимися ставится задача: научиться находить решения линейного уравнения с двумя неизвестными ax+by+c=0. Для решения поставленной задачи они должны обнаружить общий способ записи всех решений линейного уравнения в виде пар чисел (х, ) или (х=, у), которые получены в ходе преобразования самого линейного уравнения ax+by+c=0.

Когда учащиеся начинают искать способ решения задачи, они сталкиваются с затруднениями. Одно из которых заключается в том, что подобрать сразу оба значения неизвестных весьма сложно. Условно такой подход к задаче можно назвать "методом проб". Другая трудность, состоит в том, что когда в уравнение подставляется значение одной переменной, тем самым оно превращается в линейное уравнение с одной неизвестной, но этот способ не позволяет описать все решение уравнения. Тем не менее, благодаря ему появляется возможность выделить общий способ нахождения решений заданного линейного уравнения. Третий способ решения задачи, состоит в том, чтобы выразить одну переменную через другую, принимающую произвольные значения, позволяет быстро указать пару решений (х, у(х)).

Так учащиеся обнаруживают, что первые два способа - это, фактически, подбор конкретных пар (х, у), а третий есть реализация общего способа поиска таких пар. Средством, которое позволяет найти способ, является преобразование уравнения к виду или .

Таким образом, на этом шаге учащиеся обоснованно выбирают способ нахождения решений в виде указания пар чисел (х, ), (х=, у).

Оценка способа нахождения решений линейного уравнения с двумя неизвестными

Теперь перед учащимися ставиться задача оценить, решили ли они уравнение ax+by+c=0. Для этого они должны обосновать, что все возможные решения линейного уравнения с двумя неизвестными записываются в виде (х, ), (х=, у). Таким образом, учащиеся отвечают на вопросы: действительно ли полученные пары являются решениями? Описывают ли они все возможные значения х и у? Для ответа на первый вопрос ученики могут обратиться к выводам, полученным на подготовительном этапе: чтобы проверить являются ли полученные пары решениями линейного уравнения необходимо подставить их в это уравнение. В результате получатся верные тождества, что и означает, что решения найдены верно. Для ответа на второй вопрос требуется принять соглашение о том, что если нет явных ограничений на значения х и у, то они могут быть любыми. Тогда парами (х, ), (х=, у) описываются все возможные корни уравнения.

Учащиеся уточняют представление о решении линейных уравнений. При решении линейного уравнения с одним неизвестным учащиеся находили одно решение, при поиске натуральных решений линейного уравнения с двумя неизвестными они подбирали подходящие, при решении задачи нахождения всех решений они указали способ того, как можно найти бесконечно много подходящих пар чисел. Таким образом, для того, чтобы решить уравнение необходимо не найти (перебрать) решения как это было, а указать способ их нахождения.

В результате прохождения этапа у учащихся появляется новое понимание термина "решить уравнение". Так же они научаться обосновывать, что уравнение решено, т.е. что пары чисел (х, ) и (х=, у) описывают все возможные решения линейного уравнения с двумя неизвестными

Отметим, что данное задание и задание подготовительного этапа обеспечивают некоторую пропедевтику введения области определения функции, поскольку в каждом из них оговорены условия существования независимой переменной.

Выделение понятия функция "в чистом виде"

I. Введение определения "линейная функция"

Цель этого шага - ввести представления о линейной функции, как новом объекте изучения. Перед учащимися ставится задача: понять текст и соотнести его содержание со своим опытом. Текст, предлагаемый учащимся, посвящен понятию линейной функции, в нем формулируется определение линейной функции, k и b - произвольные числа.

Содержанием работы учащихся на данном этапе и основным затруднением является соотнесение формул и y=kx+b, и обнаружение того, что они задают один и тот же объект. Сравнивая и анализируя запись линейного уравнения с двумя неизвестными ax+by+c=0 и вид линейной функции y=kx+b, учащиеся получают представление о связи между этими объектами (функцию можно получить из уравнения выполняя тождественные преобразования). В ходе работы с текстом учащиеся замечают неравноправие неизвестных х и у в выражениях х=, , что закрепляется специальными терминами - зависимая и независимая переменные.

На основании введенного понимания зависимости вводится общепринятое обозначение у=f(х). Теперь новым объектом изучения становится способ нахождения зависимой переменной через независимую. Ответ на вопрос о том, почему зависимость называется линейной, будет найден на следующем этапе.

II. Уточнение понятия линейная функция

Поскольку появился совершенно новый объект изучения необходимо посмотреть, как он включен в систему частных задач, тем самым выявить его некоторые характерные особенности.

А. Выделение понятий зависимая, независимая переменные "в чистом виде"

Цель этого шага в том, чтобы выделить в "чистом виде" понятия зависимая и независимая переменные. В предлагаемом задании учащимся необходимо ввести обозначения для зависимой переменной, при этом выражение, которое содержит независимую переменную задано. Основной трудностью является понять (установить) тот факт, что для получения алгебраической записи зависимости необходимо сопоставить зависимой переменной выражение, содержащее независимую переменную. Средством, позволяющее выполнить задание, является введенная ранее форма записи линейной зависимости.

Б. Выделение характеристик линейной формулы

В процессе поиска способа нахождения решений линейного уравнения с двумя неизвестными остался открытым вопрос о том, какие математические объекты (уравнения, зависимости) следует относить к линейным. На данном этапе учащимся предлагается найти на него ответ, выполняя задание, в котором требуется соотнести имеющуюся форму записи линейной зависимости с предложенными зависимостями, не все из которых линейные. Затруднение и основное содержание этапа заключается в том, что нужно обратить внимание на существенные отличия линейного выражения от других, и выделить такие его характерные черты, как отсутствие в нем произведения переменных, входящих в его состав, и их степеней.

III. Специфика понятия линейная функция

После того, как учащиеся выявили аспекты линейности и зависимости, им предлагается посмотреть на роль линейной зависимости по отношению к линейному уравнению.

А. Линейная функция как средство для восстановления уравнения

Цель шага - ввести представления о линейной функции как средства восстановить уравнение. В предлагаемом задании требуется восстановить линейное уравнение по заданной зависимости, и обнаружить, что функции вида у=f(x) позволяют находить решения целого класса линейных уравнений. Основное затруднение, фактически, заключается в том, что нужно понять, что требуется решить задачу обратную к той, которую решали при поиске способа нахождения решений линейного уравнения с двумя неизвестными. Для того чтобы восстановить линейное уравнение необходимо преобразовать заданную функцию у виду линейного уравнения, т.е. перенести все слагаемые в левую часть, так, чтобы правая часть была равна нулю. В ходе выполнения задания могут появиться разные варианты восстановленных уравнений из одной зависимости. Сравнивая множества решений полученных уравнений, учащиеся выясняют, что они совпадают. Это и означает, что уравнение по заданной зависимости восстанавливается неоднозначно.

Б. Линейная функция как способ нахождения решений класса линейных уравнений с двумя неизвестными

Цель - ввести представления о линейной зависимости как способе нахождения решений класса линейных уравнений с двумя неизвестными. Теперь учащимся предлагается восстановить уравнение по заданной зависимости, и обнаружить, что решения линейного уравнения задают только те функции, которые сами являются линейными или приводятся к ним равносильными преобразованиями. В качестве затруднения, которое возникает у учащихся, можно назвать выбор способа выполнения задания. Можно выделить три способа выполнения задания:

1. Чтобы проверить являются ли заданные пары решениями нужно подставить их в уравнение ax+by+c=0;

2. Восстановить линейное уравнение по данной зависимости;

3. Преобразовать заданную функцию к виду линейной функции.

Во всех случаях полученное уравнение нужно проверить на "линейность". Все способы позволяют увидеть, что решения линейного уравнения задаются только линейными функциями или приводятся к ним путем преобразований.

Соотнесение геометрического и аналитического способов задания линейной функции

Этот этап посвящен освоению учащимися геометрического способа задания линейной функции. Поскольку учащиеся владеют геометрическим способом представления решений линейного уравнения с одним неизвестным, то на эти знания можно опираться.

I. Введение геометрического способа представления решений линейного уравнения с двумя неизвестными

Цель - ввести представления о графике линейного уравнения с двумя неизвестными. Поскольку учащиеся сталкивались с тем, что требовалось показать все решения линейного уравнения с одним неизвестным, то они могут опираться на знание о виде графика. Отметим, что доказать факт о том, что построенная фигура - прямая, пока учащиеся не могут, поскольку соответствующий материал относится к курсу геометрии 8 класса.

Основное затруднение состоит в том, чтобы найти оптимальный способ построения графика, который позволяет показать все решения линейного уравнения с двумя неизвестными. Ясно, что оптимальным является способ построения прямой по двум точкам - это известно из курса геометрии. Можно обозначить два способа выбора точек: через выбор точек-решений на пересечении с осями (0,у), (х,0), через выбор двух любых точек - решений и проведении через них прямой. Оформляются преимущества и недостатки каждого из способов, описывается алгоритм работы с ними.

В результате прохождения этапа учащиеся познакомятся с термином график линейного уравнения с двумя неизвестными, обнаружат способы его построения.

II. Введение понятия графика функции

А. Введение представлений о графике функции

Цель этапа ввести представления о графике линейной функции, опираясь на знания о графике линейного уравнения. Содержанием данного этапа является оценивание применимости способов для построения графика, которые они открыли на предыдущем этапе, и обнаружение того, что график линейной функции и линейного уравнения совпадают. Затруднением является то, что задана специальная координатная плоскость, которая ограничена по оси ОХ, а ось ОУ отсутствует, график необходимо построить не выходя за границу. Для использования способа построения графика уравнения по двум любым точкам-решениям, необходимо преобразовать заданное уравнение к виду линейной функции. Второе затруднение, с которым сталкиваются учащиеся заключается в том, чтобы определить графиком какого математического объекта является прямая - функции или уравнения. Преодолеть затруднение позволяет обсуждение того, какому уравнению или какой функции соответствует построенная прямая. В результате прохождения этапа учащиеся будут знать, что графики линейного уравнения и линейной функции совпадают, одной прямой может соответствовать несколько алгебраических записей уравнений, но только одна запись функции. Таким образом, на этом этапе у учащихся появляется представление о линейной функции как о посреднике между алгебраической и геометрической формой задания уравнения с двумя неизвестными.

Б. Введение определения "график функции", и способа его представления

Цель этапа ввести определение "График линейной функции", и общепринятый договор о способе представления зависимости с помощью графика. Содержанием данного этапа является выделение в тексте определения графика линейной функции. В тексте говориться и о том, что график функции дает возможность показать всю зависимость целиком (в пределах координатной плоскости) и позволяет без каких-либо вычислений находить значение зависимой переменной по заданному значению независимой переменной. Здесь же обсуждается способ представления зависимости с помощью графика (общепринятый предмет договора).

IV. Введение представления о возрастающих и убывающих функциях

А. Введение алгебраического способа описания графика функции

Теперь учащимся предстоит решить задачу, в которой по предложенным решениям требуется записать еще несколько. Поскольку график уравнения дает только приближенные значения (х,у), необходимо восстановить алгебраическую запись. Тем более, что решения подобраны так, что они являются единственными целочисленными в пределах небольшой координатной плоскости. Возникшее затруднение решается переходом к рассмотрению алгебраической записи линейной функции. Поскольку для записи уравнения требуется значение трех решений, а имеется только два, то используется вид записи линейной функции. Система двух линейных уравнений решается методом подстановки. Таким образом учащиеся научились записывать формулу линейной функции по двум заданным значениям. Возникает необходимость установления соответствия вида формулы и вида графика линейной функции.

Б. Оценка способов задания линейной функции

В. Введение представлений о возрастающих и убывающих функциях

Цель выявить условия возрастания и убывания линейной функции, заданной алгебраически геометрически. Содержанием данного этапа является соотнесение графической и аналитической форм задания функции. Затруднение заключается в том, что требуется увидеть закономерности между коэффициентом пропорциональности в записи линейной функции и углом наклона прямой. Так появляются интуитивные представления о возрастающих и убывающих функциях, а так же способ их определения по алгебраической записи (по знаку коэффициента пропорциональности), по геометрическому изображению (по углу наклона прямой относительно оси ОХ). После чего вводится определение.

Конкретизация понятия линейная функция

В этой учебной задаче рассматривается вопрос о конкретизации понятия функция. Сформированное на предыдущих этапах понятие функции не является полным, поскольку понятие функции кроме алгебраической формулы вида у=f(x) содержит в себе представление об области определения, составляющей смысловые ограничения, которые накладываются на независимую переменную.

I. Введение полного описания линейной функции

А. Введение представлений о кусочно-линейных функциях

Цель ввести наглядное представление о кусочно-линейной функции. Решая привычную задачу о построении графика функции учащиеся обнаруживают, что в результате получается график, который задан на разных интервалах разными прямыми. Основным затруднением является описать алгебраически полученный объект, поскольку до этого времени учащиеся имели представление о функции только как о формуле. Здесь учащиеся обнаруживают явные смысловые ограничения аргумента, которые необходимо учесть при описании функции. В дофункциональном периоде они уже сталкивались с формами записи интервалов числовой прямой, используя их, учащиеся получают полную запись линейной функции, состоящую из формулы и неравенства (интервала значений независимой переменной). Для учащихся вводится термин кусочно-линейная функция, который соответствует их представлениям об этом объекте.