В курсе алгебры 9 класса авторы систематизируют свойства известных функций, рассматривают все преобразования графиков функций на примере квадратичной функции у=ахІ, учащиеся знакомятся с функцией у=х?.

На изучение преобразований графиков функций в 9 классе отводится 6 часов:

§3. Квадратичная функция и ее график.

п5. Функция у= ахІ, ее график и свойства 2 часа

п6. Графики функций у= ахІ+n, у=а(х-m)І 2 часа

п7. Построение графика квадратичной функции 2 часа.

Рассмотрим порядок и содержание материала.

На сравнении графиков функций у=хІ и у=2хІ; у=хІ и у=хІ авторы вводят преобразование- растяжение (сжатие) от (к) оси х;

у=хІ и у=-хІ - симметрия относительно оси х.

Построим график функции у=2хІ по таблице значений:

х	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2
у	8	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5	8

При любом х?0 значения функции у=2хІ больше соответствующего значения функции у=хІ в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции у=хІ вверх так, чтобы расстояние от точки до оси х увеличилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции у= 2хІ, при этом каждая точка графика может быть получена из некоторой точки графика функции у=хІ. То есть, график функции у=2хІ можно получить из параболы у=хІ растяжением от оси х в 2 раза (рис.1).

Построим график функции у=хІ по таблице значений:

х	-4	-2	-1	0	1	2	4
у	8	2	-0,5	0	0,5	2	8

При любом х?0 значение функций у= хІ меньше соответствующего значения функции у= хІ в 2 раза.

Рассуждая аналогично предыдущему преобразованию авторы приходят к выводу, что график функции у= хІ можно получить из параболы у= хІ сжатием к оси х в 2 раза.

Вообще график функции у=ахІ можно получить из параболы у= хІ растяжением от оси х в а раз, если а>1, и сжатием к оси х в раз, если 0<а<1.

Симметрия относительно оси х рассматривается на примере сравнения графиков функций у= хІ и у= -хІ.



При любом х значение этих функций являются противоположными числами. Значит, соответствующие точки графиков симметричны относительно оси х. То есть, график функции у=-хІ может быть получен из графика функции у=хІ с помощью симметрии относительно оси х.

Вообще графики функций у=ахІ и у=-ахІ (при а?0) симметричны относительно оси х.

В конце каждого пункта авторы предлагают выводы:

-график функции у= -f(х) можно получить из графика функции у= -f(х) с помощью симметрии относительно оси х;

-график функции у= аf(х) можно получить из графика функции у= f(х) с помощью растяжения от оси х в а раз, если а>1, и с помощью сжатия к оси х в раз, если 0<a<1.

Данный учебник содержит в себе теоретическую и практическую части.

Практические задания разделяются на:

задания обязательного уровня (подчеркнуты зеленым цветом);

задания для домашней работы (подчеркнуты черным цветом);

трудные задачи (выделены зеленым цветом);

задания для повторения.

Для усвоения материала авторы предлагают 9 упражнений, содержание которых сводится к следующему:

постройте график функции у= хІ (у=-2хІ) и найдите:

а) значение у при х=-2,5;-1,5;3,5;

б) значение х при которых у=5,3,2,-1,-3;

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

постройте в одной системе координат графики функций у= хІ; у= 1,8хІ; у= хІ. Сравните значения этих функций при х=0,5;1;2.

Изобразите схематически график и перечислите свойства функций:

а) у= 0,2хІ;

б) у= -10хІ.

пересекаются ли парабола у= 2хІ и прямая:

а) у= 50; в) у= -8;

б) у= 100; г) у= 14х-20?

Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

принадлежит ли графику функции у= -100хІ точка:

а) М(1,5;-225); б) К(-3;-900); в) Р(2;400)?

Далее авторы учебника предлагают изучить еще одно преобразование - параллельный перенос.

параллельный перенос вдоль оси у на примере сравнений функций у= хІ и у= хІ+3;

параллельный перенос вдоль оси х на примере сравнений функций у= хІ и у= (хІ-5);

композиция этих преобразований.

I. Построим график у= хІ и у= хІ+3 по таблицам значений, заметим, что чтобы получить таблицу значений функции у= хІ+3 для тех же значений аргумента, достаточно к найденным значениям функции у= хІ прибавить 3.

Каждой точке (х?; у?) графика функции у= хІ соответствует единственная точка (х?;у?+3) графика функции у= хІ+3 и наоборот. Если переместить каждую точку графика функции у= хІ на 3 единицы вверх, то получим соответствующую точку графика функции у= хІ+3.

Каждую точку второго графика можно получить из некоторой точки первого графика с помощью параллельного переноса на 3 единицы вверх вдоль оси у.

Вообще графиком функции у= ахІ+n является парабола, которую можно получить из графика функции у= ахІ с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n>0, или на -n единиц вниз, если n<0.

II. Построим график у= хІ и у= (х-5)І по таблицам значений. В качестве значений аргумента выберем те, которые на 5 больше соответствующих значений аргумента в таблице.

х	-4	-2	0	2	4		х	1	3	5	7	9
у	8	2	0	2	8		у	8	2	0	2	8

Каждой точке (х?; у?) графика функции у= хІ соответствует единственная точка (х?+5;у?) графика функции у= (х-5)І и наоборот.

Если переместить каждую точку графика функции у= хІ на 5 единицы вправо, то получим соответствующую точку графика функции у= (х-5)І.

Каждую точку второго графика можно получить из некоторой точки первого графика с помощью параллельного переноса на 5 единицы вправо вдоль оси х. Вообще график функции у=а(х-m)І является параболой, которую можно получить из графика функции у=ахІ с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вправо, если m >0, или на - m единиц влево, если m <0.

III. Композиция преобразований.

Рассмотрим функцию у= (х-3)І+2, ее график получим из графика функции у= хІ:

сдвигом параболы у= хІ на 3 единицы вправо;

сдвигом параболы у= (х-3)І на 2 единицы вверх.



Вообще график функции у= а(х-m)І+n является параболой, которую можно получить из графика функции у= ахІ с помощью двух параллельных переносов: вдоль оси х на m единиц вправо, если m >0, или на - m единиц влево, если m <0, и сдвига вдоль оси у на n единиц вверх, если n>0, или на -n единиц вниз, если n<0.

В заключении авторы обобщают эти выводы для любых функций.

Данные преобразования в системе упражнений отражены следующим образом:

изобразите схематически график функции (отметьте вершину параболы и направление ее ветвей):

а) у= хІ; у= хІ+4; у= хІ-3;

б) у= хІ; у= (х-3)І; у= (х+3)І.

с помощью шаблона параболы у= хІ постройте график функции:

а) у= хІ-4; в) у= (х-5)І;

б) у= -хІ+3; г) у= (х+3)І.

в каких координатных четвертях расположен график функции:

а) у= 10хІ+5; в) у= -6хІ+8; д) у= -(х-8)І;

б) у= -7хІ-3; г) у= (х-4)І; е) у= -3(х+5)І.

на рисунке изображены графики функций:

а) у= -(х+4)І; б) у= (х-4)І-1;

в) у= хІ+4; г) у= -хІ-2.

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

При изучении п7. «Построение графика квадратичной функции» авторы раскладывают трехчлен ахІ+вх+с в квадрат двучлена у= а(х+)І-,и замечают, что получена формула вида у= а(х-m)І+n, где m=-; n= - , что график функции у= ахІ+вх+с- парабола, которую можно получить из графика функции у= ахІ с помощью двух параллельных переносов - сдвига вдоль оси х и сдвига вдоль оси у.

Но предлагают следующий алгоритм, который используют при рассмотрении примеров и упражнений.

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

соединить отмеченные точки плавной линией.

Таким образом, изученные преобразования не используются при дальнейших построениях графиков функций; все преобразования рассматриваются в 9 классе и на примере квадратичной функции; система упражнений однотипная и скупая, но авторы учебника достаточно понятно и четко изложили материал, с учетом возрастных особенностей подросткового возраста.

2.2 «Алгебра» авторы Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин

Данный учебно-методический комплект по алгебре 7-9 содержит:

учебник;

дидактические материалы;

рабочую тетрадь;

тесты;

методические рекомендации.

Он рекомендован (допущен) Министерством образования РФ к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2004/05 учебный год.

Курс алгебры построен в соответствии с традиционными содержательно-методическими линиями (числовой, функциональной, алгоритмической, уравнений и неравенств, алгебраических преобразований).

Ведущей линией курса является числовая, поскольку делает его органическим продолжением и обобщением курса арифметики. Центральное понятие этого курса - понятие числа развивается и расширяется от рационального до действительного.

Функциональная линия вводится в 7 классе, как и в остальных учебниках.

По программе в 7 классе учащиеся знакомятся с понятием функция, изучают функции у=кх, у=кх+в.

Здесь же на примерах функций у= 2х и у= 2х+5 авторы вводят понятие - параллельный перенос вдоль оси у.

Построим график функции у=2х+5.



Заметим, что каждая точка графика функции у=2х+5 имеет ординату, на 5 единиц большую, чем точка графика функции у=2х с той же абсциссой. Это означает, что каждая точка графика функции у=2х+5 получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат соответствующей точки графика функции у=2х.

Вообще график функции у=кх+в получается сдвигом графика функции у=кх на в единиц вдоль оси ординат.

В курсе алгебры 8 класса изучаются квадратичная функция у=ахІ и преобразования: растяжение ( сжатие) от ( к) оси Оу, симметрия относительно оси Оу, параллельный перенос вдоль оси Ох.

В курсе алгебры 9 класса изучаются степенная функция, свойства функций (возрастание, убывание, четность, нечетность), функция у=.

На изучение преобразований графиков функций в 8 классе в планировании отводится 6 часов:

Глава 5. Квадратичная функция.

§35. Определение квадратичной функции. 1 час

§36. Функция у=хІ 1 час

§37. Функция у=ахІ 3 часа

§38. Функция у=ахІ+вх+с 3 часа

§39. Построение графика квадратичной функции 5 часов.

Последовательность изучения преобразований графиков функций, похожа на схему изложения в учебнике “Алгебра” под редакцией С.А. Теляковского.

Растяжение графика функции у=ахІ вдоль оси Оу рассматривается на примере функций у=2хІ и у=хІ.

При одном и том же х значение функции у=2хІ в 2 раза больше значения функции у=хІ. Это значит, что каждую точку графика у=2хІ можно получить из точки графика функции у=хІ с той же абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза. График функции у=2хІ получается растяжением графика функции у=хІ от оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.

II. Сжатие графика функции у= ахІ вдоль оси Оу рассматривается при сравнении графиков функций у= хІ и у= хІ.

Сравним графики функций у= хІ и у= хІ. Каждую точку графика у= хІ можно получить из точки графика функции у= хІ с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. График функции у= хІ получается сжатием графика функции у= хІ к оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.

III. Симметрия относительно оси Ох рассматривается на примерах функций: у=хІ и у=-хІ; у=хІ и у=-хІ.

При одном и том же х значения этих функций равны по модулю и противоположны по знаку. Следовательно, график функции у=-хІ можно получить симметрией относительно оси Ох графика функций у=хІ.

Аналогично график функции у= -хІ симметричен графику функции у= хІ относительно оси Ох.

Для запоминания авторы выносят следующее правило:

График функции у=ахІ при любом а?0 также называется параболой. При а>0 ветви параболы направлены вверх, при а<0 - вниз.

Данный учебник содержит теоретическую и практическую части. Текст сопровождается трехуровневой системой упражнений в соответствии с условными обозначениями:

до = обязательные задачи;

* - дополнительные более сложные задачи;

** - трудные задачи.

- занимательные задачи.

В каждой главе даны дополнительные задания, включающие упражнения для самоконтроля под рубрикой « Проверь себя!».

Для отработки преобразований: растяжения (сжатия) вдоль оси Оу и симметрии относительно оси Ох авторы предлагают из обязательного уровня следующие задания:

на миллиметровой бумаге построить график функции у= 3хІ. По графику приближенно найти:

а) значения у при х= -2,8;-1,2;1,5;2,5;

б) значения х, если у= 9;6;2;8;1,3.

(устно) определить направление ветвей параболы:

а) у= 3хІ в) у= -4хІ

б) у= хІ г) у= -хІ

- на одной координатной плоскости построить графики функций:

а) у= хІ и у= 3хІ в) у= -3хІ и у= 3хІ

б) у= -хІ и у= -3хІ г) у= -хІ и у= хІ.

Используя графики, выяснить, какие из этих функций возрастают на промежутке х ?0.

найти коэффициент а, если парабола у= ахІ проходит через точку:

а) А(-1;1); б) В(2;1); в) С(1;1); г)D(3;-1).

с помощью графика функции у= -2хІ решить неравенство:

а)-2хІ?-8; б)-2хІ>-18; в) -2хІ?1; г) -2хІ?-32.

Некоторые задания из дополнительных упражнений:

при каких х значение функции у= 3хІ:

а) больше 12; б) не больше 27; в) не меньше 3; г) меньше 75.

найти координаты точек пересечения графиков функций:

а) у= 2хІ и у= 3х+2;

б) у= -хІ и у= х-3.

является ли убывающей на промежутке х ?0 функция:

а) у= 4хІ; б) у= хІ; в) у= -5хІ; г) у= -хІ.

IV. Параллельному переносу авторы не уделяют должного внимания.

Оба переноса рассматриваются на примере одной функции у= хІ -2х+3 в следующем порядке.

Задача. Построить график функции у= хІ -2х+3 и сравнить его с графиком функции у= хІ (рис.1).

Построим график функции у= хІ -2х+3 по таблице значений:

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у= хІ -2х+3	18	11	6	3	2	3	6

Для сравнения графиков преобразуем формулу: у= хІ -2х+3 = (х-1)І+2.

Сравним графики функций у=хІ и у=(х-1)І. Заметим, что если (х?;у?) - точка параболы у= хІ, то (х?+1;у?) принадлежит графику функции у= (х-1)І, т.к. ((х?+1)-1) І= х?І= у?. Следовательно, графиком функции у=(х-1)І является парабола, полученная из параболы у= хІ сдвигом (параллельным переносом) вправо на 1 (рис. 2).

Сравним графики функций у=(х-1)І и у=(х-1)І+2.

При каждом значении х значение функции у=(х-1)І+2 больше значения функции у=(х-1)І на 2. Следовательно, графиком функции у=(х-1)І+2 является парабола, полученная сдвигом параболы у= (х-1)І вверх на 2 единицы (рис.3).

Графиком функции у= хІ-2х+3 является парабола, получаемая сдвигом параболы у=хІ на 1 единицу влево и на 2 вверх (рис.4).

Аналогично, доказывается, что графиком функции у= а(х - х?)І+ у? является парабола, получаемая сдвигом параболы у=ахІ:

- вдоль оси абсцисс вправо на х?, если х?>0, влево на Iх?I, если х?<0;

- вдоль оси ординат вверх на у?, если у?>0, вниз на Iу?I, если у?<0.

В этом параграфе авторы делают акцент на формулы нахождения координаты вершины параболы, что и отражается в системе упражнений.

Обязательный уровень - 6 заданий, содержание которых сводится к:

-нахождению координаты вершины параболы:

у= (х-3)І-2; 4) у= -4(х-1)І+5;

у= хІ+4х+1; 5) у= -3хІ++18-7;

у= хІ+2; 6) у= -4хІ+х.

нахождению на оси Ох точки, через которую проходит ось симметрии параболы:

1) у= хІ+3; 2) у= -3(х+2)І+2;

3) у= (х-2)І+2; 4) у= 2хІ-3х+15.

-проходит ли ось симметрии параболы у= хІ-10х через точку:

1) (5;10); 2) (3;-8); 3) (5;0); 4) (-5;1)…?

нахождению координаты точек пересечения параболы с осями координат:

1) у= хІ-3х+2; 2) у= -2хІ+3х-1; 3) у= 3хІ-7х+12; 4) у= 3хІ-4х.

Что же касается заданий на отработку преобразований графиков функций, то они вынесены в дополнительные упражнения более сложного уровня и трудные задачи:

№617* С помощью шаблона параболы у=хІ построить график функции:

1) у= (х+2)І; 2) у= хІ-2;

3) у= -(х-1)І-3; 4) у= (х-3)І;

5) у= -хІ+1; 6) у= (х+2)І+1.

№618* Записать уравнение параболы, полученной из параболы у= 2хІ:

сдвигом вдоль оси Оу на 3 единицы вправо;

сдвигом вдоль оси Оу на 4 единицы вверх;

сдвигом вдоль оси Ох на 2 единицы влево и последующим сдвигом вдоль оси Оу на 1 единицу вниз;

сдвигом вдоль оси Ох на 1,5 единицы вправо и последующим сдвигом вдоль оси Оу на 3,5 единицы вверх.

№619* Построить график функции:

у=|хІ-2|; 3) у=|1-хІ|;

у=|2-(х-1)І|; 4) у=|хІ-5х+6|.

При изучении темы «Построение графика квадратичной функции» авторы предлагают учащимся алгоритма без опоры на предыдущий материал, а именно:

Схема построения графика квадратичной функции у= ахІ+вх+с:

построить вершину параболы (х?;у?), вычислив х?, у? по формулам: х?= -; у?=у(х);

провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат,- ось симметрии параболы;

найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы;

построить две какие-нибудь точки параболы, симметричные относительно ее оси;

провести через построенные точки параболу.

Таким образом, на основании этого алгоритма и маленькой практической базы мы можем сделать выводы, что авторы только знакомят учащихся с преобразованиями графиков функций.

Мы видим, что в теоретическом плане авторы подробно разобрали каждое преобразование графиков функций, но система упражнений не настолько богата для того, чтобы отработать эти преобразования.

2.3 «Алгебра» авторы Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова

Данный учебно-методический комплект состоит из:

учебника;

дидактических материалов;

методических рекомендаций.

Он продолжает единую содержательную линию «Математика 5-6» Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин.

Этот комплект рекомендован (допущен) Министерством образования РФ к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2004/05 учебный год.

По программе учащиеся в 8 классе знакомятся с понятием функция, линейной функцией, функциями вида у=кх+l, у=.

В курсе алгебры 9 класса учащиеся изучают квадратичную функцию и ее преобразования.

По планированию на изучение этой темы отводится 20 часов:

Глава 2. Квадратичная функция.

2.1. Какую функцию называют квадратичной 4 часа

2.2. График и свойства функции у= ахІ 4 часа

2.3. Сдвиг графика функции у= ахІ вдоль осей координат. 5 часов

2.4. График функции у= ахІ+вх+с 4 часа

2.5. Квадратные неравенства 3 часа.

Последовательность рассмотрения преобразований функций такая же, как и в предыдущих учебниках.

Растяжение (сжатие) графика функции вдоль оси Оу.

Авторы строят графики функций у= 2хІ и у= хІ по таблицам значений. Делают следующие выводы:

Это параболы, у которых, как у графика функции у= хІ, ветви направлены вверх, вершиной служит начало координат, осью симметрии - ось у. Такими же особенностями обладает график любой квадратичной функции у= ахІ при а>0.

На рисунке 3 графики функций у= 2хІ, у= хІ, у= хІ изображены в одной системе координат. Мы видим, что чем больше коэффициент а, тем больше «крутизна» параболы. Разная « крутизна» графиков говорит о том, что быстрее всего меняется функция у= 2хІ, а медленнее всего - функция у= хІ.

Авторы не объясняют, почему это так происходит, не проводя анализ графиков функций и не вводятся понятия растяжение (сжатие) вдоль оси Оу.

Симметрия относительно оси Ох.

Это понятие вводится на примере графиков функций: у= хІ и у= -хІ.

Чтобы получить из графика функции у= хІ график функции у= -хІ, нужно каждую точку первого графика заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной ординатой, т.е. точкой, симметричной точке первого графика относительно оси х. Т. е., эти графики симметричны относительно оси х.

Таким образом, графиком функции у=ахІ, а?0, является парабола с вершиной в начале координат; ее осью симметрии является ось у; при а>0 ветви параболы направлены вверх; при а<0 ветви направлены вниз.

Система упражнений в этом учебнике разбита на 2 уровня:

А- обязательные упражнения рассчитанные на «среднего ученика»;

Б- повышенный уровень сложности рассчитанный на более сильных учеников.

В этом блоке авторы предлагают «задачу- исследование». В конце каждой главы задания для самопроверки. Рассмотрим упражнения, которые авторы предлагают для усвоения этих преобразований в группе А:

а) постройте график функции f(x)= хІ .

б) постройте в той же системе координат график функции g(х)= -хІ.

в) вычислите значение выражения f(10). Чему равно значение выражения g(10)?

г) график, какой из функций у= f(x) и у= g(х) пересекает прямую у=100; у=-400? Укажите координаты точек пересечения?

на рисунке изображены графики квадратичных функций, заданных формулами: у= 3,2хІ; у= -0,6хІ; у= 1,6хІ; у= -2хІ; у= -хІ; у= хІ. соотнесите каждый из них с одной из формул.

изобразите в одной и той же системе координат схематически графики функций:

у= 0,3хІ; у= -10хІ; у= 8хІ; у= -0,1хІ.

а) какая парабола самая «крутая»? самая «пологая»?

б) какие из функций имеют наименьшее значение? Наибольшее значение?

в) укажите промежуток убывания и промежуток возрастания функции у= 8хІ; у=-0,1хІ.

в одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

у= хІ и у= х+1; 3) у= 2хІ и у= -2х+4;

у= -0,5хІ и у= ; 4) у= -2хІ и у= -.

постройте график функции:

у= х, если х ?0 у= -2хІ, если х<0

-хІ , если х>0 2хІ , если х?0.

Для каждой функции укажите промежуток убывания и промежуток возрастания.

Задания из группы Б.

известно, что график квадратичной функции, заданной формулой вида у= ахІ, проходит через точку С(-6;-9).

а)укажите координаты точки графика, которая симметрична точке С;

б) найдите коэффициент а;

в) укажите координаты каких-нибудь двух точек, одна из которых принадлежит графику, а другая -нет.

постройте график функции:

у= -х , если х ?1 у= х+3, если х?0

хІ , если х>1 3хІ , если х>0.

- в одной системе координат постройте графики функций:

а)у= |х| и у= -|х|; в) у= хі и у= -хі;

б)у= и у= -; г) у= и у= -.

на рисунке изображен график функции у= f(x). Перечертите график в тетрадь и в той же системе координат постройте график функции у= -f(x).

III. При изучении движения графика функции у= ахІ вдоль осей координат авторы ставят перед учащимися проблему: Каким уравнением можно задать функцию, график которой получается в результате движения графика функции у=хІ вдоль оси у вверх на 2 единицы?

Легко видеть, что абсцисса каждой его точки осталась прежней, а ордината увеличилась на 2. Это значит, что у новой параболы точка с абсциссой х имеет ординату, равную хІ+2, т.е. новая парабола является графиком функции у= хІ+2.

Аналогично получаем из у= 1,5хІ параболу у= 1,5хІ-6.

В каждом случае приходим к уравнению вида у= ахІ+q, q- ордината вершины новой параболы.

Чтобы построить график функции у= ахІ+q, нужно перенести параболу у= ахІ вдоль оси у на q единиц вверх, если q>0, или на IqI единиц вниз, если q<0. При этом вершина параболы окажется в точке (0; q).

Обратим внимание, что авторы используют термин - “параллельный перенос”.

IV. Аналогичная проблемная ситуация ставится перед учащимися при движении графика функции у= ахІ вдоль оси абсцисс.

В результате решения этой проблемы авторы подводят учащихся к следующим выводам:

- в каждом случае приходим к уравнению вида у= а(х+р)І;

- чтобы построить график функции у= а(х+р)І, нужно перенести параболу у= ахІ вдоль оси х на р единиц влево, если р>0, или на IрI единиц вправо, если р<0. При этом вершина параболы окажется в точке (-р;0).



V. Композиция параллельных переносов.

Используя сдвиги параболы вдоль осей координат, можно строить и более сложные графики.

Построим график функции у= 2(х+1)І-3.

построим параболу у= 2хІ;

перенесем ее на 1 единицу влево - получим график функции у= 2(х+1)І;

сдвинем этот график на 3 единицы вниз, получим график функции у= 2(х+1)І-3.

Последовательность построения можно записать в виде схемы:



При формулировки следующего правила, авторы используют термин «параллельный перенос».

График функции, заданной формулой вида у= а(х+р)І+q, можно получить из параболы у=ахІ с помощью двух параллельных переносов:

- вдоль оси х на IрI единиц - влево или вправо в зависимости от знака числа р;

- вдоль оси у на IqI единиц - вверх или вниз в зависимости от знака числа q.

Вершиной параболы у= а(х+р)І+q будет точка (-р;q).

Система упражнений разнообразна как в уровне А, так и в уровне Б, отражает теоретический материал в следующих заданиях:

задайте функцию формулой и схематически изобразите график функции, если известно, что ее график получен сдвигом вдоль оси у:

а) параболы у= 2хІ на 4 единицы вверх;

б) параболы у=хІ на 5 единиц вниз;

задайте формулой параболу, изображенную на рисунке, если известно, что она получена сдвигом вдоль оси у параболы:

а) у= хІ; б) у= хІ; в) у= -2хІ; г) у= -хІ.



постройте график функции:

а) у= хІ-1; в) у= хІ-2; д) у= (х+2)І+1; ж) у= хІ-2х+3;

б) у= -хІ+9; г) у= -хІ+8; е) у= (х-4)І+1; з) у= хІ+6х+8.

изобразите схематически график функции и задайте эту функцию формулой, если известно, что ее график получен сдвигом вдоль оси х:

а) параболы у= 2хІ на 3 единицы влево;

б) параболы у= хІ на 6 единиц вправо.

При построении графика функции у= ахІ +вх+с авторы предлагают учащимся на выбор два способа:

построение с использованием изученных преобразований;

построение с помощью вычисления координаты вершины параболы по формулам и нахождения дополнительных точек.

Мы видим, что теоретический материал изложен в достаточно понятной форме, с учетом возрастных особенностей учащихся, подробно рассмотрены примеры, большая и разнообразная практическая база.

2.4 «Алгебра» автор А.Г. Мордкович

Данный учебно-методический комплект состоит из следующих составляющих:

учебника;

задачника;

рабочей тетради;

сборника контрольных работ;

сборника тестов;

методических рекомендаций учителю.

Этот учебный комплект продолжает единую содержательную линию обучения по учебнику «Математика 5-6» Зубарева И.И., Мордкович А.Г.

Данный комплект рекомендован (допущен) Министерством образования РФ к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2004/05 учебный год.

По программе учащиеся знакомятся с простейшими функциями в 7 классе: линейная, обратная пропорциональность, квадратичная функция (у=хІ).

В курсе алгебры 8 класса в теоретическом плане изучаются функции: у=ахІ, у=, у=ахІ+вх+с; у=; у=IxI, а также изучаются два преобразования: параллельный перенос - построение графика функции у=f(x+l)+m с помощью известного графика функции у=f(x) и симметрия относительно оси абсцисс - построение графика функции у= -f(x) .

В курсе алгебры 9 класса вводится понятие функции, идет обзор свойств известных функций, изучаются степенная функция и еще одно преобразование: растяжение графика вдоль осей координат - построение графика функции у=mf(x) по известному графику функции у=f(x).

На изучение преобразований графиков функций в 8 классе отводится 8 часов:

Глава 2. Квадратичная функция. Функция у= . - 18 часов.

§8. Функция у= кхІ, ее свойства и график. 3 часа

§9. Функция у= , ее свойства и график. 2 часа

§10. Как построить график функции у=f(x+l), если известен график функции у=f(x). 2 часа

§11. Как построить график функции у=f(x)+m, если известен график функции у=f(x). 2 часа

Контрольная работа № 3. 1 час

§12. Как построить график функции у=f(x+l)+m, если известен график функции у=f(x). 2 часа

§13. Функция у= ахІ+вх+с, ее свойства и график. 4 часа

§14. Графическое решение квадратичных уравнений. 1 час

Контрольная работа № 4. 1 час

В 9 классе на изучение функций, в том числе и на преобразование графиков функций, отводится 23 часа.

Глава 3. Числовые функции. 23 часа.

§7. Определение числовой функции.

Область определения, область значений функций 4 часа

§8. Способы задания функций 2часа

§9. Свойства функций 5 часов

§10. Четные и нечетные функции 2 часа

Контрольная работа № 3.

§11. Функция у=х? (n? N), их свойства и графики 3 часа

§12. Функция у=х ? (n? N), их свойства и графики 3 часа

§13. Как построить график функции у=mf(x), если

известен график функции у=f(x). 2 часа

Контрольная работа № 4.

В учебнике “Алгебра 8” учащиеся пополняют свои знание о функции и знакомятся с одни из первых преобразований:

I. Симметрия относительно оси абсцисс: у=f(x) у=-f(x).

Это преобразование рассматривается на примере функции у=кхІ.

Функция у=кхІ уже немного знакома. Если к=1, то получим у=хІ, эту функцию уже изучили в 7 классе, ее графиком является парабола.



Выясним, как обстоит дело в случае отрицательного коэффициента к. построим график функции у=-хІ, к=-1. Составим таблицу значений:

Х	0	1	-1	2	-2	3	-3
У	0	-1	-1	-4	-4	-9	-9

Отметим точки (0;0); (1;-1); (-1;-1); (2;-4); (-2;-4); (-3;-9); (3;-9) на координатной плоскости.

Это парабола с вершиной в точке (0;0), ось у - ось симметрии, но в отличие от случая, когда к>0, на этот раз ветви параболы направлены вниз. Аналогично обстоит дело и для других отрицательных значений коэффициента к.

Если построить в одной системе координат графики функций у= хІ и у= -хІ, то нетрудно заметить, что эти параболы симметричны друг другу относительно оси х.



Точно так же симметричны друг другу относительно оси х параболы у=2хІи у=-2хІ (постройте эти две параболы в одной системе координат и убедитесь в справедливости сделанного утверждения).

Вообще, график функции у=-f(x) симметричен графику функции у=f(x) относительно оси абсцисс.

II. 1. Параллельный перенос вдоль оси абсцисс.

Это преобразование вводится через сравнение графиков функций у=хІ и у=(х+3)І.

Графиком функции у=хІ является парабола. Для функции у=(х+3)І составим таблицу значений:

Х	-3	-2	-4	-5	-1	-6	0
У	0	1	1	4	4	9	9

Построив график по точкам (-3;0); (-2;1); (-4;1); (-5;4); (-1;4); (-6;9); (0;9), получим параболу. Обратите внимание - это точно такая же парабола, как и у= хІ, но только сдвинутая вдоль оси х на 3 единицы масштаба влево. Вершина параболы находится в точке (-3;0), а не в точке (0;0), как для параболы у= хІ. Осью симметрии служит прямая х=-3, а не х=0, как это было в случае параболы у= хІ.

Если построить в одной системе координат графики функций у= хІ и у= (х-2)І, заметим, что второй график получается из первого сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси х на 2 единицы масштаба вправо.



Вообще, справедливо следующее утверждение:

чтобы построить график функции у=f(x+l),где l- заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции у=f(x) вдоль оси х на l единиц масштаба влево;

чтобы построить график функции у=f(x-l),где l- заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции у=f(x) вдоль оси х на l единиц масштаба вправо.

Данное преобразование рассматривается не только на примере параболы, но и на гиперболе у= -.

построим гиперболу у= -;

сдвинем ее вдоль оси х на 5 единиц влево.

Параллельный перенос вдоль оси ординат.

Данное преобразование рассматривается в такой же последовательности, что и предыдущие преобразования.

Построим в одной системе координат графики функций: у= хІ и у= хІ+4.

у= хІ+4 точно такая же парабола, как и у= хІ, но только сдвинутая вдоль оси у на 4 единицы масштаба вверх.

Построим в одной системе координат графики функций: у= хІ и у= хІ-2

у= хІ-2 получается из параболы у= хІ сдвигом вдоль оси у на 2 единицы масштаба вниз.

На основе этих примеров выводится правило:

чтобы построить график функции у=f(x)+m, где m- заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции у=f(x) вдоль оси у на m единиц масштаба вверх;

чтобы построить график функции у=f(x)-m, где m- заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции у=f(x) вдоль оси у на m единиц масштаба вниз.

Знакомство восьмиклассников с преобразованиями графиков функций заканчивается изучением композицией изученных преобразований.

Рассмотрим следующие примеры:

Построить график функции у= (х-2)І-3.

Осуществим построение по этапам:

Построим график функции у= хІ;

Сдвинем параболу у= хІ на 2 единицы вправо, получим график функции у=(х-2)І;

Сдвинем параболу у= (х-2)І на 3 единицы вниз, получим график функции у= (х-2)І-3.

Но возможен и другой способ построения:

- графиком функции у= (х-2)І-3 является та же парабола, что и у= хІ, только вершина переместилась из точки (0;0) в точку (2;-3). Поэтому можем перейти к новой системе координат с началом в точке (2;-3). Для этого построим прямые х=2, у=-3 и воспользуемся шаблоном параболы у= хІ.

Рассмотрим пример у= -2(х+3)І+1, используя новую систему координат.

Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-3;1);

Привяжем функцию у= -2хІ к новой системе координат.

На основе этих примеров авторы предлагают следующие алгоритмы построения графиков функции у=f(x+l)+m.

Алгоритм 1.

Построить график функции у=f(x).

2) Осуществить параллельный перенос графика у=f(x) вдоль оси х на IlI единиц масштаба влево, l>0, и вправо, если l<0;

Осуществить параллельный перенос полученного на втором шаге графика вдоль оси у на ImI единиц масштаба вверх, m>0, и вниз, если m<0.

Алгоритм 2.

Перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) вспомогательные прямые х=-l, у=m, т.е. выбрав в качестве начала новой системы координат точку (-l; m);

К новой системе координат привязать график функции у=f(x).

Рассмотрим систему упражнений, которая вынесена в отдельную книгу «Задачник». Авторы дают объемный и разноплановый набор упражнений, которого достаточно для работы с учащимися на уроке, для домашних заданий, самостоятельных работ.

В каждом параграфе упражнения сосредоточены по отдельным подтемам, соответствующим теоретическому материалу учебника, внутри подтем достаточно четко выдерживается линия нарастания трудности, что позволяет осуществить дифференцированный подход к обучению.

В каждом параграфе упражнения сконцентрированы по двум блокам:

первый - до черты - содержит задания базового и среднего уровней трудности;

второй - после черты - содержит дополнительные задания среднего уровня трудности и задания повышенной трудности.

Симметрия относительно оси абсцисс отражается в следующей системе упражнений:

- постройте в одной системе координат графики заданных функций и сделайте выводы о взаимном расположении построенных графиков:

а) у=хІ и у=-хІ; б) у=0,5хІ и у=-0,5хІ

в) у=3,5хІ и у=-3,5хІ; г) у=хІ и у=-хІ .

не выполняя построения графиков функций, ответьте на вопрос, как расположен в одной системе координат и по отношению друг к другу графики функций:

а) у=105хІ и у=-105хІ;

б) у=-3,165хІ и у=3,165хІ.

задайте число к так, чтобы график функции у=кхІ был расположен:

а) в I и II четвертях;

б) в III и IV четвертях.

напишите уравнение параболы у=кхІ, график которой изображен:

а) на рис. 1; б) на рис. 2; в) на рис. 3; г) на рис. 4.

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс отражается в следующей системе упражнений:

постройте в одной системе координат графики:

а) у= хІ и у= (х+1)І; в) у= и у= ;

б) у= хІ и у= (х-3)І; г) у= и у= .

график какой функции получится, если параболу у= 3хІ перенести:

а) на 4 единицы масштаба влево вдоль оси х;

б) на 3 единицы масштаба вправо вдоль оси х;

в) на единицы масштаба вправо вдоль оси х;

г) на 5,7 единицы масштаба влево вдоль оси х.

график какой функции получится, если гиперболу у= перенести:

а) на 6 единицы масштаба влево вдоль оси х;

б) на 2 единицы масштаба вправо вдоль оси х;

в) на единицы масштаба вправо вдоль оси х;

г) на 4,7 единицы масштаба влево вдоль оси х.

напишите уравнение параболы у= а(х+l)І, график которой изображен:

решите графически уравнение:

а) (х-2)І = х; б) 2(х-1)І = 2х+2; в) = 2; г) (х-1)І = .

Задания из второго блока (под чертой):

постройте график функции:

а) у= хІ-2х+1; б) у= -хІ+8х-16; в) у= 3хІ+24х+18; г) = -0,5(х+1)І.

решите графически систему уравнений:

а) у= (х-2)І б) у= -(х+1)І в) у=

у= х у= х-1 у=.

Параллельный перенос вдоль оси ординат отражен в следующей системе упражнений:

постройте в одной системе координат графики функций:

а) у=хІ и у=хІ+2; в) у= и у=;

б) у=хІ и у=хІ-3; г) у= и у=.

график, какой функции получится, если гиперболу у= перенести:

а) на 3 единицы масштаба вверх вдоль оси у;

б) на 8 единицы масштаба вниз вдоль оси у;

в) на 7,9 единицы масштаба вверх вдоль оси у;

г) на единицы масштаба вниз вдоль оси у.

напишите уравнение гиперболы у= +m, график которой изображен:

решите графически уравнение:

а) хІ+1 = б) -5 = -х

- решите графически систему уравнений:

а) у= 3хІ-2 б) у= +1 в) у= -+1

у= 1 у= 3 5х-3у=0.

Композиция преобразований отражена в следующей системе упражнений:

постройте в одной системе координат графики функций:

а) у=хІ и у=(х+2)І+1; в) у=2хІ и у=2(х-2)І-2

б) у= и у=+3; г) у= и у=-2.

График, какой функции получится, если параболу у= 2,5хІ (гиперболу у= -) перенести:

а) на 3 единицы масштаба влево и на 4 единицы вверх;

б) на 1 единицу масштаба вправо и на 5 единиц вниз;

в) на 2 единицы масштаба влево и на 6 единиц вниз;

г) на 1,2 единицы масштаба вправо и на 7 единиц вверх.

постройте график функции:

а) у= (х+1)І-2; в) у= +2;

б) у= -(х+3)І+1; г) у= -+2.

- решите графически систему уравнений:

а) у= -2(х-1)І+5 б) у= -1 в) у= +3

у= 2х+3 у= -3 у= 2х+1.

напишите уравнение параболы у= а(х+l)І+m (гиперболы у= +m) , график которой изображен:

постройте график функции, предварительно преобразовав ее методом выделения полного квадрата к виду у= а(х+l)І+m:

а) у= хІ+2х+3; в) у= 2хІ-4х+5;

б) у= хІ-10х+24; г) у= -3хІ+6х-1.

В «Алгебре-9» класса авторы систематизируют все известные свойства функций, учащиеся изучают еще одно преобразование - растяжение (сжатие) относительно осей координат.

Авторы учебника рассматривают три случая преобразования:

1 случай. Известна функция у=f(x), построить график функции у=mf(x), где m-положительное число.

Ординаты точек графика функции у=mf(x) получаются в результате умножения соответствующих ординат точек графика функции у=f(x) на число m. Такое преобразование графика называют - растяжением от оси х с коэффициентом m. Точки пересечения графика функции у=f(x) с осью х остаются на месте.

Если m<1, то используют другой термин - сжатие к оси х с коэффициентом .

у=І и у=І у=хі и у=0,5хі.

Во 2 случае. Известна функция у=f(x), построить график функции у=-f(x), где m=-1.

Ординаты отличаются только знаком от функции у=f(x). Точки (х; f(x)) и (х; -f(x)) симметричны относительно оси х. График функции у=-f(x) можно получить из графика функции у=f(x) симметрией относительно оси х.

у= х? и у= -х?



В 3 случае. Известна функция у=f(x), построить график функции у=mf(x), где m-отрицательное число.

Авторы вводят равенство mf(x)=-ImIf(x) и порядок построения графика функции у=-ImIf(x) сводится к следующему:

построить график функции у=f(x);

растянуть (сжать) от оси х с коэффициентом ImI;

подвергнуть полученный график симметрии относительно оси х.

Построим график функции у= -2.

построим график функции у=;

осуществим растяжение графика от оси х с коэффициентом 2, получим график функции у= 2;

подвергнем график функции у= 2 преобразованию симметрии относительно оси х, получим график функции у= -2.

В задачнике приводится следующая система упражнений:

используя график функции у=f(x), где f(x)=, f(x)= х?І построить график функции:

а) у= -f(x); б) у= 0,5f(x); в) у= -2f(x); г) у= -3f(x).

постройте график функции:

а) у= хі; б) у= -0,5хі; в) у= -2хі; г) у= 0,5хі.

решите графически уравнение:

а) 2хі = х+1; б) -0,5х? = 4х; в) 2х?? = х+1; г) -3= х-4.

постройте и прочитайте график функции у=f(x):

а) f(x) = 2х ?І, если х<0; б) -2, если х?-1

3хі, еслих?0; f(x) = 2хі, если -1<x?1

, если x<1.

Задачник “Алгебра - 9 “ содержит раздел “ Домашняя контрольная работа”, которого до этого в задачниках не было.

Мы видим, что материал изложен последовательно, с нарастающей степенью сложности, понятно и доступно для учащихся, с богатой практической системой упражнений.

2.5 «Алгебра 7-9» авторы С.М. Никольский, М. К. Потапов

Данный учебно-методический комплект является составной частью единой содержательной линией с 5 по 11 класс, которая рекомендована (допущена) Министерством образования РФ к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2004/05 учебный год.

Материал излагается на высоком теоретическом уровне, например, учащиеся знакомятся с понятием функция в двух интерпретациях по Лобачевскому и по Дирихле.

Для каждой главы авторы предлагают дополнения с геометрическими сведениями и дополнительным материалом, которые могут быть использованы как в общеобразовательных классах, так и в классах с углубленным изучением математики.

По программе в 8 классе учащиеся знакомятся с понятием функция, функциями: у=х; у=хІ; у=; у=кх; у=кх+в, а также преобразованиями: параллельным переносом, растяжением (сжатием) вдоль оси Оу, симметрией относительно оси Ох.

В 8 классе учащиеся знакомятся со степенной функцией.

На изучение преобразований графиков функций в планировании в 8 классе отводится 7 часов:

§7. Квадратичная функция.

7.1. Функция у=ахІ (а>0). 2 часа

7.2. Функция у=ахІ (а>0). 2 часа

7.3. Функция у=а(х-х?)І+у 3часа

Последовательность рассмотрения преобразований графиков функций такая же, как у Ю.Н.Макарычева, Н.Г. Миндюк.

Растяжение (сжатие) авторы разбирают на примере функций: у= хІ и у= 2хІ; у= хІ и у= хІ.

Рассмотрим две функции у= хІ и у= 2хІ. Зададим декартову систему координат хОу и число х?. Точка А(х;х?І) принадлежит графику функции у= хІ, а точка А?(х;2х?І), имеющая ту же абсциссу, принадлежит графику функции у= 2хІ.ординаты точек А? и А находятся в отношении 2:1, т.е. отрезок А?А? получается растяжением отрезка А?А в 2 раза.(рис.1).

График функции у= 2хІ получается из графика функции у= хІ растяжением последнего в 2 раза вдоль оси Оу.

Рассуждая аналогично, можно показать, что график функции у= ахІ, если а>1, получается из графика функции у= хІ растяжением последнего в а раз вдоль оси у; если же 0<а<1, то сжатием последнего в раз.

Система упражнений достаточно разнообразная, первое преобразование отражено в следующих заданиях:

постройте график функции, выбрав удобный единичный отрезок на координатных осях:

1) у= 4хІ; 2) у= 0,25хІ; 3) у= хІ; 4) у= 1,5хІ;

5) у= 20хІ; 6) у= 400хІ; 7) у= 0,001хІ; 8) у= 1000хІ.

постройте параболу у= 0,1хІ:

а) при каких х функция принимает положительные значения?

б) при каких х функция равна 2?

в) какие значения принимает у, если х>0,5?

г) при каких х функция возрастает, убывает?

на рисунке представлены графики функций у= хІ и у =ахІ. Определите а.



Далее авторы знакомят учащихся с:

II Симметрией относительно оси Ох следующим образом.

Рассмотрим функции у= хІ и у= -хІ. Ординаты их точек, имеющих одну и ту же абсциссу х?, х?=0, одинаковы по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки, поэтому их графики симметричны относительно оси Ох (рис.4).

Точно так же графики функций у= ахІ и у= -ахІ, где а - данное число,а?0, симметричны относительно оси Ох. При а>0 график расположен выше оси Ох, при а<0-ниже оси Ох.

Система упражнений сводится к следующему:

- напишите уравнение параболы, симметричной параболе у= ахІ(а?0) относительно оси Ох.

- постройте график функции, выбрав удобный единичный отрезок:

а) у= -3хІ; б) у= -0,1хІ; в) у= -2хІ; г) у= -400хІ.

дана функция у= -хІ. Постройте график этой функции. Определите с помощью графика, при каких х:

а)у>0; б) у?0; в) у<-1; г)у?-4.

какой формулой задана функция, график которой симметричен относительно оси Ох графику функции:

а) у=3хІ; б) у=-хІ; в) у=100хІ; г) у=-0,2хІ?

В заключение авторы рассматривают еще одно преобразование:

III Параллельный перенос вдоль осей Оу и Ох.

Пусть дана парабола у=ахІ (а?0). Чтобы построить график функции у=ахІ -2, надо параболу у=ахІ сдвинуть на 2 единицы вниз. График функции у=ахІ-2 - парабола, имеющая вершину (0;-2) и ось х=0.

Если А - произвольная точка графика функции у= ахІ, а В - точка графика функции у=ахІ-2, имеющая ту же абсциссу, то ордината точки В на 2 единицы меньше ординаты точки А.

Чтобы построить параболу у= ахІ+у, надо параболу у= ахІ сдвинуть на Iу?I единиц вверх, если у? >0, и вниз, если у?< 0.

Построим график для функции у= ахІ, для а=2.

Пусть дана парабола у= ахІ (а?0). Чтобы построить график функции у= а(х-2)І, надо параболу у= ахІ сдвинуть на 2 единицы вправо. График функции у= а(х-2)І - парабола, имеющая вершину (2;0) и ось х=2.

Если А - произвольная точка графика функции у= ахІ, а В - точка графика функции у= а(х-2)І, имеющая ту же ординату, то абсцисса точки В на 2 единицы меньше абсциссы точки А.

Чтобы построить параболу у= а(х-х?)І, надо параболу у= ахІ сдвинуть на Iх?I единиц вправо, если х? >0, и влево, если х?< 0.

Пусть дана парабола у= ахІ. Чтобы построить график функции у= а(х-2)І+3, надо параболу у=ахІ сначала сдвинуть на 2 единицы вправо; затем на 3 единицы вверх. График функции у= а(х-2)І +3- парабола, имеющая вершину (2;3) и ось - прямая х=2.

Если В - произвольная точка графика функции у= а(х-2)І, а С - точка параболы у=а(х-2)І+3, имеющая ту же абсциссу, то ордината точки С на 3 единицы больше ординаты точки В

Чтобы построить параболу у= а(х-х?)І+у?, надо параболу у= ахІ сдвинуть на Iх?I единиц вправо, если х? >0, и влево, если х?< 0; затем полученную параболу сдвинуть на Iу?I единиц вверх, если у? >0, и вниз, если у?< 0.



Для усвоения параллельного переноса авторы предлагают следующие здания:

как из графика функции у= ахІ (а?0) получить график функции:

1) у= а(х-х?)І; 2) у= ахІ+у?; 3) у= а(х-х?)І+у??

Как называются эти графики? Какие точки являются их вершинами? Каковы уравнения их осей?

Объясните, как с помощью графика функции у= хІ можно получить график функции:

1) у= (х+5)І; 2) у= -(х+5)І; 3) у= 2(х-1)І; 4) у= -2(х-1)І.

постройте график функции:

1) у= (х-1)І; 2) у= -(х-1)І; 3) у= 2(х-1)І; 4) у= -0,5(х-2)І;

5) у= (х+4)І; 6) у= -(х+2)І; 7) у= -3(х+1)І; 8) у= 0,1(х+3)І.

-а) напишите уравнение функции, график которой симметричен графику функции у= 2(х-8)І относительно оси Оу.

-б) напишите уравнение какой-нибудь параболы, осью симметрии которой является прямая х=3.

какой формулой задана функция, график которой получен из параболы у= хІ в результате:

а) переноса вершины в точку (0;5);

б) переноса вершины в точку (0;-3);

в) сжатия по оси Оу в 2 раза и переноса вершины в точку (0;3);

г) растяжением по оси Оу в 2 раза и переноса вершины в точку (0;-2)?

- постройте параболу:

1) у= (х-1)І+1; 2) у= -(х+1)І+2; 3) у= -2(х-2)І+2; 4) у= 2(х+1)І-1.

какой формулой задана функция, график которой получен параллельным переносом параболы у= 2хІ так, что ее вершина есть точка:

а) (5;-1); б)(-2;5)?

Так же как и в учебниках Макарычева Ю.Н. и др. и Алимова Ш.А. и др., С.М. Никольский рассматривает построение графика квадратичной функции, но в отличии от тех учебников он показывает два способа построения, а не один. Это:

построение графика функции, используя преобразования;

построение графика функции по точкам.

Т.е., автор предлагает учащимся самим для себя выбрать удобный способ построения графиков функций.

В дополнительном материале к главе авторы показывают, что рассматриваемые преобразования могут использоваться при построении других функций, в частности, при построении графиков функции у=+у?.

Мы видим, что теоретический материал изложен достаточно подробно, четко, с учетом возрастных особенностей учащихся, подробно рассмотрены примеры, разнообразная система упражнений.

обучение математика график мышление

2.6 «Алгебра 7-9» авторы К.С. Муравин; Г.К. Муравин; Г.В. Дорофеев

Данный учебно-методический комплект продолжает единую содержательную линию обучения математики в соответствии с традиционной программой.

Он рекомендован (допущен) Министерством образования РФ к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2004/05 учебный год.

По программе в 7 классе учащиеся знакомятся с понятием функция и рассматриваются функции: у=; у=кх; у=кх+в, а также преобразованиями: параллельным переносом, растяжением (сжатием) вдоль оси Оу, симметрией относительно оси Ох.

В 8 классе учащиеся знакомятся с функцией у=хІ.

В 9 классе учащиеся изучают квадратичную функцию и ее график, а также преобразования графиков функций; функции у=хі, у=х?.

На изучение преобразований графиков функций в планировании в 9 классе отводится 6 часов:

§5. Квадратичная функция и ее график.

11. Функция у=ахІ . 3 часа

12. Функция у=ахІ+вх+с 3 часа

Последовательность изложения преобразований графиков функций дублирует учебники Ю.Н.Макарычева, Н.Г. Миндюк; Ш.А. Алимова; Г.В. Дорофеева; С.М. Никольского.

Специфика объяснения немного отличается от остальных учебников.

I Растяжение (сжатие) вдоль оси Оу рассматривается на примере функций: у=хІ и у=2хІ.

Х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у=хІ	9	4	1	0	1	4	9
У=2хІ	18	8	2	0	2	8	18

Заметим, что любой точке графика функции у=хІ с координатами (х;у) соответствует точка графика у=2хІ с координатами (х;2у); с такой же абсциссой и в 2 раза большей ординатой. Значит, чтобы получить график функции у=2хІ, нужно растянуть график функции у=хІ от оси абсцисс в 2 раза.

Рассматривая подобным образом функцию у=хІ, заметим, что ординаты точек ее графика в 4 раза меньше ординат соответствующих точек графика функции у=хІ и график функции у=хІ можно получить, сжав график функции у=хІ к оси абсцисс в 4 раза..

II Симметрия относительно оси Ох дублирует учебник Г.В.Дорофеева “Алгебра-9”.

Практическая часть учебника состоит из дифференцированной системы упражнений, содержащей задания обязательного и повышенного уровней, развивающие задачи и трудные, а также исследовательские работы, домашние контрольные работы.

В системе упражнений к изученным преобразованиям авторы предлагают следующие задания:

-построить график функции:

1) у= хІ; 2) у= хІ; 3) у= -хІ; 4) у= -хІ;

5) у= -1,2хІ; 6) у= -1,6хІ; 7) у= хІ; 8) у= -хІ.

-изготовить шаблоны парабол: у= хІ; у= хІ; у= 1,5хІ; у= 2хІ.

-выяснить принадлежит ли графику функции: у= 0,2хІ; у= -хІ точка А(2;3); В(-2;3); С(-5;5); К(-2;3).

-Как получить график функции у=0,1хІ из графика функции у= хІ?

-укажите общее свойство графиков функций у= а?хІ и у= а?хІ, если а?> 0, а?< 0. Каково взаимное расположение обоих графиков, если а? и а? - противоположные числа?

III Параллельный перенос вдоль оси Ох вводится через сравнение таблиц значений функций у=2хІи у=2(х+3)І.

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у= 2хІ	18	8	2	0	2	8	18
у= 2(х+3)І	0	2	8	18	32	50	72

Заметим, что третья строка таблицы получается из ее второй строки сдвигом влево на 3 клетки.

Если точка (х;у) принадлежит графику функции у= 2хІ, то точка (х-3; у) принадлежит графику функции у= 2(х+3)І.

Точка (х-3; у) получается из точки (х;у) сдвигом влево на 3 единицы параллельно оси абсцисс.

Другими словами, весь график функции у= 2(х+3)І получается сдвигом графика функции у= 2хІ параллельно оси абсцисс влево на 3 единицы.

Аналогично, рассуждая, приходим к выводу, что график функции у= х(-2)І получается из графика функции у= хІ сдвигом параллельно оси абсцисс вправо на 2 единицы.

Точно так же можем получить более общий факт:

График функции у= а(х+р)І получается из графика функции у= ахІ сдвигом параллельно оси абсцисс на р единиц влево при р>0 и на IpI единиц вправо при p<0.

IV Параллельный перенос вдоль оси Оу.

Чтобы получить значение функции y=f(x)+q в точке х, надо к значению функции y=f(x) в этой точке прибавить число q. При этом точка графика y=f(x) поднимется на q единиц вверх, если q>0, или опуститься на IqI единиц вниз, если q<0.

Т.о., график функции у= а(х+р)І+q получается из графика функции у= а(х+р)І сдвигом параллельно оси ординат на q единиц вверх, если q>0, и на IqI единиц вниз, если q<0.