Преобразование графиков функций в курсе алгебры основной школы

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математического анализа и методики его преподавания

Дипломная работа

по теме: «Преобразование графиков функций в курсе алгебры основной школы»

по специальности: 032100 «математика»

Студентки

5 курса в/о

Волковой Н.Е.

Научный руководитель:

профессор, доктор педагогических наук

Мордкович А.Г.

Москва, 2010.

Оглавление

Введение

Глава 1. Пихолого-педагогические основы обучения математике в основной школе

1.1 Физиологические особенности подростков

1.2 Особенности развития личности в подростковом возрасте

1.3 Особенности познавательной сферы подростков

1.4 Мышление, как основа для усвоения математических знаний

1.5 Двуполушарный подход в обучении, как средство развития мышления

1.6 Опора на принцип наглядности в процессе обучения математики

Глава 2. Анализ учебников «Алгебра 7-9»

2.1 Авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк

2.2 Авторы Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и другие

2.3 Авторы Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова и другие

2.4 Автор А.Г. Мордкович

2.5 Авторы С. М. Никольский, М. К. Потапов

2.6 Авторы К.С. Муравин, Г.К. Муравин

Глава 3. Система упражнений

3.1 Симметрия относительно оси абсцисс

3.2 Параллельный перенос вдоль оси абсцисс

3.3 Параллельный перенос вдоль оси ординат

3.4 Композиция преобразований

3.5 Решение неравенств

3.6 Графики с модулями

Тесты

Заключение

Литература

Введение

В результате проведения реформ происходят изменения в школьном курсе алгебры. В первую очередь эти изменения касаются изучения функций, преобразований графиков функций в основной школе. В течение многих лет усилия математиков и методистов направлены на то, чтобы эти понятия стали центральными в школьном курсе математики.

Еще в 1940 г. профессор А.Я. Хинчин говорил, что «понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии, тригонометрии вокруг которого группируется все математическое образование»[5,207].

Одним из основных направлений разработки новых программ и учебников явилась реализация ведущей роли функциональной линии в школьном математическом образовании.

Так, в 7 классе вводится линейная функция, которая используется при решении систем уравнений. В 8-9 классах вводятся квадратичная, степенная функции, изучаются их свойства и преобразования графиков функций, решаются уравнения, системы уравнений.

Далее в старшей школе изучаются тригонометрическая, показательная и логарифмическая функции со свойствами и преобразованиями графиков функций. Можно сказать, что функции, их свойства, преобразования графиков функций постоянно на слуху у учащихся в течение пяти лет обучения в школе.

Тем не менее, если говорить о том, какой раздел школьной математики усваивается детьми хуже всего, то на первый план выходят именно преобразования графиков функций.

Основная причина неудовлетворительного состояния дел при изучении преобразований графиков функций, по мнению А.Г.Мордковича, состоит в том, что в школе слишком поспешно вводится определение функции, не считаясь с теми дидактическими трудностями, которые при этом естественно возникают у учащихся, зато чрезмерное внимание уделяется формулам нахождения координат вершин параболы, дополнительных точек, т.е. формулы поставлены на первое место и рассматриваются как цель обучения, а не средство для упрощения сложной математической модели. Тем наглядным моделям, на которые опирается вся школьная функциональная линия, в частности, - преобразованиям графиков функций - внимания уделяется явно недостаточно.

Именно поэтому выбранная нами тема дипломной работы представляется весьма актуальной. Для ее разработки была поставлена следующая цель:

-- разработать систему упражнений для успешного овладения учащимися преобразованиями графиков функций в курсе основной школы.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Выявить психолого-педагогические основы изучения математики в основной школе, в частности, изучить особенности мышления подростков.

2. Проанализировать психолого-педагогические характеристики подростков

3. Проанализировать действующие в настоящее время в школе учебники по алгебре по теме дипломной работы.

4. Составить систему упражнений по активному использованию преобразований графиков функций для их успешного овладения.

Решение поставленных задач определило структуру дипломной работы: она состоит из трех глав, введения, заключения и списка использованной литературы. В первой главе решены первые две из сформулированных выше четырех задач исследования, это, условно говоря, «психолого-педагогическая глава». Во второй главе проведен подробный анализ того, как в различных школьных учебниках излагаются преобразования графиков функций. В третьей главе на основе проведенного анализа и, исходя из той проблемной ситуации с преобразованиями графиков функций в школе, о которой сказано выше, мы выстроили систему упражнений, позволяющую учащимся, во-первых, овладеть преобразованиями графиками функций, во-вторых, овладеть навыками использования преобразования графиков функций для решения уравнений, неравенств. Это способствует и непосредственному изучению функций, и ликвидации того неприязненного отношения к функциям и графикам, которое присуще школьникам при традиционном способе организации изучения курса алгебры в общеобразовательной школе. Учащиеся вынуждены применять преобразования графиков функций, привыкать к ним и относиться к ним как к своему первому помощнику, поскольку никаких других приемов решения того или иного уравнения они еще не знают. В-третьих, до конца прочувствовать все те тонкие дидактические моменты, которые связаны с функциями, преобразованиями графиков функций.

Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения математики в основной школе

В настоящее время наблюдается усиленный интерес учителей математики к психолого-педагогическим проблемам. Он обусловлен тем, что учитель в своей повседневной практике встречается с такими проблемами, которые можно решить лишь на основе психолого-педагогических знаний и знаний физиологии, так как развитие психики подростка идет в тесной связи с развитием физиологических процессов, а также при условии глубокого осмысления этих проблем.

Поэтому для того, чтобы разработать эффективную методику усвоения преобразований графиков функций, мы рассмотрели особенности физиологического и личностного развития, и особенности познавательной сферы детей среднего школьного возраста.

1.1 Физиологические особенности подростков

В настоящее время имеется несколько определений рубежей подросткового периода. Например, Г. Гримм ограничивает его возрастом 12-15 лет у девочек и 13-16 лет у мальчиков, а по Дж. Биррену этот период охватывает 12-17 лет. В классификации Д.Б. Брамлий данный возраст ограничивается 11-15 годами. Наиболее ясно очерчены границы подросткового возраста в периодизации, предложенной Д.Б. Элькониным, где акцент делается не на физическом развитии организма (пубертатный период), а на появлении психологических новообразований, обусловливаемых сменой и развитием ведущих типов деятельности. В данной периодизации границы подросткового возраста устанавливаются между 10-11 и 15-16 годами.

В социальном плане подростковая фаза - продолжение первичной социализации. Все подростки этого возраста - школьники, находящиеся на иждивении родителей. Социальный статус подростка мало, чем отличается от детского, но резко увеличивается число и объем его общественных обязанностей.

Следует особо отметить, что в подростковом возрасте процесс формирования личности не завершается. Весь этот период представляет собой значительную перестройку ранее сложившихся психологических структур и возникновение новых, которые с этого момента начинают свое развитие.

Специфическая особенность подросткового возраста состоит в том, что, с одной стороны, по уровню характера психического развития это типичная эпоха детства, с другой - перед нами растущий человек, в усложненной деятельности которого четко намечается направленность на новый характер общественных наблюдений. Он реально вступает в новые формы взаимосвязей, общения, пытается осознать их характер, самоопределиться.

Важнейший факт физического развития в подростковом возрасте - половое созревание, начало функционирования половых желез. И хотя оно не является единственным источником психологических особенностей данного возраста, оказывая лишь опосредованное влияние на развитие личности через отношения ребенка к окружающему миру, тем не менее, мы не можем отрицать, что оно вносит много нового в жизнь подростка.

Половое созревание зависит от эндокринных изменений в организме. Особенно важную роль в этом процессе играют гипофиз и щитовидная железа, которые начинают выделять гормоны, стимулирующие работу большинства других эндокринных желез. Активизация и сложное взаимодействие гормонов роста и половых гормонов вызывают интенсивное физическое и физиологическое развитие. Заметно изменяются пропорции всего тела. Замедлившийся было рост вновь вступает в свои права, причем большое увеличение падает не только на длину туловища, но и конечностей. Благодаря этому фигура подростка получает неуклюжий, нескладный вид. Отдельные части тела кажутся недостаточно пригнанными друг к другу. Отсюда и движения являются также недостаточно правильно координированными. Сердце увеличивается в 2 раза, диаметр артерий дает значительно меньший прирост; соответственно этому усиливается кровяное давление. Рост мускульной силы продолжается, но несмотря на это, организм подростка обнаруживает большую утомляемость, обусловленную другими переменами в нем, и в частности усиленной затратой энергии для роста. Все это отражается на функциональных состояниях подростка.

11-12 лет - период повышенной активности, значительного роста энергии. Но это период и повышенной утомляемости, некоторого снижения работоспособности. Часто за двигательным беспокойством, повышенной возбудимостью подростков скрывается быстрое и резкое наступление утомления, которое сам школьник в силу недостаточной зрелости ещё не может проконтролировать и понять. Дети в это время часто проявляют повышенную вспыльчивость, обидчивость, прежде всего по отношению к взрослому.

В 13-14 лет нередко отмечается своеобразное чередование всплесков активности и ее падения, вплоть до внешнего, полного изнеможения. Усталость наступает быстро и как бы внезапно, характеризуя повышенную утомляемость.

С повышенной утомляемостью связано явление специфической “подростковой лени”. Часто от взрослых можно слышать жалобы на то, что подросток всё время хочет лежать, не может стоять прямо: постоянно стремится на что-нибудь опереться. На просьбы отвечает: у меня нет сил. Причина этого в усиленном росте, требующем много сил и снижающем выносливость.

1.2 Особенности развития личности в подростковом возрасте

Важнейшим психологическим новообразованием подросткового возраста является становление самосознания. Важным признаком, характеризующим самосознание подростка, считается чувство взрослости. Взрослость подростка субъективно связывается им не с подражанием, а с приобщением к миру взрослых, с появлением у него чувства социальной ответственности как возможности и необходимости отвечать за себя и за общее дело.

Подросток требует признания своей самостоятельности, своего равенства, хотя для этого отсутствуют реальные условия - и физические, и интеллектуальные, и социальные. Только в специально организуемой общественно полезной деятельности создается ситуация, в которой подросток вступает в действительно равноправные отношения с взрослыми. Психологическая значимость этой деятельности заключается в том, что в ней он включается в широкую систему взаимоотношений, удовлетворяет свои притязания на отношения с взрослыми.

Чувство взрослости проявляется и в стремлении к самостоятельности, решению важных вопросов повседневной жизни. Для подростков характерно развитие чувства долга, ответственности за свои поступки. В то же время у них нет еще вполне осознанной позиции по отношению к ценностям определенной социальной группы и общества, непрерывно меняется круг расширяющихся интересов, растет их дифференциация, глубина и содержательность.

Важнейший момент в характеристике подростка, его новой социальной позиции - осознание своего “Я”. Это осознание осуществляется и в самооценке, и в отношениях со сверстниками и взрослыми.

Потребность подростка в самонаблюдении, самооценке, самоутверждении и самосовершенствовании возникает не из пустого любопытства и поверхностного влечения к самоуглублению и не выступает как бесцельное самокопание, а появляется из моральной потребности проанализировать свои достоинства и недостатки, из стремления понять, что в собственных поступках и целях является правильным и что неправильным, чего следует добиваться и от чего воздержаться. То есть интерес к себе возникает из потребностей жизни и деятельности, в которых и раскрываются качества личности.

Решающее значение приобретает в этом возрасте стремление детей найти свое место в обществе. Это стремление представляет собой ведущий мотив поведения подростков, для которых характерно развитие общественной активности, ярко выраженное желание играть определенную роль в коллективе.

Подросток постоянно пытается испробовать, ”чего он может добиться “. Отсюда противопоставление себя другим, часто негативное. В результате ребенок нередко оскорбляет окружающих людей только потому, что хочет испытать собственную независимость. Негативизм, упрямство подростка, желание настоять на своем - своеобразные упражнения в познании своих возможностей. Каждый случай победы или поражения становится его самосознанием. Постоянным сравнением себя с другими людьми, примериванием их особенностей и качеств на себя подросток создает свое “Я”.

В этом возрасте он эмоционально общается со сверстниками. Общение пронизывает всю жизнь подростка, накладывая отпечаток на все сферы деятельности. Ведущей деятельностью в этот период становится интимно-личностное общение. Наиболее содержательное и глубокое общение возможно при дружеских отношениях. Близкий друг для подростка обычно его ровесник - это своеобразный психотерапевт, умеющий выслушать и посочувствовать, понимающий и принимающий его переживания и установки, помогающий преодолеть неуверенность в своих силах, поверить в себя. В то же время у подростка наблюдается тенденция выделиться среди окружающих, утвердить свое “Я”, не быть “заурядным”.

В этот возрастной период детей так тянет друг к другу, их общение настолько интенсивно, что говорят о типично подростковой “реакции группирования”. Но особенно важно для подростка иметь референтную группу, ценности которой он принимает, на чьи нормы поведения и оценки он ориентируется

Оценка своей личности, своих возможностей происходит и в отношениях подростка с взрослыми. У ребенка этого возраста уже нет наивной веры в авторитет родителей и педагогов. Он смотрит на них критически, замечая противоречия между словом и делом, недостатки, ошибки взрослых, хотя исключительно дорожит общественным мнением и отношением к себе взрослых, стремясь выработать в себе такие черты, которые позволяли бы ему добиваться успехов в деятельности и улучшать взаимоотношения с другими людьми. Для него крайне важно, как он выглядит в глазах окружающих, как они относятся к его делам и поступкам.

1.3 Особенности познавательной сферы подростков

Известный психолог Р.С. Немов так пишет в своих трудах: «Учение в школе - это организованный процесс. Особенности учебной деятельности состоят в том, что она прямо служит средством психологического развития индивида». Психология - необходимая основа математики. Еще делегаты 1 всероссийского съезда учителей математики в 1911 году считали своим долгом ссылаться на исследования психологов. Немецкий ученый В.А.Лай писал, что без психологии методика является слепой рутиной.

Чтобы этого не случилось, необходимо построение системы закономерностей, охватывающей множество научных фактов методики преподавания математики, дидактики, психологии, имеющей большое прогностическое значение для предсказания реальных особенностей протекания целостного учебно-воспитательного процесса. Это и будет способствовать установлению более тесных связей между этими науками, приведет к более широкому использованию психологических знаний в теории и практике обучения математике.

Обучение математике не может быть успешным без знания учителем основных психологических особенностей своих учеников.

Психологические процессы: восприятие, внимание, воображение, память, мышление, речь - выступают как важнейшие компоненты любой человеческой деятельности, в том числе и учебной. Для того чтобы удовлетворять свои потребности, человек должен воспринимать мир, обращать внимание на те или иные моменты или компоненты деятельности, представлять, что ему нужно сделать, запомнить, обдумывать, высказывать суждения. Поэтому без участия психических процессов человеческая деятельность невозможна, они выступают как неотъемлемые внутренние моменты.

Психические процессы не просто участвуют в деятельности, они в ней развиваются и сами представляют собой особые виды деятельности. Процесс усвоения знаний способствует развитию внимания, восприятия, памяти, мышления, воображения и речи.

Подростковый возраст - возраст пытливого ума, жадного стремления к познанию, бурной активности, энтузиазма.

Внимание - состояние психологической концентрации, сосредоточенности на каком-нибудь объекте.

Внимание подростка характеризуется не только большим объемом и устойчивостью, но и специфической избирательностью. В эту пору развивается преднамеренное внимание.

Восприятие - процесс приема и переработки человеком различной информации, поступающей в мозг через органы чувств.

Избирательным, целенаправленным, анализирующим становится и восприятие

Память - процесс запоминания, хранения, воспроизводства и переработки человеком разнообразной информации.

Память подростка опирается на мышление, за внешней видимостью образов памяти скрываются истинные понятия. Постепенное сближение памяти и интеллекта лежит в основе развития памяти в этом возрасте. Рост логической памяти происходит не только количественно, не только со стороны содержания - память заполняется не столько образами конкретных предметов, сколько их понятиями, связями, отношениями. Происходит и рост качественного характера самой функции запоминания со стороны ее состава, строения, способов деятельности. Память подростка освобождается от наглядных образов, вербальной памяти; запоминания в понятиях, непосредственно связанные с осмыслением, анализом и систематизацией материала, выдвигаются на первый план. В связи с мощным развитием внутренней речи и окончательным уничтожением разрыва между внутренней и внешней речью, сама вербальная память подростка опирается преимущественно на внутреннюю речь, превращаясь в одну из интеллектуальных функций. Таким образом, ребенок, становясь подростком, переходит к внутренней мнемотехнике, которую называют логической памятью.

Мышление - высшая ступень человеческого познания, процесс отражения объективной деятельности.

Подростковый возраст - возраст рассуждающего мышления. Находящаяся в разгаре своего созревания функция - мышление - начинает проявлять себя с большой энергией. Они забрасывают в школе учителей вопросами, а дома усиленно думают над решением порой труднейших проблем. В подростковом возрасте лишь начинается интенсивное развитие абстрактных понятий, но это развитие продолжается с ещё большей интенсивностью в юношеском возрасте.

Ключом ко всей проблеме развития мышления в переходном возрасте является овладение процессом образования понятий, переход к новой и высшей форме интеллектуальной деятельности - к мышлению в понятиях.

Наглядное мышление подростка включает в себя абстрактное мышление, мышление в понятиях. Подросток не только осознает и осмысливает воспринимаемую им действительность, но и осмысливает ее в понятиях, то есть для него в акте наглядного восприятия сложно синтезируется абстрактное и конкретное мышление. Он упорядочивает видимую действительность, не соотнося ее с прежде установленными комплексами, а с помощью выработанных в мышлении понятий.

Мысль окончательно соединяется со словом, в результате чего образуется внутренняя речь как основное средство организации мышления и регуляции других познавательных процессов. Интеллект в своих высших проявлениях становится речевым, а речь интеллектуализированной. Возникает полноценное теоретическое мышление.

Речь - система используемых человеком звуковых сигналов, письменных знаков и символов для представления, переработки, хранения и передачи информации.

Процесс созревания влияет и на развитие речи, особенно у мальчиков. Их речь становится более лаконичной и стереотипной, что проявляется в специфической “ глагольной речи”. С этим связаны также определенные трудности письменной речи.

В связи с особенностями развития речевой сферы подростки часто замедленно реагируют на то, что им говорят. Очевидными следствиями этого являются нередкие жалобы на непонимание подростками объяснений учителя, на то, что “им надо двести раз все повторять”. Описанные выше особенности развития моторной и речевой сферы требуют особого внимания к этим областям, как педагогов, так и психологов.

Далее более подробно рассмотрим процесс мышления, так как в педагогической науке сформировано принципиальное положение о том, что одна из ведущих целей всякого образования состоит в формировании мышления, в развитии интеллектуальных способностей учащихся. В обучении математики мышление играет огромную роль для усвоения математического материала. Поэтому для педагога знание природы и особенностей мышления составляет профессиональное требование.

1.4 Мышление, как основа для усвоения математических знаний

Мышление является высшим, познавательным процессом. Оно представляет собой порождение нового знания, активную форму творческого отражения и преобразования человеком действительности. Мышление также можно понимать как получение человеком новых знаний, творческое преобразование имеющихся представлений.

Отличие мышления от других психических процессов состоит в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить.

На практике мышление как отдельный психический процесс не существует, оно незримо присутствует во всех других познавательных процессах: в восприятии, внимании, воображении, памяти, речи. Высшие формы этих процессов обязательно связаны с мышлением, и степень его участия в этих познавательных процессах определяет их уровень развития.

Мышление - это движение идей, раскрывающее путь вещей. Его итогом является не образ, а некоторая мысль, идея. Специфическим результатом мышления может выступить понятие, - обобщенное отражение класса предметов в их наиболее общих и существенных особенностях.

Мышление - это особого рода теоретическая и практическая деятельность, предполагающая систему включенных в нее действий и операций ориентированного и познавательного характера.

Процесс решения задач происходит с помощью особых умственных операций. Эти операции составляют различные взаимосвязанные, переходящие друг в друга стороны мышления. Основными мыслительными операциями являются анализ, синтез, сравнение, абстракция, конкретизация и обобщение.

Анализ - это мыслительное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений. В элементарной форме анализ выражается в практическом разложении предметов на составные части.

Синтез - это мысленное объединение частей, свойств, действий в единое целое. Операция синтеза противоположна анализу. В его процессе устанавливается отношение отдельных предметов или явлений как элементов или частей к их сложному целому, предмету или явлению.

Анализ и синтез протекают всегда в единстве. Анализируется то, что включает в себя что-то общее, целое. Синтез также предполагает анализ: чтобы объединить какие-то части, элементы в единое целое, эти части и признаки необходимо получить в результате анализа. В мыслительной деятельности анализ и синтез как бы поочередно выходят на передний план. Преобладание анализа или синтеза в мышлении может быть обусловлено как характером материала и условиями задачи, так и умственным складом человека.

Сравнение - это установление сходства или различия между предметами и явлениями или их отдельными признаками. Основное требование к операции сравнения, чтобы оно проводилось в одном отношении.

Абстракция состоит в том, что субъект, вычленяя какое-либо свойство, признаки изучаемого объекта, отвлекается от остальных. Абстрагирование обычно осуществляется в результате анализа и зависит от своеобразия изучаемого объекта и целей, стоящих перед исследователем.

Конкретизация предполагает возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрытия содержание. К конкретизации обращаются в том случае, если высказанная мысль оказывается непонятной другим или необходимо показать проявление общего в единичном.

Обобщение - мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам.

Мышление человека не только включает в себя различные операции, но и протекает на различных уровнях, в различных формах, что в совокупности позволяет говорить о существовании разных видов мышления. В психологии сложилось несколько подходов к проблеме классификации видов мышления.

Одной из наиболее распространенных в психологии является классификация видов мышления в зависимости от содержания решаемой задачи.

Здесь выделяют: наглядно - действенное, наглядно - образное, словесно - логическое. Этой классификации придерживаются такие психологи, как Л.С.Выготский, А.Н.Леонтьев.

Наглядно-действенное мышление определяется возможностью наблюдать реальные объекты и познавать отношения между ними в реальном преобразовании ситуации. Практические познавательные предметные действия являются основой любых более поздних форм мышления.

При наглядно-образном мышлении учащиеся оперируют наглядными изображениями объектов (например, графиками функций), через их образные представления. При этом образ предмета позволяет объединить набор разнообразных практических операций в целостную практику. Овладение наглядно-образными представлениями расширяет сферу действия практического мышления.

Развитие словесно-логического мышления перестраивает и упорядочивает мир образных представлений и практических действий. У школьников этот вид мышления становится особенно важным; задача решается ими в словесной форме, образуются и используются наиболее отвлечённые понятия, создаются различные алгоритмы решения.

Следует отметить, что эти виды мышления тесно взаимосвязаны между собой. Приступая к какому-нибудь практическому действию, мы уже имеем в сознании тот образ, который предстоит еще достигнуть. Отдельные виды мышления постоянно взаимопереходят друг в друга. Так, практически невозможно разделить наглядно-образное и словесно-логическое мышление, когда содержанием задачи являются схемы и графики.

Одна из традиционных классификаций мышления основана на содержании используемых средств - наглядные или вербальные. Установлено, что для успешной мыслительной работы одним людям необходимо видеть или представлять предметы, другим - оперировать отвлеченными знаковыми структурами. В психологии полагают, что наглядный и вербальный типы мышления являются “антагонистами”: (Антагонист - непримиримый противник. Толковый словарь русского языка С.И. Ожегова)

носителям первого бывают, труднодоступны даже простые задачи, представленные в знаковой форме; носителям второго нелегко даются задачи, требующие оперирования наглядными образами. Очевидно, что учителю в своей работе необходимо опираться на оба типа мышления, развивая у учащихся каждый из них.

Также различают теоретическое и практическое мышление по характеру решаемых задач и вытекающих отсюда структурных особенностей.

Теоретическое мышление - это познание законов и правил.

Основная задача практического мышления - разработка средств практического преобразования действительности: постановка цели, создание плана, схемы и часто развертывается в условиях дефицита времени, что подчас делает его еще сложнее, чем теоретическое мышление. Мышление педагога по этой классификации относится к разряду практического мышления.

В свою очередь в теоретическом мышлении выделяют понятийное и образное мышление, а в практическом наглядно-образное и наглядно-действенное.

Понятийное мышление - это такое мышление, в котором используются определенные понятия. При этом, решая те или иные умственные задачи, мы не обращаемся к поиску с помощью специальных методов какой-либо новой информации, а пользуемся готовыми знаниями, полученными другими людьми и выраженными в форме понятий, суждений, умозаключений.

Образное мышление - это вид мыслительного процесса, в котором используются образы. Эти образы извлекаются из памяти или воссоздаются воображением.

В ходе решения мыслительных задач соответствующие образы мысленно преобразуются так, что в результате манипулирования ими мы можем найти решение интересующей нас задачи. Чаще всего такой вид мышления преобладает у людей, деятельность которых связана с каким-либо видом творчества.

Следует отметить, что понятийное и образное мышление, являясь разновидностями теоретического мышления, на практике находятся в постоянном взаимодействии. Они дополняют друг друга, раскрывая перед нами различные стороны бытия.

Понятийное мышление дает наиболее точное и обобщенное отражение действительности, но это отражение абстрактно. В свою очередь, образное мышление позволяет получить конкретное субъективное отражение окружающей нас действительности. Таким образом, понятийное и образное мышление дополняют друг друга и обеспечивают глубокое и разностороннее отражение действительности.

По степени развернутости различают интуитивное и аналитическое мышление.

Аналитическое мышление развернуто во времени, имеет четко выраженные этапы, представлено в сознании самого мыслящего человека.

Интуитивное мышление характеризуется быстротой протекания, отсутствием четко выраженных этапов, является минимально осознанным.

Однако педагогам часто приходится опираться именно на интуитивное мышление учеников, более того, необходимо развивать так называемую “математическую интуиции”.

Математическое мышление - это предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранились заданные между ними отношения.

“Формирование математического мышления - это целенаправленное и систематическое развитие всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе научного познания, в органическом единстве с формами проявления мышления, обусловленными спецификой самой математики, с акцентом на постепенное развитие научно-теоретического мышления”.[26]

Для развития логического мышления учащихся при обучении математике, даются рекомендации проводить занятия так, чтобы учащиеся осознанно и правильно применяли законы мышления в таких его формах, как понятие, суждение, умозаключение.

Понятие - это отражение общих и существенных свойств предметов или явление. В основе понятий лежат наши знания об этих предметах или явлениях. Принято различать общие и единичные понятия.

Общими понятиями называют те, которые охватывают целый класс однородных предметов или явлений, носящих одно и то же название. В общих понятиях отражаются признаки, свойственные всем предметам, которые объединены соответствующим понятием.

Единичными называются понятия, обозначающие какой-либо один предмет. Единичные понятия представляют собой совокупность знаний о каком-либо одном предмете, однако при этом отражают свойства, которые могут быть охвачены другим, более общим понятием.

Любые общие понятия возникают лишь на основе единичных предметов и явлений. Поэтому формирование понятий происходит не только посредством уяснения каких-либо общих свойств и особенностей группы предметов, но в первую очередь через приобретение знаний о свойствах и особенностях единичных предметов. Закономерный путь формирования понятий - это движение от частного к общему, то есть через обобщение.

Усвоение понятий - это достаточно сложный процесс, который имеет несколько этапов. На первых этапах формирования понятия не все существенные признаки воспринимаются нами как существенные. Более того, то, что является существенным признаком, нами может не осознаваться вообще, а то, что является несущественным, воспринимается нами как существенное. Основой формирования понятий является практика.

Усвоить понятие можно двумя путями:

специальное обучение, в результате которого формируются общие понятия;

самостоятельное обучение, в результате которого формируются единичные понятия;

Общие и единичные понятия тесно взаимосвязаны. Их соотношение определяет адекватность наших представлений о каком-то явлении или предмете. Причем адекватность этих представлений зависит от того, насколько точно усвоена суть явления или предмета.

Можно указать несколько условий, способствующих успешному усвоению понятий:

варьирование признаков предмета, понятие о котором мы пытаемся усвоить. Чем с большим числом признаков предмета мы встретимся в практическом опыте, тем более полное понятие у нас будет сформировано о данном предмете;

использование наглядности при усвоении понятий позволяет сформировать образы, которые дают отчетливое знание признаков предмета, его качеств и свойств.

Однако овладеть понятием - это значит не только уметь назвать его признаки, но и уметь применять понятие на практике. Как правило, наши затруднения с применением на практике понятий связаны с новыми, необычными условиями, в которых необходимо оперировать имеющимся у нас понятием. Причем применение понятия на практике в различных условиях является не только показателем степени его усвоения, но и средством достижения наилучшего усвоения этого понятия.

Одним из наиболее важных моментов в усвоении понятия является его осознание. Иногда, используя понятие, мы до конца не осознаем его смысл. Поэтому осознание понятия может рассматриваться как наивысшая ступень в формировании понятий.

В современной науке понимание трактуется, как способность постичь смысл и значение чего-либо.

Если понимание - это способность, то суждение - это результат данной способности. Суждение как форма мышления основано на понимании многообразия связей конкретного предмета или явления с другими предметами или явлениями.

В процессе оперирования разнообразными суждениями с использованием определенных умственных операций может возникнуть еще одна форма мышления - умозаключение. Умозаключение является высшей формой мышления и представляет собой формирование новых суждений на основе преобразования уже имеющихся. Умозаключение опирается на понятия и суждения и чаще всего используется в процессах теоретического мышления.

В состав математического мышления вводятся такие качества мышления, как гибкость, широта, глубина, целенаправленность, оригинальность, рациональность, критичность, активность, организованность, ясность, точность речи. Эти качества мышления тесно связаны друг с другом и проявляются в учебной математической деятельности в единстве. Но они могут быть использованы и при усвоении физики, химии, биологии, техники.

Итак, развитие мышления в процессе обучения - это не простая смена видов и форм мышления, а их изменение, совершенствование в ходе усвоения все более обобщенной информации; выработка умений и навыков по применению законов мышления в познавательной и учебной деятельности, а также умений осуществлять перенос приемов мыслительной деятельности из одной области знаний в другие.

1.5 Двуполушарный подход в обучении, как средство развития мышления

Правополушарные люди за лесом не видят отдельных деревьев, а правополушарные - за отдельными деревьями не видят леса. Б. Белый

40 лет назад крупнейший физиолог нашего века И.П.Павлов пришел к выводу, что всех людей можно разделить на два типа - художников и мыслителей. Связано это с одной из особенностей мозга человека - так называемой функциональной специализацией полушарий мозга. Левое полушарие - база абстрактного логического мышления, правое - база конкретного образного. От того, какое из полушарий наиболее развито у человека (в силу врожденных свойств или в силу воспитания), зависит его индивидуальность, особенности его воспитания.

Основной отличительной особенностью «правополушарного» - образного - мышления считают способность целостно, в комплексе воспринимать предметы и явления. А «левополушарное» мышление наделяют способностью к последовательной обработке информации, когда познание происходит ступенчато, шаг за шагом, и благодаря этому носит аналитический, а не синтетический характер.

Иначе говоря, правое полушарие как бы сразу «схватывает» всю картину мира в целом, левое же формирует ее постепенно, из отдельных, тщательно изученных деталей.

Таким образом, основное различие между двумя типами мышления сводится к принципам составления связного контекста из отдельных элементов информации. Левополушарное мышление из этих элементов создает однозначный контекст. То есть из всех бесчисленных связей между предметами и явлениями оно активно выбирает только некоторые, наиболее существенные для конкретной задачи. На противоположных принципах основана стратегия правополушарного мышления. Оно создает многозначный контекст, благодаря одновременному охватыванию практически всех признаков и связей одного или многих явлений. Если логико-знаковое мышление формирует модель мира, удобную для анализа, но чем-то условную и ограниченную, то образное мышление создает натуральный образ мира.

На рисунке условно показано характерное различие стратегии мышления обоих полушарий мозга. Из случайного набора деталей левое полушарие строит четкий ряд геометрических фигур, наводит порядок в их расположении. Правое полушарие из тех же деталей придумывает некий целостный образ, в котором каждый элемент наделен внутренней или видимой связью с другими.

До сих пор мы рассматривали деятельность каждого полушария изолированно, так, будто у человека есть два разных, ничем не связанных мозга. На самом же деле нормальная психическая деятельность предполагает совместную работу обоих полушарий. Несмотря на различные подходы к обработке информации, полушария мозга работают как единое целое, согласуя и уравновешивая работу друг друга. Только при таком условии возможна полноценная психическая деятельность человека.

И. Соньер писал «Обучая левое полушарие, вы обучаете только левое полушарие. Обучая правое полушарие, вы обучаете весь мозг!»

До недавнего времени школа одной из главных своих задач считала развитие и тренировку логического мышления, поэтому все усилия педагогов были направлены на стимуляцию левополушарных возможностей. Почти все школьные учебники обращены только к одному полушарию мозга - левому, отвечающему за логическое, рациональное начало в мышлении. А правое, доминирующее во всем, что касается образного, способа познания, оказывается факультативным на всем протяжении школьного обучения.

Вот мнение некоторых ученых в области нейропедагогики:

Профессор Трауготт: «Надо предостеречь школу от левополушарного обучения. Это воспитывает людей, не способных к реальным действиям в реальной ситуации».

Профессор Хризман: «Изчезают правополушарники - генераторы идей. Вопрос стоит серьезно: надо спасать нацию».

Профессор Колесов: «Истинное мышление - образное, комплексное, когда важно не только обозначить понятием, но и понять комплексно».[27 ]

Как было сказано выше, полноценная психическая деятельность, возможна при согласованной и уравновешенной работе двух полушарий. Поэтому школьное обучение необходимо дополнить материалами, способствующими развитию правополушарного мышления, чтобы компенсировать традиционный левополушарный подход в обучении.

В последнее время стали появляться учебники, направленные на решение этой проблемы. Это учебники, в которых соединяются два подхода, и они апеллируют, одновременно и параллельно, к обоим полушариям мозга, обеспечивая «объемное» видение материала и гармоничное развитие всех типов мышления ребенка.

Примером «двуполушарного» учебника является учебник русского языка для начальной школы О. Л. Соболевой [28]. Вот, что говорит сам автор о новом подходе: “Когда мы соединяем логос и образ, когда логический луч пересекается с ассоциативным, любой ребенок гораздо легче адаптируется к процессу обучения. Причем в выйгрыше оказываются и «левополушарные» дети: ведь они тоже обделены школьной системой, которая делает упор на то, что они умеют, и почти не помогает им расширить свои возможности и «увидеть» мир правым полушарие мозга… Если генетически у ребенка облегчен определенный тип мышления, то это не значит, что развивать нужно только его. Ребенка необходимо научить пользоваться и тем типом мышления, который является для него менее успешным. Что же касается «правополушарных» детей, то есть детей-левшей и детей со скрытыми признаками левшества, то они, наконец, перестают быть дискриминированными в учебном процессе: ведь до сих пор они вообще не принимались в расчет”.[18]

В средней школе появился «двуполушарный» учебник по алгебре А.Г.Мордковича. Вот кредо автора: «меньше схоластики, меньше формализма, меньше жестких моделей, меньше опоры на левое полушарие, больше геометрических иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше мягких моделей, больше опоры на правое полушарие мозга.

Активное использование графиков, графических моделей с самого начала изучения той или иной темы позволяет активизировать правое полушарие мозга учащихся, не «зацикливаться» на левом «формульном» полушарии, то есть содействовать гармоничному развитию мышления школьника».

Итак, для успешного развития мышления в целом, необходимо равномерное развитие обоих полушарий мозга. Для этого на уроке помимо заданий направленных на формирование левополушарного мышления должен использоваться и правополушарный материал. Его подготовка и успешное применение на уроке требует знания механизмов формирования образов и их использования в процессе мышления.

1.6 Опора на принцип наглядности в процессе обучения математики

Процесс обучения опирается на следующие принципы:

1) принцип научности;

2) принцип связи теории с практикой;

3) принцип систематичности и последовательности;

4) принцип доступности;

5) принцип наглядности;

6) принцип сознательности и активности учащихся;

7) принцип прочности;

8) принцип рационального сочетания коллективных и индивидуальных форм обучения.

Мы остановимся более подробно на характеристики принципа наглядности, поскольку знакомство учащихся с преобразованиями графиков функций неизбежно требует опоры на наглядные представления подростков.

Принцип наглядности обучения - это один из старейших и важнейших в дидактике принципов обучения - означает, эффективность обучения зависит от целесообразного привлечения органов чувств к восприятию и переработке учебного материала. Это «золотое правило» дидактики сформулировал еще Я.А.Коменский.

Органы чувств человека обладают разной чувствительностью к внешним раздражителям, у подавляющего большинства людей наибольшей чувствительностью обладают органы зрения, информация, поступающая через них в мозг, не требует значительного перекодирования, она запечатлевается в памяти человека легко, быстро и прочно.

В процессе обучения детям надо дать возможность наблюдать, измерять, проводить опыты, практически работать - через это вести к знанию.

Однако использование наглядности должно быть в той мере, в которой она способствует формированию знаний и умений, развитию мышления. Демонстрация и работа с предметами должны вести к очередной ступени развития, стимулировать переход от конкретно-образного и наглядно - действенного мышления к абстрактному, словесно-логическому.

Графики можно рассматривать как одно из средств наглядности, применяющейся при решении задач.

Долгое время считалось, что наглядность важна на первых этапах усвоения для создания чувственной основы формирования обобщений, а по мере развития абстрактного мышления необходимость в ней постепенно снижается. Применительно, например, к задачам это означало требование полной предметной наглядности с демонстрацией и самого действия задачи, на следующем этапе без демонстрации действий, после чего полная предметная наглядность заменяется частичной, и, наконец, когда созданы предпосылки для формирования абстрактных понятий и операций наглядность совсем исчезает.

Как видим, наглядность рассматривалась в качестве временной опоры для развития абстрактного мышления.

Однако наглядность нужна и в дальнейшем, но уже для другой цели - для развития более сложных форм конкретного мышления.

“Увеличение удельного веса теоретических знаний в курсе, усиление роли самостоятельных обобщений школьников, - пишут Н. А. Менчинская и М. И. Моро, - при их усвоении ни в коей мере не означает, что ослабело внимание к развитию конкретного мышления. Напротив приобретает большое значение развитие сложных форм конкретного мышления. С этим связано широкое использование новых, более обобщенных форм наглядности. Наряду с предметной наглядностью в практике учителей теперь широко используется схематическая наглядность”. В соответствии с этим перед учителем возникает важная задача - формировать у школьников умения оперировать пространственными образами, читать и строить графические схемы и чертежи.

Роль схематической наглядности (и вообще средств наглядности), определяется не только задачей развития абстрактного мышления, но и задачей формирования конкретного мышления.

Следующие соображения позволят осознать смысл, назначение, особенности использования графических изображений при обучении школьников математике:

1. Использование графических изображений при формировании математических понятий способствует сознательному и прочному усвоению. Благодаря им математические связи и зависимости приобретают для учеников наглядный смысл, а в процессе их использования происходит углубление, закрепление и развитие математических способностей учащихся.

2. Как известно, в практике обучения нередко можно столкнуться с тем, что люди в процессе выполнения заданий (особенно в процессе решения задач) стремятся избежать трудностей, избежать активных мыслительных усилий. Одна из основных причин здесь кроется в том, что они не подготовлены к абстрактному мышлению.

Графики не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладеть, умением применять их. Как известно, эти условия необходимы, чтобы обучение носило развивающий характер.

3. Обучение теснейшим образом связано с воспитанием. Соблюдение точности и аккуратности при выполнении графиков помимо учебного имеет важнейшее воспитательное значение. Аккуратно выполненные графические изображения в значительной степени способствуют эстетическому воспитанию детей: снижают утомляемость, повышают, воспитывают внимание, они вырабатывают умения устанавливать связи между объектами, наблюдательность, настойчивость в преодолении трудностей. И наоборот, грубый чертеж мешает увидеть скрытые в условиях задачи закономерности, на которых основано решение. Кроме того, графические упражнения требуют меньшей умственной напряженности, чем устные и письменные вычисления, и поэтому дети утомляются значительно меньше. Графические упражнения, соединяя работу “головы и рук” являются необходимым видом активной учебной деятельности.

Можно далее сказать, что графики создают большие возможности для активизации учебной работы по наблюдению, сравнению, обобщению и применению логических форм и мыслительных операций. Правильно построенные графические модели помогают организовать соответствующую работу, так как наглядно иллюстрируют то, что известно и что нужно определить.

Глава 2. Анализ учебников

При рассмотрении этой главы мы будем использовать материалы следующих учебников по алгебре 7-9: Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и другие; Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова и другие; А. Г. Мордкович; С. М. Никольский, М. К. Потапов и другие; К. С. Муравин, Г. К. Муравин.

Анализ учебников будет осуществляться по следующим параметрам:

соответствие обязательному минимуму обучения, зафиксированного в программе по математике;

количество часов, отводимых на изучение темы;

содержание материала;

соответствие материала возрасту учащихся;

понятность излагаемого материала.

2.1 «Алгебра» авторы Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Н.К.Нешков, С.Б.Суворова

Учебно-методический комплект состоит из:

учебника;

дидактических материалов;

пособия для учителя.

Этот традиционный учебный комплект продолжает линию обучения по учебнику «Математика 5-6» Н.Я.Виленкина или по любой другой системе.

Данный комплект рекомендован (допущен) Министерством образования РФ к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2004/05 учебный год.

По программе учащиеся в 7 классе знакомятся с понятием функция, линейной функцией, функциями у=хІ, у=хі и их графиками.

В 8 классе изучаются функции у=, у=.