Реализация принципов психологической теории деятельности при изучении обыкновенных и десятичных дробей в 5-6 классах

В середине XX века ученые стали исследовать психологию усвоения обыкновенных дробей, и отмечали, что этот учебный материал очень сложен для школьников. Было замечено, что овладение понятием обыкновенной дроби, представляющей собой некоторое количество долей определенной величины, является для учащихся делом довольно трудным, так как «одновременное осмысливание количества и величины долей, осознание их отношения представляет для ребенка новую и сложную задачу» Менчинская, Н.А.- С. 22 .

Н.А. Менчинская указывала на то, что операции с дробями требуют от учащихся наибольшей гибкости мыслительных процессов, поскольку при изучении дробей вступают в силу новые правила, существенно отличные от тех, которые действуют в области целых чисел.

З.М. Мехтизаде (1955) отмечала, что при изучении обыкновенных дробей необходимо «включение изученной ранее операции в систему новых операций» Мехтизаде, З.М.- С. 114. Это, по мнению автора, вызывает дополнительные трудности, так как требует образования системы новых ассоциаций. Подробно об исследованиях Н.А. Менчинской и З.М. Мехтизаде рассказано в первой главе.

Чтобы добиться прочного усвоения учебного материала, И.Н. Шевченко (1958) предлагал использовать знания школьников в области целых чисел, как опору, фундамент для изучения дробей. Он писал: «Частые экскурсии в область целых чисел будут поднимать интерес у учащихся к дробям и дадут им возможность подмечать новое в старом и видеть старое с новой точки зрения» Шевченко, Н.И. Методика преподавания обыкновенных дробей. Педагогическая библиотека учителя [Текст] / Н.И. Шевченко.- М.: Изд-во академии пед. наук РСФСР, 1958.- С. 3.

Методика Шевченко создает преемственность между представлениями о дроби, полученными в начальной школе, и теоретическими знаниями, изучаемыми в старших классах.

Отметим, что Шевченко не имеет ничего против введения формул, но буквенные выражения автор вводит позже, чем это делал В.М. Брадис - при изучении операции сложения дробей с равными знаменателями.

И.Н. Шевченко придавал большое значение применению наглядности (чертежей, моделей) при изучении образования и операций с дробными числами. Он рекомендовал последовательно рассмотреть переход от образа (отрезка, принятого за единицу) к слову (названию дроби) и к написанию (изображению дроби). Изображение дроби он использовал, как опору для формирования выводов. «Конкретность в обучении» он считал важным фактором сознательного выполнения алгоритмов преобразований и действий с обыкновенными дробями. Например, И.Н. Шевченко предлагал, как только школьники рассмотрят виды дробей, продемонстрировать замену неправильной дроби смешанным числом, а потом вводить правило преобразования.

Центральное место в методике преподавания обыкновенных дробей И.Н. Шевченко отводил изучению «изменения дроби при изменении ее членов». Он предлагал показать школьникам, что при увеличении числителя в несколько раз дробь увеличивается, а при увеличении знаменателя дробь уменьшается, еще до изучения основного свойства дроби. На этом этапе автор методики не связывал эти операции с умножением и делением дроби на целое число. Однако он сопоставлял изменение дроби в зависимости от изменения ее членов, с изменением частного в зависимости от изменения делимого и делителя.

И.Н. Шевченко был убежден, что рассмотрение этих вопросов на первых этапах ознакомления с дробными числами поможет учащимся усвоить основное свойство дроби, и будет способствовать осознанному выполнению умножения и деления дробей на целое число.

Такой поход в изучении дробей вызывает много споров. С.А. Гастаева (1953) считала, что рассматривать изменение дроби при увеличении (уменьшении) числителя или знаменателя в несколько раз до изучения действия с дробями не эффективно. По ее мнению, умножение и деление дробей на целое число необходимо рассматривать как частный случай умножения и деления дроби на дробь, где целое число заменяется дробью со знаменателем 1, что позволяет обобщить действия с дробями.

Однако качество вычислительных умений непосредственно связано с имеющимися у ученика представлениями об образовании и свойствах числа. Чтобы учащиеся могли успешнее выполнять действия с дробями, избежать уподобления действиям с целыми числами, они должны знать свойства, присущие дробным числам, и уметь сопоставлять целые и дробные числа не только по величине, но и по свойствам. Именно изучение изменения дроби при изменении ее членов дает возможность наглядно показать школьникам особенности дробных чисел по сравнению с целыми числами.

Большое значение осмысленным практическим действиям с долями как пропедевтики изучения обыкновенных дробей, придают многие математики.

В конце 60-х годов ХХ века в курсе математики начальной школы становится приоритетным изучение основного свойства дроби. Из программ было исключено сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями (111). Младшие школьники знакомились только с образованием дроби и учились заменять дробь, равной ей дробью с другим знаменателем (с иллюстрацией на симметричных геометрических фигурах). Такой подход не вовлекал школьников в вычислительную деятельность с изученными числами, что способствовало возврату к методике изучения чисел в данной теме.

Это привело к тому, что программа начальной школы в 1973 году была еще больше сокращена. Изучая обыкновенные дроби, учащиеся знакомились только с образованием и сравнением дробей. Таким образом, младшие школьники получали лишь некоторое представление о дроби, что значительно затруднило изучение обыкновенных дробей в старших классах.

Многие школьники оказались не в состоянии выполнить арифметические действия с дробями, поэтому в 1993 году было издано пособие для детей с недостаточной математической подготовкой (Л.В. Кузнецов, И.А. Лурье, С.С. Минаев, Л.О. Рослова, С.Б. Суворова, А.В. Шевкин). Особенность методики, предлагаемой авторами пособи, состоит в том, что изучение дробей предваряется достаточно длительным периодом материализованных действий с различными объектами, направленных на раскрытие содержания понятия дроби, на выполнение арифметических действий с дробями в материализованной форме. Именно эти знания учащиеся раньше получали в младших классах.

Многие методисты и учителя математики предлагали различные пути преодоления трудностей, возникающих у школьников при оперировании обыкновенными дробями.

Эффективный подход к решению проблемы предлагает И.К. Азиев (1993). Автор статьи пишет о том, что школьники допускают многочисленные ошибки при сложении и вычитании обыкновенных дробей, которые можно избежать, если анализировать компоненты действия, сопоставлять компоненты действия с полученным результатом, выполнять проверку обратным действием.

Л.И. Дранова (1994) указывает на то, что школьники не смогут правильно проанализировать предложенные арифметические примеры на сложение и вычитание дробей, если в «сознании учеников не утвердить главное: дробь - это не то число, которое обозначает количество предметов, это число отношение». Для того, чтобы школьники могли избежать ошибки при выполнении действий с обыкновенными дробями, она рекомендует активно использовать речевую регуляцию деятельности, т.е. «начинать сложение дробей без математической записи, устно проговаривая названия дробей, участвующих в сложении».

Несмотря на правильность рекомендаций, Л.И. Дранова недооценивает роль речевой регуляции при выполнении других операций с обыкновенными дробями.

А.Я. Цукарь (1994), совершенно справедливо, видит причину трудностей в недостаточной практической деятельности учащихся с материальными и материализованными объектами и предлагает ряд заданий, где школьники моделируют получение дробей, сложение и вычитание дробей с одинаковыми и разными знаменателями, умножение и деление дробей на целое число и дробь, преобразование смешанного числа в неправильную дробь [38].

2.2 Анализ тем «Обыкновенные дроби» и «Десятичные дроби» в учебниках по математике 5-6 классов федерального перечня с позиции теории деятельности

В данной главе представлен анализ структуры содержания и методики изложения учебного материала, реализованных в учебниках федерального перечня, с точки зрения соблюдения принципов теории деятельности, сформулированных нами в первой главе исследования. В соответствии с ними, материал должен быть мотивационно обоснован, последователен, полон и систематичен.

Заметим, что Требования к уровню подготовки оканчивающих начальную школу, предъявляемые образовательным стандартом начального общего образования по математике см. Приложение 1 не содержат упоминаний об изучении долей и дробей в начальной школе.

Министерством образования и науки РФ к использованию в образовательном процессе на 2008/2009 учебный год рекомендованы учебники по математике для 5-6 классов следующих авторских коллективов:

1. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд,

2. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович,

3. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин,

4. В.Г. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин,

5. Н.Б. Истомина.

Рассмотрим каждый из них по отдельности.

1). Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд,

«Математика: 5 класс», «Математика: 6 класс»

Алгоритмы действий с обыкновенными дробями в учебниках Н.Я. Виленкина и др. изучаются как в 5-м, так и в 6-м классе. При этом в 5-м классе рассматриваются только действия сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В 6 классе, после изучения темы «Делимость натуральных чисел», сначала следует сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, а затем умножение и деление обыкновенных дробей.

Полный курс десятичных дробей здесь изучается в середине III четверти 5-го класса, сразу после изучения обыкновенных дробей.

Рассмотрим последовательность изложения материала в ходе изучения темы «Обыкновенные дроби» в учебниках Н.Я. Виленкина, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда, В.И. Жохова «Математика, 5 класс» Виленкин, Н.Я. Математика [Текст]: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.- 5-е изд.,- М.: Мнемозина, 1997.- С. 185-320., «Математика, 6 класс» Виленкин, Н.Я. Математика [Текст]: Учеб. для 6 кл. - М.: 2001.- С. 4-112..

К изучению дробей учащиеся приступают в третьей четверти 5-го класса.

Глава II. Дробные числа

Окружность и круг.

Дается описание приборов, у которых шкала измерения расположена по окружности: циферблат часов, спидометр, прибор, показывающий количество бензина. Два задания параграфа направлены на повторение понятия доли измерения длины и веса: «Сколько сантиметров а) в четверти метра; б) в десятой доли дециметра; в) в десятой доле метра; г) в двадцать пятой доле метра» Виленкин, Н.Я. Математика: 5 кл. - № 839. - С. 189..

Доли. Обыкновенные дроби.

Понятия доли и обыкновенной дроби, как одной или нескольких равных долей целого, вводятся генетически, на наглядных примерах. Используются геометрические модели: отрезок, квадрат, треугольник, круг. Объясняется смысл числителя и знаменателя с точки зрения, какому количеству долей соответствует каждый из них: знаменатель - какое количество долей всего, числитель - какое количество долей взято.

В этом же параграфе рассматриваются задачи на отыскание части от целого и целого по его части, решение которых выполняется в два приема:

1) определяется величина, которая приходится на одну долю;

2) определяется величина, которую надо найти в задаче.

Сравнение дробей.

Сравниваются дроби только с одинаковыми знаменателями. Здесь же даются пропедевтические задания на основное свойство дроби: равенство дробей определяется наглядно на основе соответствующих геометрических моделей. Положение дроби на координатном луче.

Правильные и неправильные дроби.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями выводится индуктивным путем, через практическую задачу:

Буханку хлеба разделили на 8 равных частей (долей). Сначала на тарелку положили 2 доли, а потом еще 5 долей. На тарелке оказалось 7 долей, то есть буханки Там же- С. 215-216.:

.

Правила сложения и вычитания дробей записываются с помощью букв.

Деление и дроби.

Здесь также рассматривается практическая задача: 2 яблока надо разделить между тремя детьми [6, с. 224-225]. Опираясь на представление о дроби, как одной или нескольких равных долях целого, авторы говорят, что результат такого деления может быть записан в виде дроби , а черту дроби можно понимать как знак деления. Предлагаются задания на представление частного в виде дроби и дроби в виде частного, представление числа в виде суммы его половин, четвертей и восьмых.

Смешанные числа.

Сложение и вычитание смешанных чисел.

Рассматривается сложение и вычитание смешанных чисел, у которых дробные части имеет одинаковые знаменатели.

На этом этапе изучение обыкновенных дробей в 5 классе завершается.

6 класс.

Глава I. Обыкновенные дроби.

Делимость чисел.

Во второй части параграфа начинаются задания на повторение тем «Обыкновенные дроби» и «Десятичные дроби». Задание №180: «Найдите наибольший общий делитель для числителя и знаменателя дроби» [7, с. 32] - единственное задание, показывающее связь изученных алгоритмов НОД и НОК и обыкновенных дробей.

Основное свойство дроби показывается на примере круга. Основной моделью выступает циферблат часов.

Сокращение дробей.

Здесь сразу говорится, что «деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби» Виленкин, Н.Я. Математика: 6 кл.- С. 40.. Затем оговаривают, что «наибольшее число, на которое можно сократить дробь, - это наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя». Но задания формулируются просто: «сократите дробь».

Приведение дробей к общему знаменателю.

Предлагается правило приведения дроби к новому знаменателю и алгоритм нахождения наименьшего общего знаменателя дробей. В данном пункте предлагаются задания, в которых требуется представить обыкновенную дробь в виде десятичной дроби Там же- № 269, 270, 271- С. 47, 48..

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

В начале пункта сформулировано правило, затем раны 5 примеров. В №297 учащимся предлагается самостоятельно сформулировать правило сравнения дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями [7, с. 52].

Сложение и вычитание смешанных чисел обосновывается переместительным и сочетательным свойствами сложения.

Умножение дробей.

Сначала рассматривается умножение дроби на натуральное число на примере решения задачи: «В бутылке л сока. Сколько сока в 5 таких бутылках?» При этом умножить на натуральное число 5 - значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно . Далее следует правило умножения дроби на натуральное число.

Затем авторы переходят к умножению дроби на дробь. Для этого рассматривается графическая задача отыскания площади прямоугольника со сторонами, длины которых выражены обыкновенными дробями. Рассматривая рисунок, учащиеся замечают, что должно быть верным равенство . Из равенства видно, что числитель дроби в правой части равен произведению числителей левой части, а знаменатель в правой части равен произведению знаменателей левой части. После чего ребята должны сформулировать правило умножения дробей.

В этом месте может возникнуть недоразумение детей, поскольку умножение дробей иллюстрируется одним примером: учащиеся хоть и видят на конкретном примере это верно, но убежденности, что по-другому быть не может - нет. Более того, при такой последовательности изложения темы логического обоснования авторы привести не могут.

Нахождение дроби от числа.

Поскольку авторы один раз нарушили последовательность изложения темы, здесь им также приходится формулировать правило фактически ничего не обосновывая. Рассмотрим, как это делается в учебнике.

Задача 1. Путешественник прошел за два дня 20 км. В первый день он прошел этого расстояния. Сколько километров прошел путешественник в первый день?

Решение. Длина пути равна 20: 4 = 5, т.е. 5 км, а длина пути равна 5 3 = 15, т.е. 15 км. Тот же ответ получится, если 20 умножить на, т.е. .

Ответ: 15 км [7, с. 81].

Здесь авторы рассматривают еще одну задачу.

Задача 2. Огород занимает всего земельного участка. Картофель занимает огорода. Какую часть всего земельного участка занимает картофель?

Решение. Изобразим весь земельный участок в виде прямоугольника ABCD.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из рисунка видно, что участок, занятый картофелем, занимает земельного участка. Тот же ответ можно получить, если умножить на :

.

Ответ: всего земельного участка [7, с. 81].

Таким образом, авторы пытаются подвести учащихся к выводу, что найти дробь от числа можно умножением этого числа на данную дробь.

Взаимно обратные числа. Здесь впервые правило вводится с помощью букв.

Деление дробей.

Рассматривается задача, решение которой сводится к уравнению . Чтобы решить его, надо выполнить деление дробей, но, поскольку дети делать этого не умеют, авторы предлагают умножить обе части равенства на число, обратное известному множителю - на дробь . Это приводит к тому, что в левой части остается только х, а в правой получаем произведение дробей и , откуда вытекает, что. Далее следует вывод о том, что частное равно произведению , а это уже позволяет сформулировать правило.

Здесь есть все условия для организации поисково-эвристической деятельности. Достаточно, например, задать такие вопросы:

1) Какие преобразования можно делать с обеими частями уравнения?

2) Какие преобразования с обеими частями данного уравнения можно выполнить, чтобы получить коэффициент при х, равный единице?

Даже если учащиеся поначалу предложат прибавить к обеим частям уравнения , что не приведет к решению, это не страшно. В конечном итоге они догадаются, что надо умножить обе части уравнения на число, обратное числовому множителю в правой части.

Отметим, что вывод, приводящий к формулировке правила, как и в случае с произведением дробей, делается по одному примеру.

Деление смешанных дробей и дроби на натуральное число рассматривается авторами на примерах без формулирования правила.

Нахождение числа по его дроби.

Как и в предыдущих случаях, изучение начинается с задачи.

Задача 1. Расчистили от снега катка, что составляет 800 м². Найдите площадь всего катка [7, с. 107].

Обозначив площадь катка через х, авторы приходят к уравнению , решение которого приводит к необходимости выполнить деление . После этого сразу формулируется правило отыскания числа по его дроби.

Хотя здесь все логично, опыт показывает, что ребята уже не пытаются понять ход рассуждений учителя, они готовы применять предложенный алгоритм, не понимая его происхождения.

Все это привело к тому, что, когда в одной контрольной работе учащимся предлагались задачи и на отыскание дроби от числа и на отыскание числа по его дроби, результаты были очень низкими: успешно справлялись с этими задачами менее трети учащихся. В настоящее время в соответствии с авторским тематическим планированием Жохов, В.И. Преподавание математики в 5 и 6 классах [Текст]: По учебникам: Математика / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С, Чесноков, С.И. Шварцбурд. Методические рекомендации для учителя.- 3-е изд.- М.: Мнемозина, 2001.- С. 89. умение решать такие задачи проверяется в разных контрольных работах.

На первый взгляд может показаться, что задачи на отыскание дроби от числа и числа по его дроби не имеют отношения к алгоритмической линии, к действиям c обыкновенными дробями. Но на самом деле это не так. Если вернуться к анализу изложения этой темы в Методике С.И. Шохор-Троцкого, мы увидим, что обоснование правил умножения и деления обыкновенных дробей напрямую связано с задачами на отыскание дроби от числа и числа по его дроби.

Изучение десятичных дробей включено между двумя блоками обыкновенных дробей. Все операции с десятичными дробями изучаются в 5-м классе сразу после изучения сложения и вычитания обыкновенных дробей и смешанных чисел. Понятие десятичной записи дроби вводится как особая запись числа, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями [6, с. 248]. При этом названия разрядов не оговариваются и, соответственно, нет заданий для записи чисел по соответствующим разрядам.

Равенство десятичных дробей авторы иллюстрируют графически примером на измерение длины отрезка: показывают, что 6 см это одновременно и 0,6 дм и 0,60 дм. Сравниваются десятичные дроби по правилам сравнения обыкновенных дробей.

Складываются и вычитаются десятичные дроби по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей, но потом авторы отмечают, что «тот же ответ можно получить иначе, сложив числа «столбиком» Виленкин, Н.Я. Математика: 5 кл.- С. 262.. Здесь вводится понятие разложения числа по разрядам.

Далее рассматриваются умножение и деление десятичной дроби на натуральное число. Авторы опираются на перевод величин измерения длины, т.е. переводят десятичную дробь из одних единиц измерения в меньшие, чтобы избавиться от дробной части, умножают или делят, затем переводят обратно в первоначальную величину измерения. Для того, чтобы сформулировать правило умножения десятичных дробей авторы предлагают учащимся эвристическую задачу: «Человек идет со скоростью 4,6 км/ч. Какое расстояние он пройдет: а) за 3 ч; б) за 0,1 ч; в) за 0,3 ч?» Там же- с. 295. В процессе решения авторы приходят к заключению, что, так как путь равен произведению скорости движения и времени, то надо считать, что 4,6·0,1=0,46. тот же результат получается при делении 4,6 на 10, то есть 4,6:10=0,46 [6, с. 296]. Видим, что, несмотря на то, что учащиеся изучали раздел «Деление и дроби», в котором они узнали, что черта дроби означает деление, авторы здесь этого не используют. Поэтому учащимся может быть непонятно правило отделения количества запятых при умножении и делении десятичных дробей.

Итак, анализ учебника Н.Я. Виленкина и др. выявил следующее.

Изложение алгоритмов сложения и вычитания обыкновенных дробей в учебнике Н.Я. Виленкина и др. соответствует принципу последовательности изучения материала.

При изучении понятия обыкновенной дроби не рассматривается вопрос об изменении дроби в связи с изменением в несколько раз одного числителя или одного знаменателя, что равносильно умножению или делению дроби на натуральное число.

При изучении темы сравнение дробей в 5-м классе не рассматривается сравнение дробей с равными числителями. Нет заданий на сравнение дробей с единицей, с дополнением до единицы.

Правило умножения дробей дается с опорой на графическую иллюстрацию. При этом его вывод никак не опирается на имеющуюся у учащихся теоретическую базу, да и не может опираться, т. к. умножение дроби на натуральное число учащимся известно, а деление - не известно. Формулировка правила дается после рассмотрения одного примера, т.е. индуктивное обобщение делается на основе единственного факта, что способствует формированию у учащихся неверных представлений об основах построения математической теории. Это свидетельство того, что в этом месте курса принцип последовательности изучения материала нарушается.

Правило отыскания дроби от числа формулируется на основе сравнения результата решения задачи известным ранее способом (в два приема) с результатом умножения данного числа на дробь. Учащиеся видят, что результаты совпадают, и авторы предлагают на основе этого сформулировать соответствующий вывод. Вывод формулируется, но без понимания того, откуда он вытекает. Это опять-таки является следствием того, что нарушен принцип последовательности - к этому моменту школьникам ничего не известно о делении дроби на натуральное число.

Правило деления дается на основе свойств равенств и правила умножения дробей. Правило отыскания числа по его дроби дается с опорой на правило отыскания дроби от числа.

Десятичные дроби разбивают изучение темы «обыкновенные дроби» на две части. Поэтому сравниваются, складываются и вычитаются десятичные дроби по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей. Умножаются и делятся десятичные дроби как натуральные числа, при этом объяснительный материал основан на правилах перевода величин измерения длины.

Задания для представления десятичной дроби в виде обыкновенной и обратно имеются в учебнике для 6-го класса.

2) И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович

«Математика: 5 класс», «Математика: 6 класс»

Систематический курс дробей в учебниках авторского коллектива И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича Зубарева, И.И. Математика. 5 кл., 6 кл. [Текст]: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - 6-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2007.- 270 с.- 264 с. напоминает систему, изложенную в учебниках Н.Я. Виленкина и др. Виленкин, Н.Я. Математика: 5 кл., 6 кл.- 384 с.- 304 с. Здесь так же, как и у Н.Я. Виленкина и др., в 5-м классе вводится понятие обыкновенной дроби, изучаются операции сравнения, сложения и вычитания (II четверть). Затем изучается полный курс десятичных дробей (середина III четверти). И во II четверти 6-го класса заканчивается изучение обыкновенных дробей. Но при ближайшем рассмотрении внутри этих блоков имеются различия в изложении материала. Отметим также, что тема «Делимость натуральных чисел» предлагается для изучения в 6-м классе уже после того, как изучен полный курс дробей.

Последовательность изучения обыкновенных дробей в 5-м классе следующая.

Глава II обыкновенные дроби

Деление с остатком

Обыкновенные дроби

- Дробь как результат деления натуральных чисел

Эмпирическим путем учащиеся убеждаются, что метровая проволока делится пополам, получаются куски длиной по 5 дм. Но при делении той же метровой проволоки на три части не удается выразить длину полученных частей целым числом, длина части получается равна 3 дм и остаток 1 либо 33 см и остаток 1. Здесь авторы говорят, что во всех случаях получаем остатки, но ведь в условии задачи сказано, что проволоку разрезали и ничего не осталось. Как же можно записать результат такого деления? В русском языке есть известное вам слово треть, которое используется, чтобы обозначить результат деления целого на три равные части [18, с. 86]. Далее вводится запись дроби и название ее компонентов. Затем учащимся предлагается самостоятельно найти длину одной части двухметровой проволоки, разделенной на три части. После чего подводится итог в виде правила: «Частное от деления натуральных чисел и можно записать в виде дроби , где числитель - делимое, а знаменатель - делитель: » Зубарева, И.И. Математика: 5 кл. - с. 88..

Блок заданий после теоретической части содержит задания на сравнение дробей (№306).

После учащимся предлагается учебное задание пропедевтическое к основному свойству дроби, выполняя которое ребята приходят к выводу, что отрезки длиной м и м равны, а значит, равны и дроби и . Здесь авторы не называют это свойство, но уточняют, что обязательно будут использовать его в дальнейшем при выполнении арифметических действий с дробями.

- Дробь как одна или несколько равных долей

Учащимся предлагаются две модели задач (№310), при решении которых учащиеся получают в ответе одну и ту же дробь, но различными способами. После чего делается вывод:

1) Чтобы получить дробь , надо единицу разделить на равных частей и взять таких частей. 2) Чтобы получить дробь , надо число разделить на число [18, с. 91].

Система упражнений содержит много различных геометрических моделей, некоторые из которых разделены «нестандартно» на части и «нестандартно» закрашены. Задания с готовыми моделями сформулированы, например, так: «Запишите, какая часть фигуры закрашена. Постарайтесь дать несколько вариантов ответа» Зубарева, И.И. Математика: 5 кл.- № 313.- С. 92. , самостоятельно закрасить фигуру авторы так же просят различными способами (№315), что способствует лучшему пониманию дроби как части целого.

Отыскание части от целого и целого по его части.

Задачи решаются одновременно, причем в учебнике эти задачи расположены в две колонки и проводится их сопоставительный анализ, в ходе которого учащиеся отвечают на вопросы.

Решение происходит в три этапа: 1) определение величины, которая принята за целое,

2) отыскание величины, которая приходится на одну долю, 3) отыскание величины, которую надо найти в соответствии с требованием задачи.

Основное свойство дроби.

Сначала учащимся предлагаются уже знакомые задания на определение части закрашенной геометрической модели, требуется найти несколько способов.

Далее авторы предлагают отметить дроби, у которых числитель равен знаменателю, на координатном луче. Затем учащиеся работают самостоятельно с отрезком в тетради. По замыслу авторов учащиеся должны заметить закономерность и сделать попытку сформулировать основное свойство дроби.

Авторы формулируют правило как в словесной форме, так и в буквенной в двух формах: 1) ; 2) . Тосно так же предлагал делать В.М. Брадис (1951) Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе [Текст] / В.М. Брадис; Под ред. А.И. Маркушевича. - 2-е изд. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во м-ва просвещения РСФСР, 1951.- 504 с..

Напомним, что делимость чисел, согласно авторской концепции, изучается лишь в 6-м классе, поэтому дроби сокращаются постепенно на интуитивной основе.

Далее появляются задания, в которых требуется привести данные дроби к заданному знаменателю - операция приведение дробей к общему знаменателю.

После чего рассматривается сравнение дробей с разными знаменателями. Система упражнений содержит полный блок заданий сравнения дробей с равными числителями, сравнения дополнений до единицы и более сложные задания, например, №369 б) сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю и .

Заметим, что тема «Сравнение дробей» в учебнике не выделена в отдельную тему (пункт, параграф), она проходит сквозь тему «Обыкновенные дроби» как само собой разумеющееся и не требующее особого внимания. Авторы выделили в отдельную тему 6-го класса «Сравнение чисел», где обобщаются принципы сравнения уже всех чисел.

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Как и прежде, новые операции над дробями учащиеся осваивают через организованную авторами поисковую деятельность. Здесь используются уже знакомые геометрические модели, окрашенные в красный, зеленый и белый цвета (неокрашенная часть). Предлагаются вопросы: «какая часть фигуры 1) закрашена красным; 2) закрашена зеленым; 3) закрашена и красным, и зеленым; 4) не закрашена. Запишите, как можно ответить на последние два вопроса, складывая или вычитая дроби?» Зубарева, И.И. Математика: 5 кл.- № 420.- С. 118. Авторы предлагают 2 модели, закрашенные четырьмя различными способами. После выполнения задания, учащиеся пробуют самостоятельно сформулировать правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Для того, чтобы сформулировать правило сложения дробей с разными знаменателя учащимся необходимо выполнить практические задания уже не на готовых моделях, а самостоятельно, закрашивая предлагаемые части геометрических фигур. Правило сложения дробей с разными знаменателями не выделено, как правило. А про вычитание дробей с разными знаменателями написано, что оно выполняется так же [18, с. 122]. То есть, здесь авторы снова нивелируют математической строгостью и не предлагают заучивать правила вычитания дробей в их классической форме.

Сложение и вычитание смешанных чисел. В этом параграфе отсутствует теоретический материал, предложены два иллюстрированных учебных задания.

Умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное число.

Умножение на натуральное число выводится с помощью задач на движение, основываясь на том, что сумму одинаковых натуральных чисел можно заменить произведением: .

Деление дроби на натуральное число вводится в 2 этапа: деление на натуральное число, кратное числителю и на натуральное число, некратное числителю. Разумеется, учащиеся решают учебные задачи на разделение целого на части: «Яблочный пирог был разрезан на 15 частей. Слава и трое его друзей съели 8 кусочков. Какую часть пирога они съели? Какую часть пирога съел каждый, если известно, что все съели поровну?» Там же- № 490.- С. 131. К задаче сделан рисунок. В ходе решения задачи получают такую строку: .

Далее авторы спрашивают, как разделить, например, на 5. Если учащиеся затруднятся сразу ответить, авторы предлагают заменить дробь равной ей дробью, числитель которой будет делиться на 5. В результате получают такую строчку:

.

После чего формулируются правила как в словесной, так и в буквенной форме: . Как видим, авторы смогли обосновать эти операции и наглядно, и логически. Авторы последовательно создали соответствующую теоретическую базу, которая позволила логически обосновать правило. Более того, такое объяснение доступно младшим школьникам в силу их психолого-возрастных особенностей, и оно отвечает психологическим требованиям поэтапного формирования полной ассоциативной связи между правой и левой частями равенства (правила).

На этом изучение обыкновенных дробей в 5-м классе заканчивается, т. к. авторы полагают, что для осознанного понимания умножения и деления дробей пятиклассники еще малы.

Завершается изучение систематического курса обыкновенных дробей в 6-м классе. Во II четверти учащиеся осваивают последние операции над обыкновенными дробями: умножение и деление обыкновенных дробей. Рассмотрим, как это делается в учебнике Зубарева, И.И. Математика. 6 кл. [Текст]: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- 6 -е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2007.- 264 с..

Учащимся предлагаются две учебные задачи.

№444. а) У мамы было 4800 р. Она взяла этой суммы, чтобы оплатить коммунальные услуги. Сколько денег взяла мама?

б) Площадь приусадебного участка составляет га. Под огород отведено этого участка. Определите площадь огорода.

Для того, чтобы понять правило умножения дроби на дробь, подумайте над такими вопросами: 1) что значит умножить на 3; 2) что значит умножить на ?

Второй вопрос предполагает следующий ответ: «Умножить число на означает взять этого числа. Такие задачи мы решали: чтобы взять (найти) числа, надо это число разделить на 7 и результат умножить на 3. Значит, умножить на - то же самое, что найти числа , т.е. разделить на 7 и результат умножить на 3.

Выполним эти действия: . Запишем равенство первого и последнего выражений из этой цепочки: . Из него видно, что при умножении дроби на дробь в результате получается дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей множителей [19, с. 104].

После учащимся предлагается вторая задача на нахождение площади прямоугольника, в первом случае длина только одной стороны выражена дробным числом, во втором - длины обеих сторон. Подсказка к задаче следующая: «Вспомните, какое арифметическое действие означает черта дроби, и сравните числа 5 и » Зубарева, И.И. Математика: 6 кл.- № 445.- С. 104. (длины сторон в первом и во втором случае).

Действие умножения дробей является обратным действию умножению, поэтому деление дробей аналогичным образом вытекает из задачи на отыскание целого по его части, которая является обратной к задаче на отыскание части целого. И, с другой стороны, преобразованием деление числа на обыкновенную дробь заменяется делением на натуральное число.

Правила умножения и деления дробей записываются в буквенном виде.

Вернемся к изучению темы «Десятичные дроби». Напомним, что согласно авторской концепции, десятичным дробям посвящена глава IV учебника 5-го класса, а Обыкновенным дробям - глава II. То есть эти две темы изучаются с небольшим перерывом во времени.

Понятие десятичной дроби вводится с точки зрения позиционной записи чисел. Большое внимание авторы уделяют правильному определению разрядов числа. Сюда же включена система упражнений на представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обратное задание. Авторы отмечают, что некоторые дроби, например , «пока не удастся записать в виде десятичных дробей, так невозможно получить в ее знаменателе ни 10, ни 100, на 1000 и т.д. но такое положение дел временное. В старших классах вы узнаете, как это можно сделать» Там же- С. 184..

Поскольку десятичная дробь - это число, записанное по тем же правилам, что и натуральное число, то далее изучается умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. Соответствующие правила выводятся через «игру» с разрядами, после чего проверяются по правилам умножения и деления обыкновенных дробей на натуральное число. Соответственно сравниваются, складываются и вычитаются десятичные дроби так же поразрядно.

Умножение десятичных дробей основано на свойствах изменения произведения при изменении сомножителей. Деление десятичных дробей изучается в два этапа: деление на натуральное число и деление на десятичную дробь. При делении десятичной дроби на натуральное число авторы опираются на деление обыкновенной дроби на натуральное число, затем переходят к делению в столбик по тем же правилам, что и при делении натуральных чисел. Деление десятичной дроби на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число.

Итак, анализ учебников И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича показал, что изложение материала отвечает возрастным особенностям младших школьников. Темы излагаются последовательно, с невысокой степенью математической строгости. Учебник понятен и доступен для чтения учащимися, приспособлен для организации поисковой деятельности учащихся. Позволяет психологически верно поэтапно формировать умения и навыки оперирования с дробями, позволяет изучить свойства дробей в полном объеме.

Методика изучения темы в учебниках данного авторского коллектива схожа с методикой, предложенной С.И. Шохор-Троцким Шохор-Троцкий, С.И. Методика арифметики [Текст]: В 2 ч. Ч. II для уч. учеб. заведений с полным курсом арифметики / С.И. Щохор-Троцкий.- М.; СПб.: Наследие Бр. Салаевых, 1900.- 480 с. (1900), которая проанализирована в первом пункте данной главы.

3) С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин

«Арифметика: 5 класс», «Арифметика: 6 класс»

Все действия с обыкновенными дробями в учебниках этого авторского коллектива изучаются в 5 классе. Этому в учебнике Арифметика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. решетников, А.В. Шевкин. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2000.- С. 154-216. посвящена глава 4 «Обыкновенные дроби», ей предшествует тема «Делимость натуральных чисел». Рассмотрим, в какой последовательности развертывается алгоритмическая линия в этой главе.

Понятие дроби.

Здесь рассматриваются задачи, решая которые приходится целое делить на несколько равных частей. Понятие дроби вводится как одна или несколько равных долей целого. Здесь же вводится термин «рациональное число». Наглядные геометрические модели автор практически не использует, а использует известные учащимся единицы измерения веса, длины, времени, в том числе квадратные и кубические единицы измерения длины.

Равенство дробей.

Деление отрезка, длина которого равна единице, последовательно на 2, 4, 8 частей, приводит к основному свойству дроби, которое формулируется как в словесной, так и в буквенной форме. Здесь же авторы вводят операцию сокращения дробей, при этом оговаривается, что при сокращении дроби можно находить наибольший общий делитель числителя и знаменателя, при этом задания формулируются несколькими способами: «сократите дробь», «укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби, сократите дробь» Арифметика: 5 кл.- № 774.- С. 163., «определите, сократима ли дробь» Там же- № 772, 773.- С. 163.. Задания последнего типа формируют связь между изученными алгоритмом нахождения НОД чисел и операцией сокращения дроби. Кроме того, авторы уделяют внимание представлению натурального числа в виде дроби Там же- № 767.- С. 162..

Задачи на дроби.

Здесь рассматриваются задачи на отыскание части от целого и целого по его части. Задачи изучаются одновременно. Решаются задачи в два приема:

1) отыскание величины, которая приходится на одну долю;

2) отыскание величины, которую надо найти в соответствии с вопросом (требованием) задачи.

Приведение дробей к общему знаменателю.

На конкретных примерах демонстрируется, как дроби с разными знаменателями можно представить в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Авторы уточняют, что при приведении дробей к общему знаменателю лучше всего приводить их к наименьшему общему знаменателю. Задания направлены на формирование навыков приведения дробей к заданному знаменателю, к знаменателю, равному произведению знаменателей и к наименьшему общему знаменателю. Используются две дроби.

Сравнение дробей.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями иллюстрируется с помощью рисунка. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями формируется на наглядно-интуитивной основе.

Сравнение дробей с разными знаменателями сводится к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями путем приведения их к общему знаменателю.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями в теоретической части параграфа не рассматривается, но такие задания есть Там же- № 813, 814.- С. 172.. Более того, авторы предлагают задания на сравнение с единицей (№815), половиной (№816) и дополнений до единицы (№817).

Сложение дробей. Законы сложения.

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями вводится на наглядно-интуитивной основе - сложение частей отрезка длины 1. Наряду со словесной формулировкой правила дается его буквенная формулировка в виде равенства:

.

Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями путем приведения их к общему знаменателю. Правило дается как в словесной, так и в буквенной формулировке: .

Справедливость законов сложения для рациональных чисел (пока только положительных) обосновывается с опорой на их справедливость для натуральных чисел [1, с. 174-182].

Вычитание дробей.

Эта тема начинается с определения разности двух дробей: «Разностью двух дробей называют дробь, которая в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое» Арифметика: 5 кл.- С. 183.. Авторы оговаривают то, что пока будет рассматриваться только случай, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

Далее авторы формулируют утверждение, которое является теоремой (заметим, что термин теорема здесь не используется): «Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого: » Там же- С. 183..

Доказательство этого утверждения основывается на определении разности.

Заметим, что принцип последовательности и систематичности изложения материала до момента изучения вычитания дробей соблюдается с разумной степенью строгости, т.е. с учетом психофизиологических особенностей учащихся 5-го класса. Что же касается темы «Вычитание дробей», то здесь следование указанному принципу несколько вывело авторов за пределы возможностей восприятия большинством школьников этого возраста.

Умножение дробей.

Правило умножения обыкновенных дробей дается без каких-либо обоснований, авторы формулируют его как аксиому или как определение (при этом авторы никак не характеризуют это утверждение - ни как аксиому, ни как определение): «Произведение дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей этих дробей: » Арифметика: 5 кл.- С. 188..

Из этого правила выводится правило умножения натурального числа на дробь. Законы умножения формулируются позже, но в наборе заданий к этому пункту имеются задания как на умножение натурального числа на дробь, так и на умножение дроби на натуральное число. Здесь же вводятся понятия обратной дроби и взаимно обратных чисел.

Законы умножения. Распределительный закон.

Справедливость переместительного и сочетательного законов умножения и распределительного закона для рациональных чисел обосновывается с опорой на их справедливость для натуральных чисел.

Деление дробей.

Здесь авторы действуют так же, как и в случае разности дробей.

Вначале вводится определение - что называют частным дробей: «Частным двух дробей называют дробь, которая при умножении на делитель дает делимое» Там же- С. 195..

Затем дается формула, по которой можно найти частное дробей: .

Эта формула обосновывается с опорой на определение частного. После этого дается словесная формулировка правила деления дроби на дробь.

Используя правило деления дроби на дробь и тот факт, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1, авторы показывают, что обыкновенную дробь можно получить как частное от деления натуральных чисел, а черту дроби можно рассматривать как знак деления.

Только после этого выводится правило деления дроби на натуральное число - как частный случай деления на дробь.

Нахождение части целого и целого по его части.

Поскольку к этому моменту учащиеся знакомы и с умножением и с делением рациональных чисел, авторы имеют возможность обосновать правила отыскания части целого и целого по его части умножением или делением на дробь, соответствующую этой части.

На этом изучение обыкновенных дробей в 5-м классе закончено. Но, в учебнике 6-го класса Арифметика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. решетников, А.В. Шевкин. - 4-е изд., дораб.- М .: Просвещение, 2006.- 256 с. предполагается повторение всего курса обыкновенных дробей в главе III «Рациональные числа». Здесь вновь приводятся все формулировки правил, что и в 5-м классе, но с расширением для отрицательных чисел.

Десятичные дроби изучается в конце 6-го класса. Этой теме посвящена глава IV учебника. К этому моменту все действия с обыкновенными дробями уже изучены и повторены. Понятие десятичной дроби и все операции над десятичными дробями сначала вводятся только для положительных чисел.

Понятие десятичной дроби вводится так же, как и в учебнике И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича, с точки зрения позиционной записи натурального числа. Но здесь вся теория изложена автором, организация самостоятельной деятельности учащихся автором не предусматривается. Система упражнений содержит задания для представления десятичной дроби в виде обыкновенной и обратные задания, причем некоторые задания сформулированы так: «Запишите в виде десятичной дроби по образцу: » Арифметика: 6 кл.- №719.- С.145..

Сравниваются, складываются и вычитаются десятичные дроби поразрядно, справедливость доказывается при помощи перевода в обыкновенную дробь.

Перенос запятой [2, с. 151].

Авторы формулируют правило: «Чтобы десятичную дробь увеличить в 10, 100, 1000 и т.д. раз, т.е. умножить на 10, 100, 1000 и т.д., надо в записи дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, приписав при необходимости нули справа». На примере проверяется справедливость правила, если записать в виде обыкновенной дроби. Аналогичным образом сформулировано правило для переноса запятой влево.

Умножение [2, с. 154] десятичных дробей обосновывается изменением произведения в зависимости от изменения сомножителей. Так же на примере проверяется справедливость умножения «в столбик» по правилам умножения обыкновенных дробей.

Вычисление частного [2, с. 157] двух десятичных дробей сводится к вычислению частного двух равных им обыкновенных дробей. Далее предлагается делить «уголком».

По завершении изучения положительных десятичных дробей авторы обобщают правила для десятичных дробей произвольного знака [2, с. 167].

В Арифметике С.М. Никольского и др. есть глава V «Обыкновенные и десятичные дроби» - глава, которой нет ни в одном другом учебнике федерального перечня. Только в учебнике этого авторского коллектива подробно изучается связь обыкновенных и десятичных дробей, изучаются бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби.

Итак, анализ структуры содержания учебника «Арифметика, 5 класс» авторов С.М. Никольского и др. выявил, что изложение материала, связанного с изучением алгоритмов действий с обыкновенными дробями осуществляется последовательно и систематично. Однако эта последовательность и систематичность не отвечает ни классической, ни современной трактовке соответствующего принципа. В некоторых местах изложение материала кажется чересчур строгим математически для младшего школьного возраста, что к тому же мешает создавать ситуацию для самостоятельной эвристической деятельности учащихся. Тем не менее, учебник содержит полную систему упражнений для формирования всех необходимых умений и навыков. Единственный учебник, который содержит систему упражнений, направленную на формирование связи взаимно обратного перехода между обыкновенной дробью и десятичной.

4) В.Г. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин,

«Математика: 5 класс» Дорофеев, Г.В. Математика [Текст]: 5 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.- 9-е изд.- М.: Просвещение, 2007.-- 302 с., «Математика: 6 класс» Дорофеев, Г.В. Математика [Текст]: 6 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений: В 2 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - 6-е изд., перераб. -М.: Просвещение, 2002.-- 208 с.