Методика проведения математических вечеров-соревнований в средней школе

(2 • 2 : 2)

8. Применяя знаки арифметических действий, напишите число 2 четырьмя двойками.

(2 : 2 + 2 : 2)

9. Летела стая гусей. Одного убили. Сколько гусей осталось?

(1)

10. Есть 64 ореха. Сколько будет четверть четверти?

(4)

7-8 КЛАССЫ ([16], стр. 7; [4], стр. 151)

1. На прошлой неделе я выключил свет и успел добраться до постели прежде, чем комната погрузилась в темноту. От выключателя до моей кровати 3 м. Как это мне удалось?

(Лёг спать до наступления темноты.)

2. Когда тётушка приезжает ко мне в гости, она всегда выходит из лифта на пять этажей ниже, чем нужно, и поднимается дальше пешком. Почему тётушка так поступает?

(Потому что она - карлик.)

3. Сегодня утром я уронила серьгу в кофе, но, хотя чашка была полна до краёв, я смогла достать серьгу, не намочив пальцев. Как это могло быть?

(Кофе был сухим.)

4. Вчера мой отец попал под дождь. Ни шляпы, ни зонта он с собой не взял. Укрыться от дождя было негде. Когда отец добрался до дома, вода с него лилась ручьями, но ни один волос на его голове не промок. Почему?

(Потому что он был лысым.)

5. Дима и Гена любили заниматься спортом и читать книги. Кто-то из них играл в шашки, кто-то в футбол, кто-то читал Лермонтова, кто-то Пушкина. Кто во что играл и что читал, если футболист не читал Лермонтова, а Дима не играл в футбол?

(Дима играл в шашки и читал Лермонтова, Гена играл в футбол и читал Пушкина.)

6. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке - не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита какая жидкость?

(Лимонад в бутылке, молоко в кувшине, квас в банке, вода в стакане)

7. Используя два кувшина ёмкостью 5 л и 3 л, наберите из бочки 4 л воды.

3 л	0	0	3	0	2	2	3	0
5 л	0	5	2	2	0	5	4	4

Ответ:

8. Используя ведро (9 л) и бидон (4 л), наберите из реки 6 л воды.

Ответ:

4 л	0	0	4	0	4	0	1	1	4	0
9 л	0	9	5	5	1	1	0	9	6	6

9. Используя банку (1,5 л) и чайник (5 л), наберите из водопровода 4 л воды.

1,5 л	0	0	1,5	0	1,5	0	1,5	0	0,5	0,5	1,5	0
5 л	0	5	3,5	3,5	2	2	0,5	0,5	0	5	4	4

Ответ:

10. Используя два бидона ёмкостями 7 л и 5 л, наберите 6 л воды.

5 л	0	0	5	0	2	2	5	0	4	4	5	0
7 л	0	7	2	2	0	7	4	4	0	7	6	6

Ответ:

9-11 КЛАССЫ ([18], стр. 27)

1.Петя купил две книги. Первая из них на 50% дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?

(на 33 1/3%)

2. Разделите 25 рублей на две части так, чтобы одна часть была в 49 раз больше другой.

(24 руб. 50 коп. и 50 коп.)

3. Как разменять 59 копеек пятнадцатью монетами по 3 коп. и 5 коп.?

(8 шт. по 3 коп. и 7 шт. по 5 коп.)

4. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если его длину увеличить на 20%, а ширину на 10%?

(на 32%)

5. У мальчика столько сестёр, сколько братьев, а у его сестры вдвое меньше сестёр, чем братьев. Сколько братьев и сестёр в этой семье?

(4 брат и 3 сестры)

6. Некто имеет 6 сыновей. Один старше другого на 4 года, а самый старший сын втрое старше самого младшего. Каков возраст сыновей?

(10, 14, 18, 22, 26, 30 лет)

7. Марии 24 года. Она была вдвое старше, чем Анна тогда, когда Марии было столько лет, сколько теперь Анне. Сколько лет Анне?

(18 лет)

8. Куплены тетради по 7 коп. и по 4 коп. за тетрадь, всего на сумму 53 коп. Сколько куплено тех и других тетрадей?

(3 тетради по 7 коп. и 8 тетрадей по 4 коп. или 7 тетрадей по 7 коп. и 1 тетрадь по 4 коп.)

9. Отец сказал сыну: «10 лет назад я был в 10 раз старше тебя, а через 22 года я буду старше тебя в два раза». Сколько лет отцу и сыну теперь?

(50 и 14 лет)

10. Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь. А когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам обоим вместе будет 63 года. Сколько лет каждому?

(28 и 21)

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

БИОГРАФИЯ ПИФАГОРА ([18], стр. 21-23)

Да, путь познания не гладок.

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок,

И поискам предела нет!

На радужной узрел я оболочке

Бегущие квадратики, кружочки,

Вселенной опрокинутый узор,

И вспыхнуло в мелькании сквозь строчки

Пылающее имя - Пифагор!

ДРЕВНЯЯ ГРЕЦИЯ

Древние греки были удивительно талантливым народом, у которого есть чему поучиться даже сейчас. В те времена Греция состояла из многих мелких государств. Каждый раз, когда приходилось решать какой-нибудь важный государственный вопрос, горожане собирались на площади, обсуждали его, спорили, а потом голосовали. Они были хорошими «спорщиками». По преданию, в то время сложилось утверждение: «В споре рождается истина». Греки отличались трудолюбием и смелостью. Среди них были отличные строители, мореплаватели, купцы и художники. Они внесли большой вклад в развитие культуры и науки, особенно математики. Наш рассказ пойдёт о знаменитом древнегреческом учёном Пифагоре.

ЮНОСТЬ ПИФАГОРА

Пифагор родился в 570 г. до н.э. (точная дата неизвестна) на острове Самос. Отцом его был Мнесарх - резчик по драгоценным камням. Среди мастеров он славился своим искусством, но большого богатства не нажил. Имя матери не сохранилось. Некоторые источники называют её Пифиадой, дочерью основателя Самоса. По многим античным свидетельствам, родившийся у них мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Любимыми занятиями юного Пифагора были слушание музыки и стихов, беседы со старцами - своими учителями. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера он сохранил на всю жизнь.

Когда Пифагору исполнилось 20 лет, учитель сказал ему: «Ты вырос из Самоса, отправляйся путешествовать, только так ты утолишь жажду познания». Пифагор отправляется в Милет, где много общается со знаменитым Фалесом, учится у него. Но талант ученика проявляется не в том, что он копирует учителя, а идёт дальше. Фалес советует ему отправится в Египет. Пифагор много путешествует по странам Востока, посещает Египет и Вавилон. Там он знакомится с культурой, наукой и обычаями разных народов, подробно изучает восточную математику. Много было изведано, понято, прочувствовано талантливым учеником. После 20-ти лет странствий Пифагор возвращается на родину. Он мечтает создать свою школу, в основе которой были бы ясность логики и твёрдость доказательств.

В то время на острове Самос правил Поликрат. Он отличался жестокостью и деспотизмом. поликрат поспешил всячески обласкать знаменитого путешественника, слава о мудрости которого бежала впереди него. Но роль придворного полураба не устраивала Пифагора. Он видел несправедливость и страдания. Его угнетала атмосфера произвола и насилия. Тяжело далось Пифагору расставание с родиной. Он поселился в греческом городе Кротон на юге Италии. Кротон и Самос связывали давние торговые отношения. Отец Пифагора не раз там бывал; возможно там жили его родственники. Пифагор сразу покорил жителей города своим величием, благородством, красотой и обаянием. Он организовал религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, «Союз истины, Добра и Красоты», который впоследствии назовут пифагорейской школой или пифагорейским союзом.

ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА

Система знаний школы состояла из четырёх разделов:

1) арифметики - учения о числах;

2) геометрии - учения о фигурах;

3) астрономии - учения о строении мира;

4) музыки - учения о гармонии и теории музыки.

Эта система образования, заложенная Пифагором, просуществовала не века, а тысячелетия.

В школе был особый распорядок дня. Вставали с восходом солнца и шли на морской берег встречать рассвет. В утренней прохладе строили планы на день, делали гимнастические упражнения, завтракали. В конце дня - прогулка, морское купание, ужин и чтение. Обычно читал младший, а самый старший комментировал прочитанное. Члены союза с равным усердием заботились и о духовном, и о физическом развитии. Среди победителей Олимпийских игр в те времена было много учеников Пифагора. По преданию, и сам он стал победителем по кулачному бою. Ритуал посвящения и жизнь членов братства были окружены множеством таинств, разглашение которых сурово каралось.

Правила поведения, основные принципы жизни пифагорейцы объединили в моральный кодекс «Золотые стихи». Нравственные правила и сегодня достойны подражания.

1) Беги от хитрости.

2) Отсекай огнём, железом и любым оружием от тела - болезнь, о души - невежество, от утробы - раскошество, от города - смуту, от семьи - ссору, от всего, что есть, - неумеренность.

3) Есть две поры, учил Пифагор, наиболее подходящие для размышлений: когда идёшь ко сну и когда пробуждаешься ото сна. В это время требуй от себя отчёта. Оцени, что сделано и что предстоит сделать.

4) Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.

5) Сыщи себе верного друга: имея его, ты сможешь обойтись без богов.

6) Помните, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда изображает изящную душу

7) Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова.

«Золотые стихи» переписывались и дополнялись на протяжении тысячелетней истории. Сегодня абсолютно невозможно определить, какие заповеди принадлежат самому Пифагору. Это общечеловеческие ценности, которые актуальны, пока жив человек. «Золотые стихи» пользовались популярностью в эпоху Античности, Средневековья, Возрождения. В XVIII - XIX вв. они были популярны и в России.

ПИФАГОР И ОЛИМПИЙСКИЕ ИГРЫ ([20], стр. 10)

По дошедшим до нашего времени произведениям древнегреческих поэтов, философов и историков можно узнать, что возникновение древних олимпийских игр связано с именем мифического греческого героя Геракла. Мифы и легенды рассказывают, что греческий царь Авгий приказал Гераклу за один день вычистить царские конюшни, которые не убирались целый год. Геракл в срок справился с заданием. Он изменил русло двух рядом протекавших рек, направив их течение через конюшни. Узнав, что Геракл таким образом справился с приказом, Авгий отказался выполнить своё обещание отдать Гераклу часть своих лошадей. Разгневанный несправедливостью царя Геракл убил его. Однако чтобы люди всегда помнили о справедливости и выполняли данные обещания, Геракл устроил большие состязания. Он посвятил их древнегреческому богу Зевсу, который, как считали греки, обитал на горе Олимп.

Но на этом история Олимпийских игр не заканчивается. Одна из более поздних легенд гласит, что спустя многие сотни лет правитель греческого государства Элида царь Ифит обратился к оракулу (предсказателю) с вопросом, как укрепить дружеские связи и прекратить войны между греческими городами. Оракул посоветовал Ифиту провести спортивные состязания, как это сделал в своё время Геракл. Данный совет оракула был принят Ифитом, и он вместе с царём Спарты Ликургом предложил народам Греции провести Олимпийские игры. Враждовавшие между собой греческие города приняли это предложении, заключили в 884 г до н.э. соглашение и подписали договор о регулярном проведении в Олимпии (Элида) общегреческих спортивных праздников дружбы. Этот договор был высечен на большом металлическом диске, и его текст дошёл до нашего времени. Согласно договору на время подготовки и проведения Олимпийских игр, которое определялось в три месяца, объявлялось священное перемирие. В случае нарушения священного перемирия экихирии (нарушители) объявлялись богоотступниками, подвергались крупным денежным штрафам и не допускались к участию в Олимпийских играх.

Сведений о первых Олимпийских играх не сохранилось. Наиболее ранние достоверные данные относятся к 776 г до н.э., когда была введена нумерация Олимпиад (четырёхлетних периодов между двумя следовавшими друг за другом Олимпийскими играми). В олимпийских состязаниях участвовали только свободнорождённые греки. Ни рабы, ни варвары (иноземцы) не имели на это право. Не участвовали в соревнованиях и женщины. Атлеты выступали на Играх как посланцы определённых государств, и победа в состязаниях любого из них воспринималась как успех государства или города, которые он представлял. Руководили Играми элладоники (судьи), избиравшиеся из числа граждан Элиды за год до начала Игр.

Вначале на Олимпийских играх атлеты состязались в «стадиодроме» - беге на дистанцию, равной длине стадиона (192,27 м), которая именовалась «стадием». Затем в программу соревнований добавили бег на 2 стадия и «долиходром» (на выдержку), борьбу, пентатлон (многоборье из пяти видов), кулачные бои, гонки на колесницах, бег в полном вооружении.

Кроме спортивных соревнований на Олимпийских играх поэты читали стихи и гимны, сложенные в честь Игр, ораторы прославляли их в речах.

Игры проводились и после подчинения греческих земель Риму. Однако в IV веке н.э. в 394 году римский император Феодосий 1 усмотрел в Олимпийских играх языческие обряды, которые не соответствовали канонам насильственно насаждаемой им христианской религии, и запретил проведение Игр. Возрождение современных Олимпийских игр произошло в конце XIX века н.э., благодаря выдающемуся французскому гуманисту и просветителю Пьеру де Кубертену.

ПЕНТАГРАММА

Пентаграмма - это звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Пятиконечная звезда считалась в школе Пифагора символом дружбы, была чем-то вроде талисмана, которым одаривали друзей; тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга.

Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь сердца не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина нарисовать на воротах дома пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появилась у входа. После рассказа гость щедро вознаградил доброго человека.

Почему Пифагор выбрал именно этот знак? Красота внешней формы пентаграммы связана с необычайным пропорциональным строением. Здесь есть среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое.

Деление отрезка пентаграммы соответственной точкой называют золотым сечением, так как эту пропорцию называют божественной. В звезде, как говорится, где ни копни, - везде золото. В древности люди широко использовали божественную пропорцию в архитектуре и искусстве. Они проверяли ею красоту человеческого тела и признавали его идеальным лишь тогда, когда соотношения отдельных его частей подчинялись закону золотого сечения. В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма - первичное понятие, а золотое сечение - вторично. Пентаграмму никто не изобретал, её только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют цветы, морские звёзды и другие создания природы. Природа - отличный художник, у неё верный глазомер и тонкое чувство гармонии. Пентаграмма пропорциональна, значит, красива. Не случайно и сегодня она реет на флагах едва ли не половины стран мира. Но первыми, кто обратил пентаграмму в символ, были пифагорейцы.

Примите в подарок, как символ нашей дружбы, эти звёзды. (Ведущие раздают гостям вырезанные из бумаги разноцветные звёзды.)

ПИФАГОР И ГЕОМЕТРИЯ

Изучая во времена путешествия математику древнего Египта и Вавилона, Пифагор убедился, что математики, в основном, стремились к накоплению готовых рецептов для решения задач: «возьми то-то», «сделай так-то». Его же интересовало, откуда взяты эти решения, факты, как доказать справедливость общих и частных случаев. Пифагор и его ученики потратили много сил, чтобы отдельным сведениям и фактам придать характер настоящей науки. Пифагору приписывается много замечательных открытий и доказательств:

1) теорема о сумме углов треугольника;

2) геометрические способы решения квадратных уравнений;

3) построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой;

4) знаменитая теорема Пифагора и т.д.

Конечно, теорема была известна и раньше. За 1200 лет до Пифагора в Вавилоне и за 2000 лет в Египте уже было известно соотношение между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике, установленное опытным путём на основе измерений. По-видимому, Пифагору удалось доказать это утверждение.

В Древнем Египте землемеров называли «гарпедонантами», то есть канатонатягивателями. Египтяне знали, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный и широко использовали его для построения прямых углов при постройке зданий. Стороны треугольника натягивались с помощью колышек, вбитых в землю. Угол между катетами прямой. Отсюда и происходит название древних землемеров (канатонатягиватели). Пифагор указал способ нахождения прямоугольных треугольников, стороны которых - целые числа. Эти треугольники стали называть пифагоровы треугольники.

Открытие доказательства теоремы Пифагора окружено множеством красивых легенд. рассказывают, что Пифагор в честь этого открытия принёс в жертву богам быка; по другому преданию - 100 быков, отчего в средние века теорема называлась «гекатомба». Причина популярности этой теоремы - её простота и значимость. Она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. В настоящее время существуют около пятисот доказательств теоремы. В средние века теорема Пифагора называлась «магистром математики». Вместо экзамена на звание магистра математики студенты приносили присягу, что изучили определённое число глав «Начал» Евклида. Фактически же никто не преодолевал больше первой главы, которая заканчивалась теоремой Пифагора.

Теорему в старину называли ещё «теоремой невесты». Чертёж к ней несколько напоминает пче-

лу. Можно проследить связь слов: пчела - нимфа - невеста; так появилось название - теорема невест. В древности доказательство теоремы было очень сложным, и нерадивые ученики подбирали ей всякие нелестные клички: «ослиный мост», «бегство убогих», «пифагоровы штаны» и т.д.

ЧИСЛОВАЯ МИСТИКА

«Всё есть число», «числа правят миром» - искренне верил Пифагор. Учение о числах было одной из составных частей его религии. Он считал, что через числа можно выразить все закономерности в мире. Пифагорейцы обожествляли числа и геометрические фигуры, а их богатая фантазия наделяла их самыми невероятными свойствами. Число 1 означало огонь, 2 - землю, 3 - воду, 4 - воздух. Сумма этих чисел - число 10 - изображало весь мир. Пифагорейцы считали, что число 5 символизирует любовь, 6 - холод, 7 - разум, свет.

Пифагор впервые разделил числа на чётные и нечётные, простые и составные, особенно он выделял совершенные числа: 6, 28, 496 (эти числа равны сумме своих делителей). Чётные числа считались несчастливыми, а нечётные - счастливыми. Эта традиция сохранилась и поныне: дарить на праздник нечётное, на похороны - чётное число цветков.

Пифагорейцы тесно связывали числа с геометрическими фигурами. Они составляли из камушков или ракушек разнообразные фигуры. Таким образом, получались треугольные, квадратные, пятиугольные числа. Сейчас эти числа называют фигурными.

Фигурные числа

Треугольные числа: 1, 3, 6, 10…

Квадратные числа: 1, 4, 9, 16…

В высшем обществе того времени была модной игра «в чёт и нечет».

ТАЙНА ПИФАГОРА

Была у Пифагора и его учеников тайна, сохраняемая под угрозой жизни.

АD

Сейчас мы знаем, что - это иррациональное число. Но во времена Пифагора таких чисел не знали. Это противоречило утверждению Пифагора «Всё есть число». Отрезок существует, а числа, выражающего его длину, нет. Пифагор решил сохранить своё открытие в тайне. Существует легенда: один из пифагорейцев разгласил эту тайну. Боги разгневались и страшно его покарали. Он погиб при караблекрушении.

КРУШЕНИЕ СОЮЗА

Шло время, пифагорейский союз пришёл к политической власти в Кротоне. Но политическая власть предполагает и политических противников. Появились зависть, обман, недовольство. Был в Кротоне человек по имени Килон. Он обладал богатством и знатностью, тяжёлым и властным характером. Он обиделся, когда Пифагор отказался принять его в союз. С группой своих сторонников Килон стал требовать изгнания пифагорейцев, готовить против них заговор. Однажды во время собрания союза они подожгли дом, в котором оно проходило, со всех сторон. Многие погибли в огне. Пифагорейцы терпели одно поражение за другим. Сам Пифагор бежал и погиб во время одной из ночных схваток. По другим источникам, ему удалось спастись от преследователей. Оставшись один, он удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения для Пифагора была лишена смысла.

Тихо ночь легла ему на веки,

Сжалась жизнь у времени в горсти,

Но, чтобы уйти ему навеки,

Надо нам, ученикам, уйти…

(Звучит музыка)

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ВОПРОСЫ К ВИКТОРИНЕ «ПИФАГОР» ([18], стр. 32)

1. Где и когда родился Пифагор?

2. Что лежало в основе религии Пифагора?

3. Какие числа называются фигурными? Приведите примеры.

4. Назовите длины сторон египетского треугольника. Для чего использовали землемеры этот треугольник?

5. Какие треугольники называются пифагоровыми треугольниками?

6. Как читается знаменитая теорема Пифагора?

7. Как называлась книга, в которой пифагорейцы объединили свои правила поведения?

8. «Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова». Какой смысл вкладывал Пифагор в эти слова?

9. Что являлось тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга?

10. Не отрывая карандаш от бумаги, начертите пентаграмму.

11. Найдите среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое чисел 1 и 9.

12. К какому открытию в математике подошёл Пифагор, рассматривая длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной по 1 см?

13. Что связывает имя Пифагора и олимпийские игры?

14. Какие названия имела теорема Пифагора в древности, в средние века?

15. Какие числа Пифагор называл счастливыми, а какие - несчастливыми? Какая традиция, связанная с этим, сохранилась и сегодня?