Сопровождающий курс математики (адаптация для школ развивающего обучения)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

"Сопровождающий курс математики (адаптация для школ развивающего обучения)"

Введение

Дипломная работа связана с кругом вопросов, которые ставит перед педагогической практикой проблема построения математического образования, как освоения исследовательской деятельности.

В основу проекта «Математическое образование в школе РО» легла гипотеза, что исследовательская деятельность лежит в зоне ближайшего развития младшего подростка, это привело к содержательной перестройкой школы РО второй ступени. Так, согласно проекту, на уроке математики учениками должны ставиться и решаться учебно-исследовательские задачи, но это невозможно без понимания того, что есть учебно-исследовательская задача.

Понятие учебно-исследовательской задачи является метапонятием по отношению к содержанию урока математики РО, так что его оформление на уроке, который преследует другие цели, не возможно. Местом, где происходило бы оформление основных понятий курса математики, а так же соотносилось бы оформление собственного учебного опыта ученика с нормативной математической деятельностью, стал сопровождающий курс математики (СКМ).

Проектировался этот курс в 1996-1997 учебном году сначала И.О. Шеходановой, а затем О.И. Белоконь и рассматривался авторами как обязательный предмет учебно-образовательного пространства (УОП).

Структура УОП дважды успешно воспроизводилась на базе экспериментальной площадки БЭСШ №106, но при переносе ее из лабораторного эксперимента в школы Красноярского инновационного комплекса РО (КИКРО) столкнулась с некоторыми трудностями.

Цель дипломной работы - разработка адаптированного варианта СКМ для школ (КИКРО).

При достижении этой цели решались следующие задачи.

Найти в программе СКМ одну из самых проблемных, для внедрения в школы КИКРО, линию, для этого восстанавливался по имеющимся печатным источникам замысел и содержание СКМ; оценивалась степень разработанности курса; изучались ситуация, сложившаяся на момент внедрения СКМ, в Лицее №1 и соотносилась с условиями лабораторного эксперимента.

1. Восстановление по культурно-историческим источникам основных понятий, которые используются в выделенной нами линии, СКМ (понятия «задача» и «оформление исследовательских задач»).

2. Разработка недостающего, в авторском варианте курса, методического обеспечения, а именно методической формы введения понятия «исследование»

Предметом дипломной работы является выделенная нами линия СКМ «Понятие задачи» - «Оформление учебно-исследовательской задачи».

Метод работы пробно - поисковое проведение занятий.

Дипломная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы.

Первая глава - реферативная часть. В ней представлены постановка проблемы, анализ литературы о понятии «задача» и «исследовании».

Во второй главе происходит постановка проектного задания на внедрение СКМ в Лицей №1

Третья глава содержит общую методику для работы с представлениями школьников и методическую форму для различения процесса решения и оформления результата учебного исследования.

Четвертая глава посвящена анализу результатов апробации внедренческого варианта СКМ.

В приложении приводится краткое тематическое планирование адаптированного варианта СКМ.

Отдельные методические находки и результаты работы, описанные в третьей, четвертой главах докладывались на Краевой научно-практической конференции студентов и молодых ученых в 2000, 2001 гг. и на VI Всероссийской конференции «Педагогика развития: соотношение учения и обучения» (Красноярск апрель 2000 г.)

задача школьник решение учебный

1. Теоретические основания сопровождающего курса

1.1 Представление о понятии «задача»

Термин «задача» имеет в психолого-педагогической практике довольно широкое значение.

Учителями и методистами этот термин употребляется в основном, для описания определенных форм учебного материала и учебных заданий, тогда как в рамках психологии он трактуется, как совокупность цели субъекта и условий, в которых она задается [16,19,17].

Наиболее общая теория задач представлена в книге Г.А. Балла «Теория учебных задач» [6], так что применим систему понятий введенную Баллом для задания общей рамки различных подходов к пониманию задач.

Г.А. Балл определяет задачу (или он называет её ещё задачной системой), как систему обязательными компонентами которой являются:

предмет задачи (всякий предмет (материальный или идеальный), для которого не совпадают в исходное требуемое состояние) находящийся в исходном состоянии или исходный предмет;

б) модель требуемого состояния или требования задачи (сх. 1).

Заметим, что обязательные компоненты задачи не исключают наличия в её составе других компонентов.

На наш взгляд, то же имел в виду и Д. Пойа, называя условие и заключение главными частями задачи [15].

В дополнение к этим авторам В.В. Давыдов понимает задачу как единство целей действия и условий её достижения [10], таким образом, вкладывая в определение задачи некоторые «действия» по её решению.

Заметим, если в определении задачи у Давыдова сразу присутствует «действие», то у Балла и Пойа «действие» появляется лишь при упоминании о практике решения.

Необходимо отличать понятие «задача» от «задачной ситуации» и «знаковой модели».

Понятие «задачная ситуация» у Г.А. Балла соответствует термину «проблемная ситуация» у Л.М. Фридмана и определяется как некоторая совокупность объектов, допускающая системное представление в виде задачи, но ещё не получившее такого представления, то есть если какое-либо практическое действие по достижению намеченной цели встречается с препятствием, то действия по преодолению препятствий являются не задачей, а лишь проблемной (задачной) ситуацией. Знаковая модель задачи, по словам Балла, - словесное описание задачи, то есть то, что мы привыкли называть формулировкой или условием задачи. Заметим что, «математические задачи» (согласно методической литературе по математике их можно так назвать) по Баллу являются не задачей, а лишь задачной моделью.

Решение задачи в рамках «задачного подхода» определяется как «воздействие на предмет задачи обуславливающее её переход из исходного состояния в требуемое». «Воздествующей» на предмет задачи силой является «решатель». В качестве решателей могут выступать животные, люди, коллективы людей, технические устройства, то есть решатель, согласно Баллу, может быть охарактеризован совокупность средств решения задачи, находящихся в его распоряжении. Кроме того, Г.А. Балл вводит понятие «идеализированный решатель», как систему четко охарактеризованных средств решения задачи, отличая его от «реального решателя».

Согласно этому, задачи, рассматриваемые безотносительно к решателю называются несоотнесенными, а задачи, рассматриваемые по отношению к решателю - отнесенные (к идеализированному решателю в системе преметно-логических средств решения задачи и к решателю с определенными характеристиками - способами решения задач). Таким образом, учебная задача теории РО [10], является по Баллу отнесенной задачей, так как она всегда удерживает отношение «решатель-задача».

Способом решения задачи считается всякая процедура которая при её осуществлении решателем может обеспечить решение этой задачи. О способе решения задачи нельзя говорить без характеристик решателя.

Для отнесенных задач вводится представление разрешимой, если решатель способен осуществить процедуру, которая обеспечивала бы решение задачи; и не разрешимой - в противном случае.

Так, если ученик знает формулу, но не может её применить, то задача, требующая применения этой формулы для него не разрешима. Среди способов решения задач Г.А. Балл выделяет нормативные (эталонные), которые не зависят от свойств отдельных индивидов, то есть определены только по отношению к идеализированному решателю.

Остановимся подробнее на соотнесении нормативных способов решения задач с реально происходящим процессом исследования.

Процесс решения задач Балл определяет как фрагмент функционирования решателя, осуществляемый им при решении задач, в который входят не только операции, но и другие специфически человеческие затраты.

Н.Г. Алексеев в своей работе [2] так же обсуждает нормативность процесса решения. Он определяет задачу как «требование дать ответ на точно поставленный вопрос в некоторой общественно-значимой форме» ([2], с. 378), а осознанность решения в психолого-педагогическом смысле понимается как «наличие у «решателя» задачи особой связи двух компонентов: понимания поставленной задачи, представление конкретной ситуации (заданной условиями задачи) и соответствующего построения порядка действий» (там же). Причем построения порядка действий определяется первыми двумя компонентами.

Ещё один исследователь, Д. Пойа, классифицируя задачи по методам их решения, выделяет (вслед за Евклидом) задачи на нахождение (построение, комбинирование) и доказательство (установление истинности или ложности утверждения) и обсуждает нормативные вопросы к процессу решения задач ([15], с. 262):

Что требуется?

Что имеется?

Существует ли решение?

Единственно ли решение?

Ответы на последние два вопроса обсуждаются как предположительные.

Рассматривая процесс решения задачи как умственные действия Л.М. Фридман расчленяет элементарные шаги (операции), их составляющие на три группы:

ориентировочную (анализ задачи, поиск решения);

исполнительную (осуществления плана решения);

контрольно-коррективную (проверка и анализ) и говорит, что «с психической стороны процесс решения задачи представляет собой последовательный переход субъекта из одной проблемной ситуации в другую путем моделирования первой ситуации и принятия построенной модели за объект второй ситуации. Субъект строит последовательность моделей … задачи. При этом переход от проблемной ситуации к её модели совершается путем децентрации и её активного изучения как бы со стороны» ([18], с. 198)

Итак, в используемом нами «задачном подходе», заимствованным у Г.А. Балла:

Задача рассматривается с точки зрения отношения «задача-решатель».

Различаются разные виды решателей: реальный и идеализированный.

Решение идеализированным решателем задачи включает в себя только способ решения.

Описание реального решателя задается необходимостью обучения решению задач.

1.2 Способы оформления математического исследования

При выполнении самостоятельных исследований, написании творческих работ школьниками важно не только открыть, но и грамотно изложить свой опыт решения исследовательской задачи.

Это оформление связано с определенными трудностями, в первую очередь с отсутствием культурных норм оформления поисковой деятельности в математике. Заметим, что в научном сообществе математиков приняты лишь нормы оформления результата исследования в виде системы определений, теорем, аксиом, но не процесса поиска результата.

Обратимся к литературе с целью, выяснения способов описания процесса математического исследования.

Самым распространенным способом описания собственного математического исследования среди математиков является описание вида «ход мыслей», то есть человек фиксирует все гипотезы (даже если они не верны) в том порядке, в каком они появились (были сформулированы). Рассмотрим три примера оформления процесса собственного исследования описанным выше способом.

Пример первый (И. Лакатас).

«…Альфа. Вообразите твердое тело, заключающееся между двумя всаженными друг в друга кубами, т.е. парой кубов, из которых один находится внутри другого, но не касается его. Этот полный куб делает не верной вашу первую лемму, так как после отнятия грани у внутреннего куба многогранник уже нельзя будет растянуть на плоскости. Не поможет отнятие грани и от внешнего куба. Кроме того, для куба V - E + F = 2, так что для полного куба V - E + F = 4.

Учитель. Очень хорошо. Назовем его контрапримером номер 1. Ну и что же?

Гамма. Сэр, ваше спокойствие удивляет меня. Один отвергает догадку так же эффективно, как и десять. Ваша догадка и ее доказательство полностью взорваны. Руки вверх! Вам нужно сдаться. Сотрите ложное предположение, забудьте о нем и попробуйте найти радикально новый подход.

Учитель. Согласен с вами, что контрапример Альфы - серьезная критика этого предположения. Но нельзя сказать, что доказательство «полностью взорвано»… Мое доказательство действительно доказало предположение Эйлера в первом смысле, но не обязательно во втором… Я интересуюсь доказательствами, даже если они не выполняют их первоначального назначения. Колумб не достиг Индии, но он открыл нечто очень интересное». [12]

Пример второй (Н.Н. Носов)

«…я стал думать, как решить задачу. Сначала я думал, что если 12 топоров и 3 пилы стоят 84 рубля, то надо сложить все топоры и пилы вместе и 84 поделить на то, что получилось. Я сложил 12 топоров и 3 пилы, получилось 15. Тогда я стал делить 84 на 15, но у меня не поделилось, потому что остался остаток. Я понял, что произошла какая-то ошибка, и стал искать другой выход. Другой выход нашелся такой: я сложил 12 топоров и 5 пил, получилось 17, и тогда я стал делить 100 на 17, но у меня опять получился остаток. Тогда я сложил все 24 топора между собой и стал делить рубли на топоры с пилами, но деление все равно не вышло. Тогда я стал отнимать пилы от топоров, а деньги делить на то, что получилось, но все равно у меня не получилось. Потом я еще пробовал складывать между собой пилы и топоры по отдельности, а потом отнимать топоры от денег, и то, что осталось, делить на пилы, и чего я только не делал, никакого толку не входило. Тогда я взял задачу и пошел к Ване Пахомову.

- Слушай, - говорю, - Ваня, 12 топоров и 3 пилы вместе стоят 84 рубля, а 12 топоров и 5 пил стоят 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила? Как по-твоему надо сделать задачу?». [13]

Пример третий (О.В. Знаменская: ход размышлений одного из учеников)

«Сначала я задумался над условием задачи.

Требуется найти все тройки чисел (а, b, с). Мне уже известна тройка чисел (3,4,5), Наверное, будет несложно придумать еще несколько таких троек. Конечно, если задача имеет бесконечно много решений, я не смогу перебрать их все, но, может быть мне удастся подметить закономерность, которая поможет догадаться об общем виде чисел в Пифагоровой тройке.

Знакомые шестиклассники принесли мне несколько примеров Пифагоровых троек. Записаны они были не очень удобно - глядя на них, было трудно что-либо подметить. Я подумал, что надо как-то упорядочить числа. Расположив их по возрастанию, я получил 3 колонки по 8 цифр в каждой. Стало видно, что все числа в первой колонке, за исключением 8 и 12 - нечетные, а второе и третье числа почти во всех строках отличаются на 1. Тройки (8,15,16) и (12, 35, 37) как-то не вписываются в эту закономерность. Я решил пока их не рассматривать.

Что еще можно заметить? Число 3 в квадрате дает 9 = 5+4. Число 9 в квадрате дает 81 = 40 + 41. И для всех остальных троек также справедливо равенство а² = Ь +с. Итак, с = b+1, а² = b + с, значит а² = 2b + 1».

Я задумался, а что это может дать? Последнее равенство означает, что число а² нечетное, значит и число а нечетное, т.е. а = 2b + 1, где k - произвольное натуральное число.

Как правило, описание процесса исследования таким способом происходит в форме мысленных рассуждений: «Я подумал, заметил… Вдруг мне стало понятно…» (пример О.В. Знаменской и Н.Н. Носова). Но Лакатос для этого применяет диалог вымышленных персонажей.

Вторым, менее распространенным, является способ оформления процесса исследования через логическое описание решения исследовательской задачи, например:

«Выпишем все правильные дроби, у которых знаменатель не больше 7;

_{1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5/6, 1/6,1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7}.

(мы пропустили сократимые дроби: 2/4, 2/6, 3/6, 4/6 - из дробей, представляющих одно то же число, мы выбираем о д н у дробь, а именно ту, у которой числитель и знаменатель наименьшие). Теперь запишем те же дроби в порядке возрастания:

_{1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3/ 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7}. (1)

… При этом соблюдается интересная закономерность: числитель разности двух соседних дробей всегда получается равным единице, точнее,

А. Для любых двух соседних дробей a/b, c/d (где a/b< c/d) выполняется равенство bc-ad=1.

Какие еще закономерности присущи ряду дробей (1)? Не трудно обнаружить, что сумма двух дробей симметрично стоящих в этом ряду, равна 1. Интересно, заметил ли читатель, что

Б. Каждая дробь получается из соседних с ней двух дробей следующим образом: надо сложить их числители и разделить полученное число на сумму знаменателей…

Дадим два определения, связанными с нашими наблюдениями.

Определение 1. Назовем две дроби a/b, c/d, близкими, если bc-ad равно 1 или -1.

Упражнение 4. Выберите из дробей (1) все пары близких дробей» [8]

По мнению Ж. Адамара, любое математическое «доказательство, которое нам дает «здравый смысл», можно превратить в совершенно строгое» [1]. Что происходи с «доказательством» при превращении его из доказательства в «здравом смысле» в строгое доказательство? Как мы видим, здесь отсутствуют гипотезы, опровергающиеся в процессе исследования и сам процесс исследования строится как общение первоначально поставленной задачи.

Выделим схему, по которой описывает свое исследование В.Н. Вагутен: сначала он подбирает материал для исследования, затем ставит себе более узкую задачу и описывает, выделенную им закономерность, формулирует и обосновывает гипотезу и оформляет результат в виде определений и упражнений. М.В. Кларин в книге «Инновации в мировой педагогике» приводит несколько моделей «систематического исследования». Наиболее подходящей исследовательской моделью для описания исследования математического материала, на наш взгляд, является исследовательская модель по Фентону.

«1. Видение проблемы на основе имеющихся данных.

2. Формулировка гипотез.

Понимание логических следствий гипотез.

Сбор данных с целью проверки гипотез.

Анализ, оценка и интерпретация данных.

Формулировка обобщения и вывода». [11]

Заметим, что данная модель составлялась не для математического исследования, поэтому последний пункт модели можно перефразировать так: «Формулировка теоремы и ее доказательство».

При проектировании и апробации программы математика РО во второй ступени БЭСШ №106 на оформление творческих работ, подготовленных учениками, накладывались определенные требования [12]. В первую очередь, процесс личного учебно-математического исследования ученика должен оформляться способом логических рассуждений, за основу описания процесса исследования была взята модель А.М. Аронова, аналогичная модели Фентона.

Таким образом, мы рассмотрели несколько вариантов оформления математических исследований, с целью выбора способа описания процесса решения учебно-исследовательских задач младшими подростками. Второй способ оформления нам кажется наиболее подходящим, так как он требует от учеников специального анализа своих действий и дает возможность их сравнивать, поэтому выберем за основной способ оформления собственных математических исследований учениками.

1.3 СКМ как необходимый элемент УОП

В рамках проекта «Математическое образование в школе РО: вторая ступень» красноярской лабораторией развивающего обучения математике было теоретически обосновано создание в подростковой школе РО учебно-образовательного пространства (УОП) с целью предъявления ученикам системы мест, создающих возможность ориентации на тип «культурного взрослого» (Термин А.М. Аронова) и «невыпадение» из учебного пространства. [4, 5, 20].

«Под учебно-образовательным пространством далее будет пониматься отношение специально организованной жизни класса и учебно-образовательной структуры, одним из элементов которой является урок математики». [4, стр. 16]

Основной функцией УОП является возможность возврата детей в УП после кризисного перехода в подростковую школу («то, что VI класс является критическим для школьника с точки зрения его успешности в обучении математике, подтверждает наблюдаемая негативность лидеров младшей школы к обучению в среднем в звене» [20]).

Структура УОП включает в себя четыре элемента: урок РО математики и СКМ - обязательные для всех учеников, математический клуб и факультатив - дополнительные образовательные формы.

Необходимым элементом УОП в средней школе является урок РО математике и дополнительный курс, на котором учащимися строились бы средства работы с собственным опытом математической деятельности СКМ. Это возрастно-ориентированный курс, направленный на построение учащимися средств работы с собственным опытом математической деятельности [7, 20].

Согласно замыслу проектировщиков, на СКМ учениками должен оформляться опыт учебной деятельности, приобретенный ими на уроке РО математики, а так же должны строиться средства работы с собственным опытом решения задач и средства по оформлению предметной пробы.

2. Конкретизация задачи разработки адаптированного варианта СКМ

2.1 Описание условий экспериментальной апробации сопровождающего курса в КУГ №1

В рамках экспериментальной площадки БЭСШ №106 сотрудниками школы И.О. Шеходановой и О.И. Белоконь предпринимались попытки введения СКМ в сочетании с разными другими элементами образовательного пространства и в разных возрастах (начиная с IV и с VI классов) [4, с. 8]. Введение СКМ было наиболее эффективно в шестых классах наборов 1996, 1997 гг. по авторской программе О.И. Белоконь (далее будем называть этот вариант СКМ авторским вариантом курса, в отличие от разрабатываемого нами внедренческого варианта).

Опишем организацию процесса обучения в VI классе набора 1996 г., которая более всего соответствовала теоретическим представлениям о СКМ, описанным в главе 1, § 3.

На классе была развернута полная структура УОП: урок математики факультатив, математический клуб, СКМ [20]. Более того, в соответствии с теоретическими положениями, были в полной мере представлены две позиции взрослого: позиция учителя и ученого-исследователя. Классным наставником в этих классах был учитель математики. В классе набора 1996 г. учитель Ю.Г. Юдина вела факультативный курс по геометрии и урок РО математики по авторским программам, разработанным в лаборатории РО математики ИППР руководителем математики клуба был «математик-ученый», не являющийся для детей учителем (О.В. Знаменская) и, наконец, СКМ в этом классе преподавал «второй учитель» О.И. Белоконь. Таким образом, УОП математического образования в этом классе создавалось кооперативными усилиями трех взрослых.

Проектирование учебных занятий происходило совместно двумя педагогами и методистом (О.В. Знаменской), поэтому педагогические действия по созданию УОП были согласованы. Программа СКМ разрабатывалась с учетом общей логики комплекса курса математики - факультатив - математический клуб, то есть с учетом содержания возникающего во всех остальных элементах образовательного пространства.

Так, на уроке математики строились учебные понятия, организовывалась учебно-исследовательская деятельность. Учителем, совместно с методистом проектировались условия постановки детьми на уроках учебно-исследовательских задач.

На клубе, помимо постановки и решения учебно-исследовательских задач учащиеся сталкивались с новой нормой отношения к их содержанию и с новыми методами оформления содержания для коммуникации (ученый - руководитель клуба, тем более приглашенные ученые математики оставляют за собой право не понимать версию ребенка, если она сформулирована на «птичьем» языке).

При написании творческих работ, местом обсуждения которых был клуб, а источниками были как урок, так и клуб, и факультатив, дети получали уникальный опыт личного математического исследования. Они работали над любимой, значимой для них темой и эмоционально переживали ход исследования.

Таким образом, у учащихся было накоплено достаточно материала, связанного с их личным учебно-исследовательским опытом, который они могли «приносить» на СКМ в виде случаев из своей учебной жизни. Учитель СКМ работал только с теми ситуациями, которые вспоминали на сопровождающем курсе сами дети. Это были как случаи с урока математики, так и случаи открытия, понимания при написании творческих работ. Задача учителя СКМ состояла в том, чтобы помочь ученикам и осознать и оформить имеющийся у них богатый учебный опыт.

Ценность и значимость такого оформления задавалась на математическом клубе, поскольку оформление результата выступало как условие для общения с интересными взрослыми-профессионалами.

Отметим так же, что поскольку программа реализовалась в экспериментальном режиме трудности, связанные с выделением дополнительного часа на СКМ, обоснования для руководства школы, детей, родителей нового учебного предмета не возникало.

Подведем итоги и выделим следующие особенности условий апробации авторского варианта сопровождающего курса в БЭСШ №106:

а) полнота структуры УОП;

б) включенность классного наставника в проектирование УОП;

в) наличие второй взрослой позиции математика-профессионала, задающего для детей значимость учебно-исследовательской деятельности и необходимость рефлексии учебного опыта;

г) складывание у школьника определенного опыта учебного исследования, полученного в других образовательных топах УОП, а именно:

опыта построения понятий (урок математики),

опыта исследования (урок, клуб);

самостоятельной постановки, обнаружения задачи (урок, клуб, факультатив).

Выделенные характеристики будут далее играть для нас роль критериев сравнения условий апробации авторского варианта СКМ и разрабатываемого нами «внедренческого» варианта на базе Лицея №1, входящего в комплекс КИКРО.

2.2 Замысел авторского сопровождающего курса

На основании источников [4,7] нами было выделено три цели, которые преследует СКМ, две из них образовательные и одна диагностическая.

Цель 1. Выделение учащимися общих способов работы и структур известных математических объектов за счет изучения возможности их переноса на новый предметный материал.

В СКМ выстраиваются средства такого переноса, а именно предметные метапонятия, такие как понятия «отношение», «форма», «пространство».

Цель 2. Построение учащимися средств описания собственного учебного опыта, что необходимо для освоения учебно-исследовательской деятельности. В качестве таких средств, по нашему мнению, могут выступать метапонятие «задача», а также нормативное описание исследования.

Для достижения второй цели решались следующие задачи:

построение языка (системы категорий, терминов), на котором возможно обсуждение процесса собственной учебной работы, в отличие от языка изложения математических результатов;

«…оформление движения ученика по траектории учебной деятельности в материале предмета: исследование, изобретение» [7, с. 113].

Результатом решения второй задачи, как мы думаем, является то, что ребенок должен научиться понимать когда-то, что он делает является исследованием (решением учебно-исследовательской задачи), а когда просто выполнением задания учителя или изобретением. Так же он должен обнаружить, что исследование оценивается по несколько другим критериям, чем успешность на уроке математики и уметь оценивать с этой точки зрения собственную учебную работу.

Цель 3, диагностическая. Составление педагогической карты класса.

Изначально диагностическая цель ставилась для нужд лабораторного эксперимента, её достижения требует наличия у учителя СКМ одновременно двух образований: психологического и математического, что по всей видимости не возможно в условиях школ РО, не являющихся опытными площадками исследовательского института.

Сопровождающий курс был рассчитан на два года (IV(V) класс - 1 час в 2 недели в I полугодии и 1 час в неделю во II полугодии, всего 26 учебных часов, VI класс - 1 час в неделю, всего 34 учебных часа).

В авторском курсе изучается 8 тем, пять из них в IV классе, последние три - в VI классе

Задание и задача.

Отношение на величинах.

Исследование объекта.

Исследование задачи.

Исследование решения задач.

Понятие отношения.

Исследование: наблюдение и обобщение.

Исследование числовых закономерностей.

В ([7], с. 11) автор курса приводит основные умения, которые могут быть сформированы у учащихся к концу IV (V), VI, к началу IX класса:

«К концу IV класса учащиеся умеют:

различать текст задачи (задание, «знаковую модель») и саму задачу (задачную систему);

интерпретировать и изобретать отношения как связь двух объектов;

строить и исследовать (наблюдать и описывать результаты наблюдения) объект по процессуальным характеристикам;

определять и конструировать задачи разных типов: предметные (математические), корректные и некорректные, переопределенные и неопределенные по их структурным элементам как связи данных и требуемых;

фиксировать связь данных и требуемого в разных видах - «знаковых моделях» (схема, модель, рисунок, краткая запись…);

исследовать решение задачи как описание известного способа.

К концу VI классу учащиеся умеют:

моделировать отношения на математической задаче;

моделировать (интерпретировать) известное отношение как частный случай бинарного отношения;

решать задачи типа «ввести отношение на заданном множестве»;

различать решения как отнесенные к разным субъектам: «идеальному» (математику) и «себе-решающему»;

осуществлять и описывать исследование математического объекта (в том числе числовые закономерности);

выбирать материалы; обобщать (эмпирически) на основе наблюдения; выдвигать или опровергать гипотезу (основной способности опровержения - контрпример).

Основные умения, которые могут быть сформированы к началу IX класса:

ставить и решать исследовательские задачи в материале предмета (формулировать и доказывать теоремы) и в собственной учебе;

проектировать свою деятельность в предмете (план решения задачи) и деятельность учения;

оформлять свою деятельность как нормативную (в предмете строить разные доказательства, теории) и «авторскую».

В результате проектирования и апробации авторского курса было разработано следующее методическое обеспечение:

Тематическое планирование СКМ на 2 года обучения (IV(V) - VI класса)

Разработаны и описаны принципы и схема введения для двух из трех метапонятий курса - «задача» и «отношение» [4, с. 15].

По теме «Понятие задачи» разработаны рекомендации учителю по проведению отдельных занятий и описаны фрагменты урока.

Возможно потому, что проектировал и апробировал курс один и тот же человек, необходимости в создании полного методического обеспечения в лабораторных условиях не было. Видимо поэтому не описан способ введения понятия «Исследование», которое должно изучаться во II четверти VI класса. Не приведены методические указания к трем темам IV класса: «Отношение на величинах», «Исследование объекта», «Исследования решения задачи» и ко всем темам VI класса. Не приводятся также проекты уроков.

Заметим, что перечисленного методического обеспечения явно недостаточно для передачи этого курса другим учителям, что является необходимым условием внедрения СКМ в другие школы КИКРО.

Таким образом, создание полного методического обеспечения является важной задачей, которую необходимо решать при разработке адаптированного варианта курса.

2.3 Описание ситуации апробации СКМ в Лицее №1

Сопровождающий курс был рекомендован разработчиками авторского варианта к внедрению в IV (V), VI классах школ КИКРО. Апробация разработанного нами адаптированного варианта курса в экспериментальном режиме происходила в Лицее №1 г. Красноярска. По нашему мнению, это типичная школа КИКРО. Опишем ситуацию, сложившуюся в V-VI классах РО Лицея №1 к 2000/2001 учебному году, в соответствии с критериями, которые выделены в § 1 настоящей главы.

1. Существенным отклонением от проекта школы РО II ступени [4, с. 8] стало отсутствие в Лицее №1 полной структуры УОП. Из четырех элементов УОП (урок РО, СКМ - обязательные для учащихся, математический клуб, факультатив - по выбору) сохранились урок математики РО и, в некоторых классах, педагогический клуб.

Класс	Урок РО	Пед. клуб	факультатив	СКМ	Одобрение кл. наставником дополн. ОП
5а	+	+	-	-	-
6а	+	+	-	-	-
6в	+	-	+	-	+

Заметим, что урок математики, как отмечает методист О.В. Знаменская, велся по упрощенным программам РО, планирование уроков с методистом происходило один раз в 2 недели. В двух из трех рассматриваемых нами классах был запущен педагогический клуб [4, с. 53-57], на котором происходило обсуждение собственного учебного опыта детей, не связанного с математикой.

2. Классные наставники в рассматриваемых нами классах, не являлись учителями математики. Обратимся к таблице, где показано отношение классных руководителей к дополнительному образовательному пространству. Только в 6 «в» - одном из трех классов, классный руководитель способствовал созданию УОП и демонстрировал ученикам и родителям положительное отношение к дополнительным предметам. В двух других классах наставники не разделяли образовательных установок проектировщика и своим поведением затрудняли функционирование дополнительных к уроку математики элементов УОП.

3. В классах, в которых был педагогический клуб, присутствовал второй взрослый, задающий позицию ученого, но это не была позиция профессионала-математика.

4. На уроках математики РО в начальных классах Лицея №1, как положено по норме РО, происходило построение понятий «величина», «число как отношение величин», изучались разностные и кратные отношения, в средней ступени школы строились некоторые частные виды отношений (например отношение делимости).

Подведем итоги и выделим особенности условий апробации адаптированного варианта сопровождающего курса в Лицее №1.

Мы обнаружили сходство и ряд существенных отличий ситуации Лицея №1 от описанной выше экспериментальной ситуации как в структуре УОП, так и в содержании уроков:

УОП во всех классах неполно, важно, что отсутствует предметный клуб;

классный наставник может не поддержать инновации в дополнительном образовательном пространстве;

из-за трудностей трансляции может не соблюдаться технология постановки учебно-исследовательских задач на уроках математики в VI классе (упрощенная программа по математике РО);

на уроках математики, как и положено по норме, происходит построение ключевых математических понятий и изучаются разные частные виды отношений

2.4 Постановка проектного задания

В настоящем параграфе автор дипломной работы формулирует для себя проектное задание на разработку адаптированного варианта сопровождающего курса. Постановка проектного задания осуществляется в результате анализа особенностей УОП Лицея №1, выделенных в § 3 и попытки ответа на вопрос: «При каких дополнительных условиях возможно достижение целей курса, заявленных О.И. Белоконь и И.О. Шеходановой, в не экспериментальной школе КИКРО?».

Как мы уже отмечали в § 1 главы 2, наличие диагностической цели СКМ было связано с исследовательскими задачами лаборатории РО, кроме того, достижение этой цели возможно лишь при соблюдении определенных требований к подготовке учителя СКМ. Поскольку в настоящее время удовлетворить этим требованиям в школах РО, не являющихся опытной площадкой исследовательского института, невозможно, мы не будем включать цель №3 в группу целей адаптированного варианта СКМ.

Цель №1, напротив, вполне достижима и в ситуации Лицея. Действительно, выше упоминалось, что построение математических понятий происходило на протяжении всех предыдущих лет обучения по программам РО.

На уроках математики РО все ученики неоднократно строят математические понятия, на основании чего можно заключить, что у учащихся есть опыт такого построения, к которому учитель СКМ может обращаться. Таким образом, ученики лицея №1 имеют опыт построения предметных понятий, необходимый для формирования метапонятий «задача» и «отношение», и значит для формирования соответствующих метапонятий можно без изменения применить схему, предложенную О.И. Белоконь в [7].

И, наконец, отнесемся к возможности достижения цели №2.

Введение понятия «исследование» описано в проекте авторского сопровождающего курса менее всего.

Для того, чтобы случай постановки или решения учебно-исследова-тельской задачи был принесен учеником на СКМ, ее решение должно запомниться - стать для него интересным и значимым. Согласно теоретическим положениям, с помощью одного урока математики добиться таких результатов почти невозможно.

Заметим, что для освоения тем курса, связанных с исследованием, необходим опыт учебного исследования, приобретаемый учениками как на уроках математики РО, так и в других образовательных топах УОП. Из-за неполноты структуры и, следовательно обеднения содержания УОП может оказаться, что школьники не втянуты в учебное исследование на материале математики.

На основании сказанного можно сформулировать гипотезу.

Гипотеза 1: Опыт учебного исследования у учащихся Лицея №1 настолько беден, что его невозможно использовать в качестве материала для оформления на СКМ.

Это предположение можно проверить, проведя несколько занятий по схеме введения темы «Исследование: наблюдение и обобщение», предложенной проектировщиками СКМ (оформление учебно-исследовательских задач, принесенных на сопровождающий курс детьми).

Если гипотеза 1 подтвердится, изменим программу СКМ, введя в нее решение нескольких непродолжительных (на 3-4 учебных занятия) исследовательских задач (на материале математики), поскольку нам кажется справедливой

Гипотеза 2: Предлагаемое введение в СКМ элементов учебного исследования, в частности постановки учебно-исследовательской задачи, достаточно для того, чтобы у детей появился опыт учебно-исследовательской деятельности.

Это позволит применить уже разработанные принципы для последующего формирования у учеников понятия «исследование».

Критерием появления опыта исследования и его оформления может служить наличие творческих работ, выполненных школьниками.

Остановимся теперь на мотивации изучения СКМ. Поскольку УОП разворачивается на одном классе, то, по нашему предположению, большое влияние на заинтересованность детей (и их родителей) в СКМ имеет позиция классного наставника. Отсутствие клуба делает необходимым ставить задачу оформления учебного опыта в рамках самого СКМ, т. к. это оформление оказывается невостребованным вне курса.

Итак, мы предполагаем, что для разработки адаптированного варианта введения ряда тем, связанных с оформлением опыта учебно-исследовательской деятельности, потребуется трансформация содержания авторского варианта сопровождающего курса.

Поскольку в Лицее №1 наиболее проблематично, но все же возможно достижение цели оформления опыта учебного исследования, мы поставим себе задачу разработки адаптированного варианта именно тех тем курса, которые вводятся для достижения этой цели.

Группу тем, введение которых необходимо для достижения указанной цели назовем линией оформления опыта в СКМ.

Итак, для достижения нашей цели: разработать адаптированный вариант для школ КИКРО линии СКМ «Понятие задачи» - «Оформление исследования», необходимо решить следующие задачи:

1. Проверить две гипотезы об особенностях внедрения линии оформления опыта СКМ в Лицее №1.

2. Разработать методическую форму для постановки задачи различения процесса решения и оформление результата учебного исследования.

3. Разработать схему введения и методическое обеспечение введения понятий «задача», «исследование».

3. Новое методическое обеспечение СКМ

3.1 Задача оформления представлений

В настоящем параграфе описывается общая методика для работы с представлениями школьников, полагаемыми нами, как объекты преобразования.

Результатом обобщения наших частных методических подходов при введении тем «Понятие задачи», «Типы математических задач», «Способы решения текстовых математических задач», а также осмысление работ А.М. Аронова и В.Г. Васильева [9,] стал список из шести учебных действий, которые необходимо осуществить для оформления представлений учащихся:

Выкладывание коммуникантами своих представлений об объекте.

Схематизация и классификация имеющихся представлений учащихся, составление схемы.

Привлечение к рассмотрению нового материала для опробования, уточнения своей схемы, проверки их.

Обнаружение учащимися существующих других точек зрения, проблематизирующих схему.

Анализ учащимися оснований, приводящих к необходимости трансформации схемы.

Обнаружение проблем построения схемы. Фиксация гипотез, вопросов, задач.

Особенность внедрения этих учебных действий состоит в том, что для их осуществления необходимо наличие коммуникации.

Опишем методику формирования перечисленных выше действий. Условно эти действия можно разбить на две группы, а методику на два этапа.

На первом этапе происходит работа с собственными (личными) представлениями учащихся по поводу рассматриваемого объекта (задачи, деятельности и другие). Ученики самостоятельно или в группах анализируют и пытаются построить классификацию примеров, которые удалось им вспомнить, а затем происходит общее обсуждение результатов и построение общей схемы.

Следующий этап связан с введением учителем культурных представлений. Новые для учеников точки зрения можно вводить при помощи карточек, где описываются ситуации спора, возникающие из-за разного представления об объекте, между несколькими собеседниками (пример таких карточек приводится в приложении). Подобные карточки могут задавать одновременно несколько представлений об объекте и, являться средством проблематизации или соотнесения детских представлений об этом объекте.

Соотнесем, выделенные нами учебные действия с «учебной задачей» В.В. Давыдова.

В [10] В.В. Давыдов приводит следующие учебные действия: «принятие от учителя или самостоятельная постановка учебной задачи; преобразование условий задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта; моделирование выделенного отношения в предметной, графической и буквенной формах; преобразование модели отношения для изучения его свойств в «чистом виде»; построение системы частных задач, решаемых общим способом; контроль за выполнением предыдущих действий; оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи».

3.2 Способ введения понятий «задача» и «исследование»

В данном параграфе конкретизируются перечисленные выше учебные действия на примере введения понятий «задача» и «исследование». Рассмотрим способ введения понятий «задача» и «исследование».

Тема 1. Понятие «задача»

Урок 1. Задача и не задача.

Цель урока. Выявить представления детей о типах задач. Зафиксировать личные представления в форме схемы, модели, таблицы.

Модель урока	Примечания
1 Выкладывание коммуникантами своих представлений об объекте. Учитель задает вопрос: «Часто ли вы в жизни озадачиваетесь?» - или, - «Часто ли в жизни встречаетесь с задачей?» - предполагая, что дети ответят утвердительно. Задание 1. Приведите примеры задач, которые вы встречали в жизни. Предполагается, что ученики начнут приводить примеры разных типов задач: текстовых (сюжетных); жизненных; задач-моделей. 2. Схематизация и классификация имеющихся представлений учащихся, составление схемы Рекомендуется выделить на доске специальное место, где будут записываться задачи разных типов и, задачи, вызвавшие несогласие. Например, на одной боковой доске выписываются задачи разных типов, не вызывающие сомнения, а на другой - задачи, вызывающие спор. 3. Привлечение учащихся к рассмотрению нового материала для опробования, уточнения своей схемы, проверки их. Следующим этапом учитель предлагает карточки, задачи всех типов. Задание 2. Определить место этих «задач» (здесь может появиться «место» для не задач). Ученикам даются карточка №5 (жизненная), №4 (текстовая математическая), №3 (задача-модель), см. приложение. 4. Обнаружение учащимися существования других точек зрения, проблематизирующих схему.	Подходящей формой для выполнения этого задания является работа в группы Эти типы задач были выделены экспериментально на уроках СКМ. На этом этапе работы вопрос о принадлежности данного текста (условия задачи) к классу задач не обсуждается, так как цель этого урока выявить представление. Это задание дает ученикам возможность дополнить свой список различных типов задач, тем самым диагностика будет наиболее полной

Урок 2. Задача и не задача.

Цель урока. Поставить проблему существования разных представлений о понятии «задача».

5. Анализ учащимися оснований, приводящих к необходимости трансформации схемы. Учитель дает детям карточку 1 (см. приложение), несколько минут отводится на прочтение задачи. 6. Обнаружение проблем построения схемы. Фиксация гипотез, вопросов, задач. Затем обсуждаются вопросы: Чье мнение правильное? Почему возник этот спор? Возможно ли в этой ситуации прийти к единому мнению? Почему у людей существуют разные представления об одном объекте? От чего это зависит? Зафиксировать разные представления о понятии «задача» Понимание задачи первым учеником… Второй ученик понимает задачу так… Для третьего ученика задача - это… В заключении урока фиксируем наше понимание задачи, проблемы, гипотезы, которые возникли на уроке, обсуждаем круг вопросов для дальнейшего изучения или для написания творческих работ.	1. Найти оппонирующие группы в классе. 2. Поставить проблему разных мнений (ученики получат опыт разрешения споров).

Понятие «исследовательская задача»

Цель урока. Обнаружение принадлежности исследовательской задачи к классу задач

1 Обнаружение учащимися существования других точек зрения, проблематизирующих схему. После того, как ученики принесли (или провели) на СКМ 2-3 учебных исследования, учитель задает вопрос: «Исследуя, вы решали задачу или выполняли задание?». 2 Анализ учащимися оснований, приводящих к необходимости трансформации схемы Каждая группа обосновывает свое мнение, Разные мнения фиксируются. Происходит анализ и выбор правильного мнения. Формулируется определение. 3. Обнаружение проблем построения схемы. Фиксация гипотез, вопросов, задач. Исследовательская задача вносится в первоначальную классификацию задач.	В классе выделяются две оппонирующие группы, либо учитель вводит другое представление с помощью карточек. Обсуждается принадлежность исследования к классу задач

3.3 Различия процесса и результата решения учебно-исследовательской задачи

Следующим предметом нашей разработки стала методическая форма для различения процесса решения и оформления результата учебного исследования.

Необходимым условием этого различения является понимание учеником исследовательской задачи как задачи, «решением» которой является исследование, а «ответом» - теорема (методика построения понятия «исследовательская задача» приводится нами в предыдущем параграфе). Таким образом, постановка задачи различения процесса решения и оформления результата учебного исследования происходило в три этапа.

I этап. Строится понятие «задача» как совокупность условия, вопроса, процесса решения, ответа и связи между выделенными компонентами. Затем решаются две - три небольших учебно-исследовательских задачи и, учителем ставится вопрос: «Данное исследование было решением задачи или выполнением задания?»

II этап. Второй этап включает в себя следующие действия:

выделяется на доске два «места» - одно для самого процесса исследования, а другое - для результата (таким образом, у нас получается две плоскости: плоскость исследования и плоскость результата);

обсуждается какая часть исследовательской задачи пойдет в плоскость исследования, а какая в плоскость оформления результата;

оценивается информацию, попавшую в плоскость результата (здесь нами предлагаются следующие вопросы: «Достаточно ли одной формулировки теоремы для ее применения? Войдут ли в эту плоскость определения, доказательство теоремы, формулировки гипотез?»)

III этап. «Идеализируя решателя» (термин Г.А. Балла), то есть обсуждая как должна решаться задача, выстраивались нормы оформления решения исследовательской задачи:

подбор материала для исследования;

формулирование задачи, которую фактически решают ученики;

выделение закономерности, в материале исследования;

формулирование гипотезы;

проверка гипотезы, если гипотеза верна, то она доказывается, если не верна, то опровергается;

формулирование теоремы и ее доказательство;

применение теоремы.

В качестве примера тем для постановки исследовательских задач, приведем формулировки двух задач, которые предлагались для решения ученикам 6-го класса:

Найти пифагоровы тройки (натуральные числа а, в, с, такие что a²+b²=с²).

При каких условиях следующее утверждение выполняется: «Если из числа, сумма цифр которого равна 45 вычесть число, сумма цифр которого равна 45, то получится число с суммой цифр 45».

В процессе решения первой задачи у детей появлялись гипотезы:

не существует таких натуральных чисел а, b, с, что a²+b²=с²;

если каждое число пифагоровой тройки (3,4,5) домножить на одно и то же (необязательно натуральное) число, то получится верное равенство;

если а²=b-с и с-b=1, где а, b, с - натуральные числа, то равенство а²+b²=с² верно.

Очевидно, что первую гипотезу опровергает контрпример - тройка (3,4,5), а на основе второй и третьей гипотез сформулирована теорема: «Если а - нечетное натуральное число, то в и с можно найти по формулам: b=(а²-1):2, с =в-1, где b, с - натуральные числа и а²+b²=с². Новую пифагорову тройку можно получить домножением каждого числа исходной тройки на одно и то же число».

Оформление решения на реальном уроке исследовательской задачи включило в себя: описание троек чисел, необходимых для выявления закономерностей второй и третьей гипотез; описание этих закономерностей; формулировки гипотез 2 (для общего случая) и 3 с доказательством; формулировку теоремы [3].

4. Анализ результатов апробации внедренческого варианта СКМ