История возникновения и формирования квантовой механики и квантово-механической теории твердого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Доклад

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И ФОРМИРОВАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

по дисциплине «Квантовая механика»

С.С. Бойко

Томск 2017

Содержание

Введение

1. Экспериментальные основы и роль М. Планка в возникновении квантовой теории

2. Фотоэффект. Уравнение Эйнштейна

3. Теория волновой механики Луи де Бройля

4. Вклад в развитие квантово-механической теории А. Гейзенберга, Э. Шредингера, П. Дирака, В. Паули

5. Квантовые статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Заключение

Список используемых источников

Введение

Квантовая механика - фундаментальная физическая теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов), а также связь величин, характеризующих частицы и системы с физическими величинами, непосредственно измеряемыми в макроскопических опытах.

Законы квантовой механики составляют фундамент изучения строения вещества. Они позволили выяснить строение атомов, установить природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов, понять строение атомных ядер, изучать свойства элементарных частиц. Поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят, законы квантовой механики лежат в основе понимания большинства макроскопических явлений. Квантовая механика позволила, например, объяснить температурную зависимость и вычислить величину теплоёмкости газов и твёрдых тел, определить строение и понять многие свойства твёрдых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников). Только на основе квантовой механики удалось последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких астрофизических объектов, как белые карлики, нейтронные звёзды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в звёздах.

Для классической механики в целом характерно описание частиц путём задания их положения в пространстве (координат) и скоростей и зависимости этих величин от времени. Такому описанию соответствует движение частиц по вполне определенным траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо, особенно для частиц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения дает квантовая механика, которая включает в себя как частный случай классическую механику. Квантовая механика, как и классическая, делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям специальной теории относительности.

Квантовая механика в основном была создана в течение первых трёх десятилетий 20-го века благодаря работам М. Планка, А. Эйнштейна, Луи де Бройля, В. Гейзенберга, Э. Шредингера, П. Дирака, В. Паули.

1. Экспериментальные основы и роль М. Планка в возникновении квантовой теории

Тепловое излучение - электромагнитное излучение, обусловленное внутренней энергией тела и зависящие от температуры и оптических свойств тела. Этот вид излучения для физиков конца XIX века представлял особый интерес, так как в отличие от всех других видов излучения, тепловое может находиться в состоянии термодинамического равновесия с нагретыми телами. Изучая закономерности теплового излучения тел, физики надеялись установить взаимосвязь между термодинамикой и оптикой.

Если в замкнутую полость с зеркально отражающими стенками поместить несколько тел, нагретых до различной температуры, то, как показывает опыт, такая система с течением времени приходит в состояние теплового равновесия, при котором все тела приобретают одинаковую температуру. Тела обмениваются энергией только путем испускания и поглощения лучистой энергии. В состоянии равновесия процессы испускания и поглощения энергии каждым телом в среднем компенсируют друг друга, и в пространстве между телами плотность энергии излучения достигает определенного значения, зависящего только от установившейся температуры тел. Это излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с телами, имеющими определенную температуру, называется равновесным или черным излучением. Плотность энергии равновесного излучения и его спектральный состав зависят только от температуры.

Если через малое отверстие заглянуть внутрь полости, в которой установилось термодинамическое равновесие между излучением и нагретыми телами, то глаз не различит очертаний тел и зафиксирует лишь однородное свечение всей полости в целом.

Пусть одно из тел в полости обладает свойством поглощать всю падающую на его поверхность лучистую энергию любого спектрального состава. Такое тело называют абсолютно черным. При заданной температуре собственное тепловое излучение абсолютно черного тела, находящегося в состоянии теплового равновесия с излучением, должно иметь тот же спектральный состав, что и окружающее это тело равновесное излучение. В противном случае равновесие между абсолютно черным телом и окружающем его излучением не могло бы установиться. Поэтому задача сводится к изучению спектрального состава излучения абсолютно черного тела. Решить эту задачу классическая физика оказалась не в состоянии.

Для установления равновесия в полости необходимо, чтобы каждое тело испускало ровно столько лучистой энергии, сколько оно поглощает. Это одна из важнейших закономерностей теплового излучения. Отсюда следует, что при заданной температуре абсолютно черное тело испускает с поверхности единичной площади в единицу времени больше лучистой энергии, чем любое другое тело.

Абсолютно черных тел в природе не бывает. Хорошей моделью такого тела является небольшое отверстие в замкнутой полости (рис. 1.1).

Рисунок 1.1

Свет, падающий через отверстие внутрь полости, после многочисленных отражений будет практически полностью поглощен стенками, и снаружи отверстие будет казаться совершенно черным. Но если полость нагрета до определенной температуры T, и внутри установилось тепловое равновесие, то собственное излучение полости, выходящее через отверстие, будет излучением абсолютно черного тела. Именно таким образом во всех экспериментах по исследованию теплового излучения моделируется абсолютно черное тело. Распределение энергии по длинам волн в излучении абсолютно черного тела при заданной температуре T характеризуется излучательной способностью r (л, T), равной мощности излучения с единицы поверхности тела в единичном интервале длин волн. Произведение r (л, T) на Дл равно мощности излучения, испускаемого единичной площадкой поверхности по всем направлениям в интервале Дл длин волн. Аналогично можно ввести распределение энергии по частотам r (н, T). Функцию r (л, T) (или r (н, T)) часто называют спектральной светимостью, а полный поток R (T) излучения всех длин волн называют интегральной светимостью тела:

К концу XIX века излучение абсолютно черного тела было хорошо изучено экспериментально. В 1879 году Йозеф Стефан на основе анализа экспериментальных данных пришел к заключению, что интегральная светимость R (T) абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры T:

R(T)=

Несколько позднее, в 1884 году, Л. Больцман вывел эту зависимость теоретически, исходя из термодинамических соображений. Этот закон получил название закона Стефана-Больцмана. Числовое значение постоянной у, по современным измерениям: у =5,671·10-8 Вт / (м2 · К4)

К концу 90-х годов XIX века были выполнены тщательные экспериментальные измерения спектрального распределения излучения абсолютно черного тела, которые показали, что при каждом значении температуры T зависимость r (л, T) имеет ярко выраженный максимум. С увеличением температуры максимум смещается в область коротких длин волн, причем произведение температуры T на длину волны , соответствующую максимуму, остается постоянным:

=b

квантовая механика твердое тело

Это соотношение ранее было получено Вином из термодинамики. Оно выражает так называемый закон смещения Вина. Значение постоянной Вина: b=2,898·м·К

Успехи термодинамики, позволившие вывести законы Стефана-Больцмана и Вина теоретически, вселяли надежду, что, исходя из термодинамических соображений, удастся получить всю кривую спектрального распределения излучения черного тела r(л, T). В 1900 году эту проблему пытался решить знаменитый английский физик Д. Релей, который в основу своих рассуждений положил теорему классической статистической механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы в состоянии термодинамического равновесия. Эта теорема была применена Релеем к равновесному излучению в полости. Несколько позже эту идею подробно развил Джинс. Таким путем удалось получить зависимость излучательной способности абсолютно черного тела от длины волны л и температуры T:

=8

Рисунок 1.2

Это соотношение называют формулой Релея-Джинса. Оно согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно длинных волн (рис. 1.2). Кроме того, из нее следует абсурдный вывод о том, что интегральная светимость R (T) черного тела должна обращаться в бесконечность, а, следовательно, равновесие между нагретым телом и излучением в замкнутой полости может установиться только при абсолютном нуле температуры (ультрафиолетовая катастрофа).

Таким образом, безупречный с точки зрения классической физики вывод приводит к формуле, которая находится в резком противоречии с опытом. Стало ясно, что решить задачу о спектральном распределении излучения абсолютно черного тела в рамках существующих теорий невозможно. Эта задача была успешно решена М. Планком 14 декабря 1900 года на основе новой идеи, чуждой классической физике. Планк пришел к выводу, что процессы излучения и поглощения электромагнитной энергии нагретым телом происходят не непрерывно, как это понимала классическая физика, а конечными порциями - квантами. Квант - это минимальная порция энергии, излучаемой или поглощаемой телом. По теории Планка, энергия кванта E прямо пропорциональна частоте света:

Е=

где h - так называемая постоянная Планка: h = 6,626·10-34 Дж · с.

На основе гипотезы о прерывистом характере процессов излучения и поглощения телами электромагнитного излучения Планк получил формулу для спектральной светимости абсолютно черного тела. Формулу Планка удобно записывать в форме, выражающей распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела по частотам н, а не по длинам волн л:

R(

где c - скорость света, h - постоянная Планка, k - постоянная Больцмана, T - абсолютная температура.

Формула Планка хорошо описывает спектральное распределение излучения черного тела при любых частотах. Она прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Из формулы Планка можно вывести законы Стефана-Больцмана и Вина. При hн<<kT формула Планка переходит в формулу Релея-Джинса.

Решение проблемы излучения черного тела ознаменовало начало новой эры в физике. Нелегко было примириться с отказом от классических представлений, и сам Планк, совершив великое открытие, в течение нескольких лет безуспешно пытался понять квантование энергии с позиции классической физики.

2. Фотоэффект. Уравнение Эйнштейна

Фотоэлектрический эффект был открыт в 1887 году немецким физиком Г. Герцем и в 1888-1890 годах экспериментально исследован А. Г. Столетовым. Наиболее полное исследование явления фотоэффекта было выполнено Ф. Ленардом в 1900 г. К этому времени уже был открыт электрон (1897 г., Дж. Томсон), и стало ясно, что фотоэффект (или точнее - внешний фотоэффект) состоит в вырывании электронов из вещества под действием падающего на него света. Схема экспериментальной установки изображена на рисунке 2.1

Рисунок 2.1

В экспериментах использовался стеклянный вакуумный баллон с двумя металлическими электродами, поверхность которых была тщательно очищена. К электродам прикладывалось некоторое напряжение U, полярность которого можно было изменять с помощью двойного ключа. Один из электродов (катод K) через кварцевое окошко освещался монохроматическим светом некоторой длины волны л. При неизменном световом потоке снималась зависимость силы фототока I от приложенного напряжения (рисунок 2.2)

Рисунок 2.2.

Зависимость силы фототока от приложенного напряжения. Кривая 2 соответствует большей интенсивности светового потока. и - токи насыщения, Uз - запирающий потенциал

Кривые показывают, что при достаточно больших положительных напряжениях на аноде A фототок достигает насыщения, так как все электроны, вырванные светом из катода, достигают анода. Тщательные измерения показали, что ток насыщения I_н прямо пропорционален интенсивности падающего света. Когда напряжение на аноде отрицательно, электрическое поле между катодом и анодом тормозит электроны. Анода могут достичь только те электроны, кинетическая энергия которых превышает |eU|. Если напряжение на аноде меньше, чем -U_з, фототок прекращается. Измеряя U_з, можно определить максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов:



К удивлению ученых, величина U_з оказалась независящей от интенсивности падающего светового потока. Тщательные измерения показали, что запирающий потенциал линейно возрастает с увеличением частоты н света (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3

Зависимость запирающего потенциала Uз от частоты н падающего света

Многочисленными экспериментаторами были установлены следующие основные закономерности фотоэффекта:

1. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно возрастает с увеличением частоты света н и не зависит от его интенсивности.

2. Для каждого вещества существует так называемая красная граница фотоэффекта, т. е. наименьшая частота н_min, при которой еще возможен внешний фотоэффект.

3. Число фотоэлектронов, вырываемых светом из катода за 1 с, прямо пропорционально интенсивности света.

4. Фотоэффект практически безынерционен, фототок возникает мгновенно после начала освещения катода при условии, что частота света н > н_min.

Все эти закономерности фотоэффекта в корне противоречили представлениям классической физики о взаимодействии света с веществом. Согласно волновым представлениям при взаимодействии с электромагнитной световой волной электрон должен был бы постепенно накапливать энергию, и потребовалось бы значительное время, зависящее от интенсивности света, чтобы электрон накопил достаточно энергии для того, чтобы вылететь из катода. Как показывают расчеты, это время должно было бы исчисляться минутами или часами. Однако, опыт показывает, что фотоэлектроны появляются немедленно после начала освещения катода. В этой модели также было невозможно понять существование красной границы фотоэффекта. Волновая теория света не могла объяснить независимость энергии фотоэлектронов от интенсивности светового потока и пропорциональность максимальной кинетической энергии частоте света.

Выход был найден А. Эйнштейном в 1905 г. Теоретическое объяснение наблюдаемых закономерностей фотоэффекта было дано Эйнштейном на основе гипотезы М. Планка о том, что свет излучается и поглощается определенными порциями, причем энергия каждой такой порции определяется формулой E = hн, где h - постоянная Планка. Эйнштейн сделал следующий шаг в развитии квантовых представлений. Он пришел к выводу, что свет имеет прерывистую (дискретную) структуру. Электромагнитная волна состоит из отдельных порций - квантов, впоследствии названных фотонами. При взаимодействии с веществом фотон целиком передает всю свою энергию hн одному электрону. Часть этой энергии электрон может рассеять при столкновениях с атомами вещества. Кроме того, часть энергии электрона затрачивается на преодоление потенциального барьера на границе металл-вакуум. Для этого электрон должен совершить работу выхода A, зависящую от свойств материала катода. Наибольшая кинетическая энергия, которую может иметь вылетевший из катода фотоэлектрон, определяется законом сохранения энергии:

Эту формулу принято называть уравнением Эйнштейна для фотоэффекта. С помощью него можно объяснить все закономерности внешнего фотоэффекта. Из уравнения следуют линейная зависимость максимальной кинетической энергии от частоты и независимость от интенсивности света, существование красной границы, безынерционность фотоэффекта. Общее число фотоэлектронов, покидающих за 1 с поверхность катода, должно быть пропорционально числу фотонов, падающих за то же время на поверхность. Из этого следует, что ток насыщения должен быть прямо пропорционален интенсивности светового потока.

Итак, законы фотоэффекта свидетельствуют, что свет при испускании и поглощении ведет себя подобно потоку частиц, получивших название фотонов или световых квантов. Фотон движется в вакууме со скоростью c. Фотон не имеет массы, m = 0. Из общего соотношения специальной теории относительности, связывающего энергию, импульс и массу любой частицы, следует, что фотон обладает импульсом.

2.3

Таким образом, учение о свете вновь возвратилось к представлениям о световых частицах - корпускулах. Но это не был механический возврат к корпускулярной теории Ньютона. Вскоре стало ясно, что свет обладает двойственной природой. При распространении света проявляются его волновые свойства (интерференция, дифракция, поляризация), а при взаимодействии с веществом - корпускулярные (фотоэффект). Эта двойственная природа света получила название корпускулярно-волнового дуализма. Позже двойственная природа была открыта у электронов и других элементарных частиц. Классическая физика не может дать наглядной модели сочетания волновых и корпускулярных свойств у микрообъектов. Движением микрообъектов управляют не законы классической механики Ньютона, а законы квантовой механики. Теория излучения абсолютно черного тела, развитая М. Планком, и квантовая теория фотоэлектрического эффекта Эйнштейна лежат в основе этой современной науки.

3. Теория волновой механики Луи де Бройля

В 1923 году произошло событие, которое в значительной степени ускорило развитие квантовой физики. Французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами.

Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связаны, с одной стороны, корпускулярные характеристики - энергия E и импульс p, а с другой стороны, волновые характеристики - частота н и длина волны л.

Корпускулярные и волновые характеристики микрообъектов связаны такими же количественными соотношениями, как и у фотона:

Гипотеза де Бройля постулировала эти соотношения для всех микрочастиц, в том числе и для таких, которые обладают массой m. Любой частице, обладающей импульсом, сопоставлялся волновой процесс с длиной волны л = h / p. Для частиц, имеющих массу:

При х << c:



Гипотеза де Бройля основывалась на соображениях симметрии свойств материи и не имела в то время опытного подтверждения. Но она явилась мощным толчком к развитию новых представлений о природе материальных объектов.

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году американскими физиками К. Девиссоном и Л. Джермером. Они обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся на кристалле никеля, дает отчетливую дифракционную картину, подобную той, которая возникает при рассеянии на кристалле коротковолнового рентгеновского излучения. В этих экспериментах кристалл играл роль естественной дифракционной решетки. По положению дифракционных максимумов была определена длина волны электронного пучка, которая оказалась в полном соответствии с вычисленной по формуле де Бройля.

В следующем 1928 году английский физик Г. Томсон получил новое подтверждение гипотезы де Бройля. В своих экспериментах Г. Томсон наблюдал дифракционную картину, возникающую при прохождении пучка электронов через тонкую поликристаллическую фольгу из золота.

Рисунок 3.1

Упрощенная схема опытов Г. Томсона по дифракции электронов. K - накаливаемый катод, A - анод, Ф - фольга из золота

На установленной за фольгой фотопластинке отчетливо наблюдались концентрические светлые и темные кольца, радиусы которых изменялись с изменением скорости электронов (т. е. длины волны) согласно де Бройлю

Рисунок 3.2

Картина дифракции электронов на поликристаллическом образце при длительной экспозиции (a) и при короткой экспозиции (b). В случае (b) видны точки попадания отдельных электронов на фотопластинку

В последующие годы опыт Дж. Томсона был многократно повторен с неизменным результатом, в том числе при условиях, когда поток электронов был настолько слабым, что через прибор единовременно могла проходить только одна частица. Таким образом, было экспериментально доказано, что волновые свойства присущи не только большой совокупности электронов, но и каждому электрону в отдельности.

Впоследствии дифракционные явления были обнаружены также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств микрочастиц привело к выводу о том, что это универсальное явление природы, общее свойство материи. Следовательно, волновые свойства должны быть присущи и макроскопическим телам. Однако вследствие большой массы макроскопических тел их волновые свойства не могут быть обнаружены экспериментально. Например, пылинке массой 10-⁹ г, движущийся со скоростью 0,5 м/с соответствует волна де Бройля с длиной волны порядка 10-²¹ м. Такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области. Этот пример показывает, что макроскопические тела могут проявлять только корпускулярные свойства.

Таким образом, подтвержденная экспериментально гипотеза де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме коренным образом изменила представления о свойствах микрообъектов.

4. Вклад в развитие квантово-механической теории А. Гейзенберга, Э. Шредингера, П. Дирака, В. Паули

И свет, и микрочастицы в любой момент одновременно являются и частицей и волной. Только в некоторых случаях одно из свойств выражено меньше. Например, для электромагнитной волны частотой меньше 10¹²с-¹(это радиоволны) корпускулярные свойства практически невозможно обнаружить, а гамма-излучение (частота больше 10²⁰с-¹) ведет себя как частица и не проявляет волновых свойств. Рентгеновское и видимое излучение занимают промежуточное положение (10¹⁵? щ ? 10¹⁹с-¹), и для этих видов мы можем наблюдать как корпускулярные свойства (фотоэффект, эффект Комптона), так и волновые свойства (дифракция, интерференция). Если же говорить о волновых свойствах частиц, то тут правила еще проще: чем мельче частица, тем заметнее для нее волновые свойства, если же частицу заставить расти, то волновые свойства быстро теряются и остаются только корпускулярные. Можно даже сказать, что каждый из нас обладает волновыми свойствами, однако этот эффект настолько мал, что ни зарегистрировать его каким-либо прибором, ни использовать для получения, например, дифракции невозможно. И этот факт наглядно отражен в одном из основных принципов квантовой физики - принципе неопределенности Гейзенберга, который гласит, что произведение неопределенностей координаты ?x частицы и проекции ее импульса ?p_x на ту же ось не может по порядку величины быть меньше постоянной Планка: ?x?p_x ? h

Если сказать другими словами, то чем точнее мы можем измерить одну из указанных величин, тем больший разброс будет иметь вторая.

Рассмотрим движение частицы вдоль оси Y, на пути которой установлено препятствие с небольшим отверстием. До прохождения через отверстие частица имеет вполне определенное значение проекции импульса на ось X, так как по условию задачи известно, что перемещение частицы происходит в заданном направлении.

Рисунок 4.1

В тот момент, когда частица проходит через отверстие, мы можем указать для нее довольно точное местоположение - ее координата попадет в интервал ?x, равный ширине отверстия. В тот же самый момент происходит изменение импульса частицы. Его значение становится неопределенным ровно на столько, на сколько определенным стало значение координаты частицы. То есть мы получаем некоторый разброс в направлении движения частицы после прохождения преграды, что и отражается в виде появления ненулевого ?p_x. Как показывают эксперименты, вследствие дифракции, частица может вылететь в любом направлении в пределах угла 2ц (рассматриваем центральный дифракционный максимум, так как при дифракции на одной щели интенсивность остальных максимумов пренебрежимо мала). Как видно из рисунка частица, прошедшая под таким углом имеет неопределенность импульса ?p_x:

Для первого дифракционного максимума выполняется соотношение:

Учтем, что длина волны де Бройля может быть записана через импульс:

Тогда

Отсюда получаем:

Если учесть, что наблюдаются также еще и максимумы второго и больших порядков, то математически это означает, что ?x будет больше, чем мы учли. Следовательно, произведение будет больше:

Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку меньше постоянной Планка h, называется соотношением неопределенностей Гейзенберга. Это соотношение было введено им в 1927 году.

Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей:

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью должно занять интервал времени, равный, по меньшей мере:

Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличии у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере возможно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в 4.1 вместо произведение , получим:

Из этого соотношения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости, следовательно тем с большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, например, уже для пылинки массой кг и линейными размерами м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размеров ( м), неопределенность скорости по 4.3:

т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться.

Применим соотношение неопределенностей к электрону, двигающемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона (порядка размеров самого атома), тогда

Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса приблизительно м его скорость м/с. Таким образом, неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электронов в атоме по определенной траектории. Иными словами, для описания движения электронов в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

Толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающей движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции , так как именно величина осуществляет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, то есть в области с координатами x+dx, y+dy, z+dz Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики было сформулировано в 1926 году Эрвином Шредингером. Уравнение не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы.

Уравнение Шредингера в общем виде записывается так:

где m - масса частицы

- мнимая единица

- оператор Набла ()

- потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется

- искомая волновая функция

- приведенная постоянная Планка или постоянная Дирака

Если силовое поле, в котором движется частица, потенциально, то функция U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два сомножителя, один из которых зависит только от координаты, а другой - только от времени:

4.5

Здесь E - полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Чтобы убедиться в справедливости выражения 4.5, можно подставить его в выражение 4.4, и получим уравнение Шредингера для стационарных состояний:

Уравнение Шредингера можно записать в виде:

В этом уравнении - оператор Гамильтона, равный сумме операторов

В квантовой механике другим переменным также и динамическим сопоставляются операторы. Соответственно рассматривают операторы координат, импульса, момента импульса и т.д. Значение уравнения Шредингера далеко не исчерпывается тем, что с его помощью можно найти вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Из этого уравнения и из условий, налагаемых на волновую функцию, непосредственно вытекают правила квантования энергии. Условия состоят в том, что волновая функция ш в соответствии с ее физическим смыслом должна быть однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменения переменных х, у и z. В уравнение Шредингера входит в качестве параметра полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения такого вида, как уравнение Шредингера, имеют решения, удовлетворяющие сформулированным выше условиям (т. е. однозначные, конечные и непрерывные), не при любых значениях параметра Е, а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями параметра, а соответствующие им решения уравнения - собственными функциями задачи. Эти решения определяют принцип квантования энергии.

В 1922 г. был описан опыт Штерна -- Герлаха, который обнаружил пространственное квантование направления магнитных моментов у атомов. Впоследствии, в 1927 г. это было интерпретировано как доказательство существования спина у электронов.

В 1924 г. Вольфганг Паули ввёл двухкомпонентную внутреннюю степень свободы для описания эмиссионных спектров валентного электрона в щелочных металлах. Это позволило ему сформулировать принцип Паули. Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, т.к. для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Обобщая опытные данные, В. Паули сформировал принцип исключения, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули). Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925 г.) еще до построения квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

Состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

· главного n (n=K,L,M,…) - определяет энергетический уровень электрона, удаленность уровня от ядра, размер электронного облака

· орбитального l (l=s,p,d,f,…) - характеризует геометрическую форму орбитали

· магнитного m (m=0,±1, ±2,….. ±l) - характеризует положение электронной орбитали в пространстве

· магнитного спинового s (s= ±1\2) - характеризует магнитный момент, возникающий при вращении электрона вокруг своей оси

Распределение электронов в атоме происходит по принципу Паули, который может быть сформулирован для атома в простейшем виде: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел: n, l, m, s:

Z(n, l, m, s)=0 или 1

где Z(n, l, m, s) - число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемых набором четырех квантовых чисел: n, l, m, s. Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме различаются значениями, по крайней мере, одного квантового числа.

В 1927 г. Паули модифицировал открытое ранее уравнение Шрёдингера с целью учёта спиновой переменной, используя спиновые операторы и матрицы Паули. Модифицированное таким образом уравнение носит сейчас название уравнение Паули. При таком подходе у электрона появляется новая спиновая часть волновой функции, которая описывается спинором -- «вектором» в некотором абстрактном спиновом пространстве.

А уже 1928 году молодой английский теоретик Поль Адриен Морис Дирак предложил свое квантовое уравнение для описания движения электрона и его взаимодействия с электромагнитным полем, удовлетворяющее теории относительности. Уравнение Дирака - это квантовое (волновое) уравнение для релятивистской бесструктурной (точечной) частицы со спином 1/2 (электрона, позитрона, мюона, антимюона, кварка, антикварка, и др.), являющееся релятивистским обобщением уравнения Шредингера. Уравнение Дирака линейно, таким образом выполнялся принцип суперпозиции состояний, оно содержит первую производную волновой функции частицы ш(,t) по времени, таким образом задание ш(,t) в начальный момент определяет её в любой последующий момент, для свободной частицы уравнение Дирака приводит к релятивистскому соотношению между полной энергией Е частицы, её импульсом p и массой m:

E² = c²p² + m²c⁴

При извлечении квадратного корня из этого соотношения получаем

E = ±[c²p² + m²c⁴]^1/2

т.е. наряду с положительной энергией получаем и отрицательную энергию.

В теории атома эффекты теории относительности невелики - существование массивного ядра атома приводит к выделенной системе отсчета, связанной с ядром. Но на основе уравнения Дирака можно было рассчитать и поправки, обусловленные тем, что отношение скорости движения электрона к скорости света не равно нулю. Было у этого уравнения и еще одно преимущество: оно с неизбежностью однозначно требовало существования вполне определенного спина электрона и предсказывало вполне определенную величину его магнитного момента m. Найденное из опыта значение m совпадало с вычисленным с точностью 0,1 процента. "Внутреннее вращательное движение" электрически заряженного электрона определяло его магнитное взаимодействие - делало его элементарным магнитиком.

Как показал Паули, чтобы учесть это свойство электрона в теории Шредингера, нужно было удвоить число электронных состояний - учесть, что электрон может находиться в двух состояниях: со спином, направленным "вверх" и со спином, направленным "вниз". В теории Дирака существование магнитного момента электрона получалось непосредственно как следствие наличия у электрона электрического заряда и спина. Но число состояний при этом не удваивалось, а учетверялось. Кроме двух состояний с направлением спина "вверх" и "вниз" у электрона предсказывалось еще два точно таких же состояния: "спин вверх" и "спин вниз", но с отрицательной энергией. Возникала проблема состояний с отрицательной энергией.

Чтобы увеличить скорость такого электрона с отрицательной энергией, у него нужно отнять энергию. И наоборот - сообщить энергию, чтобы его остановить. Было очевидно, что такого в природе не существует. От состояний с отрицательной энергией надо было избавиться. Из уравнения Дирака состояния с отрицательной энергией предсказывались для свободных, невзаимодействующих частиц. В классической физике от таких состояний избавиться было бы легко. У электрона ненулевая масса, и положительная энергия покоя E₀=mc². В классической физике энергия меняется непрерывно. Задавшись положительным значением начальной энергии частицы, мы можем при ее непрерывном изменении дойти до величины энергии покоя E₀=mc², которая никуда деться не может. В классической физике электроны с отрицательной энергией появиться не могли бы, если бы все электроны вначале обладали положительной энергией. Но уравнение Дирака - уравнение квантовое, оно описывает состояния электронов. И между этими состояниями могут происходить квантовые переходы с одного энергетического уровня на другой.

Электроны с положительной энергией должны бы были, таким образом, излучать. Их перескок с испусканием фотона в состояние с отрицательной энергией был бы возможен и как спонтанный (сравните с переходами в атоме), то есть как самопроизвольный с испусканием фотонов.

Возникала проблема стабильности электронных состояний. И решая проблему состояний с отрицательной энергией, Дирак использовал результаты теории электронных оболочек атома (принцип Паули).Дирак использовал этот принцип для объяснения отсутствия переходов в состояния с отрицательной энергией. Ведь если переход в эти состояния происходит достаточно быстро, значит он уже давно произошел, значит переход в эти состояния уже невозможен. Бесконечный резервуар состояний с отрицательной энергией заполнен бесконечным числом электронов. Избыточные электроны, которые уже не могли в него вместиться, поневоле оказываются электронами с положительной энергией. Это и есть те электроны, с которыми мы имеем дело в окружающем нас мире.

В теории Дирака даже совсем пустое пространство - совсем не пустое, что само по себе поразительно. Оно представляет собой море электронов с отрицательной энергией и бесконечной плотностью. Дирак предположил, что само это море не наблюдаемо. Оно составляет однородный фон, не оказывающий влияния на протекание электромагнитных процессов. Но изменения состояния моря, "возмущения" его могли бы наблюдаться. Аналогия с заполнением электронных оболочек атомов указывала, что возможен процесс, аналогичный фотоэффекту. Электромагнитный квант с энергией, превышающей энергию связи электрона в атоме, может выбить электрон из атома: получаются свободный отрицательно заряженный электрон и положительно заряженный ион. Если же энергия кванта превышает 2mc², то электрон с отрицательной энергией мог бы перейти в состояние с положительной энергией и наблюдаться как свободный электрон. Но в море отрицательно заряженных электронов при этом появилась бы "дырка" (сравните с "дырочной" проводимостью полупроводников - недостающие электроны в них эквивалентны "дыркам" с положительным зарядом).

По предположению Дирака полный бесконечный заряд электронного моря с отрицательной энергией не наблюдаем, но вырывание из моря электрона оставляло море не дозаполненным на один электрон. После выбивания электрона с зарядом -е заряд моря становился равным -Ґ+е. Бесконечный отрицательный заряд моря не наблюдаем, но в море появилось состояние "дырки" с зарядом +e. Появилась возможность рождения пары: электрон + "дырка". Возможность рождения обычного электрона и "дырки" - состояния с положительным электрическим зарядом.

5. Квантовые статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Квантовая статистика - раздел статистической физики, исследующий системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.

В отличие от исходных положений классической статистической физики, в которой тождественные частицы различимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц), квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц. При этом оказывается, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам.

Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерное пространство всех координат и импульсов частиц системы. Тогда состояние системы определяется заданием 6N переменных, так как состояние каждой частицы определяется тройкой координат х, у, z и тройкой соответствующих проекций импульса р_х, р_y, р_z. Соответственно число «взаимно перпендикулярных» координатных осей данного пространства равно 6N. Это 6N-мерное пространство называется фазовым пространством. (В таком пространстве делал вывод своего распределения молекул по скоростям Д. Максвелл). Каждому микросостоянию системы отвечает точка в 6N- мерном фазовом пространстве, так как задание точки фазового пространства означает задание координат и импульсов всех частиц системы. Разобьем фазовое пространство на малые 6N-мерные элементарные ячейки объемом dqdp=dq₁ dq₂...dq_3N dp₁ dp₂...dp_3N где q -- совокупность координат всех частиц, р -- совокупность проекций их импульсов. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества и соотношение неопределенностей Гейзенберга приводят к выводу, что объем элементарной ячейки (он называется фазовым объемом) не может быть меньше чем h³ (h - постоянная Планка).

Вероятность dW данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения f(q, р):

dW=f(q,p)dqdp.

Здесь dW-- вероятность того, что точка фазового пространства попадет в элемент фазового объема dqdp, расположенного вблизи данной точки q,р. Иными словами, dW представляет собой вероятность того, что система находится в состоянии, в котором ее координаты и импульсы заключены в интервале q, q+dq и р, p+dp.

Функция распределения есть не что иное, как плотность вероятности определенного состояния системы. Поэтому она должна быть нормирована на единицу:

тf (q, p)dqdp = 1

где интегрирование производится по всему фазовому пространству.

Зная функцию распределения f(q,p), можно решить основную задачу квантовой статистики - определить средние значения величин, характеризующих рассматриваемую систему. Среднее значение любой функции:

L(q, p)= тL(q, p)f (q, p)dqdp.

Если иметь дело не с координатами и импульсами, а с энергией, которая квантуется, то состояние системы характеризуется не непрерывной, а дискретной функцией распределения.

Явное выражение функции распределения в самом общем виде получил американский физик Д. Гиббс (1839--1903). Оно называется каноническим распределением Гиббса. В квантовой статистике каноническое распределение Гиббса имеет вид:

где A -- постоянная, определяемая из условия нормировки к единице, п -- совокупность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние. Подчеркнем, что f(E_n) есть именно вероятность данного состояния, а не вероятность того, что система имеет определенное значение энергии Е_n так как данной энергии может соответствовать не одно, а несколько различных состояний (может иметь место вырождение).

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения Ni -- чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами -- частицами с нулевым или целым спином, числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2,... Для систем частиц, образованных фермионами - частицами с полуцелым спином, числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения <Ni>.

Идеальный газ из бозонов -- бозе - газ -- описывается квантовой статистикой Бозе -- Эйнштейна (Шатьендранат Бозе - Индия). Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым:

Это распределение называется распределением Бозе -- Эйнштейна. Статистика предложена в 1924 году Шатьендранатом Бозе для описания фотонов. В 1924--1925 годах Альберт Эйнштейн обобщил её на системы атомов с целым спином. Здесь -- среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией , k -- постоянная Больцмана, Т--термодинамическая температура, µ - химический потенциал который не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех <Ni> равна полному числу частиц в системе. Здесь mЈ0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.

Идеальный газ из фермионов -- ферми-газ -- описывается квантовой статистикой Ферми -- Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид:

где <N_i> -- среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Е_i, µ -- химический потенциал, который может иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел <N_i>). Распределение называется распределением Ферми -- Дирака. Эта статистика предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком.

Если , то распределения Бозе -- Эйнштейна и Ферми -- Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-- Больцмана:

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения называется величина А. При А<<1, т. е. при малой степени вырождения, распределения Бозе -- Эйнштейна и Ферми -- Дирака переходят в классическое распределение Максвелла -- Больцмана.

Температурой вырождения называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц, т. е. -- температура, при которой вырождение становится существенным. Если Т>>, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами.

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми -- Дирака. Если - химический потенциал электронного газа при T = 0 К, то, среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов <N(E)>=f(E), где f(E) - функция распределения электронов по состояниям. Из формулы следует, что функция распределения =1, если E< и =f(E), если E>. График этой функции приведен на рисунке 5.1

Рисунок 5.1 Графики распределения функции Ферми-Дирака при различных температурах

В области энергий от 0 до функция N(E)= 1. При E = она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при T = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией Е= заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей свободны.

Следовательно, есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается . Поэтому распределение Ферми - Дирака обычно записывается в виде:

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми , которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT<<E_F. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т₀ вырождения находится из условия kT= E_F. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле T₀ 10⁴ К, т. е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми -- Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности Е_F (рис. 5.1,б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при T=0 К.) Это объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией, близкой к E_F, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше E_F. Вблизи границы Ферми при Е<Е_F заполнение электронами меньше единицы, а при Е>Е_F - больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т300 К и температуре вырождения T_o=3*10⁴ К, -- это 10 ^-5 от общего числа электронов.