Динамика затухающих колебаний
Исследование динамики затухающего колебательного движения на примере крутильного маятника, определение основных характеристик диссипативной системы. Крутильный маятник как диссипативная система. Расчет периода колебаний маятника без кольца и с кольцом.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.10.2011 |
| Размер файла | 273,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
Динамика затухающих колебаний
Цель работы: исследование динамики затухающего колебательного движения на примере крутильного маятника, определение основных характеристик диссипативной системы.
Приборы и принадлежности: крутильный маятник, секундомер.
Применяемый в работе крутильный маятник (рис. 1) представляет собой диск 1, закрепленный на упругой стальной проволоке 2, свободный конец которой зажат в неподвижном кронштейне 3. На кронштейне расположено кольцо 4, масса которого известна. Кольцо 4 можно положить сверху на диск 1, изменив тем самым момент инерции маятника. На диске 1 установлен флажок, располагающийся под подставкой макета в ванночке с жидкостью. Поворачивая флажок, можно изменять момент сил сопротивления, действующих на маятник. Для отсчета значений угла поворота маятника служит градуированная шкала 5, помещенная на ободе диска 1.
Исследуемые закономерности
Крутильный маятник. При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, в результате деформации сдвига при закручивании подвеса возникает возвращающий момент упругих сил M = ?k?, где k - коэффициент кручения, зависящий от упругих свойств материала подвеса, его размеров и формы, ? - угол поворота. При малых углах поворота, без учета сил трения в подвесе, крутильные колебания маятника являются гармоническими, а уравнение движения тела имеет вид
|
, где частота собственных колебаний гармонического осциллятора , I - момент инерции диска крутильного маятника. Сопротивление движению маятника (трение) создает тормозящий момент, пропорциональный скорости движения маятника, , где R - коэффициент сопротивления. С учетом сил сопротивления уравнение движения маятника принимает вид |
и является уравнением движения осциллятора с затуханием. Колебания такого осциллятора уже не будут гармоническими. Коэффициент ? = R/2I называют коэффициентом затухания. Если , движение крутильного маятника описывается уравнением затухающих колебаний
,
где - начальная амплитуда колебаний маятника, t = 1/b - время затухания, определяющее скорость убывания амплитуды A(t) маятника, численно равное времени, за которое амплитуда убывает в e раз (рис. 2), т.е.
|
при t = t , w - частота колебаний осциллятора с затуханием, связанная с собственной частотой соотношением . Время затухания ? также выражается через момент инерции I и коэффициент сопротивления R выражением . |
Крутильный маятник как диссипативная система
Полная энергия колебаний маятника убывает со временем по закону
,
где - начальная энергия колебаний.
Убывание энергии происходит за счет совершения работы против сил трения. Энергия при этом превращается в тепло, идет процесс диссипации энергии. Скорость диссипации энергии (мощность потерь)
.
Помимо коэффициента затухания ? (или времени затухания ?) и мощности потерь Pd колебательная диссипативная система характеризуется также добротностью Q, позволяющей судить о способности системы сохранять энергию. Добротность определяется отношением запасенной системой энергии к потерям энергии за время T/2? = 1/?. Легко видеть, что добротность
,
т.е. численно равна числу колебаний за время t = pt. За это время амплитуда колебаний уменьшается в ep@23 раза, а энергия колебаний в e2p@535 раз, иными словами, за это время колебания практически затухают.
В технике для характеристики колебательных систем с затуханием вводят декремент затухания (D), или его логарифм - логарифмический декремент затухания (d = lnD), определяя эти параметры через отношение амплитуд колебаний, соответствующих соседним периодам
или d = bT.
Задание по обработке результатов
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
, с |
1,218 |
1,200 |
1,224 |
1,197 |
1,209 |
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
, с |
1,728 |
1,734 |
1,741 |
1,718 |
1,740 |
1. Определяем по данным таблицы наблюдений периоды колебаний маятника.
;
Определяем по данным таблицы наблюдений частоты колебаний маятника.
;
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
, Гц |
5,156 |
5,233 |
5,131 |
5,246 |
5,194 |
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
, Гц |
3,634 |
3,622 |
3,607 |
3,655 |
3,609 |
Рассчитываем среднее значение по формуле
Рассчитываем среднее значение по формуле
Рассчитываем среднее значение по формуле
Рассчитываем среднее значение по формуле
Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.
Рассчитываем СКО по формуле
= 0,0115
Рассчитываем СКО среднего по формуле
0,005 (с)
Расчет случайной погрешности по формуле
при N=5, tp,N =2.8, p=95%.
Учитывая приборную погрешность, определяем
, где ;
Ответ в округленной форме: при p = 95%
Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.
Рассчитываем СКО по формуле
= 0,0095
Рассчитываем СКО среднего по формуле
0,004 (с)
Расчет случайной погрешности по формуле
при N=5, tp,N =2.8, p=95%.
Учитывая приборную погрешность, определяем
, где ;
Ответ в округленной форме: при p = 95%
Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.
Рассчитываем СКО по формуле
= 0,049
Рассчитываем СКО среднего по формуле
0,022 (с)
Расчет случайной погрешности по формуле
при N=5, tp,N =2.8, p=95%.
Учитывая приборную погрешность, определяем
, где ;
Ответ в округленной форме: при p = 95%
Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.
Рассчитываем СКО по формуле
= 0,0198
Рассчитываем СКО среднего по формуле
0,009 (с)
Расчет случайной погрешности по формуле
при N=5, tp,N =2.8, p=95%.
Учитывая приборную погрешность, определяем
, где ;
Ответ в округленной форме: при p = 95%
Определяем по данным таблицы наблюдений время затухания ? маятника и погрешность ?? при p = 95%.
Время затухания вычисляется по формуле
=ln
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
, с |
31,148 |
30,931 |
30,83 |
31,148 |
31,018 |
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
, с |
27,339 |
27,108 |
27,368 |
27,281 |
27,137 |
Рассчитываем среднее значение по формуле
Рассчитываем среднее значение по формуле
Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.
Рассчитываем СКО по формуле
? 0,138
Рассчитываем СКО среднего по формуле
Рассчитываем случайную погрешность по формуле
при N=5, tp,N =2.8, p=95%.
Рассчитываем приборную погрешность:
Учитывая приборную погрешность, определяем
, где
Ответ в округленной форме: при p=95%
Определяем погрешности ? с доверительной вероятностью p = 95%.
Рассчитываем СКО по формуле
? 0,118
Рассчитываем СКО среднего по формуле
Рассчитываем случайную погрешность по формуле
при N=5, tp,N =2.8, p=95%.
Рассчитываем приборную погрешность:
Учитывая приборную погрешность, определяем
, где
Ответ в округленной форме: при p=95%
2. Определим собственную частоту колебаний гармонического осциллятора.
; ;
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
, Гц |
5,156 |
5,233 |
5,131 |
5,246 |
5,194 |
5,192 |
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
, Гц |
3,634 |
3,622 |
3,607 |
3,655 |
3,609 |
3,625 |
Вычислим доверительную погрешность
Формула
Таким образом,
Учитывая приборную погрешность, получаем:
Вычислим доверительную погрешность
Формула
Таким образом,
Учитывая приборную погрешность, получаем:
4. Определяем полную энергию, мощность потерь и добротность маятника, пользуясь соответствующими соотношениями
Определим момент инерции маятника.
;
Найдем коэффициент кручения материала подвеса
Определяем полную энергию, мощность потерь и добротность маятника, пользуясь соответствующими соотношениями.
Полная энергия:
Мощность потерь:
без кольца:
с кольцом:
Добротность маятника:
без кольца:
с кольцом:
Вывод
колебательный диссипативный маятник крутильный
Выполнив данную лабораторную работу, мы провели исследование динамики колебательного движения крутильного маятника. Во время этого исследования экспериментальным путем был получен ряд данных, на основании которых мы рассчитали период колебаний маятника без кольца и с кольцом, время затухания маятника, собственную частоту его колебаний, коэффициент кручения, модуль сдвига материала подвеса, а также определили полную энергию, мощность потерь и добротность маятника. В процессе выполнения данной работы выяснилось, что колебательная система характеризуется достаточно малой потерей энергии и большой добротностью, что свидетельствует о хорошей способности системы сохранять энергию.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Оборудование и измерительные приборы, определение периода колебаний физического маятника при помощи метода прямых и косвенных измерений с учетом погрешности. Алгоритм оценки его коэффициента затухания. Особенности вычисления момента инерции для маятника.
лабораторная работа [47,5 K], добавлен 06.04.2014Анализ уравнения движения математического маятника. Постановка прямого вычислительного эксперимента. Применение теории размерностей для поиска аналитического вида функции. Разработка программы с целью нахождения периода колебаний математического маятника.
реферат [125,4 K], добавлен 24.08.2015Законы динамики вращательного движения и определение скорости полета пули. Расчет угла поворота и периода колебаний крутильно-баллистического маятника. Определение момента инерции маятника, прямопропорционального расстоянию от центра масс до оси качания.
контрольная работа [139,2 K], добавлен 24.10.2013Общие характеристики колебаний, их виды, декремент затухания, добротность колебательной системы. Уравнение собственных затухающих колебаний физического и пружинного маятников. Сущность периодического и непериодического механизма затухающих колебаний.
курсовая работа [190,0 K], добавлен 13.11.2009Колебания как один из самых распространенных процессов в природе и технике. График затухающих колебаний. Математический и пружинный маятники. Резонанс как резкое возрастание амплитуды колебаний. Вывод формулы для расчета периода пружинного маятника.
презентация [515,1 K], добавлен 19.10.2013Кинематика и динамика колебаний физического маятника. Изучение механических, электромагнитных, химических и термодинамических колебаний. Нахождение суммы потенциальной и кинетической энергий. Фрикционный маятник Фроуда. Использование его в часах.
курсовая работа [177,8 K], добавлен 19.04.2015Изучение законов колебательного движения на примере физического маятника. Определение механических, электромагнитных и электромеханических колебательных процессов. Уравнение классического гармонического осциллятора и длины математического маятника.
контрольная работа [44,6 K], добавлен 25.12.2010Определение понятия свободных затухающих колебаний. Формулы расчета логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы. Представление дифференциального уравнения вынужденных колебаний пружинного маятника. Сущность явления резонанса.
презентация [95,5 K], добавлен 24.09.2013Законы изменения и сохранения момента импульса и полной механической энергии системы. Измерение скорости пули с помощью баллистического маятника. Период колебаний физического маятника. Расчет погрешности прямых и косвенных измерений и вычислений.
лабораторная работа [39,7 K], добавлен 25.03.2013Определение скорости сосредоточенной массы. Расчет кинетической и потенциальной энергии механической системы в обобщенных координатах. Составление линейной системы дифференциальных уравнений в приближении малых колебаний двойного нелинейного маятника.
контрольная работа [772,7 K], добавлен 25.10.2012
