5

Министерство образования Российской Федерации

Омский государственный технический университет

МЕХАНИКА, МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Учебное пособие

Омск 2007

УДК 531+539.19+536 (075)

ББК 22.2+22.36+22.317я73

М55

Рецензенты:

К.Н. Полещенко, д-р техн. наук, профессор кафедры «Физическое материаловедение» ОмГУ;

С.Н. Поворознюк, канд. техн. наук, доцент.

М55 Механика, молекулярная физика и термодинамика: Учеб. пособие

/Авторы-сост.: В. П. Шабалин, О. В. Кропотин, В. О. Нижникова,

А. И. Блесман, Т.Н. Кондратьева, О. Ю. Павловская Омск: Изд-во ОмГТУ, 2003. 74 с.

Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов вечерней и заочной форм обучения инженерно-технических специ-альностей высших учебных заведений.

Подготовлено на кафедре физики и одобрено редакционно-издательским советом ОмГТУ.

© Авторы-составители, 2007

© Омский государственный

технический университет, 2007

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель настоящего учебного пособия - оказать помощь студентам заочной и вечерней форм обучения инженерно-технических специальностей высших учебных заведений в изучении курса физики по разделам:

классическая механика;

специальная теория относительности (релятивистская механика);

молекулярная физика;

термодинамика.

Это соответствует первому семестру в изучении курса физики.

В пособии приводится содержание теоретического курса по перечисленным разделам и требования к оформлению контрольных заданий, которыми следует руководствоваться при самостоятельной работе.

Основной учебный материал программы курса в пособии распределен на две главы. В каждой из них даны примеры решения физических задач, задачи для самостоятельного решения с ответами и контрольное задание по данному разделу. Задачи в контрольных заданиях подобраны так, чтобы закрепить тот учебный материал, который излагается в данной главе.

Рекомендации при работе с пособием.

1. Выбрать какой-либо учебник по курсу физики из тех, что приводятся в библиографическом списке. В данном пособии учебный материал излагается в сжатой форме, поэтому необходимо использование дополнительной литературы. Это позволит усвоить доказательства основных законов физики и примеры их использования при решении задач.

2. Чтение учебного пособия следует сопровождать составлением конспекта, в котором записываются формулировки законов и формулы, выражающие законы, определения физических величин и единицы их измерения, делаются рисунки и выполняется решение типовых задач.

3. Самостоятельную работу по изучению физики студент должен подвергать систематическому самоконтролю. С этой целью после изучения очередной главы следует ставить вопросы, касающиеся формулировок законов, определений физических величин, и отвечать на эти вопросы. При этом надо использовать рабочую программу (содержание теоретического курса). Студент не должен ограничиваться только запоминанием физических формул. От него требуется умение самостоятельно делать выводы формул и проводить доказательства физических законов.

4. Чтобы подготовиться к выполнению контрольной работы, следует после изучения очередной главы внимательно разобрать помещенные в пособии примеры решения типовых задач, решить задачи, предназначенные для самостоятельного решения.

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО КУРСА

Введение

Предмет физики и ее связь со смежными науками. Общие методы исследования физических явлений. Развитие физики и техники и их взаимное влияния друг на друга. Успехи физики в течение последних десятилетий и характеристика ее современного состояния. Многообразие и значение практических применений физики.

Механика

1. О с н о в н ы е з а к о н ы д в и ж е н и я. Механическое движение. Системы отсчета и системы координат. Понятие материальной точки. Движение материальной точки. Перемещение и путь, скорость, ускорение, тангенциальная и нормальная составляющие ускорения. Движение материальной точки по окружности. Связь между векторами линейных и угловых скоростей и ускорений.

Инерция, масса, импульс (количество движения), сила. Законы Ньютона, их физическое содержание и взаимная связь. Понятие об инерциальных системах отсчета. Сложение скоростей в классической механике. Механический принцип относительности. Преобразование координат Галилея. Границы применимости классической механики.

2. З а к о н ы с о х р а н е н и я. Закон сохранения импульса. Работа и мощность. Работа переменной силы. Кинетическая и потенциальная энергии. Закон сохранения энергии в механике. Консервативные и диссипативные системы. Применение законов сохранения импульса и энергии к упругому и неупругому ударам.

3. Т в е р д о е т е л о к а к с и с т е м а ч а с т и ц. Понятие абсолютно твердого тела. Поступательное и вращательное движения твердого тела. Применимость законов кинематики и динамики материальной точки к поступательному движению твердого тела. Угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение - кинематические характеристики вращательного движения твердого тела. Центр инерции (массы) твердого тела. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, его момент инерции и кинетическая энергия. Основной закон динамики вращательного движения. Закон сохранения момента импульса для системы тел. Работа и мощность при вращательном движении.

4. С и л ы у п р у г о с т и и т р е н и я. Упругое тело. Закон Гука для основных видов деформаций. Потенциальная энергия упругодеформированного тела. Сила трения.

5. С и л ы т я г о т е н и я. Понятие о поле тяготения. Закон всемирного тяготения. Центральные силы. Понятие о напряженности и потенциале гравитационного поля.

6. Э л е м е н т ы т е о р и и о т н о с и т е л ь н о с т и. Постулаты теории относительности. Преобразования Лоренца. Релятивистское изменение длин и промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Понятие о релятивистской механике. Закон изменения массы со скоростью. Взаимосвязь массы и энергии.

Молекулярная физика и термодинамика

1. Ф и з и ч е с к и е о с н о в ы м о л е к у л я р н о - к и н е т и ч е с к о й т е о р и и. Понятие о реальном и идеальном газах. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона). Смеси газов.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа. Средняя энергия молекул, молекулярно-кинетическое толкование температуры. Постоянная Больцмана. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа.

Понятие о функции распределения. Максвелловское распределение молекул по скоростям. Опыт Штерна. Больцмановское распределение частиц в потенциальном поле. Эффективный радиус молекулы. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул.

Физические основы термодинамики

1. П е р в о е н а ч а л о т е р м о д и н а м и к и. Внутренняя энергия системы как функция состояния. Количество теплоты. Эквивалентность теплоты и работы. Первое начало термодинамики и его применение к изотермическому, изобарическому и изохорическому процессам. Уравнения и графики этих процессов. Изменение внутренней энергии, работа и количество теплоты, переданное в этих процессах. Молярная и удельная теплоемкости идеальных газов при постоянном объеме и постоянном давлении. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.

2. В т о р о е н а ч а л о т е р м о д и н а м и к и. Энтропия. Круговые, обратимые и необратимые процессы. Принцип действия тепловой и холодильной машин. Идеальная тепловая машина Карно и ее КПД. Абсолютная шкала температур.

Реальные газы

Реальные газы. Уравнение Ван дер Ваальса и его анализ. Критическое состояние. Взаимодействие молекул. Силы притяжения и отталкивания. Внутренняя энергия реального газа.

Требования к оформлению контрольных заданий

и разъяснения по использованию таблиц

Контрольные задания решаются в соответствии с номером варианта. В конце пособия приведены таблицы, где указаны номера задач по соответствующей теме для каждого варианта. Всего по каждой из тем необходимо решить 8 задач.

Контрольные задания оформляются в обычной тетради (в клетку) или в сброшюрованных листах форматом А4. На титульном листе указываются:

- Ф И О студента, номер группы и факультет;

- название контрольного задания и номер варианта.

Порядок оформления решения задач

1. После слова "дано" выписать все величины с их числовыми значениями, которые будут использованы в процессе решения задачи. Числовые значения, исключая те случаи, когда определяются безразмерные отношения, тут же переводить в систему СИ, проставляя рядом соответствующее наименование. После слова "найти" выписать все искомые величины (или отношения величин) со знаком вопроса.

2. Указать те основные законы и формулы, на которых базируется решение данной задачи, и привести их словесную формулировку. Разъяснить смысл буквенных обозначений, входящих в исходную формулу. Если такая формула является частным случаем фундаментального закона, то ее необходимо вывести из этого закона, используя граничные условия.

3. Сделать чертеж или график, поясняющий содержание задачи (в тех случаях, когда это возможно). Выполнить его надо аккуратно, желательно размером на полстраницы, при помощи карандаша, циркуля, линейки, лекал. На чертеже или графике должны быть нанесены обозначения всех буквенных величин, которые используются в расчетных формулах и могут быть пояснены чертежом.

4. Каждый этап решения задачи сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями.

5. Физические задачи весьма разнообразны и дать единый рецепт их решения невозможно. Однако, как правило, физические задачи следует решать в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условиях задачи и взятых из таблицы. При этом способе не производятся вычисления промежуточных величин; числовые значения подставляются только в окончательную (рабочую) формулу, выражающую искомую величину. Рабочая формула должна быть записана в рационализированной форме, все величины, входящие в нее, выражены в единицах СИ.

6. Подставить в рабочую формулу наименование единиц ( в которых выражены заданные числовые значения ) и путем упрощающих действий с ними убедиться в правильности наименования искомой величины.

7. Подставить в рабочую формулу числовые значения, выраженные в единицах одной системы (рекомендуется - в СИ). Несоблюдение этого правила приводит к неверному результату. Исключение из этого правила допускается лишь для тех однородных величин, которые входят в виде сомножителей в числитель и знаменатель формулы с одинаковыми показателями степени. Такие величины можно выразить в любых единицах, но обязательно в одинаковых.

8. Произвести расчеты с величинами, подставленными в рабочую формулу, записать в ответе числовое значение и сокращенное наименование единиц измерения искомой величины.

9. При подстановке в рабочую формулу, а также при выражении ответа числовые значения величин записывать как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на десять в соответствующей степени. Например, вместо 3520 надо записать 3,52103 , вместо 0,00129 записать 1,2910-3 и т.д. Рекомендуемая запись числовых значений облегчает расчетные действия с ними, является более компактной и наглядной.

10. Оценить правдоподобность числового ответа. В ряде случаев такая оценка помогает своевременно обнаружить ошибочность полученного результата и устранить ее. Например, коэффициент полезного действия тепловой машины не может быть больше единицы, скорость тела не может превзойти скорость света в вакууме (с= 3108 м/с) и т.д.

I. МЕХАНИКА И ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

1. Кинематика поступательного и вращательного движения материальной точки

Механика занимается изучением механического движения тел. Механическим движением тел называют изменение их положения (или положения их частей) в пространстве с течением времени. В основе классической механики лежат законы Ньютона.

Кинематика изучает механическое движение с геометрической точки зрения и не рассматривает причины, вызывающие это движение. В механике рассматривается движение таких объектов, как материальная точка и абсолютно твердое тело.

Материальной точкой называется тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Абсолютно твёрдым телом называется тело, деформацией которого в данных условиях можно пренебречь. Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных между собой.

1.1. Кинематические характеристики движения материальной точки

Описать движение материальной точки, значит знать ее положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Системой отсчёта называется система координат, связанная с телом отсчёта и снабжённая синхронизированными часами. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат (рис. 1).

	Положение материальной точки характеризуется радиусом-вектором , проведённым из начала координат в данную точку (рис. 1). Проекции радиуса-вектора на координатные оси соответствуют координатам точки в выбранной системе координат (рис. 1): . Движение материальной точки задано, если известна зависимость координат точки от времени, т.е.

или .

Данные уравнения являются кинематическими уравнениями движения материальной точки, или законом движения точки. В процессе движения конец радиуса-вектора, связанный с точкой, описывает в пространстве кривую, называемую траекторией движения материальной точки. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения.

Перемещением материальной точки назы-ва-ют вектор, проведённый из начальной точки в конечную точку траектории (рис. 1).

.

Вектор может быть выражен через пере-ме-ще-ния вдоль координатных осей:

.

Модуль вектора перемещения можно определить следующим образом:

.

Путь материальной точки S₁₂ - это длина траектории.

Скорость - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения тела в пространстве, равная перемещению тела за единицу времени.

Различают среднюю и мгновенную скорости.

- средняя скорость;

- мгновенная скорость;

- среднее значение модуля скорости.

Вектор средней скорости направлен так же, как и вектор перемещения . Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения так же, как вектор элементарного перемещения: . Так как , где dS - элементарный путь, то модуль мгновенной скорости равен производной пути по времени:

.

В декартовой системе координат скорость можно представить через её проекции на оси:

Модуль скорости может быть найден по следующей формуле:

.

При рассмотрении движения тела относительно двух различных инерциальных систем отсчета используют классический закон сложения скоростей: скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы и скорости самой движущейся системы относительно неподвижной :

.

Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости с течением времени, равная приращению скорости за единицу времени. Различают среднее и мгновенное ускорения.

- среднее ускорение;

- мгновенное ускорение.

Вектор ускорения может быть представлен через его проекции на координатные оси:

,

где , , .

Модуль ускорения можно определить следующим образом:

.

1.2. Основная задача кинематики

Основная задача кинематики заключается в нахождении закона движения материальной точки. Для этого используются следующие соотношения:

; ; ; ;

.

Частные случаи прямолинейного движения:

1) равномерное прямолинейное движение: ;

2) равноускоренное движение: .

1.3. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения

Часто используется представление ускорения через две составляющие: тангенциальное и нормальное ускорения (рис. 2):

Рис. 2	; .

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю (величине) и направлено по касательной к траектории:

,

где - производная модуля скорости; - единичный вектор касательной, совпадающий по направлению со скоростью .

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено по нормали к траектории, к центру кривизны траектории в данной точке:

,

где R - радиус кривизны траектории, - единичный вектор нормали.

В случае, если известны модули составляющих векторов, модуль вектора ускорения может быть найден по формуле

.

1.4. Вращательное движение и его кинематические характеристики

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для характеристики вращательного движения вводятся следующие кинематические характеристики (рис. 3).

Угловое перемещение - вектор, численно равный углу поворота тела за время и направленный вдоль оси вращения так, что если смотреть вдоль него, то поворот тела наблюдается происходящим по часовой стрелке.

Угловая скорость - характеризует быстроту и направление вращения тела. Она равна производной угла поворота по времени и направлена вдоль оси вращения как угловое перемещение.

При вращательном движении справедливы следующие формулы:

; ; .

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости с течением времени, равно

первой производной угловой скорости и направлено вдоль

оси вращения:

; ; .

Зависимость выражает закон вращения тела.

При равномерном вращении = 0, = const, = t.

При равнопеременном вращении = const, , .

Для характеристики равномерного вращательного движения используют период вращения и частоту вращения.

Период вращения Т - время одного оборота тела, вращающегося с постоянной угловой скорости.

Частота вращения - количество оборотов, совершаемых телом за единицу времени. Угловую скорость можно выразить через частоту:

.

Связь между угловыми и линейными кинематическими характеристиками (рис. 4):

2. Динамика поступательного и вращательного движения.

2.1. Законы Ньютона

Первый закон Ньютона: Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.

Тела, не подверженные внешним воздействиям, называются свободными телами. Первый закон будет выполняться только в инерциальных системах отсчёта (ИСО). ИСО - система отсчёта, связанная со свободным телом, по отношению к ней любое свободное тело будет двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в состоянии покоя. Из относительности движения следует, что система отсчёта, движущаяся равномерно и прямолинейно по отношению к ИСО, также является ИСО. ИСО играют важную роль во всех разделах физики. Это связано с принципом относительности Эйнштейна, согласно которому математическая форма любого физического закона должна иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчёта.

К основным понятиям, используемым в динамике поступательного движения, относятся сила, масса тела, импульс тела (системы тел).

Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического действия одного тела на другое. Механическое действие возникает как при непосредственном контакте взаимодействующих тел (трение, реакция опоры, вес и т.д.), так и посредством силового поля, существующего в пространстве (сила тяжести, кулоновские силы и т.д.). Сила характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.

Одновременное действие на тело нескольких сил ,,..., может быть заменено действием результирующей (равнодействующей) силы :

=++...+=.

Массой тела называется скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Под инертностью понимается свойство материальных тел сохранять свою скорость неизменной в отсутствии внешних воздействий и изменять её постепенно (т.е. с конечным ускорением) под действием силы. Массы всех тел определяются по отношению к массе тела, принятого за эталон.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: .

Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов точек, составляющих систему: .

Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе:

.

В частном случае (при постоянной массе): ускорение, приобретаемое телом относительно инер-ци-аль-ной системы отсчета, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела:

.

Третий закон Ньютона: Силы, с которыми действуют друг на друга взаимо-дей-ствующие тела, равны по величине и противоположны по направлению.

,

где - сила, действующая на 1-ую точку со стороны 2-ой,

- сила, действующая на 2-ую точку со стороны 1-ой.

Из третьего закона следует, что в любой механической системе материальных то-чек геометрическая сумма всех внутренних сил (т.е. сил, с которыми взаимо-действуют между собой материальные точки системы) равна нулю.

2.2. Динамика вращательного движения твердого тела.

Вращательное действие силы харак-те-ризуется такой величиной, как мо-мент силы относительно оси вращения (рис. 5).

Пусть М - точка приложения силы , - радиус-вектор точки М, проведённый пер-пен-дикулярно оси вращения O'O. Разложим на три составляющие:

- осевая, параллельная оси вращения,

- радиальная, направленная вдоль вектора ,

- касательная, перпендикулярная и оси вращения.

Составляющие и - вращения тела вокруг оси O'O не создают. Вращающее действие силы создаётся составляющей . Моментом силы относительно оси вращения O'O называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы, проведённого перпен-дикулярно оси вращения, на составляющую силы , перпендикулярную оси вращения и радиусу вектору :

.

Вектор момента силы направлен вдоль оси вращения и связан с направлением силы правилом правого винта.

Если на тело действует несколько сил, то результирующий момент сил равен векторной сумме моментов всех сил, действующих на тело.

Момент инерции тела характеризует инертные свойства тела при вращательном движении и зависит от распределения массы тела относительно оси вращения.

- момент инерции материальной точки массой m, находящейся на расстоянии r от оси.

- момент инерции системы материальных точек.

- момент инерции тела, где - плотность тела.

Момент инерции тела относительно произвольной оси может быть рассчитан по

теореме Штейнера: момент инерции тела

относительно оси O'O равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной O'O, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 6):

.

Моментом импульса материальной точки называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса вектора на импульс точки (рис. 7):

.

Моментом импульса системы материальных точек называется геометрическая сумма моментов импульсов точек, составляющих систему:

Рис. 6

Моментом импульса тела относительно оси вращения называется величина

,

где - момент инерции тела относительно данной оси.

Рис. 7

Основной закон динамики вращательного движения:

Скорость изменения момента импульса тела относительно оси равна результирующему моменту внеш-них сил относительно той же оси. При постоянном моменте инерции угловое ускорение, приобретаемое телом, пропор-ционально моменту сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела:

.

Из законов динамики поступательного и вращательного движений следует условие равновесия тел:

2.3. Некоторые силы в механике.

	сила тяжести, - ускорение свободного падения.
N	реакция опоры,
Fтр = kN	сила трения, k - коэффициент трения.
Fх = - kx	сила упругости, k - коэффициент жесткости, х - дефор-ма-ция.
Fн	сила натяжения нити или подвеса, численно равная весу тела.
P P = mg P =m(g+а) P = m(g-а)	вес тела, сила с которой тело действует на опору или подвес. опора покоится. опора движется с ускорением а, направленным вверх. опора движется с ускорением а, направленным вниз.

3. Работа и механическая энергия.

3.1. Работа и мощность при поступательном и вращательном движениях.

У материальной точки (тела) в процессе силового взаимодействия с другими телами может изменяться состояние движения (координаты и скорость). В этом случае говорят, что над телом совершается работа. В механике принято говорить, что работа совершается силой. Работа - это физическая величина, характеризующая процесс превращения одной формы движения в другую.

Элементарной работой силы на малом перемещении называется величина, равная скалярному произведению силы на перемещение:

,

где - элементарный путь точки приложения силы за время dt, - угол между векторами и .

Если на систему действуют несколько сил, то результирующая работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.

Работа силы на конечном участке траектории или за конечный промежуток времени может быть вычислена следующим образом:

.

Если = const, то А=.

При вращательном движении работа определяется моментом сил:

,

если М = const, то А=М.

Быстроту совершения работы характеризует мощность.

Мощностью называется скалярная величина, равная работе, совершаемой в единицу времени:

.

При вращательном движении мощность определяется следующим образом:

.

3.2. Консервативные и неконсервативные силы.

Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил - работа на замкнутой траектории равна нулю:

К консервативным силам относятся: сила тяжести и сила упругости.

Неконсервативными силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила сопротивления и т.д.

3.3. Кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях.

Кинетической энергией тела называется функция механического состояния, зависящая от массы тела и скорости его движения (энергия механического движения).

Кинетическая энергия поступательного движения: . Кинетическая энергия вращательного движения: .

При сложном движении твёрдого тела его кинетическая энергия может быть представлена через энергию поступательного и вращательного движения:

.

Свойства кинетической энергии:

1. Кинетическая энергия является конечной, однозначной, непрерывной функцией механического состояния системы.

2. Кинетическая энергия не отрицательна: Е_К 0.

3. Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему.

4. Приращение кинетической энергии тела или системы равно работе всех сил, действующих на систему или на тело: .

3.4. Потенциальная энергия.

Потенциальная энергия системы - это функция механического состояния системы, зависящая от взаимного расположения всех тел системы и от их положения во внешнем потенциальном поле сил. Убыль потенциальной энергии равна работе, которую совершают все консервативные силы (внутренние и внешние) при переходе системы из начального положения в конечное.

Е_П1 - Е_П2 = Е_П = А_12конс, .

Из определения потенциальной энергии следует, что она может быть определена по консервативной силе, причём с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевого уровня потенциальной энергии.

.

Таким образом, потенциальная энергия системы в данном состоянии равна работе, совершаемой консервативной силой при переводе системы из данного состояния на нулевой уровень.

Свойства потенциальной энергии:

1. Потенциальная энергия является конечной, однозначной, непрерывной функцией механического состояния системы.

2. Численное значение потенциальной энергии зависит от выбора уровня с нулевой потенциальной энергией.

Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии:

,

причем: , , .

Примеры потенциальной энергии:

1) - потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h от нулевого уровня энергии в поле тяжести Земли;

- потенциальная энергия упругого деформированного тела, х - модуль деформации тела.

4. Законы сохранения в механике.

4.1. Закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия системы тел равна сумме их кинетической и потенциальной энергии взаимодействия этих тел друг с другом и с внешними телами:

Е = Е_к + Е_п.

Приращение механической энергии системы определяется работой всех неконсервативных сил (внешних и внутренних):

.

Закон сохранения полной механической энергии: Полная механическая энергия системы тел, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.

В замкнутой системе полная механическая энергия остается постоянной, если между телами, составляющими систему, действуют только консервативные силы.

4.2. Закон сохранения импульса. Центральный удар двух тел.

Закон сохранения импульса: Полный импульс замкнутой системы остается посто-янным.

Для замкнутой системы будут сохраняться и проекции импульса на координатные оси:

.

Если 0, но =0, то будет сохраняться проекция импульса системы на ось Х.

Рассмотрим центральный удар двух тел. Центральным называется удар, при котором тела движутся вдоль прямой, соединяющей их центры масс. Выделяют два предельных вида такого удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Для двух тел массами m₁ и m₂ , движущихся со скоростями и вдоль оси X навстречу друг другу, скорости их после абсолютно упругого центрального удара можно найти по формулам:

; .

При этом сохраняется импульс системы тел и полная механическая энергия.

Если удар абсолютно неупругий, то

.

Тела после такого удара движутся вместе. Импульс системы тел сохраняется, а полная механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии переходит в энергию неупругой деформации и во внутреннюю энергию тел.

4.3. Закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса: Момент импульса системы тел сохраняется, если результирующий момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю:

.

Если результирующий момент внешних сил не равен нулю, но рана нулю проекция этого момента на некоторую ось, то проекция момента импульса системы на эту ось не изменяется.

5. Элементы специальной теории относительности.

5.1. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца.

Принцип относительности: Никакими физическими опытами, производимыми внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится ли эта система относительно другой инерциальной системы отсчета или движется прямолинейно и равномерно.

Принцип постоянства скорости света: Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Рассмотрим две системы отсчета S и S (рис. 8). Систему S будем считать условно неподвижной. Система движется относительно со скоростью вдоль оси X системы . Для перехода от одной системы отсчета в другую в специальной теории относительности используются преобразования Лоренца.

Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают.

 Рис. 8

Тогда: .

Здесь - скорость света в вакууме.

5.2. Следствия из преобразований Лоренца.

Будем рассматривать системы и (рис. 8).

Относительность промежутков времени между событиями.

где - промежуток времени между событиями, измеренный в системе отсчета , относительно которой события происходят в одной точке пространства (отсчитывается по часам, находящимся в системе ); - промежуток времени между этими событиям, отсчитанный по часам, находящимся в системе .

Изменение размеров движущихся тел.

где L'-длина стержня, расположенного вдоль оси и покоящегося в системе S' (отсчитывается в системе отсчета S'); L - длина этого же стержня, измеренная в системе отсчета .

Релятивистский закон сложения скоростей.

Пусть некоторое тело движется вдоль оси x` в системе отсчета со ско-ростью относительно последней. Найдем проекцию скорости этого тела в систе-ме отсчета на ось x этой системы:

.

5.3. Релятивистские масса и импульс. Взаимосвязь массы и энергии.

Эйнштейн показал, что масса тела зависит от его скорости:

где m₀ - масса тела в той системе отсчета, где тело покоится (масса покоя);

m - масса тела в той системе, относительно которой тело движется;

- скорость тела относительно системы отсчета, в которой определяется масса m.

Релятивистский импульс:

,

где m - релятивистская масса.

Закон взаимосвязи массы и энергии:

,

где m - релятивистская масса;

E - полная энергия материального объекта.

Кинетическая энергия объекта:

,

где - полная энергия; - энергия покоя.

Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что всякое изменение массы тела на m сопровождается изменением его энергии на E:

E=mc².

Примеры решения задач

Задача 1 Уравнение движения точки по прямой имеет вид:

x = A+Bt+Ct³, где А = 4 м, В = 2 м/c, С = 0,2 м/с³. Найти: 1) положение точки в моменты времени t = 2 c и t = 5 с; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами; 3) мгновенные скорости в указан-ные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток вре-мени; 5) мгно-венные ускорения в указанные моменты времени.

Дано:

x = A + Bt + Ct3 A = 4 м B = 2 м/c C = 0,2 м/c3 t1 = 2 c; t2 = 5 c	Решение 1. Чтобы найти координаты точки, надо в уравнение движения подставить значения t1 и t2: x1 = (4+22+0,223) м = 9,6 м, x2 = (4+25+0,253) м = 39 м.
x1, x2 <>- ? 1, 2 - ? <a> a1, a2 - ?	2. Средняя скорость,

м/с = 9,8 м/с.

3. Мгновенные скорости найдем, продифференцировав по времени уравнение движения:

₁ = (2+30,22²) м/с = 4,4 м/c;

₂ = (2+30,25²) м/с = 17 м/с.

4. Среднее ускорение ,

м/c² = 4,2 м/с².

5. Мгновенное ускорение получим, если продифференцируем по времени выражение для скорости: a = 23Ct = 6Ct.

a₁ = 60,22 м/c² = 2,4 м/с²;

a₂ = 60,25 м/с² = 6 м/с².

Задача 2 Маховик вращается равноускоренно. Найти угол , ко-то-рый составляет вектор полного ускорения любой точки маховика с радиусом в тот момент, когда маховик совершит первые N=2 оборота.

Дано:

0 = 0. N = 2 = const	Решение Разложив вектор точки М на тангенци-аль-ное и нормальное уско-ре-ния, видим, что иско-мый угол определяется соотно-шением tg=a/an. Поскольку в условии дано лишь число оборотов, перейдем к угловым величинам. Применив формулы:
- ?

a = R, a_n = ²R, где R - радиус маховика, получим

tg =

так как маховик вращается равноускоренно, найдем связь между величинами и ;

;

Поскольку ₀ = 0; = 2N, то ² = 22N = 4N.

Подставим это значение в формулу, получим:

2,3.

Ответ: 2,3.

Задача 3 Две гири с массами m₁ = 2 кг и m₂ = 1 кг соединены нитью, пе-ре-ки-ну-той через невесомый блок. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити . Трением в блоке пренебречь.

Дано:

m1 = 2 кг m2 = 1 кг	Решение Воспользуемся для решения задачи основным законом динамики где - равнодействующая всех сил, действующих на тело.
a, FН - ?

На тело 1 и тело 2 действуют только две силы - сила тяжести и сила

натяжения нити. Для первого тела имеем:

(1)

для второго тела:

. (2)

Так как сила трения в блоке отсутствует,

.

Ускорения тел а₁ и а₂ равны по модулю и направлены в противоположные стороны

.

Получаем из (1) и (2) систему уравнений.

Выберем ось Х, как показано на рисунке и запишем полученную систему уравнений

в проекциях на ось Х

Решая эту систему относительно а и F_Н, получаем:

= 3,3 м/с²; = 13 Н.

Ответ: a = 3,3 м/c² ; F_H = 13 Н.

Задача 4 К ободу однородного диска радиусом R=0,2 м прило-жена касательная сила F=98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения

М_ТР=4,9 Нм. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением =100 рад/с².

Дано:

R = 0,2 м F = 98,1 Н MТР = 4,3 Нм = 100 рад / c2	Решение Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения: или в скалярной форме , где - момент сил, приложенных к телу ( MF - момент силы F, Mтр - момент сил трения );
m - ?

- момент инерции диска.

Учитывая, что M_F=FR, получаем: .

Отсюда

m = 7,7 кг.

Ответ: m = 7,7 кг.

Задача 5

Вагон массой 20 т, движущийся равнозамедленно, под действием силы трения в 6 кН через некоторое время останавливается. Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Найти работу сил трения и расстояние, которое вагон пройдет до остановки.

Дано:

m = 20 10 3 кг Fтр = 6 10 3 Н = 15 м/c	Решение По закону сохранения механической энергии изменение полной механической энергии будет определятся работой неконсервативных сил, то есть .
AТР - ? r - ?	Так как механическая энергия вагона равна его кинети-ческой энергии, в качестве неконсервативной силы выступает сила

трения, в конце пути скорость вагона равна нулю, то

.

Итак:

По определению для работы, совершаемой постоянной силой трения:

м.

Ответ: r = 375 м.

Задача 6 При упругом ударе нейтрона о ядро атома углерода он движется после удара в направлении, перпендикулярном начальному. Считая, что масса М ядра углерода в n=12 раз больше массы m нейтрона, определить, во сколько раз уменьшается энергия нейтрона в результате удара.

Дано:

	Решение Ведем обозначения: 1 - скорость нейтрона до удара, 1' - после удара; 2 - скорость ядра углерода после удара (до удара она равна нулю). По законам сохранения импульса и энергии соответственно имеем:
- ?

По условию задачи требуется найти отношение

Из треугольника импульсов (смотри рисунок) имеем:

(m₁)²+(m₁)²=(M₂)².

С учетом записанных выражений, а также соотношения n=M/m, получим:

₁²-₁²=n₂²;

₁²+₁²=n²₂².

Разделив почленно последние равенства, получаем:

.

Отсюда =1,18.

Ответ: = 1,18.

Задача 7 Круглая платформа радиусом R=1,0 м, момент инерции которой I=130 кгм², вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая n₁=1,0 об/с. На краю платформы стоит человек, масса которого m=70 кг. Сколько оборотов в секунду n₂ будет совершать платформа, если человек перейдет в её центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

Дано:

R = 1м I = 130 кг м2 n1 = 1c-1 m = 70 кг	Решение Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции. Это означает, что результирующий момент всех внешних сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Следовательно, для системы “платформа - человек” выполняется закон сохранения момента импульса, который запишем в скалярной форме: L1 = L2 , (1)
n2 - ?

где L₁ - импульс системы с человеком, стоящим на краю платформы, L₂ - импульс системы с человеком, стоящим в центре платформы.

L₁ = I₁₁ = (I+mR²)2n₁, (2)

L₂ = I₂₂ = I2n₂, (3)

где mR² - момент инерции человека, I₁ = I+mR² - начальный момент инерции

системы, I₂ - конечный момент инерции системы, ₁ и ₂ - начальная и конечная угловые скорости системы. Решая систему уравнений (1) - (3), получаем:

n₂ = n₁(I+mR²)/I = 1,5 об/с.

Ответ: n₂ = 1,5 с^-1.

Задача 8

Определить кинетическую энергию (в электронвольтах) и релятивистский импульс электрона, движущегося со скоростью = 0,9 c (-скорость света в вакууме).

Дано:

= 0,9 c	Решение Т.к. скорость частицы сопоставима по значению со скоростью света в вакууме, то частицу нельзя считать классической. Для нахождения кинетической энергии воспользуемся формулой:
ЕК, р - ?

.

- масса покоя электрона .

Так как ,то

Можно было найти значение кинетической энергии сразу в электрон вольтах, учитывая, что энергия покоя электрона

Релятивистский импульс находим по формуле

,

.

Ответ: E_K 0,66 МэВ; р 5,6 10^-22 кгм/c.

Задачи для самостоятельного решения

1. Поезд движется прямолинейно со скоростью ₀ = 180 км/ч. Внезапно на пути возникает препятствие, и машинист включает тор-мозной механизм. С этого момента скорость поезда изменя-ется по закону = ₀-at², где а=1м/с³. Каков тормозной путь поезда? Через какое время после начала торможения он остановится?

Ответ: х235 м, t7 с

2. Колесо радиусом R=0,1 м вращается так, что зависимость угла пово-ро-та радиуса колеса от времени дается уравнением =A+Bt+Ct³, где А, В, С - пос-тоянные; В=2 рад/с и С=1 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения следующие величины: 1) угловую ско-рость; 2) линейную скорость; 3) угловое ускорение; 4) тангенциальное уско-рение; 5) нормальное ускорение.

Ответ: =14 рад/с; =1,4 м/с; =12 рад/с²; a=1,2 м/с²; a_n=19,6 м/с².

3. По наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом, скользит тело. Коэффициент трения тела с плоскостью . Определить ускорение, с которым движется тело.

Ответ: a = g(sin - cos)

4.Тонкий однородный стержень длиной L=50 см и массой m=400 г вращается с угловым ускорением вокруг оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить момент силы, под действием которой вращается стержень.

Ответ: M=0,025 Нм

5. Камень брошен под углом 60⁰ к поверхности земли. Кинетическая энергия камня в начальный момент равна 20 Дж. Определить кинетическую и потенциальную энергии камня в наивысшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: 5 Дж; 15 Дж.

6. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара 0,2 кг, масса второго 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар неупругий?

Ответ: H 2см

7. Тонкий однородный стержень длиной L может вращаться во-круг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня перпен-ди-ку-лярно ему. Стержень отклонили на 90 от положения равновесия и от-пус-тили. Определить скорость нижнего конца стержня в момент про-хож-дения положения равновесия.

Ответ:

8. Кинетическая энергия электрона равна 1МэВ. Определить скорость электрона .

Ответ:

Контрольное задание №1

101. Пассажир электропоезда, движущегося со скоростью 15 м/с, заметил, что встречный поезд длиной 210 м прошел мимо него за 6,0 с. Определить скорость встречного поезда.

102. При неподвижном эскалаторе метрополитена пассажир под-ни-мается за t₁=120 с, а по движущемуся при той же скорости отно-си-тель-но ступенек - за t₂=30 с. Определить время подъема пасса-жира, непод-виж-но стоя-щего на движущемся эскалаторе.

103. Определить скорость моторной лодки относительно воды, если при дви-же-нии по течению реки её скорость 10 м/с, а при движении против течения - 6,0 м/с. Чему равна скорость течения воды в реке?

104. Скорость поезда, при торможении двигающегося равно-замедленно, уменьшается в течение 1 мин от 40 км/ч до 28 км/ч. Найти ускорение поезда и расстояние, пройденное им за время торможения.

105. Движение материальной точки задано уравнением x=at+bt²+ct³, где

a=5 м/с, b=0,2 м/с², с=0,1 м/с³. Определить скорость точки в момент времени t₁=2 с, t₂=4 с, а также среднюю скорость в интервале времени от t₁ до t₂.

106. Скорость материальной точки, движущейся вдоль оси X, опре-деляется уравнением _X = 0,2-0,1t. Найти координату точки в момент времени t=10 с, если в начальный момент времени она находилась в точке x₀=1 м.

107. Самолет для взлета должен иметь скорость 100 м/с. Определить время разбега и ускорение, если длина разбега 600 м; движение самолета при этом считать равноускоренным.

108. Автомобиль движется со скоростью ₁=25 м/с. На пути S=40 м про-изводится торможение, после чего скорость уменьшается до ₂=15 м/с. Считая движение автомобиля равнозамедленным, найти модуль ускорения и время торможения.

109. Первую половину пути тело двигалось со скоростью ₁ = 2 м / с, вторую половину пути - со скоростью ₂ = 8 м / с. Определить среднюю скорость движения.

110.Точка прошла половину пути со скоростью 10 км/ч. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью 18 км/ч, а последний участок - со скоростью 25,2 км/ч. Найти среднюю скорость движения точки.

111. Определить угловое ускорение маховика, частота вращения кото-рого за время N=20 полных оборотов возросла равномерно от n₀=1 об/c до n=5 об/с.

112. Определить зависимость угловой скорости и углового ускорения от времени для твердого тела, вра-щающегося вокруг неподвижной оси z по закону =at-bt², где a=20 рад/с, b=1 рад/с². Каков характер движения этого тела? Построить графики зависимости угловой скорости и углового ускорения от времени.

113. Колесо радиусом R=10 см вращается с постоянным угловым ус-ко-ре-ни-ем =3,14 рад/с². Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды пос-ле начала движения: 1) угловую скорость; 2) линейную скорость; 3) тан-ген-циальное ускорение; 4) нормальное ускорение; 5) полное ускорение.

114. Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
= 6,0 t -2,0 t³. Найти средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки.

115. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Какое время прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки?

116. Колесо вращается с угловым ускорением 2 рад/с². Через время 0,5 с после начала движения полное ускорение точек на ободе колеса равно 0,15 м/с². Найти радиус колеса.

117. Велосипедное колесо вращается с частотой n=5 c^-1 . Под действием сил трения оно остановилось через t=1 мин. Определить угловое ускорение и число оборотов, которое сделало колесо за это время.

118. Ось с двумя параллельными бумажными дисками, расположенными на расстоянии 0,5 м друг от друга, вращается с частотой 1200 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; пробоины в дисках смещены друг относительно друга на угол 15^о. Найти скорость пули. Силой тяжести, действующей на пулю пренебречь.

119. Движение точки по окружности радиусом 4 м задано уравнением
S = 10 - 2 t + t². Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки в момент времени 2 с.

120. Точка движется по окружности радиусом 2 м согласно уравнению S = 2 t³. В какой момент времени нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному? Чему будет равно полное ускорение точки в этот момент времени?

121. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с гори-зон-том угол =45. Зависимость пройденного телом пути S от времени t задана уравнением S=Ct², где С=1,73 м/с². Найти коэффициент трения k тела о плоскость.

122. Тело массой m=0,5 кг движется так, что зависимость координаты тела от времени t дается уравнением X=Asin(t), где А=5 см и = рад/с. Найти силу F, действующую на тело через время t=(1/6) с после начала движения.

123. Невесомый блок укреплен в вер-ши-не двух наклонных плос-кос-тей, составляющих с горизонтом углы =30 и =45. Гири 1 и 2 оди-на-ко-вой массы m₁=m₂=1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Най-ти уско-ре-ние а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением гирь 1 и 2 о наклонные плоскости, а также трением в блоке пренебречь.

124. Самолёт делает «мёртвую петлю » радиусом 500 м с постоянной скоростью 360 км/ч. Найти вес летчика массой 70 кг в нижней, верхней и средней точках петли.

125. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинули шнур, к концам которого привязали грузы массой 1,5 кг и 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.