Механика. Кинематика. Динамика. Молекулярная физика

Явление самоиндукции

Ток, текущий по проводящему контуру, создает вокруг него магнитное поле. Магнитный поток , сцепленный с контуром, прямо пропорционален силе тока в этом контуре:

, (17.18)

где - индуктивность контура. Индуктивность проводника зависит от его формы, размеров, а также от свойств окружающей среды. Если сила тока изменяется со временем, то изменяется и магнитный поток, сцепленный с контуром. Изменение магнитного потока, в свою очередь, вызывает появление в проводнике индукционного тока. Так как индукционный ток вызван изменением силы тока в самом проводнике, то данное явление возникновения индукционного тока называется самоиндукцией, а возникающая эдс - эдс самоиндукции. Самоиндукция является частным случаем явления электромагнитной индукции. Если изменяется со временем по линейному закону, то

, (17.19)

где - скорость изменения силы тока.

Формула (17.19) справедлива только при , т.е. в том случае, когда размеры и форма контура не изменяются и отсутствует ферромагнитная среда. При произвольной зависимости

.

Из (17.19) ясно, что индуктивность - величина, численно равная эдс самоиндукции, возникающей в контуре при изменении силы тока в нем на единицу за единицу времени.

В СИ за единицу индуктивности принимают индуктивность такого проводника, в котором при изменении силы тока на 1 А за 1 с возникает эдс самоиндукции 1 В. Эта единица называется генри (Гн):

.

Энергия магнитного поля тока

Энергия магнитного поля, созданного током, по закону сохранения энергии равна энергии, затраченной источником на создание тока. При замыкании цепи ток в цепи вследствие самоиндукции не сразу достигает максимального значения , а постепенно.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При размыкании цепи (рис. 17.17) ток также исчезает не сразу, а постепенно, при этом в проводнике выделяется тепло. Так как цепь разомкнута, то это тепло не может выделяться за счет работы источника, а может быть только следствием энергии, накопленной в соленоиде, энергии магнитного поля. Энергия магнитного поля соленоида, когда ток полностью прекратится, переходит в джоулево тепло. Выражение для магнитного поля соленоида имеет вид:

. (17.20)

17. Колебания и волны

Движения или процессы, обладающие свойством повторяемости во времени, называются колебаниями. Колебания, при которых смещение изменяется по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

Любой произвольный колебательный процесс можно представить как сумму гармонических колебаний. (Любую периодическую функцию, согласно теореме Фурье, можно представить как сумму гармонических функций.)

Механические колебания

Пусть к пружине с коэффициентом упругости прикреплен груз массой , находящийся на идеально гладкой поверхности (рис. 18.1). При растяжении пружины на тело начинает действовать сила упругости (сила тяжести и сила нормальной реакции равны и направлены в противоположные стороны). Если тело отпустить, то под действием силы упругости оно начинает двигаться в сторону, противоположную смещению. Проходя положение равновесия, тело будет обладать максимальной скоростью и по инерции продолжит движение, сжимая пружину. Под действием силы упругости, возникающей при деформации сжатия, тело остановится и начнет двигаться к положению равновесия и т.д. При этом - смещение тела от положения равновесия - изменяется по закону

, (18.1)

где , , не зависят от времени. Уравнение (18.1) называется уравнением колебаний.

Характеристики гармонических колебаний

В уравнении (18.1) амплитуда - максимальное значение изменяющейся величины, в нашем примере - максимальное смещение от положения равновесия. Амплитуда зависит от энергии, сообщенной системе в начальный момент времени.

Циклическая (или круговая) частота - число полных колебаний, совершаемых системой за промежуток времени с.

Частота - число полных колебаний, совершаемых системой за 1 с.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Период колебаний - промежуток времени, за который совершается одно полное колебание:

, , (18.2)

где , , определяются параметрами колеблющейся системы.

Фаза колебаний определяет положение колеблющегося тела в данный момент времени, - начальная фаза, определяющая положение колеблющегося тела в момент времени . Фаза обычно измеряется в радианах.

Кинематика гармонических колебаний

Если

,

то скорость равна

, (18.3)

где - амплитудное значение скорости. Ускорение изменяется по закону

, (18.4)

где - амплитудное значение ускорения. Значения скорости и ускорения, так же как и смещения, изменяются по гармоническому закону. Из (18.1), (18.3) и (18.4) следует, что изменения скорости отстают на по фазе от смещения, а изменение ускорения происходит в противофазе со смещением:

или . (18.5)

Из сказанного выше следует, что если материальная точка совершает гармонические колебания, то справедливо уравнение (18.5). Эта связь ускорения и смещения, как можно показать, используя методы высшей математики, является необходимым и достаточным условием для того, чтобы тело совершало гармонические колебания около положения равновесия. Следовательно, если при анализе поставленной задачи будет найдено, что , где - положительная постоянная величина, то тело будет совершать гармонические колебания около положения равновесия с циклической частотой .

Динамика гармонических колебаний

Согласно второму закону Ньютона,

,

где - проекция на ось результирующей всех сил, действующих на тело. Поскольку

,

,

где - проекция сил на ось , вдоль которой совершаются колебания.

Из (18.6) следует, что равнодействующая сил, действующих на тело, совершающее гармоническое колебание, прямо пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению. Силы, прямо пропорциональные смещению и направленные в сторону, противоположную смещению, т.е. удовлетворяющие условию , но имеющие иную природу, чем упругие силы, называются квазиупругими. Гармонические колебания совершаются под действием упругих или квазиупругих сил.

Преобразование энергии при гармонических колебаниях

Если колебания тела происходят по закону

,

то кинетическая энергия тела равна

. (18.7)

Потенциальная энергия равна

. (18.8)

а так как ,

.

При этом за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбирается положение равновесия (). Полная механическая энергия системы равна

. (18.9)

Амплитуда колебаний равна



Размещено на http://www.allbest.ru/

и определяется энергией, сообщенной системе. Потенциальная и кинетическая энергии изменяются по гармоническому закону с частотой . Выражения для потенциальной и кинетической энергий можно переписать в виде:

,

.

График зависимости потенциальной энергии колеблющегося тела от смещения изображен на рис. 18.2. На рисунке показаны кинетическая и потенциальная энергия тела при , полная механическая энергия тела при любом равна . При этом , если в системе отсутствует трение (сопротивление).

Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной прямой, например, вдоль оси . Частоты колебаний одинаковы, а разность фаз есть . Тогда уравнения колебаний имеют вид

, .

При сложении этих двух колебаний получим

.

Очевидно, что амплитуда результирующего колебания будет зависеть от разности фаз. Так, если , где , то , т.е. амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если , то , т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд и колебания происходят с минимальной амплитудой. Если амплитуды складываемых колебаний равны, то в этом случае колебаний вообще происходить не будет.

Затухающие колебания

Выше был рассмотрен случай, когда сопротивление отсутствует и на тело действует только сила . Во всех реальных случаях помимо этой силы на тело действует сила сопротивления, которая обычно считается пропорциональной скорости и направленной в сторону, противоположную скорости:

,

где - постоянный коэффициент. Тогда из второго закона Ньютона имеем

, (18.10)

Или

,

причем , - частота собственных колебаний системы в отсутствие затухания, , где - коэффициент затухания. Очевидно, чем больше и чем меньше , тем быстрее будут затухать колебания.

Решение уравнения (18.10) имеет вид:

, (18.11)

где . Колебания, описываемые уравнением (18.11), строго говоря не являются периодическими. Такие колебания принято называть затухающими колебаниями с периодом

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 18.3 приведен график зависимости . Амплитуда изменяется по экспоненциальному закону (штриховая линия). Если силой сопротивления пренебречь нельзя, то механическая энергия в процессе колебаний непрерывно уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Амплитуда колебаний будет уменьшаться, и колебания постепенно затухнут.

Вынужденные колебания

Для поддержания колебаний в системе необходимо, чтобы действовала сила, работа которой компенсировала бы уменьшение механической энергии. Эта сила должна быть переменной, так как постоянная сила может только изменить положение равновесия, но не может способствовать поддержанию колебаний в системе. Таким образом, на систему, совершающую колебания должна действовать вынуждающая сила

,

где - амплитуда вынуждающей силы, - ее частота. Помимо вынуждающей силы на тело действует сила упругости (или квазиупругая сила) и сила сопротивления . Из второго закона Ньютона в этом случае имеем

. (18.12)

Собственные колебания в системе затухнут, следовательно, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы. Колебания, происходящие под действием вынуждающей силы, называются вынужденными колебаниями. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид

, (18.13)

где - амплитуда вынужденных колебаний, - фаза, определяемые соотношениями

,

. (18.14)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из (18.14) видно, что амплитуда и фаза зависят от соотношения между частотой собственных колебаний и частотой вынуждающей силы . При совпадении этих частот амплитуда колебаний будет резко возрастать. Это явления получила название резонанса. Резонансная амплитуда зависит от сопротивления среды (рис. 18.4). Кривой 1 соответствует меньшее сопротивление среды, чем кривой 2. При , и соответственно уравнение колебаний имеет вид . Тогда скорость изменяется по закону . Из последнего равенства очевидно, что скорость изменяется в фазе с вынуждающей силой. Возрастание амплитуды при резонансе объясняется тем, что при направление вынуждающей силы все время совпадает с перемещением, и следовательно, вынуждающей силы все время совпадает с перемещением, и следовательно, вынуждающая сила будет непрерывно совершать положительную работу. Таким образом, механическая энергия, а соответственно, и амплитуда будут расти. При отсутствии сопротивления среды амплитуда стремиться к бесконечности. При вынуждающая сила на одних перемещениях совершает положительную, а на других отрицательную работу, и поэтому амплитуды вынужденных колебаний невелики.

Упругие (механические) волны

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волновым процессом. Механические волны могут распространяться только в упругих средах, т.е. в средах, в которых возникают силы, препятствующие 1) деформации растяжений (сжатий) или 2) деформации сдвига.

В первом случае распространяется продольная волна, т.е. волна, вызывающая в пространстве колебания частиц среды вдоль направления распространения волны. Продольные волны могут распространяться в твердых, жидких и газообразных средах.

Во втором случае в пространстве существует поперечная волна, т.е. волна, вызывающая в пространстве колебания частиц среды перпендикулярно направлению распространения волны. Поперечные волны могут распространяться только в твердых телах.

Пусть колебания точки О упругого шнура происходит по закону (рис. 18.5а), ось указывает направление распространения волны. В начальный момент времени точка О начинает двигаться вверх, увлекая соседние части шнура. В момент смещение О будет максимальным. За время в колебательный процесс будет вовлечена часть шнура ОА. К моменту времени точка О шнура завершит полное колебание, причем фазы колебаний точек O и D одинаковы. Кратчайшее расстояние между точками, колеблющимися в одной фазе, называется длиной волны .



Размещено на http://www.allbest.ru/

Длина волны - это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное одному периоду:

, (18.15)

где - скорость распространения волны, зависящая от свойств среды. В однородной среде скорость постоянна.

Скорость распространения продольных волн в твердых средах

, (18.16)

где - модуль Юнга, - плотность среды.

Скорость звука в газе (продольная механическая волна) есть

, (18.16а)

где - отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме , - молекулярная масса воздуха.

Фронтом волны называется геометрическое место точек, через которое проходит возмущение в данный момент времени. Форма фронта определяется источником. Так, фронт волны, генерируемой точечным источником, имеет форму сферы, и говорят, что распространяется сферическая волна.

Волна называется плоской, если фронт плоский. При распространении плоской волны все точки в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, колеблются в одинаковой фазе, поэтому, зная закон колебаний в одной точке, мы тем самым можем описать колебательный процесс во всех точках плоскости. Фронт волны всегда перпендикулярен направлению ее распространения.

Пусть вдоль оси распространяется плоская волна (рис. 18.5б). В точке О находится источник колебаний, уравнение смещения в точке О , где - время, отсчитываемое с момента начала колебаний в точке О.

В точке М колебания происходят по аналогичному закону: , где - время, отсчитываемое с момента начала колебаний в точке М. Очевидно, меньше на промежуток времени , за который волна успевает пройти расстояние , т.е. . Таким образом,

.

Так как точка М произвольна, можно записать

. (18.17)

Уравнение (18.17) представляет собой уравнение бегущей волны. Оно позволяет определить смещение в любой точке среды в любой момент времени. Уравнение (18.17) можно переписать в виде

. (18.18)

Интерференция волн

Интерференция - сложение волн с образованием устойчивой картины максимумов и минимумов амплитуды колебаний. Необходимым условием интерференции является когерентность источников. Когерентными называются источники, вызывающие в каждой точке пространства колебания, разность фаз которых остается постоянной во времени. Такие источники излучают когерентные волны. Очевидно, что только источники, возбуждающие колебания с одинаковыми частотами, могут быть когерентными, так как если , то разность фаз равна

Размещено на http://www.allbest.ru/

и зависит от времени.

Если источники некогерентны, то во всех точках пространства будут возбуждаться колебания, разность фаз которых изменяется со временем. Изменяется со временем и амплитуда результирующего колебания, т.е. интерференции не будет. На рис. 18.6а источники и - когерентные и вызывают колебания частиц в одном направлении. Рассмотрим сложение колебаний, возбуждаемых этими источниками в точке М:

,

,

где и - расстояние источников до точки М. Разность фаз складываемых колебаний:

. (18.19)

Напомним, что если разность фаз складываемых колебаний равна , , и т.д., т.е. , где 0,1, 2, 3,…, то оба колебания вызывают смещение в одном направлении и амплитуда результирующего колебания будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний.

Если разность фаз складываемых колебаний равна , , и т.д., т.е. , то эти колебания вызывают смещение в противоположных направлениях и амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд исходных колебаний. Приняв , из выражения (18.19) получим

, . (18.20)

Таким образом, в точках пространства, где разность хода равна целому числу длин волн, наблюдаются интерференционные максимумы и . Сделав аналогичные выкладки, получим, что если разность хода равна нечетному числу длин полуволн

, (18.21)

то в этих точках пространства находятся интерференционные минимумы .

При интерференции происходит перераспределение энергии в пространстве, так что в точках максимумов (для простоты будем считать, что ), и энергия колебаний ~ , в точках минимумов .

Если складываются две волны, идущие навстречу друг другу (прямая и отраженная), то образуется стоячая волна:

,

,

(18.22)

есть уравнение стоячей волны. Из уравнения (18.22) следует, что амплитуда колебаний при возбуждении стоячей волны

Размещено на http://www.allbest.ru/

зависит от положения колеблющейся точки. В точках, для которых , т.е. , колебания происходят с удвоенной амплитудой: (пучности волны). В точках, для которых , т.е. , колебаний не происходит, (узлы стоячей волны). Расстояние между двумя соседними пучностями или двумя соседними узлами равно . На рис. 18.5а и 18.6б изображены "мгновенные снимки" бегущей и стоячей волн в моменты времени , , , , . Для сравнения стоячей и бегущей волн приведем таблицу.

	Бегущая волна	Стоячая волна
Уравнение Амплитуда Фаза Энергия	Одинакова во всех точках и равна А Зависит от положения колеблющейся точки Переносит энергию	Зависит от положения колеблющейся точки Одинакова между двумя соседними узлами Не переносит энергии (в прямом и обратном направлениях за один и тот же промежуток времени переносятся равные порции энергии)

Стоячие волны возбуждаются, например, в струнах музыкальных инструментов. Образование стоячей волны - частный случай интерференции волн.

Электромагнитные колебания

Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора (рис. 18.7). Если зарядить конденсатор до напряжения , то в начальный момент времени на обкладках конденсатора будут амплитудные (максимальные) значения напряжения и заряда . Полная энергия системы равна энергии электрического поля конденсатора:

.

По цепи начинает течь ток, так как обкладки конденсатора накоротко замкнуты на индуктивность, однако вследствие самоиндукции конденсатор разряжается не мгновенно, а постепенно. Ток через индуктивность увеличивается, достигая максимального значения . В момент времени заряд конденсатора станет равным нулю, а ток достигнет максимального значения . Энергия системы будет равна энергии магнитного поля соленоида:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Когда напряжение обращается в нуль, ток в цепи должен прекратиться, однако вследствие самоиндукции ток будет продолжать течь, что вызовет перезарядку конденсатора. Постепенно ток уменьшится до нуля. В момент времени , , . Затем конденсатор начинает разряжаться, причем ток через индуктивность течет в обратном направлении, и т.д. Через промежуток времени, равный , система приходит в исходное состояние.

Напряжение на обкладках конденсатора равно эдс самоиндукции:

,

где - производная силы тока по времени, откуда

.

Сравнивая с (18.5) (), для частоты колебаний имеем

.

Период колебаний равен

. (18.23)

Заряд на обкладках конденсатора со временем изменяется по закону

, (18.24)

напряжение на обкладках равно

. (18.25)

Выражение для тока, равного , имеет вид

, . (18.26)

Таким образом, в колебательном контуре по гармоническому закону изменяются заряд, напряжение на обкладках конденсатора и сила тока в контуре. Так же происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно.

Если в цепи колебательного контура сопротивление не равно нулю, то в процессе колебаний часть энергии непрерывно будет переходить во внутреннюю (в тепло) и колебания затухнут. Для поддержания колебаний необходимо в цепь колебательного контура подключить переменную эдс:

,

Размещено на http://www.allbest.ru/

где - амплитудное значение эдс, - ее частота. При совпадении собственной частоты колебаний с частотой внешней эдс амплитудные значения заряда, напряжения и тока резко увеличиваются (резонанс). Электрический резонанс используется для настройки на определенную длину электромагнитной волны. В колебательном контуре индуктивность или емкость берутся переменными, что позволяет настроить контур на нужную частоту. При совпадении частоты сигнала с собственной частотой колебательного контура ток в контуре становится достаточно большим. Сигналы всех остальных частот вызывают в цепи слабые токи (рис. 18.8).

Переменный ток

Переменный ток - ток, изменяющийся во времени. Будем рассматривать ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону:

(18.27)

и возникающий в цепи, подключенной к источнику эдс:

,

где - амплитудное значение силы тока, - циклическая частота, - начальная фаза.

Эффективное, или действующее, значение силы тока - это значение силы такого постоянного тока, который за промежуток времени, равный одному периоду, вызовет в омическом сопротивлении выделение такого же количества теплоты, что и переменный ток:

. (18.28)

Аналогично, эффективные значения напряжения и эдс равны соответственно

,

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Если цепь состоит из омического сопротивления , электрической емкости и индуктивности , то сопротивление этого участка цепи равно

, (18.29)

где - реактивное индуктивное сопротивление, - реактивное емкостное сопротивление.

Если в цепь включена эдс (рис.18.9) , то сила тока равна

, (18.30)

где

, . (18.31)

Величина

(18.32)

называется реактивным сопротивлением и определяет отставание по фазе тока от эдс. Среднее за период значение мощности переменного тока

. (18.33)

Если , т.е. отсутствует реактивное сопротивление, получаем формулу для мощности постоянного тока:

.

Электромагнитные волны

Согласно теории Максвелла, переменное магнитное поле вызывает появление переменного вихревого электрического поля, которое, в свою очередь, вызывает появление переменного магнитного поля и т.д. Таким образом происходит распространение электромагнитных возмущений в пространстве, т.е. распространяется электромагнитная волна. Силовые линии электрического поля в этом случае являются замкнутыми. Источником этого поля является переменное магнитное поле, а не положительные и отрицательные заряды. Электрическое поле в электромагнитной волне - вихревое, силовые линии этого вихревого поля лежат в плоскостях, перпендикулярных вектору .

Перечислим основные свойства электромагнитных волн.

1. Электромагнитная волна - поперечная (рис. 18.10). Векторы , и взаимно перпендикулярны и составляют правовинтовую тройку векторов.

2. Скорость электромагнитных волн в вакууме равна

и совпадает со скоростью света. В среде

,

где и - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

Напряженность электрического поля и индукция магнитного поля изменяются в фазе:

,

.

3. Электромагнитные волны переносят энергию.

4. Электромагнитные волны отражаются от проводящих поверхностей и преломляются на границе двух диэлектриков.

5. Электромагнитные волны оказывают давление на тела.

6. Если электромагнитная волна оказывает давление на тела, т.е. сообщает им импульс, следовательно, она также обладает импульсом.

7. Наблюдаются дифракция, интерференция и поляризация электромагнитных волн.

Шкала электромагнитных волн

Электромагнитные волны генерируются в широком диапазоне частот. Каждый участок спектра имеет свое название (рис. 18.11). Так, видимому свету соответствует довольно узкий диапазон частот и соответственно длин волн: от до .

С коротковолновой стороны от видимой области спектра (рис. 18.11) находится ультрафиолетовая область, с длинноволновой - инфракрасная. За ультрафиолетовым диапазоном идет рентгеновский, а затем -излучение, -лучи - электромагнитное излучение самой большой частоты ( ~ ). Радиоволны лежат в диапазоне . Отметим, что -лучи излучаются при распаде радиоактивных ядер, электромагнитные волны излучаются атомами. Радио- и микроволновое излучение генерируется макротелами - системами. Несмотря на кажущееся различие излучений в разных диапазонах, все они обладают свойствами электромагнитных волн.

Размещено на http://www.allbest.ru/

19. Геометрическая оптика

Геометрическая оптика - это раздел оптики, изучающий законы распространения света в прозрачных средах и отражения света от зеркальных или полупрозрачных поверхностей. При этом используется представление о световом луче, как линии, указывающей направление распространения световой энергии. Отсюда ясно, что одним из основных положений геометрической оптики есть положение о прямолинейном распространении света. Понятие о световом луче, как о бесконечно тонком пучке света, распространяющемся прямолинейно, составляет противоречие с представлениями о волновой природе света, согласно которым отклонение от прямолинейного распространения будет тем больше, чем более узкий световой пучок мы пытаемся получить (явление дифракции). Закон прямолинейного распространения света и законы преломления и отражения позволяют объяснить и описать многие физические явления, а также провести расчеты и конструирование оптических приборов.

Законы отражения света

1. Падающий и отраженный лучи на нормаль к отражающей поверхности, восстановленная в точке падения, лежат в одной плоскости.

2. Угол падения равен углу отражения , причем - угол между падающим лучом и нормалью, - угол между отраженным лучом и нормалью. Если падающие параллельные лучи после отражения от плоской поверхности остаются параллельными, то такое отражение называется зеркальным, а отражающая поверхность является плоским зеркалом.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построим изображение в плоском зеркале. Пусть точечный источник света находится на расстоянии от плоского зеркала (рис. 19.1) и пусть один из лучей падает перпендикулярно зеркалу. Тогда, отразившись, он распространяется по той же прямой . Пусть второй луч падает под некоторым углом . Отразившись под углом , он не сможет пересечь первый отраженный луч. Но продолжения этих лучей пересекутся в точке . Тогда будет мнимым изображением точечного источника. Треугольник - равнобедренный и - его высота, следовательно, и . Если наблюдатель видит отраженный зеркалом поток, то ему будет казаться, что источник находится в точке .

Законы преломления света

1. Падающий и преломленный лучи и нормаль к границе раздела сред в точке падения лежат в одной плоскости.

2. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно относительному показателю преломления второй среды относительно первой:

, (19.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

где - угол между падающим лучом и нормалью, - угол между преломленным лучом и нормалью. Относительный показатель преломления , где и - абсолютные показатели преломления двух сред, равные отношению скорости распространения света в среде:

, .

Считается, что чем больше показатель преломления, тем среда оптически более плотная. Если луч идет из среды, оптически менее плотной в среду, оптически более плотную, то (рис. 19.2а). Если луч идет из среды, оптически более плотной в среду, оптически менее плотную, то (рис. 19.2б).

При луч полностью отражается от границы раздела сред, поэтому называется предельным углом, а отражение лучей от границы раздела сред - полным внутренним отражением.

Линзы

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное криволинейными поверхностями. Простейшая линза - сферическая. Преломление лучей при прохождении их через линзу строго определяется законами преломления. Расчеты, проводимые на основании этих законов, показывают, что линзы можно разделить на два типа: собирающие и рассеивающие. Используя законы преломления света, можно показать, что линзы а - в (рис. 19.3) будут собирать падающий на них параллельный пучок лучей, а линзы г - е - рассеивать. Слева на рисунках показаны условные обозначения тонких собирающей и рассеивающей линз.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим тонкую линзу, т.е. линзу, максимальная толщина которой значительно меньше ее радиусов кривизны (рис. 19.4). Главной оптической осью называется прямая, проходящая через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу. Радиусы этих сфер называются радиусами кривизны. Фокусом линзы называется точка пересечения преломленных линзой лучей, падающих параллельно главной оптической оси. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. Оптическим центром линзы называется точка, при прохождении через которую любой луч преломляется таким образом, что направление его распространения не изменяется. Оптический центр - это точка пересечения главной оптической оси с тонкой линзой. Другие прямые, проходящие через оптический центр линзы, называются побочными оптическими осями. Расстояние между оптическим центром линзы и фокусом называется фокусным расстоянием. Очевидно, что фокусное расстояние является величиной положительной.

Лучи, параллельные побочной оптической оси, собираются в фокальной плоскости, в точке ее пересечения с побочной оптической осью (точка М).

У рассеивающей линзы фокус мнимый. Параллельный пучок лучей, падающих на линзу, рассеивается. Пересекаются продолжения этих лучей (рис. 19.5).

Все изложенное относится к идеальным оптическим системам и справедливо в достаточно узком параксиальном пучке лучей, т.е. лучей, образующих с главной оптической осью малый угол.

Величина, обратная фокусному расстоянию (выраженному в метрах), называется оптической силой линзы:

(дп),

которая измеряется в диоптриях: 1 дп - это оптическая сила такой линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м.

Отметим, что форма линзы не определяет того, будет линза собирающей или рассеивающей. Выпуклая линза, помещенная в среду с большой оптической плотностью, будет рассеивать лучи.

Фокусное расстояние и оптическая сила линзы определяются радиусами кривизны ее сферических поверхностей. Формула, связывающая эти величины, имеет вид

, (19.4)

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для выпуклой линзы и . Тогда, если , то , т.е. линза собирающая, если же , то , линза рассеивающая, где - отношение показателей преломления линзы и среды. Радиус кривизны считается положительным для выпуклых поверхностей и отрицательным для вогнутых (рис. 19.6). Для двояковогнутой линзы и . Тогда, если , то , т.е. линза рассеивающая, если , то , и линза собирающая.

Построение изображений в линзах

Изображение точечного источника - это точка, в которой собираются лучи от источника, преломленные в линзе. Если после преломления лучи, идущие от источника, пересекаются в некоторой точке, то такое изображение называется действительным; если после преломления в линзе лучи расходятся, а пересекаются из продолжения, то такое изображение называется мнимым.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть точечный источник света помещен на главной оптической оси собирающей линзы (рис. 19.7а). Луч, идущий от источника вдоль главной оптической оси, не преломляется. Возьмем некоторый произвольный луч . Чтобы найти, каким образом он преломляется, проведем побочную оптическую ось параллельно .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Она пересекает фокальную плоскость в точке . Очевидно, что преломленный луч пересекает фокальную плоскость в той же точке. Пресечение двух лучей и дает изображение в точке . Изображение источника в любой оптической системе - это точка, в которой пересекаются все лучи, исходящие из источника , после прохождения лучами оптической системы. Следовательно, для построения изображения достаточно найти мочку пересечения двух любых лучей. Изображение в данном случае действительное.

Пусть источник находится в некоторой произвольной точке (рис. 19.7б). Возьмем два луча: луч проходит, не преломляясь через оптический центр линзы, луч параллелен главной оптической оси. После преломления в линзе этот луч проходит через фокус линзы. Точка пересечения лучей - действительное изображение источника .

Аналогично можно построить изображение предмета, используя те же лучи. Рассмотрим несколько случаев построения изображений в собирающей линзе (рис. 19.8).

1. Предмет находится на расстоянии, превосходящем двойное фокусное расстояние . Изображение действительное перевернутое уменьшенное (рис. 19.8а).

2. При изображение действительное перевернутое. Размеры изображения равны размеру предмета (рис. 19.8б).

3. При изображение действительное перевернутое увеличенное (рис. 19.8в).

4. При изображения нет. Лучи, идущие от каждой точки источника выходят под разными углами из линзы параллельными потоками (рис. 19.8г).

5. При изображение получается с той же стороны, что и предмет. Изображение мнимое, прямое, увеличенное (рис. 19.8д).

Для изображений действительных предметов, даваемых тонкими собирающими линзами, полезно запомнить следующую таблицу

Расстояние от линзы до предмета	Изображение прямое или перевернутое	Изображение действительное или мнимое	Изображение увеличенное или уменьшенное
	прямое	мнимое	увеличенное
	перевернутое	действительное	увеличенное
	перевернутое	действительное	уменьшенное

Эта таблица - для положительной линзы. Если вы попытаетесь построить такую таблицу для отрицательной линзы, то убедитесь, что она всегда имеет прямое, мнимое, уменьшенное изображение предмета. Отсюда можно сделать важный вывод: какой бы линзой ни создавалось прямое изображение, оно всегда будет мнимым.

Вывод формулы линзы

Отношение линейных размеров изображения к линейным размерам предмета называется линейным увеличением:

(рис. 19.8а). Из подобия треугольников и следует, что

. (19.5)

Из подобия треугольников и и равенства следует, что

.

Приравнивая выражения для , получим

.

Воспользуемся свойством пропорции и получим уравнение:

.

Разделив все члены уравнения на , получим формулу линзы:

. (19.6)

Для собирающих линз , , , если изображение действительное и , если изображение мнимое. Для рассеивающих линз , , .

Построение изображений в рассеивающей линзе

1) Пусть точечный источник света находится на главной оптической оси линзы (рис. 19.9а). Луч, идущий через оптический центр, не изменяет направления. Возьмем произвольный луч . Побочная оптическая ось пересечет фокальную плоскость в точке В. В этой же точке пересечет фокальную плоскость продолжение преломленного в линзе луча . Точка пересечения продолжения этого луча с главной оптической осью есть изображение источника . Изображение мнимое.

2) Если источник находится в любой точке плоскости чертежа, то один луч удобно выбрать идущим через оптический центр, а другой - параллельно главной оптической оси. После преломления продолжение этого луча пересечет главную оптическую ось в точке фокуса. Точка пересечения указанных лучей даст изображение источника.

Изображение предмета строится аналогично. Рассмотрим несколько случаев построения изображения. Заметим, что рассеивающая линза позволяет получить только мнимое изображение предмета (рис. 19.9б).

- При изображение мнимое уменьшенное прямое.

- При изображение существует (в отличие от собирающей линзы). Из построения очевидно, что размеры изображения в два раза меньше размеров предмета (рис. 19.9в).

- При изображение мнимое прямое уменьшенное (рис. 19.9г). С приближением к линзе размеры изображения увеличиваются, однако они всегда будут меньше размеров предмета, .

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 19.10 изображена зависимость от для рассеивающей линзы. Для рассеивающей линзы справедлива формула, аналогичная (19.6).

Запишем формулу линзы в общем случае:

. (19.7)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Слева знак плюс берется в случае собирающей, знак минус в случае рассеивающей линзы. При первом члене в правой части равенства знак плюс берется в случае действительного источника, знак минус в случае, когда на линзу падает сходящийся пучок лучей, который пересекся бы в некоторой точке за линзой на расстоянии от нее, если бы линзы не было. Такой источник можно трактовать как мнимый, поэтому в этом случае в формуле (19.7) берется . При втором слагаемом знак плюс берется в случае действительного изображения, знак минус в случае мнимого.

Оптические системы

Оптическая система может состоять из одних линз или линз и зеркал, в которых последовательно получаются изображения предмета. Изображение, полученное в первой линзе, является предметом для второй линзы. Изображение, построенное второй линзой, в свою очередь является предметом для третьей линзы и т.д.

Пусть две собирающие линзы с фокусными расстояниями и с общей оптической осью находятся на расстоянии друг от друга. Если расстояние от предмета до первой линзы больше ее фокусного расстояния , то изображение будет находиться на расстоянии .

Если , то расстояние от изображения до оптического центра второй линзы получим по формуле

,

откуда

.

Если , то

.

При

, ,

где - расстояние, на котором собирается параллельный пучок лучей, подающих на оптическую систему. Величина определяет оптическую силу системы , следовательно,

.

Оптическая сила нескольких тонких линз, вплотную прилегающих друг к другу, равна алгебраической сумме оптических сил каждой линзы, причем для собирающих линз , для рассеивающих .

20. Волновая оптика

В этой главе мы рассмотрим явления, доказывающие волновую природу света. Для любого волнового процесса характерны явления интерференции и дифракции.

Интерференция света

Интерференция света - это явление наложения волн с образованием устойчивой картины максимумов и минимумов. При интерференции света на экране наблюдается чередование светлых и темных полос, если свет монохроматический (излучаются электромагнитные волны одной длины волны), или цветных полос, если свет белый или состоит из волн разной длины. При рассмотрении интерференции механических волн мы говорили, что необходимым условием наблюдения интерференционной картины является когерентность волн. Два различных источника света не могут быть когерентны. Свет излучается возбужденными атомами, время излучения атома длится ~ , период колебаний, возбуждаемых световой волной, ~ . Невозможно согласовать излучение двух атомов одного источника, тем более невозможно согласовать излучение двух разных источников. (Исключение составляют лазеры, так как разность фаз колебаний, возбуждаемых излучение двух лазеров в данной точке, не зависит от времени, а зависит только от расстояния до точки.)

Каждый атом излучает короткий цуг волн, который можно представить как сумму монохроматических волн с начальной фазой, определяемой моментом излучения. Для получения интерференционной картины видимого света необходимо разделить излучение от одного источника на два потока, эти потоки направить по двум разным траекториям, а затем соединить их в некоторой области пространства. В этом случае в данной точке пространства будут сходиться волны, испущенные одним атомом в одном акте излучения, и разность фаз колебаний, возбуждаемых в этой точке этими волнами, будет определяться только разностью хода волн. Например, луч, падающий непосредственно на экран, , и луч, отразившийся от зеркала, , будут когерентны (рис. 20.1). Разность геометрических длин в данном случае является разностью хода волн

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Очевидно, что разность хода волн не должна превышать 3 м. Если , то в точке А встречаются волны, излученные разными атомами, так как за время одним атомом излучается цуг волн длиной , где - скорость света, равная .

Если волны распространяются в среде с показателем преломления , то длина волны изменяется и в условиях берется оптическая разность хода волн. Для того же примера (рис. 20.1) имеем

.

Если лучи распространяются в различных оптических средах с показателями преломления и и проходят расстояния и , то оптическая разность хода волн равна

.

Если разность хода волн равна четному числу длин полуволн или целому числу длин волн , то в этих точках пространства наблюдаются интерференционные максимумы (яркие полосы). Если же разность хода волн равна нечетному числу длин полуволн , где 0, 1, 2,…, то в этих точках пространства наблюдаются интерференционные минимумы (темные полосы).

Если в данной точке пространства накладываются некогерентные волны, то они возбуждают колебания, разность фаз между которыми будет непрерывно изменяться во времени. В результате сложения этих колебаний амплитуда результирующего колебания будет изменяться. В результате глаз зафиксирует среднюю освещенность экрана, равную сумме освещенностей, создаваемых каждым источником в отдельности (интерференции нет).

Дифракция света

Явление огибания волнами препятствий и попадания света в область геометрической тени называется дифракцией.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть плоская волна падает на щель в плоском экране . Согласно принципу Гюйгенса - Френеля, каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн, причем все эти вторичные источники когерентны. Огибающая к фронтам волн от вторичных источников дает положение нового фронта волны. На рис. 20.2 видно, что после прохождения отверстия волны будут распространяться в область геометрической тени. Явление дифракции наблюдается при условии соизмеримости препятствия с длиной волны ~ . Все вторичные источники когерентны и распределение интенсивности есть результат интерференции волн, излучаемых вторичными источниками.

Дифракционная решетка состоит из чередующихся прозрачных и непрозрачных полос. Суммарная ширина прозрачной и непрозрачной полос называется периодом дифракционной решетки .

Так как ширина щелей и непрозрачных полос постоянна, то достаточно рассмотреть интерференцию параллельных пучков от двух соседних щелей.

Пусть на решетку падает плоская волна. Так как ~ , то лучи начинают отклоняться от первоначального направления распространения. Щели являются когерентными источниками. Рассмотрим два луча от соответствующих точек двух соседних щелей, отклонившиеся на одинаковый угол ( - угол дифракции) (рис.20.3). Заметим, что угол принимает любое значение в пределах .

Разность хода лучей 1 и 2 равна . После дифракционной решетки установлена собирающая линза, в фокальной плоскости которой помещен экран. Лучи собираются в фокальной плоскости в точке М. Линза не изменяет разность хода волн.

Если разность хода волн , то на экране появится светлая полоса, если , то на экране появится темная полоса. Следовательно, на экране будут видны чередующиеся светлые и темные полосы, если источник света монохроматический.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если источник является источником белого света, то на экране будут видны полосы разного цвета. Монохроматические пучки, относящиеся к различным значениям , называются порядками спектра, а создаваемые ими изображения - спектральными линиями. Все порядки, соответствующие , симметричны относительно спектра нулевого порядка. Если - порядок спектра, то при (спектр нулевого порядка) в центре экрана будет белая полоса, так как условие максимума выполняется для всех длин волн. Условие максимума в спектре первого порядка . Фиолетовый цвет имеет наименьшую длину волны и, соответственно, условие максимума выполняется для фиолетовой области спектра при наименьшем угле отклонения. Для больших углов последовательно выполняются условия максимума для синей, голубой, зеленой, желтой, оранжевой, красной полос. Также очевидно, что в спектре ближайшей к центру будет фиолетовая полоса, а наиболее удаленной красная и т.д.

, ,

.

21. Фотоэффект

Явления дифракции и интерференции хорошо объясняются волновой природой света. Изучение фотоэффекта выявило корпускулярную природу света.

Фотоэлектрическим эффектом называется испускание электронов с поверхности металла под действием света (внешний фотоэффект, или фотоэлектронная эмиссия). Если к электродам откаченной трубки приложить напряжение, ток по цепи не потечет, так как в пространстве между катодом и анодом нет носителей тока. Но при облучении катода световым потоком в цепи появится ток. Зависимость силы тока от напряжения представлена на рис. 21.1. При увеличении напряжения сила тока растет, все большее число электронов покинувших катод под действием света, достигает анода. Начиная с некоторого значения напряжения , сила тока в цепи не изменяется. Это означает, что все электроны, вышедшие из катода за 1 с, достигают анода. Этот ток называется фототоком насыщения. Он позволяет определить количество электронов, покидающих катод за 1 с. При , равном нулю, фототок отличен от нуля. Это объясняется тем, что электроны вылетают из металлической пластинки с некоторой скоростью и не нужно создавать электрического поля для того, чтобы они достигли анода. Для того чтобы фототок был равен нулю, надо создать поле, препятствующее движению электронов к аноду. Разность потенциалов, при которой электроны не достигают анода, называется задерживающим напряжением . Изменение кинетической энергии электрона должно быть равно работе электростатических сил поля, созданного между электродами:

Размещено на http://www.allbest.ru/

, (21.1)

где и .

Законы Столетова для фотоэффекта

1. Сила фототока насыщения тем больше, чем больше падающий на катод световой поток (средняя по времени энергия, падающая на поверхность катода, за единицу времени). С увеличением падающего потока возрастает количество электронов, покидающих катод.

2. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности.

Фотоэффект наблюдается, если длина волны падающего излучения меньше некоторой определенной длины волны, называемой красной границей фотоэффекта, т.е. при . Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта, зависит от свойств металла.

Последний закон невозможно объяснить с позиции классической физики. Была выдвинута гипотеза, что свет излучается и поглощается порциями - квантами или фотонами. Энергия фотона

,

где - постоянная Планка, равная . Фотон - элементарная частица, движущаяся в вакууме со скоростью , равная скорости света. Масса покоя фотона равна нулю. Импульс фотона

. (21.2)

Согласно Эйнштейну, энергия фотона, падающего на металл, идет на работу выхода электрона из металла и на сообщение электрону кинетической энергии. Уравнение Эйнштейна имеет вид

. (21.3)

С учетом (21.1) можно записать

, (21.4)

где - работа выхода электрона из металла.

Работой выхода называется минимальная энергия, которую надо сообщить электрону, чтобы он покинул металл. Свободные электроны, выходя за пределы кристаллической решетки металла. Образуют вокруг него электронное облако. Между ним и кристаллической решеткой создается электрической поле, препятствующее дальнейшему выходу электронов из металла. Для того, чтобы электрон покинул металл, он должен обладать достаточной энергией для преодоления этого поля. Скорости электронов в системе различны. Электрону с меньшей энергией надо сообщить большую порцию энергии, чем электрону с большей энергией, для того, чтобы они покинули металл.

Работа выхода зависит только от химического состава металла и от состояния его поверхности. Из определения работы выхода ясно, что в формуле (21.3) представляет собой максимальную кинетическую энергию выбитого электрона. Из формулы (21.3) очевидно также, что фотоэффект наблюдается, если , где

.

Соответственно,

.

22. Атомная и ядерная физика

Атомы состоят из положительного ядра и обращающихся вокруг него электронов (планетарная модель атома). Атомы электрически нейтральны, следовательно, заряд ядра по модулю равен суммарному заряду электронов. Размеры атома малы, порядка ~ , размеры ядра порядка , т.е. существенно меньше размеров атома. Движущийся по круговой орбите с нормальным ускорением электрон должен излучать энергию (согласно законам электродинамики, при любом неравномерном движении заряженной частицы будет излучаться электромагнитная волна, и частица будет терять энергию), при этом кинематическая энергия электрона, его скорость и радиус орбиты должны уменьшаться и он должен упасть на ядро. Однако известно, что атомы устойчивы и излучают линейчатые спектры. Для объяснения линейчатости спектров и устойчивости атомов Нильс Бор сформулировал следующие постулаты:

1. Электроны могут двигаться в атоме только по определенным орбитам, называемым стационарными, при движении по которым энергия не теряется.

2. Излучение и поглощение энергии атомом происходит при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую.

Энергия испускаемого (поглощаемого) фотона равна

, (22.1)

где - постоянная Планка, равная , - частота испускаемого (поглощаемого) фотона. Если электрон переходит с более удаленной от ядра орбиты на более близкую, то при этом излучается фотон, обратный переход может произойти при поглощении фотона. Условие стационарности -й орбиты по Бору:

, (22.2)

где , и - скорость и радиус электрона на -й орбите. Величина - момент импульса электрона - положительное число, называемое главным квантовым числом. Оно указывает номер орбиты, по которой может обращаться электрон. Согласно Бору, электрон может двигаться в атоме не по любым, а по строго определенным орбитам. Условие (22.2) называется условием квантования орбит.

Рассчитаем радиусы возможных орбит электронов в водородоподобном атоме, т.е. атоме, потерявшем все электроны, кроме одного. На электрон действует кулоновская сила

,

где - число положительных зарядов в ядре, равное числу электронов, - заряд ядра. Основной закон динамики имеет вид

. (22.3)

Уравнения (22.2) и (22.3) образуют систему двух уравнений относительно двух неизвестных и . Решая ее, получим

. (22.4)

Расчеты показывают, что радиус первой орбиты равен

, .

Энергия электрона на -й орбите равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

.

(Потенциальная энергия электрона в атоме отрицательна, так как нулевой уровень отсчета берется на бесконечность, а по мере приближения электрона к ядру его потенциальная энергия уменьшается.) Из (22.3) следует

,

откуда

.

Подставив в это выражение из (22.4), получим

, 1, 2, 3, … (22.5)

При переходе электрона с -й орбиты на -ю будет излучаться фотон, энергия которого равна

.

Длина волны излучения определяется соотношением

. (22.6)

Формула (22.6), полученная теоретически на основании модели атома Бора, совпадает с формулой Бальмера, полученной экспериментально на основе изучения спектров излучения атомов:

, (22.7)

где - постоянная Ридберга, равная

.

Для атома водорода при , постоянный коэффициент в формуле (22.6)

Размещено на http://www.allbest.ru/



совпадает по величине с . Формула (22.5) показывает, что энергия электрона в атоме может принимать дискретный набор значений, т.е. энергия квантуется.

Наименьшее значение энергии имеют электроны, вращающиеся по первой боровской орбите.

На рис. 22.1 изображена схема энергетических уровней электрона в атоме водорода. Расчеты и эксперименты показывают, что видимой области спектра соответствуют переходы электронов на вторую боровскую орбиту. В атомной и ядерной физике энергия измеряется в электронвольтах. Энергия 1 эВ - это значение энергии, которую приобретает электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 1 В:

.

Строение ядра

Ядро атома состоит из протонов и нейтронов. Масса протона , заряд протона равен по величине заряду электрона .



Размещено на http://www.allbest.ru/

Масса нейтрона . Нейтрон - электрически нейтральная частица.

Массы ядер принято измерять в атомных единицах массы. 1 атомная единица массы равна массы атома углерода. В этих единицах масса нейтрона равна