Электрические явления в анизотропных слабых проводниках

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.АКМУЛЛЫ»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

РЕФЕРАТ

Ваганов Александр Сергеевич

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В АНИЗОТРОПНЫХ СЛАБЫХ ПРОВОДНИКАХ

Уфа 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНИЗОТРОПНЫЕ СЛАБЫЕ ПРОВОДНИКИ

1.1 Жидкие кристаллы

1.2 Дефекты и дисклинации

1.3 Диэлектрические параметры и поляризация

1.4 Теория cреднего поля, моделирование молекул

1.6 Сохранение энергии

ГЛАВА 2. МоделИРОВАНИЯ СЛАБЫХ СВЯЗЕЙ В LC

2.1 Обзор используемых в настоящее время выражений для слабых связей

2.2 Плотность энергии слабых связей на границе раздела твердых сред в теории Ландау-де Жена

2.3 Численные результаты

ГЛАВА 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

3.1. Реализация метода конечных элементов

3.2 Электростатический потенциал

3.3 Q-тензор

3.4 Время и гидродинамическое моделирование

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ЛИСТ СИМВОЛОВ И АББРЕВИАТУР

дельта Кронекера

антисимметричный тензор де Леви-Цивита

параметр скалярного порядка

параметр равновесного порядка

двухосный параметр

Q-тензор представляющий распределение порядка в нематике

собственное значение Q-тензора соответствующее

электрическое поле

индукция электрического поля

относительная диэлектрическая проницаемость в жидких кристаллах

относительная диэлектрическая проницаемость, параллель к

относительная диэлектрическая проницаемость, перпендикуляр к

двойное лучепреломление

плотность изменений потенциальной энергии

плотность энергии термотропии

плотность энергии индукции электрического поля

плотность энергии поверхностного натяжения

коэффициент на упругое растяжение в теории Оссена-Франка

коэффициент на кручение в теории Оссена-Франка

коэффициент на изгиб в теории Оссена-Франка

коэффициенты эластичности в Q-тензор теории

температура, чистая температура, и нематик-изотропная температура перехода соответственно

температура зависимости коэффициента термотропической энергии в теории Ландау де Жена

коэффициенты термотропической энергии в теории Ландау де Жена

поток поля

гидростатическое давление

симметричный тензор градиента потока

антисимметричный тензор градиента потока

коэффициенты вязкости Эрискен-Лесли

коэффициенты вязкости Квань-Шенга

связь легкой оси

оси слабой анизотропной связи

угол наклона

угол поворота

коэффициент силы связи изотропии

сила крепления связи соответствующая

соотношение связи в анизотропии

вектор нормали к поверхности

пять компонент Q-тензора

LC (ЖК) жидкие кристаллы

ZBD бистабильный девайс Зенитхалла

PABN (Post Aligned Bistable Nematic) соответствие сообщений бистабильных нематиков

TN (Twisted Nematic) скрученные нематики

FE (Finite Element) конечный элемент

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Нематические жидкие кристаллы (ЖК) обладают анизотропными свойствами, которые делают их полезными в широком спектре оптико-электронных устройств. Традиционно к ним относятся, например, ЖК-мониторы и устройства управления лучом для оптической связи. Тем не менее, для анизотропных проводников также можно найти новые применения в качестве растворителей для микро эмульсий и дисперсий частиц, например, в био-молекулярных сенсорах [1]или в сборке кристаллических структур [2], что обуславливает значимость исследований в этом направлении.

Цель работы. Изучение процессов в анизотропных проводниках и электрических явлений в ЖК.

Задачи: процесс, описанный в данной работе концентрируется на статическом и динамическом трехмерным компьютерном моделировании Q-тензорного поля в небольших масштабах устройства ЖК содержащего топологические дефекты. Можно выделить три основные задачи:

1) Разработка ЖК модели методом 3D - конечных элементов. Метод конечных элементов будет применяться для дискретных уравнений Ландау-де-Жена теории [6] в трех измерениях, ранее формализм был использован в одно и двухмерного моделирования ЖК (например, [10, 11, 12]) Схема стабильной реализации была использована в поле поток, что делает возможным использование линейных элементов для векторов и часто встречающихся решений нестабильности давления. [14].

2) Моделирование слабых связей в теории Ландау-де Жена. Работа устройств LC опирается на выравнивание электронной сетки закрепления жидких кристаллов к твердым поверхностям. Этот эффект может быть достигнут путем обработки поверхности. Физические / химические процессы ответственные за закрепление довольно сложны и не полностью изучены. Вместо этого используется, феноменологический подход, описывающий наблюдение поверхности имеющейся на жидких кристаллах, и плотность энергии, что является более полезным в процессе моделирования.

3) Моделирование гидродинамики ЖК.

Объекты исследования: метод конечных элементов, исследование параметров Q-тензора. Гидродинамики ЖК, слабых связей в анизотропных веществах.

Предмет исследования: модель LC на языке программирования Maple.

Структура: Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Компьютерное моделирование часто представляется быстрее и дешевле для проектирования и оптимизации новых устройств LC, чем создание реального прототипа. Кроме того, может быть найдена дополнительная информация, получение которой экспериментально трудоемко или невозможно.

В общем, само моделирование состоит из двух этапов: во-первых, находится ориентация элементов ЖК. Затем, на основе ранее полученных направлений полей, могут быть рассчитаны соответствующие оптические характеристики. Существует различные методы поиска выравнивания жидкокристаллических сеток.

Молекулярный порядок предполагается постоянный и одноосный, что ограничивает применение теории относительно больших, свободных от дефектов структур. При наличии дефектов, теория Ландау-де Жена, которая позволяет включить в себя двуосность и изменение параметров порядка дает более лучшее описание. В этой теории, жидкий кристалл представляется с помощью ранга, бесследовыми, симметричными параметрами порядками Q-тензора.

диэлектрический поле энергия ландау

ГЛАВА 1. АНИЗОТРОПНЫЕ СЛАБЫЕ ПРОВОДНИКИ

1.1 Жидкие кристаллы

Жидкие кристаллы (ЖК) - общий термин, используемый для обозначения вещества, обыкновенно, между твердой и жидкой фазами. ЖК вещества обычно состоят из органических молекул, которые могут свободно перемещаться как жидкость, сохраняя при этом степень ориентационного, а иногда позиционного порядка [6, 22].

Различные ЖК фазы могут быть классифицированы в соответствии с распределением молекулярного порядка. ЖК материалы существуют в разных фазах в зависимости от температуры или концентрации растворителя. Когда фаза зависит от температуры, материал LC называется термотропным, а когда он зависит от концентрации растворителя ЖК называются лиотропные.

Лиотропные ЖК материалы включают молекулы с гидрофобным остатком и гидрофильным основанием [22]. При смешивании в полярном растворителе (например, воде) молекулы стремятся стать так, чтобы остатки формировались группой, в то время как гидрофильные основания прикреплены к молекулам растворителя. Мыла являются примером лиотропных жидких кристаллов.

Термотропные ЖК материалы обычно состоят из жестких, анизотропной формы молекул. Молекулы обычно имеет форму палок (каламитные) или дисков (дискотические). Различия в них возможны, например, наблюдали клиновидные или изогнутые формы. [21].

В настоящее время большинство устройств на жидких кристаллах, в основном используют каламитный термотропный материал в нематической фазе. По этой причине, во всех остальных сферах, если приводится ссылка о жидких кристаллах, полагают, что идет речь о термотропных каламитных ЖК, если не указано иное.

Рис. 1. Молекулярная структура изотропных нематических и смектических жк.

1.1.1 Фазы жидких кристаллов

Термотропные ЖК материалы образуют фазовые переходы, при изменении температуры. При высоких температурах материал ЖК находится в изотропной фазе, где молекулы распределены случайным образом. Нет дальнего позиционного или ориентационного порядка тоже. При понижении температуры, при некоторой критической температуре происходит фазовый переход. В зависимости от конкретного соединения, материал ЖК становится либо нематическим или смектическим

В фазе нематика ЖК-молекулы могут свободно перемещаться (без позиционного порядка), но среднее направление, в котором длинные оси молекул ориентированы, как правило, может быть соблюдено (дальний ориентационный порядок существует).

В смектической фазе можно выделить такие зависимости:

ЖК-молекулы, как правило, располагаются в слоях с одинаковой ориентацией. В зависимости от ориентации молекул в слоях, смектические фазы могут быть в дальнейшем разделены на подкатегории A, B, C.

1.1.2 Порядок в жидких кристаллах

Как правило, когда имеется нематик-изотропная температура перехода, нематические ЖК материалы существуют в одноосной конфигурации в объеме. То есть, соответствуют одной оси симметрии. Тем не менее, существует и двухосный порядок, когда имеется более чем одна оси симметрии, что может возникнуть, например, на границе поверхностей или в непосредственной близости от дефектов.

Одноосная нематическая фаза может быть охарактеризована степенью ориентационного порядка, S, и макроскопической велечиной среднего направления, составляющие их молекулы,.Скалярный параметр порядка S может быть определен как мера степени ориентационного порядка. В небольшом объеме, содержащем N молекул, с ориентациями их длинных осей обозначены единичные векторы и, следовательно, скалярный параметр порядка может быть определен как второй полином Лежандра:

(1.1)

Где есть угол между каждой молекулой и нематическим направлением (см. рис.1.2). В изотропной фазе, где порядка не существует, S = 0. В нематической фазе S, как правило, в диапазоне от 0,4 до 0,7, в зависимости от температуры. Отрицательное значение скалярного параметра порядка также возможно. Это соответствует молекулам, случайным образом ориентированных в плоскости перпендикулярной .



Рис. 1.2. Нематическое направление и параметр порядка S.

Многие экспериментально измеряемые параметры материала ЖК связаны с значением параметра порядка, и эта величина может быть определена, например, посредством ЯМР спектроскопии, комбинационного рассеяния и рассеяния рентгеновских лучей. [20, 22, 6].

1.2 Дефекты и дисклинации

Об этом говорится в предыдущих разделах, что нематическая фаза жидких кристаллов характеризуется средним направлением, , по которому ориентируются сами молекулы. Ориентация направления не является фиксированным параметром и может изменяться в веществе ЖК. В основном изменения непрерывны и последовательны, но существуют места, где ориентация вектора направления изменяется разрывами и не может достаточно точно определяться. Это могут быть точки, линии или поверхности, обыкновенно известные, как дефекты.

Разрывы, связанные с дефектами поверхности не являются стабильными, и выражаются в непрерывном изменении вектора ориентации нематического направления. Тем не менее, в присутствии электрических или магнитных полей, непрерывное искажение может быть сжато на небольшом расстоянии соразмерных с длиной волны согласованного поля, в результате чего получаются две непрерывных области, разделенных тонкими стенками. Длина зависит от напряженности поля и свойства материала жидких кристаллов. Например, в случае поворота границы вызванной согласованием с магнитным полем Н, :

(1.2)

Где и являются коэффициентами магнитной анизотропии и коэффициентом упругости поворота соответственно.

Линии дефектов и точечные дефекты могут быть стабильными, и классифицируются в зависимости от силы дефекта. Силой, m, дефекта называется число полного оборота направления поля, с осью вращения возле ядра дефекта. Рисунок 1.3 показывает направление полей вокруг дефектов силой ;

Рис. 1. 3. Профили нематического направления при дефектах силой

1.3 Диэлектрические параметры и поляризация

Форма анизотропии молекул ЖК влияет на их диэлектрическую проницаемость и магнитную восприимчивость. Диэлектрическая проницаемость при измерении параллельно длинной оси молекулы , отличается от измеренной перпендикулярно той же оси, . диэлектрическая анизотропия, определяется, как может быть либо положительной или отрицательной в зависимости от конкретного соединения ЖК. Диэлектрическая проницаемость может быть выражена как тензор по направлению:

(1.3)

В приближении 1.3 по Q-тензору

(1.4)

Где представляет равновесный параметр порядка материала жидкого кристалла.

Тензор магнитной восприимчивости может быть определен аналогичным образом.

Поляризация, связанная с деформациями в полях наблюдается во многих ЖК материалах, состоящих из клиновидных или изогнутых молекул, несущих постоянный электрический дипольный момент [6]. Она также присутствует в ЖК материалах, состоящих из линейных молекул, но имеющих квадрупольный момент [16].

Флексоэлектрический вектор поляризации может быть записан так:

(1.5)

Где и являются коэффициентами поляризуемости, соответствующие деформации сдвига и изгиба, соответственно.

1.4 Теория среднего поля, молекулярное моделирование

Теория среднего поля пытается объяснить, что происходит с большим количеством молекул, сделав предположение, что в среднем все молекулярные взаимодействия равны. Это означает, что макроскопические свойства многих молекул могут быть выведены из микроскопических свойств, но только некоторые из них. Есть две рассматриваемые теории, Онзагер - теория жестких стержней [17] и теория Майера-Заупе. Обе теории описывают синтез нематик-изотропного фазового перехода.

В теории Онзагера, составляющие молекулы вещества считаются наподобие твердых стержней, длина которых намного больше, чем их ширина. Основное предположение это баланс позиционной и ориентационной энтропии стержней, т.е они не влияют друг на друга. Потенциал взаимодействия пары стержней написан с точки зрения относительного положения, ориентации и их общей концентрации в веществе. Решение этой теории Онзагера не зависит от температуры и предсказывает, что первый изотропный нематический фазовый переход происходит, когда концентрация молекул достаточно высока. Раннее было доказано, что анизотропией формы уже достаточно, чтобы вызвать нематический порядок.

В теории Майера-Заупе, кроме того, учитываются межмолекулярное притяжение, связанное с ванн-дер-ваальсовыми силами. Кроме того, вероятность нахождения ориентирования молекулы и ее направления можно записать как функцию, включающую и температуру системы, что представляет возможным предсказать первый порядок термотропных нематических изотропных переходов.

В отличие от теории среднего поля, молекулярная теория рассматривает большое количество отдельных молекул или частиц (обычно используется некоторое упрощенное представление).

Из-за неразумных вычислительных затрат количество моделируемых частиц обязательно ограничивают гораздо меньшим числом, чем требуется в полномасштабном устройстве моделирования. Тем не менее, молекулярные модели были использованы для объяснения связи между молекулами и наблюдаемыми макроскопических свойствами материалов LC. Например, значения упругих, вязких параметров и флексоэлектрические коэффициентов могут быть оценены таким образом.

Суть молекулярного моделирования в потенциалах взаимодействия, которые представляют попарно потенциальную энергию между каждой из составляющих материал ЖК молекул.

Обычно моделирование начинают с некой заданной начальной молекулярной конфигурацией, и позволяют развиваться ей в равновесное состояние, после чего искомые свойства системы измеряются. Существуют две методики, это метод молекулярной динамики и метод Монте-Карло.

В методе молекулярной динамики, силы, действующие на каждую молекулу, являются производными от потенциалов взаимодействия. Зная это можно рассчитать ускорение и скорость каждой молекулы может быть рассчитана, а впоследствии их позиции будут обновлены. Этот процесс повторяется в итеративном режиме, что дает динамический характер картины.

В методе Монте-Карло, положение и ориентация молекул обычно обновляются в случайных / псевдослучайных модах. Принимается решение основанное на некоторых правилах, например, могут быть приняты только шаги, которые не приводят к увеличению энергетического потенциала взаимодействия. Из-за сущности метода Монте-Карло, динамические свойства анизотропных проводников, например значения коэффициентов вязкости, обычно, не могут быть измерены.

1.5 Сохранение энергии

Основная мысль заключается в том, чтобы сбалансировать скорость изменения энергии от потерь на трение в виде функции рассеяния Рэлея:

3,24 (1.6)

Где представляет собой скорость изменения энергии (мощность), а R рассеивание с учетом потерь на трение. Суммарная мощность системы равна сумме скорости изменения кинетической, T, и потенциальной, F, энергий системы:

(1.7)

Уравнения движения должны быть инвариантны. Это может быть достигнуто путем написание диссипации в слагаемые тензоров Q, D и N.

D и N тензор симметричного градиента скорости и производная по времени совместного вращения молекул, соответственно, и связанны с общим потоком тензора градиента следующим образом:

(1.8)



Где является симметричной, а является анти-симметричной (также известный как тензор завихренности) частью потока тензора градиента. N представляет элемент вращения или скорость изменения Q-тензора по отношению к фону потока поля:

(1.9)

Где является общей производной по времени от Q в поле потока , и определяется в обычном порядке, как:

(1.10)

ГЛАВА 2. МоделИРОВАНИЯ СЛАБЫХ СВЯЗЕЙ В LC.

Целью этой главы является изучение и моделирование слабых связей в использовании устройств LC в теории Ландау-де Жена. Вводятся физические причины выравнивающего влияния для различных твердых поверхностей, приведены и представлены методы для измерения энергии связи. Проведены измерения поверхностных плотностей энергии по теориям Озеена-Франка и Ландау-де Жена, соответственно. Затем, представлена новая работа: поверхностную плотность энергии предлагается представлять общем расширением мощности на Q-тензоре и двумя единичными векторами, описываемые локальной геометрией поверхности в контакте с материалом ЖК. Показано, что в пределе постоянной одноосного порядка предложенное выражение сводится к известному анизотропному обобщению Чжао У. и Ивамото [17, 18], разработанного в рамках теории Озеена-Франка. В этом пределе экспериментально измеряемые физические величины в теории Озеена-Франка можно масштабировать и назначать как скалярные коэффициенты тензора Q-расширения. Справедливость этого предположения проверяется путем сравнения результатов численных экспериментов с использованием обеих теорий.

2.1 Обзор используемых в настоящее время выражений для слабых связей

2.1.1 Теория слабых связей Озеена-Франка

Вероятно, первым и наиболее известным выражением, описывающим слабый эффект связей в теории Озеена-Франка является выражение Рапини-Папуляр (RP) [15]. Предполагается, что плотность энергии сцепления увеличивается пропорционально и в качестве направления отклоняется от направления легкого:

 (2.1)

Где W является скалярной величиной, известной как сила связи, и является углом выхода направления от легкой . Альтернативно, это может быть записать в виде:

(2.2)

Одной из слабых сторон (2.2), является неспособность провести различие между различными направлениями угловых отклонений от .Это означает, что разница между полярными и сильными азимутальный связями не могут быть приняты в учет. Кроме того, было высказано предположение, что члены более высокого порядка (например, в условиях должны быть приняты во внимание при больших углах . Несмотря на это, RP крепления широко используется приближение и часто используют в качестве ссылки, по которой сравниваются разные связи. Существуют различные обобщения [4,5], которые различают полярные и азимутальные крепления сторон является (например, [16]):

(2.3)

Где и см. полярный и азимутальный крепления сильные и м, A, и сильные азимутальный углы направления и легко направления соответственно. Однако, этот подход полностью отделяет два угла вызывая осложнения в расчетах: во-первых, развязка из двух углов делает плотность энергии сцепления разрывной по м. Во-вторых, плотность азимутальной энергии связи должна также зависеть от угла наклона вектора направления, что не включено. Кроме того, выражение (2.3) является периодично повторяемым с периодом р радианах, в результате чего получается бистабильное крепление, когда угол наклона легком направлении лежит в пределах ;

Позже было показанно Ивамото [17, 18], что представление анизотропной поверхностной плотности энергии без осложнений, описанную выше:

(2.4)

где - угловые отклонения вектора направления в локальной системе координат. Уравнение (2.4) также может быть выражено более компактно в виде [17]

(2.5)

Где В где коэффициенты энергии сцепления, соответствующие деформациям соответственно.

2.2 Плотность энергии слабых связей на границе раздела твердых сред в теории Ландау-де Жена.

В теории Ландау-де Жена плотность энергии связи определяется в зависимости от Q-тензора. Возможно, самый простой способ аппроксимации эффекта закрепления выравнивания поверхности с помощью выражения типа:

(2.6)

где является предпочтительным Q-тензором. Очевидно, что плотность энергии сводится к минимуму, когда.

Другое выражение для поверхностной плотности энергии в теории Ландау-де Жена описывает эффект изотропной поверхности на материале ЖК, т.е. поверхность, задающая выравнивания, где только ограничивается направление наклона. Это серия Ландау:

(2.7)

Здесь, с являются скалярными коэффициентами, которые определяют предпочтительный угол наклона поверхности и порядка. Медленная сходимость (порядка 1000 итераций Ньютона) численных схем делает выражение вычислительно слишком тяжелым для моделирования динамики.

Выражение для анизотропного крепления:

(2.8)

Где Н является симметричным бесследовым тензором описывающим симметрию поверхности. Однако так как это выражение линейно, нет контроля над параметром поверхности порядка, который стремится к положительной или отрицательной бесконечности в зависимости от точной формы Н и энергии связи.

Не нарушая общности, геометрия может быть определена локально: выбираются так, чтобы совпадать с координатными осями.

Q-тензор, в том числе при при двухосности ЖК, записывается в виде:

(2.9)

Где S - скалярный параметр порядка, P - параметр двухосности. - векотр направления и два ветора определяющие размеры и направление нематического порядка. Каждый из этих векторов может быть описан матрицей из углов

(2.10)

Теперь, энергию поверхности сцепления,

(2.11)

Можно переписать в виде:

 (2.12)

где и это:

(2.13)

и

(2.14)

В пределе константы одноосных порядка и изотропная часть Fs неизменны и могут быть проигнорированы, и (4.14) сводится к сумме (4.20) и (4.21) умноженное на и соответственно. В этом случае (4.14) эквивалентно выражению (4.9). Коэффициенты анкерной прочности связаны с . Угловое изменение плотности энергии сцепления для различных значений полярного азимутального крепления соотношение , вариации порядка при этом не рассматриваются.

При и (а) R=1. (b) R=3. (c) R=0. (d) R=?.

2.2 Результаты измерений

Результаты численного моделирования с использованием слабого выражения для слабых связей (2,12) представлены следующим. Во-первых, как результат моделирования показано переключение твист-ячейки с помощью теории Ландау-де Жена и Озеена-Франка. Затем, эффект закрепления индуцированной двуосность и порядок вариаций эффективной энергии сцепления исследуемый в теории Ландау-де Жена. Численное моделирование выполняется с использованием конечных элементов дискретизации.

Теория Ландау-де Жена, описанная в главе и ранее разработанная реализация конечных элементов теории Озеена-Франка. В обоих случаях слабые поверхностные плотности энергии связей моделируются по (2.12).

Значения термотропных коэффициентов энергии для 5CB в обоих случаях, (T -T*) = -4 ° дает равновесный параметр порядка .

ГЛАВА 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В этой главе, представлены и описаны методы, используемые в этой работе для получения численного решения связанных уравнений, описывающих физику жидких кристаллов и электростатического потенциала. Решаемые уравнения являются дифференциальными уравнений в частных производных, которая должны быть на деле решена численно из-за сложности проблемы.

Существует ряд различных методов решения уравнений в частных производных на компьютере, например, конечные различия, конечные объемы, конечные элементы и различные сетки. Метод конечных элементов выбран для этой работы, по трем причинам:

1. Для этого метода не представляет проблем сложная геометрия.

2. Неструктурированные сетки для поддержки локальных уточнений пространственной дискретизации делают точное трехмерное моделирование ЖК устройств с дефектами вычислительно осуществимым процессом.

3. Реализация граничных условий эффективна и относительно проста.

Вообще говоря, встречаются две различные ситуации: ??искомое решение описывает либо динамику жидких кристаллов или их же, но в стационарном состоянии. В динамическом случае описывается прогресс во времени ориентации ЖК и порядок распределения. Это может быть использовано, например, для описания переключения между состояниями «вкючен» и «выключен» пиксела в устройстве ЖК-дисплея. Динамическое поведение определяется путем неоднократно решения уравнений:

(3.1)

(3.2)

Где тензор сопротивления вязких жидкостей записывается как:

Где и - коэффициенты вязкости состоящие из линейных комбинаций:

3.1 Реализация метода конечных элементов

Краевая задача.

В общем, проблема, которая должна быть решена с помощью метода конечных элементов определяется в области ? - с границами Г. Это может быть записано в виде уравнений в частных производных, как:

(3.3)

Где L и B - линейные операторы, u(x) - неизвестная искомая функция пространственной координаты x и s(x), t(x) некоторые известные функции.

Граничные условия (3.3) должны быть наложены для того, чтобы существовало единственное решение. Существуют различные типы граничных условий, например, B = 1 приводит к фиксированным границам Дирихле, где значение u, известно на Г, и B в границах Неймана где градиент u и нормали к границе известны.

Скалярное произведение.

Скалярное произведение двух функций и определяется следующим образом:

(3.4)

Когда для любых выборов g, следует так же что f=0, это используется в последствии в формировании метода конечных элементов для минимизации ошибок.

Общий обзор программы.

Три набора систем уравнений в частных производных решаются для динамического случая и два для устойчивого состояния. В стационарном случае состояние требует нахождение электрического потенциала в поле

Q- тензора. В динамическом моделировании, дополнительно можно включить зону потока жидкокристаллического материала и его влияние на

Q-тензорное поле. Общий подход к решению этих уравнений дается следующим образом.

Каждый шаг состоит в нахождении распределения электрического потенциала соответствии с полем Q-тензора.

Q-Тензор динамики рассчитывается с использованием итеративного временного шага схемы. Это показано на рисунке 3.1 стрелкой «петля итераций Ньютона». На практике, время выполнения этого цикла занимает большую часть от общего времени работы программы. Сетка конечных элементов может быть уточнена в конце каждого временного шага, если это необходимо.

3.2 Электростатический потенциал

Внешне приложенные электрические поля используются для переключения устройства ЖК. Электрическое поле дает отрицательный градиент электрического потенциала, который удовлетворяет

Уравнению Пуассона:

(3.5)

Где - диэлектрическая постоянная, р - плотность заряда,

А может быть записана как составляющая Q-тензора:

(3.6)

Плотность заряда связанна с ионами в материале ЖК.

Аппроксимация выражения (5.31) дает нам:

(3.7)

Интегрируя по частям:

(3.8)

Где является единичным вектором нормали к каждому элементу. Граничный член сводится к нулю во внутренние элементы, которые не имеют ни одной позиции на внешних границах сетки конечных элементов и, в связи с противоположным направлением векторов соседних элементов, может быть проигнорирован. Тем не менее, следует принимать во внимание элементы, где выполняется условие Неймана я:

(3.9)

Здесь поверхностный интеграл может быть рассчитан, принимая во внимание условие Неймана. Результирующая матрица:

(3.10)

и исходный вектор определяется по формуле:

(3.11)

Таким образом, мы переходим к декартовым координатам, нахождение которых решается как это написано разделом выше.

3.3 Q-тензор

Для решения уравнения Эйлера-Лагранжа, которые минимизируют свободную энергию жидких кристаллов, Q-тензор симметрии должен быть постоянен. Если эти условия выполнены, то Q-Тензор представляет пять независимых степеней свободы: три вращательных степеней свободы и два для порядка распределения ЖК. Это можно решить для каждого из девяти компонент тензора при обеспечении симметрии с использованием множителей Лагранжа. Тем не менее, в вычислительном отношении, более эффективно писать Q-тензор в пятимерном подпространстве, как:

(3.12)

Где:

(3.13)

Где: и единичные векторы координат x, y и z - соответственно.

Таким образом свободную энергию можно записать в виде модифицированного Q~тензора. Это приводит к пяти уравнениям

Эйлера-Лагранжа, удовлетворяющих непрерывности и свойствам симметрии:

(3.14)

Далее для избегания ошибок решений уравнений идет программирование исходного кода на Maple.



3.4 Время и гидродинамическое моделирование

Интеграция времени необходима для моделирования динамики устройства ЖК. Это осуществляется с использованием метода конечных разностей во времени.

Простая явная схема активизации временного алгоритма, дающего временной ход Q -Тензора может быть построена с учетом:

(3.15)

Где индекс обозначает - время, t. А ?t - временной шаг.

Однако, хотя этот подход является относительно простым, это только первый порядок точности, а также очень нестабильный: Размер шага по времени ограничен условием Курант-Фридрихс-Леви, которое относит максимальный шаг по времени с пространственной дискретностью.

Реализация гидродинамики

Теперь познакомимся детально со свойством жидкого кристалла, типичным для жидкости, -- текучестью, изучением которой занимается наука гидродинамика.

Течение жидкости вызывает переориентацию длинных осей молекул. А на введенном выше языке описания жидкого кристалла как сплошной среды с помощью задания в каждой его точке направления директора означает, что течение нематика, с одной стороны, может приводить к переориентации директора, а с другой, к тому, что характеристики течения оказываются различными при различной ориентации директора по отношению к направлению скорости течения жидкости. Эти результаты легко понять и на молекулярном уровне. При течении жидкости молекул-палочек по капиллярам, особенно узким, течение будет выстраивать палочки-молекулы вдоль оси капилляра. В случае ориентации палочек поперек капилляра будет затруднено по сравнению с течением при их ориентации вдоль капилляра.

Движение описывается за счет обобщенной теоремы Навье-Стокса:

(3.16)

где плотность жидкого кристалла, - часть тензора напряжений и р - гидростатическое давление.

Поток материала LC может быть оценен в любой момент времени (на практике после каждого шага по времени), решая устойчивое состояние несжимаемой Стокса:

(3.17)

В несжимаемой Стокса, гидростатическое давление действует как множитель Лагранжа для обеспечения недивергентного течения. Однако, хорошо известно что существует проблема в области вычислительной гидродинамики, что прямая дискретизации методом конечных элементов из уравнений (3.17) приводит к числовой трудности. Они появляются как ложные решения давления, где давление колебательного поля и несжимаемость поле потока не удовлетворены [14].

В качестве альтернативы, возможно выполнение несжимаемости давлением штрафа в формулировке. При таком подходе, уравнение неразрывности заменено на:

(3.18)

Этот метод основывается на введении возмущения уравнения непрерывности:

(3.19)

Стабилизированный препарат протестирован на контейнере с изгибом, как показано на рисунке 3.3, используя различные значения коэффициента стабилизации Є.

Рис. 3.3: Контейнер с изгибом, результаты моделирования.

Электронная модель дает картину, что наибольшая стабилизация при (Є = 10 -4) что можно наблюдать в первом столбце, где поток поля не расходится. Кроме того, в последней колонке, при эффекте стабилизации можно наблюдать как начинают появляться ложные колебания давления, параметр стабилизации при этом сводится к Є = 10 -9. Было обнаружено, что при Є =10 -7 поток не расходится без возникновений колебаний давления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа, представленная в данном исследовании была сосредоточена на создании статической и динамической трехмерной компьютерной модели нематических жидкокристаллических материалов. Можно определить три основных направления в этой работе: реализация 3D-модели для расчета

Q-тензор поля ЖК, феноменологическое описание твердых поверхностей жидкокристаллического интерфейса с применением разработанных инструментов. Постановка 3D-модели конечных элементов Ландау-де Жена теории континуума и ее динамическое расширение с учетом расхода материала ЖК, реализация в компьютерной программе. Q-тензор представлен с переменной порядка и двуосности, что используется для описания материала ЖК. Это в сочетании с автоматической сеткой, технологией и алгоритмом делает моделирование динамики возможным на стандартном персональном компьютере.

Эффект выравнивания твердой поверхности жидких кристаллов, имеет принципиальное значение для функционирования большинства устройств ЖК. В этой работе, с увеличением мощности на Q-Тензор и двух взаимно ортогональных единичных вектора используется в качестве поверхностной плотности энергии представляемой последствиями анизотропной связи в теории Ландау-де Жена. Выражение представлено в пределе для упрощения постоянной одноосной анизотропной связи выражение в теории Озеена-Франка, что делает возможным определить экспериментально измеряемые величины с физическим смыслом и коэффициенты тензора расширения параметра порядка. Облегчает исследование гидродинамики жидких кристаллов их двулучепреломление, оно позволяет визу-ализировать наведенные течением жидкого кристалла, изменения ориентации директора и, наоборот, по изменению двупреломления, т. е. оптических свойств нематика, судить о скоростях и изменении скоростей в потоке. Электрические свойства. Забегая вперед, скажем, что большинство применений жидких кристаллов связано с управлением их свойствами путем приложения к ним электрических воздействий. Податливость и «мягкость» жидких кристаллов по отношению к внешним воздействиям делают их исключительно перспективными материалами для применения в устройствах микроэлектроники, для которых характерны небольшие электрические напряжения, малые потребляемые мощности и малые габариты. Поэтому для обеспечения оптимального режима функционирования ЖК элемента в каком-либо устройстве важно хорошо изучить электрические характеристики жидких кристаллов

ЛИТЕРАТУРА

[1] V.K. Gupta., Optical amplification of ligand-receptor blinding using liquid crystals / J. J. Skaife. T.B. Dubrovsky, and N.L. Abbot., - Science. Vol. 279, pp. 2077-2080. 1998.

[2] I. Musevie., Two-dimensional nematic colloidal crystals self-assembled by topological defects / M. Skarabot, U. Tkalee, M. Ravnik., - Science. Vol. 313, pp 954-957.

[3] Ларионов А.Н. Ориентационная релаксация жидких кристаллов при высоких давлениях / А.Н. Ларионов, А.С. Лагунов // Жидкие кристаллы и их практическое применение: сб. статей. - Иваново, 1982. - С. 52-59.

[4] C.Oseen, The theory of liquid crystals., Trans. Faraday Soc., vol. 29.pp. 883-889, 1954.

[5]. Влияние давления и температуры на ориентационную релаксацию в рас-творе нематических жидких кристаллов / А.Н. Ларионов [и др.] // Двенадца-тая зимняя школа по механике сплошных сред РАН: тез. докл. - Пермь, 2001. - С. 210.

[6] F.C. Frank., On the theory of liquid crystals., Deiscuss, Faraday Soc., vol. 29, pp. 2077-2080.

[7] H.Zocher., The Effect of a magnetic field on the nematic state, Trans. Faraday Soc., vol. 29, pp 945, 957, 1940.

[8] Вращательная вязкость и динамика ориентационных процессов в жидких кристаллах в меняющихся магнитных полях / А.Н. Ларионов [и др.] // Вестник Костромского Госуниверситета им. Н.А. Некрасова. - Кострома, 2006. - Вып. 1. - С. 27-32.

[9] T.Qian and P.Sheng., Generalized hydrodynamic equations for nematic liquid crystals, Phys, Rev, E.vol. 58, pp. 7475-7485 1999.

[10] R.James., Computer modeling of liquid crystal hydrodynamics / E.Willman, F. Fermamdex, and S. Day., vol. 44. Pp. 814-917 2008.

[11]. Вязкоупругие свойства жидких кристаллов / А.Н. Ларионов [и др.] // Материалы I Всероссийской конференции, Фагран. - Воронеж, C.327. 2002.

[12] В.В. Чернышев. Исследования релаксационных свойств нематических жидких кристаллов / А.Н. Ларионов, // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. - Воронеж, 2007. - Вып. 1. - С. 16-22.

[13] Чандрасекар С. Жидкие кристаллы - М.:Мир, 2004 с.344

[14] P.M. Gresho., Incopressible Flow and the Finite Element Method / R.L. Sani, vol. 2. John Wiley & Sous Ltd., 1999

[15] A. Rapini., Distortion d'une lamelle nematique sous champ magnetique conditions d'anerage aux parois / M. Papoular, J. Pjys. (Paris), vol. 30(c4.54), 1979.

[16] R. Hirning., Threshold behavior and electro-optical properties of twisted nematic layers with weak anchoring in the tilt and twist angle / W. Funk, J.-R. Trebin, M.Schid., J. Appl, Phys., vol. 70, pp. 4211, 1994.

[17] W. Zhao., Analysis of weak-anchoring effect in nematic liquid crystail /

C.-X.Wu, amd M. Iwamoto., Phys, Rev. E, vol. 62. 2. Pp 1481-1484. 2000.

[18] W. Zhao., Weak boundary anchoring, twisted nematic effect and homeotropic to twisted-planar transition / C.-X. Wu Phys, Rev, E, vol. 65 (031709), 2002.

[19] S. Kitson and A. Geisow., Countrollable alignment of nematic liquid crystals around microscope posts: Stabilization of multiple states, Appl. Phys. Tell, vol. 80, no. 19. 2002.

[20] S. Kitson., Bistable alignment of nematic liquid crystals around miroscopie post / A. Geisow., Mil. Cryst. Liq., vol. 42. Pp. 153-161, 2004.

[22] P. J. Collings., Introdictiont to Liquid Crystals / M. Hird., Taulor & Frameis, Ltd, 2001.

Размещено на Allbest.ru